Tài liệu bồi dưỡng HSG Chuyên Đề : www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC I.Kiến thức : 1.Kiến thức : (Theo chương trình Hình Học 10 nâng cao)  Tọa độ điểm, véc tơ mặt phẳng kiến thức liên quan  Đường thẳng  Đường tròn  Các đường Cônic : Elip, Hyperbol, Parabol *Đề nghị : xem kỹ thuộc kiến thức liên quan 2.Các dạng toán áp dụng : Bài toán hình học khó áp dụng cho tính chất hình học tuý (hình học cổ điển) Bài toán hình học mà việc chứng minh tính toán phức tạp .Bài toán hình học chứa đựng yếu tố : tọa độ, véctơ, đường Cônic 3.Nhận dạng : Dạng 1: toán hình giải tích tuý (chứa đựng sẳn yếu tố hình giải tích) Dạng 2: toán hình cổ điển chuyển toán véc tơ (không sử dụng tọa độ) Dạng 3: toán hình cổ điển chuyển toán tọa độ 4.Phương pháp áp dụng : Chọn hệ trục tọa độ thích hợp (hệ tọa độ Đêcac Afin) tùy theo toán cho việc tính toán đơn giản, dễ biểu diển .Tìm toạ độ đối tượng cho đối tượng liên quan .Từ rút tính chất hình học cần tìm theo yêu cầu toán II.Các toán minh họa : Bài 1: ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Giải : Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC trục Ox đường thẳng BC Đặt BC = 2a > Khi tọa độ B (−a , 0) ; C (a , 0) Giả sử A( x , y ) y ≠ Khi trực tâm H nghiệm hệ phương trình x = x0   a − x 02  ⇒ H x ,   y0 ( x + a)(a − x0 ) − y y =      x 3a − 3x 02 + y 02   x0 y   G ; K ;  , suy trung điểm  Trọng tâm  y  3    K thuộc đường thẳng BC Trang Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích x y 3a − 3x 02 + y 02 = ⇔ − 02 = ( y ≠ 0) a 3a x y2 Vậy quỹ tích A hyperbol − = bỏ hai điểm B, C a 3a Bài : ( Đề thi OLYMPIC Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI tam giác ABC K.Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết IH song song với KC Giải : 2 ^y A H B C I >x K Chọn hệ trục Oxy với O trùng I trục Ox đường thẳng BC Đặt BC = 2a > Khi toạ độ B (−a; 0) ; C (a; 0) Giả sử tọa độ điểm A( x ; y ) với y ≠ Khi trực tâm H nghiệm hệ phương trình x = x0  a − x 02     ⇒ H x ;   y  ( x + a)(a − x0 ) − y y =  K = d ∩ ( AI ) nghiệm hệ phương trình  x = −a  y0    y = y x ⇒ K  − a; − a  với x0 ≠ x0    x0 Theo giả thiết, ta có y0 a − x02 x 02 y 02 → → ⇔ a x − a = phương ⇔ + =1 KC IH x0 y0 a 2a x2 y2 Vậy quỹ tích A elip 02 + 02 = bỏ điểm B, C, A1 (0; − a ) , A2 (0; a 2) đỉnh elip a 2a Bài 3: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O,R) điểm A cố định I điểm di động (O) Đường tròn tâm I qua A Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn (O) (I) tiếp xúc với đường tròn cố định Giải : Trang Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích Chọn hệ trục (Oxy) hình vẽ (OA trục Oy) Ta có A(0,b) , (O) : x + y = R 2 2 2 Gọi I(m ; n) ∈ (O) ⇒ m + n = R IA = m + (b − n ) Vậy (I) : ( x − m) + ( y − n ) = m + ( n − b) Hay x + y − 2mx − 2ny + 2nb − b = Suy phương trình trục đẳng phương (O) và(I) (d) : 2mx + 2ny – 2nb + b + R = 2nb − 2nb + b − R b2 − R Ta có d(A,d) = = 2R m2 + n Bài 4: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K trung điểm đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cắt cạnh BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Giải : Chọn hệ trục Oxy cho O ≡ H , điểm A, B nằm Ox, điểm C nằm Oy Ta có toạ độ điểm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0) Đường thẳg d có phương trình y = m (0 Ta phải tìm quỹ tích điểm M(x ; y) cho x + y + x − d = a (1) Nếu x ≥ d x + y2 + x − d ≥ x + y2 ≥ d Trang Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích 2 2 Nếu x < d x + y + x − d = d + ( x + y − x) ≥ d Như trường hợp xãy d > a : quỹ tích M tập rỗng d = a : từ lý luận (1) ⇔ y = , ≤ x ≤ a : quỹ tích M đoạn thẳng nối từ I đến chân đường vuông góc hạ từ I lên ∆ a+d − x) a −d + x) Khi x < d , từ (1) ⇒ y = 2(a − d)( 2 d < a : Khi x ≥ d , từ (1) ⇒ y = 2(a + d)( Như quỹ tích M nhánh Parabol(khoảng S1,S2) có phương trình Bài 15: Cho hai đường thẳng cắt a b Tìm tập hợp điểm M cho tổng khoảng cách từ tới a b luôn số không đổi Giải : Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với O giao điểm a b , Ox đường thẳng a cho đường thẳng b có phương trình y = kx (k > 0) Giả sử M(x ; y) điểm , kẻ MA ⊥ a , MB ⊥ b kx − y Khi , ta tính khoảng cách MA MB : MA = y , MB = k2 +1 kx − y = (1) Ta chia trường hợp sau : Vậy , với điều kiện toán y + k2 +1 a) y ≥ y ≤ kx Dễ thấy M nằm góc xOz (1) ⇔ y+ kx − y =1 ⇔ kx + ) ( k + − y − k + = (2) k +1 Như , tập hợp M phần đường thẳng (2) nằm góc xOz , tức đoạn PQ (hình vẽ) b) y ≥ y ≥ kx Khi M nằm góc zOx’ : − kx + y (1) ⇔ y + = ⇔ − kx + k + + y − k + = (3) k2 +1 Như tập hợp M phần đường thẳng (3) nằm zOx’, tức đoạn ( Trang 10 ) Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích thẳng PR (hình vẽ) Dễ thấy tích vô hương hai vectơ pháp tuyến : r r nPQ = k ; k + − , nPR = −k ; k + + , tức PQ ⊥ PR ( ) ) ( Tương tự trường hợp a) b) , ta xét trường hợp : c) y ≤ y ≤ kx d) y ≤ y ≥ kx , Ta đến kết luận :Tập hợp điểm M hình chữ nhật QPRS có tâm O hai đường chéonằm a b Bài 16: Cho hai điểm uuu A,rB cố định, AB = a không đổi hai điểm C, D di động cho CD = b không uuur đổi, AB hướng CD , AC + BD = 2(a+b) Tìm quĩ tích giao điểm M AD BC Giải : Vẽ ME // AC , MF // BD ( E , F ∈ AB ) MB AB a MA AB a = = ; = = Ta có: MC CD b MD CD b BE MB a AF AM a a2 a2 = = ; = = Suy ra: ⇒ BE = , AF = BA BC a + b AB AD a + b a+b a+b Suy ra: E F cố định ME BM a MF AM a a AC a.BD = = ; = = , MF = Vì nên ME = AC BC a + b BD AD a + b a+b a+b a.( AC + BD) = 2a không đổi Suy ra: ME + MF = a+b Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, với O trung điểm EF Ta có tập hợp điểm M Elip nhận E F làm hai tiêu điểm, có độ dài trục lớn 2a AC BD = Bài 17: Hình bình hành ABCD thay đổi A D cố định thoả: Tìm tập hợp điểm B AD BA C Trang 11 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích Giải : Trong mặt phẳng Oxy , chọn A ≡ O(0;0) ; D(a;0) với AD = a (không đổi) Theo giả thiết hình bình hành ABCD thay đổi nên lấy B ( x; y ) C ( x + a; y ) với điều kiện y ≠ AC BD = ⇔ AC.BA = AD.BD ⇔ ( x + a ) + y x + y = a ( x − a ) + y Khi đó: AD BA ⇔ ( x + y + 2ax + a ).( x + y ) = a ( x + y − 2ax + a ) ⇔ ( x + y ) + 2ax( x + y ) + 2a x − a = (*) 2 ((*) phương trình bậc hai với ẩn ( x + y ) ) / Tính ∆ = (ax ) − (2a x − a ) = (a − ax)  x + y = −ax + (a − ax ) (*) ⇔  2  x + y = −ax − (a − ax) ⇔ x + 2ax + y = a ⇔ ( x + a ) + y = 2a (voâlyù) Vậy tập hợp điểm B đường tròn (C ) có tâm I (− a;0) , bán kính RB = a , bỏ hai điểm ( −a ( ) ) ( ( ( ) + ;0 a ) ) − ;0 uuur uuur Do tứ giác ABCD hình bình hành, ta có BC = AD Vậy tập hợp điểm C đường tròn (C / ) ảnh uuur đường tròn (C ) qua phép tịnh tiến theo AD Đường tròn (C / ) có tâm A ≡ O(0;0) , bán kính RC = a , ( ) bỏ hai điểm −a 2;0 a 2;0 Bài 18: Cho đường tròn (C) tâm O tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) điểm A cố định (C) M điểm mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) hạ MH vuông góc với d 1.Tìm quỹ tích điểm M thỏa MT = MH Chứng minh đường tròn tâm M bán kính MT tiếp xúc với đường tròn cố định Giải : Trang 12 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích 1.Chọn hệ trục Oxy cho A gốc tọa độ, tia Ox ≡ AO tia Oy ≡ d Khi O(R; 0), giả sử M(x; y) Ta có MH = MT ⇒ MH = MT = MO − R ⇔ x = ( x − R ) + y − R ⇔ y = Rx Vậy quỹ tích M parabol 2.Theo đn parabol, ta có MF = MH1 = MH + R/2 Suy MF = MT + R/2 , điều chứng tỏ đường tròn tâm M bán kính MT tiếp xúc đường tròn cố định tâm F bán kính R/2 Bài 19: Cho hình vuông cố định Tìm tập hợp điểm M hình vuông thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh hình vuông xuất phát từ đỉnh bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo hình vuông không qua đỉnh Giải : Không giảm tính tổng quát, xét hình vuông có cạnh Đặt hình vuông ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gọi M(x;y) điểm hình vuông ABCD, hạ MN,MP, MQ vuông góc với BD, DA, AB N, P, Q Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét cạnh hình vuông phát xuất từ đỉnh A) AB: x – y + = 0, AD: x + y – = | x − y + 1| | x + y + 1| =| y |2 ⇔| x − (y − 1) |= 2y (1) ⇔ 2 M(x;y) hình vuông nên x – y + > 0, x + y – < Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < nên (1) ⇔ x2 – (y– 1)2 =- 2y2 ⇔ x2 + (y+1)2 = Vậy tập hợp điểm M cung BD, cung ¼ đường tròn C, bán kính R = Trang 13 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích Từ kết ta kết luận: Tập hợp điểm M cung ¼ đường tròn tâm đỉnh hình vuông có bán kính cạnh hình vuông Bài 20: Cho đường thẳng cố định a điểm A cố định a Gọi (C) đường tròn lưu động mặt phẳng (α) có bờ a (C) có bán kính không đổi R tiếp xúc với a, gọi M tiếp điểm Gọi I tâm đường tròn (C).Chứng minh mặt phẳng chứa đường tròn (C), có parabol (P) cố định cho trục đẳng phương (C) đường tròn đường kính AI luôn tiếp xúc (P) M thay đổi a Giải : Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, với Ox trùng với a, mặt phẳng α mặt phẳng y > 0, O trùng A Đặt M(m;0) có tâm I(m;R) Phương trình (C) là: (C): (x - m)2 + (y - R)2 = R2 hay C): x2 + y2 – 2mx – 2Ry + m2 = Phương trình đường tròn đường kính AI là: m2 + R (C’): (x – m/2)2 + (y – R/2)2 = hay (C’): x2 + y2 – mx – Ry = Phương trình trục đẳng phương hai đường tròn (C) (C’) là: m m2 (d): mx + Ry – m = ⇔ (d): y = f(x) = - x + R R x Xét hàm số y = g(x) = − 4R  m m2 − x + =− x  R f (x) = g(x) R 4R ⇔ (x − 2m) = ⇔ x = 2m ⇔ Hệ    f '(x) = g '(x)  x = 2m − m = − x  R 2R x tiếp xúc với trục đẳng phương (d) Vậy Parabol y = f(x) = − 4R Bài 21: Cho tam giác với cạnh a, b, c mà đỉnh có tọa độ nguyên Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMR: abc ≥ 2R Giải : Trang 14 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích abc 4R Gọi tam giác A1A2A3 hình vẽ SA1A2 A3 = S = Giả sử: A1 (x1, y1), A2 (x2, y2), A3 (x3,y3).Gọi A’1, A’2 , A’3 hình chiếu A1 , A2 , A3 lên Oy Ta có: S = SA A A A − SA A A A − SA A A A Do yêu cầu toán ⇔ chứng minh S ≥ ' ' 1 ' ' 3 ' ' A A ' + A A3' A A ' + A A 3' A A ' + A A '2 = A1' A '2 × 1 − A1' A3' × 1 − A '2 A 3' × 2 2 ⇒ 2S = (y1 – y2) (x1 + x2) - (y1 – y3) (x1 + x3) - (y3 – y2) (x2 + x3) (*) Vế trái (*) số nguyên (do đề cho xi , yi nguyên)⇒ 2S số nguyên ⇒ 2S ≥ ⇒ S ≥ ½ Bài 22 : Trên mặt phẳng xét hình vuông ABCD tam giác EFG cắt tạo thành thất giác lồi MBNPQRS.Chứng minh SM = NP = QR ⇔ MB = PQ BN = RS Giải : Chọn hệ trục Axy hình vẽ Gọi a cạnh hình vuông Ta có A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a),M(m; 0), N(a; n), P(p; a), Q(q; a), R(0; r), S(0; s) Nếu SM = NP = QR SM → → → → → → Ta có SM = k EF , NP = k FG , QR = k GE với k = EF → → → → → → → → Ta có EF + FG + EG = ⇒ SM + NP + QR = m + p − a − q = a − m = p − q MB = PQ ⇒ ⇒ ⇒  −s−n+r =0  n=r−s  BN = RS Trang 15 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com → → → → → Chuyên Đề Hình Giải Tích → Nêú MB = PQ BN = RS MB + PQ = , BN + RS = kết hợp → → → → → → → → SM + MB + BN + NP + PQ + QR + RS = → → → → ⇒ SM + NP + QR = → → → → ⇒ x EF + yFG + z GE = → → ⇒ ( x − z ) EF = ( z − y ) FG → → Vì ⇒ EF , FG không phương nên ⇒ x = y = z ⇒ SM = NP = QR IV.Các tập tự giải : Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn (D) đường thẳng thay đổi Gọi D, E, F hình chiếu 2 vuông góc A, B, C lên (D) Biết AD tan A + BE tan B + CF tan C = S ABC Xác định vị trí đường thẳng (D) để AD lớn Giải: Chọn hệ trục hình vẽ (b , c >0) ^ y A a (d) F E D C B -b O c >x a a , tan C = b c tan B + tan C a (b + c ) tan A = = tan B tan C − a − bc S ABC = a (b + c ) Giả sử phương trình (d) : x sin α + y cos α + d = AD = d ( A, d ) = a cos α + d Ta có tan B = BE = d ( B, d ) = − b sin α + d CF = d (C , d ) = c sin α + d 2 Theo giả thiết AD tan A + BE tan B + CF tan C = S ABC a (b + c ) a a ⇔ (a cos α + d ) 2 + (−b sin α + d ) + (c sin α + d ) = a (b + c) c a − bc b 2 a d ⇔ bc cos α + 2ad cos α + =0 bc bc ⇔ cos α + d = a Trang 16 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích  bc  Điều chứng tỏ (d) qua H  ;  trực tâm tam giác ABC  a Vậy AD max = AH, (d) qua H song song với BC Bài 2: Cho hình vuông ABCD có E trung điểm BC M điểm di động cạnh AB Gọi N, P giao điểm MD MC với AE Gọi H giao điểm NC DP, I giao điểm đường trung trực đoạn DH với đường thẳng vuông góc với AH H Chứng minh M di động cạnh AB I di động đường tròn cố định Giải: Chọn hệ trục hình vẽ, ta có M (m ; 0) ^y D C I H E P N A B M >x Ta có ( AE ) : x − y = , ( DM ) : x + my − m = , (CM ) : x + (m − 1) y − m = m  m   2m  2m ; ;  , P = AE ∩ MC ⇒ P  N = AE ∩ MD ⇒ N  m+ m+ 2  m + m +1 Từ ( DP) : x + 2my − 2m = , ( NC ) : x + (m − 2) y − m = 3m   4m ;  H = DP ∩ NC ⇒ H   3m + 3m +  Suy H ∈ (d ) : x − y = cố định .Theo giả thiết ta có ID = IH = d ( I , d ) , suy I thuộc parabol (P) có tiêu điểm D đường chuẩn (d) Bài 3: (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M (d) Gọi E, F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vuông góc với (d) cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vuông góc với (d) cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với PQ qua điểm cố định, M di động (d) Giải: Chọn hệ trục hình vẽ O ≡ D , Oy ≡ DA Khi Ox song song (d), A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c) Trang 17 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích ^y A C D B >x F E (d) M Phương trình đường thẳng AB : ( a − c) x + by − ab = AC : (a + c) x − by + ab = M ( xM ; d ) b + xM b − xM Khi (d ) : x = , (d ) : x = 2 Từ suy tọa độ P = d1 ∩ AB , Q = d ∩ AC Suy đường thẳng qua M vuông góc PQ có phương trình  bc  b2   b  x −  − (ax M − bc) y − d +  = a a     bc b2  Suy đường thẳng qua điểm cố định  ; d −  a   a Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác góc A cắt cạnh BC D E Chứng minh AD = AE AB + AC = 4R (trong R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Giải: Chọn hệ trục hình vẽ ^y A E O B D C >x Theo giả thiết tam giác ADE vuông cân A .Khi OA = OE = OD nên B (b;0) , A(0; a) , D(a;0) , E (−a;0) , C (c;0) DB AB DB AB Theo tính chất đường phân giác = ⇒ = DC AC DC AC 2 2 (b − a ) b +a a2 2 2 2 ⇔ = ⇔ (b − a ) (c + a ) = (c − a) (b + a ) ⇔ c = b (c − a ) c + a Trang 18 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích  a2 + b2  a4   ) = b2  b  Gọi I(x;y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có  AI = BI  b2 + a2  x = ⇔  2b BI = CI   a  b + a    b2 + a2 2 2  + (a − a)  =   Suy R = AI = 4  2b    b  Từ suy AB + AC = 4R Ta có AB + AC = ( a + b ) + (a + BÀI TẬP : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH THUẦN TÚY Bài : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2) Đường phân giác ∆ góc A có phương trình 2x + y -1 = 0, khoảng cách từ C đến ∆ lần khoảng cách từ B đến ∆ Tìm tọa độ A C, biết C nằm trục tung Bài : Cho điểm A(1; 0) hai đường tròn (C1 ) : x + y = , (C ) : x + y = Xét tam giác ABC có B ∈ (C1 ) C ∈ (C ) Tìm tọa độ B, C để diện tích tam giác ABC lớn Bài : Cho đường thẳng ∆ : x + y − 25 = , điểm M chạy ∆ Trên tia OM lấy N cho OM.OM = Chứng minh N chạy đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn Bài : Cho parabol y = − x ( P ) đường thẳng y = −mx − (d ) Chứng minh m thay đổi đường thằng (d ) cắt (P ) điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN Bài : Cho đường tròn (C ) : x + y = Đường tròn (C) cắt trục tung A(1; 0) B(-1; 0) Đường thẳng y = m (0 ≠ m < 1) cắt (C) J S Đường thẳng qua A, J cắt đường thẳng qua B, S P Tìm tập hợp điểm P m thay đổi Bài : Cho elip (E) có tiêu điểm F Ba tia xuất phát từ F cắt (E) M, N, P Chứng minh 1 + + không đổi M, N, P thay đổi FM FN FP Bài : Trên mp Oxy cho ba đường thẳng d1 : x − y − = , d : x + y − = , d1 : x + y − = Tìm độ đỉnh hình vuông ABCD biết A C thuộc d , B thuộc d1 , D thuộc d Bài : Trên mp Oxy cho ba đường thẳng d1 : x − y − = , d : x + y − 11 = Đường thẳng d qua giao điểm d1 , d cắt hai tia Ox, Oy A, B Viết phương trình đường thẳng d cho 1 + nhỏ OA OB Trang 19 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích BÀI TẬP : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO BÀI HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài : Cho tam giác ABC nhọn có trọng tâm G trực tâm H không trùng Chứng minh GH // BC ⇔ tan B + tan C = tan A Bài : Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn : MA − 2MB − MC = 6a AC BD = Bài : Trên đoạn AD cố định, dựng hình bình hành ABCD cho Tìm quỹ tích điểm B AD AB Bài : Cho hình vuông ABCD cạnh Gọi M trung điểm cạnh CD, N điểm di động cạnh BC cho BC = n (0 ≤ n ≤ 1) P điểm nằm cạnh AB cho DP song song với MN Chứng minh đường thẳng PN tiếp xúc với đường tròn cố định Bài : Cho tam giác ABC nhọn (D) đường thẳng thay đổi Gọi D, E, F hình chiếu 2 vuông góc A, B, C lên (D) Biết AD tan A + BE tan B + CF tan C = S ABC Xác định vị trí đường thẳng (D) để AD lớn Bài : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác góc A cắt cạnh BC D E Chứng minh AD = AE AB + AC = 4R (trong R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Bài : Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M (d) Gọi E, F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vuông góc với (d) cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vuông góc với (d) cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với PQ qua điểm cố định, M di động (d) Bài : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác góc A cắt cạnh BC D E Chứng minh AD = AE AB + AC = 4R (trong R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Hết Trang 20 [...]... vẽ, với O là trung điểm của EF Ta có tập hợp điểm M là một Elip nhận E và F làm hai tiêu điểm, có độ dài trục lớn là 2a AC BD = Bài 17: Hình bình hành ABCD thay đổi trong đó A và D cố định thoả: Tìm tập hợp điểm B AD BA và C Trang 11 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích Giải : Trong mặt phẳng Oxy , chọn A ≡ O(0;0) ; D(a;0) với AD = a (không đổi) Theo giả thi t hình bình... AB tại N, P, Q Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét 2 cạnh hình vuông phát xuất từ đỉnh A) AB: x – y + 1 = 0, AD: x + y – 1 = 0 | x − y + 1| | x + y + 1| =| y |2 ⇔| x 2 − (y − 1) 2 |= 2y 2 (1) ⇔ 2 2 M(x;y) ở trong hình vuông nên x – y + 1 > 0, và x + y – 1 < 0 Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < 0 nên (1) ⇔ x2 – (y– 1)2 =- 2y2 ⇔ x2 + (y+1)2 = 2 Vậy tập hợp các điểm M là cung BD, cung ¼ đường tròn... lớn nhất Bài 6 : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Bài 7 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M trên (d) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB và MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với... đường thẳng đi qua điểm cố định  ; d −  a   a Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Giải: Chọn hệ trục như hình vẽ ^y A E O B D C >x Theo giả thi t tam giác ADE vuông cân tại A .Khi đó OA = OE = OD nên B (b;0) , A(0; a) , D(a;0) , E (−a;0)... 2 + AC 2 = ( a 2 + b 2 ) + (a 2 + BÀI TẬP : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH THUẦN TÚY Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2) Đường phân giác trong ∆ của góc A có phương trình 2x + y -1 = 0, khoảng cách từ C đến ∆ bằng 2 lần khoảng cách từ B đến ∆ Tìm tọa độ của A và C, biết rằng C nằm trên trục tung Bài 2 : Cho điểm A(1; 0) và hai đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 = 2 , (C 2 ) : x 2 + y 2...  3m + 2 3m + 2  Suy ra H ∈ (d ) : 3 x − 4 y = 0 cố định .Theo giả thi t ta có ID = IH = d ( I , d ) , suy ra I thuộc parabol (P) có tiêu điểm là D và đường chuẩn (d) Bài 3: (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AD Xét điểm M trên (d) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB và MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d) cắt đường... đường tròn C, bán kính R = 2 Trang 13 Tài liệu bồi dưỡng HSG www.VIETMATHS.com Chuyên Đề Hình Giải Tích Từ kết quả trên ta kết luận: Tập hợp các điểm M là 4 cung ¼ đường tròn tâm là các đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh của hình vuông Bài 20: Cho đường thẳng cố định a và một điểm A cố định trên a Gọi (C) là đường tròn lưu động ở trong một nữa mặt phẳng (α) có bờ a (C) có bán kính không đổi... bán kính không đổi R và luôn tiếp xúc với a, gọi M là tiếp điểm Gọi I là tâm của đường tròn (C).Chứng minh rằng trong mặt phẳng chứa đường tròn (C), có một parabol (P) cố định sao cho trục đẳng phương của (C) và đường tròn đường kính AI luôn luôn tiếp xúc (P) khi M thay đổi trên a Giải : Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, với Ox trùng với a, nữa mặt phẳng α là nữa mặt phẳng y... M trong hình vuông đó và thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh của hình vuông cùng xuất phát từ một đỉnh bằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó Giải : Không giảm tính tổng quát, xét hình vuông có cạnh 2 Đặt hình vuông ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gọi M(x;y) là điểm ở trong. .. minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động trên (d) Bài 8 : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB 2 + AC 2 = 4R 2 (trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Hết Trang 20