Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn thạc sĩ toán học về Bất đẳng thức jensen có trọng và ứng dụng trong đánh giá mũ các hệ có trễ Kèm file nguồn Tex cho các bạn dễ dàng tham khảo cách gõ cũng như cách trình bày luận văn bắng Latex
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN BÁ HÙNG BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐÁNH GIÁ MŨ CÁC HỆ CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán Giải tích (Phương trình vi phân tích phân) Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện HÀ NỘI-2016 MỤC LỤC Mở đầu Một số kí hiệu Chương Một số kết bổ trợ 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii 1.3 Một số kiến thức bổ trợ 15 Chương Bất đẳng thức tích phân Jesen có trọng 17 2.1 Mở đầu 17 2.2 Bất đẳng thức tích phân Jensen 20 2.3 Bất đẳng thức tích phân có trọng 23 Kết luận chương 27 Chương Tính ổn định mũ số lớp hệ tuyến tính có trễ 28 3.1 Hệ có trễ phân phối rời rạc 29 3.2 Hệ có trễ biến thiên 31 3.3 Ví dụ minh họa 36 Kết luận chương 40 Kết luận chung 42 Tài liệu tham khảo 44 MỞ ĐẦU Nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ chủ đề nghiên cứu có tính thời vài thập kỉ qua Xuất phát từ thực tế rằng, nhiều lớp hệ mô hình ứng dụng, từ khoa học đời sống, kinh tế, môi trường đến mô hình sinh học mô hình kĩ thuật vật lí, hóa học, học, điều khiển tự động v.v thường xuất độ trễ thời gian [1, 2] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu hệ ảnh hưởng đến tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ kĩ thuật Vì toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mô hình điều khiển thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước vài thập kỉ gần [3–7] Trong kết nghiên cứu công bố gần tính ổn định hệ vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LKF) biến thể (chẳng hạn Định lí Lyapunov–Razumikhin) công cụ sử dụng rộng rãi việc thiết lập lớp điều kiện đảm bảo tính ổn định hệ [2] Mặc dù chưa có phương pháp thống việc xây dựng LKFs, dựa định lí ổn định dạng trừu tượng, nhiều lớp hệ có ứng dụng quan trọng (hệ điều khiển tuyến tính, hệ không chắn, hệ đa diện, hệ nơ-ron v.v) tác giả đề xuất hàm LKFs để thiết lập điều kiện tương ứng Thông qua việc xây dựng hàm LKFs phù hợp, điều kiện đủ cho tính ổn định hệ thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Các điều kiện ổn định chia thành hai loại: (i) điều kiện ổn định độc lập với độ trễ (ii) điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ Các điều kiện loại (ii) sử dụng thông tin tham số hệ lẫn độ lớn trễ đánh giá tính ổn định hệ Thực tế cho thấy hệ có trễ thường ổn định với độ trễ định, tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc độ trễ có nhiều ứng dụng quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ năm gần [5] Thông thường, tính bảo thủ tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc không vào việc xây dựng hàm LKFs mà phụ thuộc nhiều vào kĩ thuật đánh giá đạo hàm phiếm hàm [8] Hơn nữa, việc xây dựng hàm LKFs phức tạp không cải thiện nhiều độ trễ mà dẫn tới độ phức tạp tính toán lớn Nhằm mục đích giảm tính bảo thủ điều kiện ổn định, ba phương pháp thường tác giả sử dụng, bao gồm: (i) Xây dựng phiếm hàm LKFs mới; (ii) cải tiến kĩ thuật ước lượng đạo hàm LKFs; (iii) sử dụng thêm biến phụ, biến đổi mô hình hay phân hoạch đoạn trễ Nhờ bất đẳng thức tích phân Jensen [3], nhiều kết quan trọng tính ổn định hệ có trễ, đặc biệt hệ ô-tô-nôm công bố Tuy nhiên, thảo luận [8], bất đẳng thức Jensen thường tạo tính bảo thủ (ngặt) điều kiện ổn định tương ứng Cải tiến bất đẳng thức vấn đề quan trọng vấn đề có tính mở mà nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu tìm giải pháp hiệu Gần đây, [8], dựa bất đẳng thức giải tích Fourier, bất đẳng thức Wirtinger, tác giả tìm cải tiến thực bất đẳng thức tích phân Jensen, gọi tắt WBI (Wirtinger-based integral inequality) Nhiều kết nghiên cứu áp dụng WBI công bố gần thể tính vượt trội WBI Rất gần đây, đề xuất số dạng bất đẳng thức Jensen cải tiến mà bất đắng thức Jensen cổ điển WBI dạng đặc biệt Bằng kĩ thuật hiệu chỉnh đặc biệt, tác giả [5] thu cải tiến bất đẳng thức Jensen Kết [5] bao hàm kết [8] trường hợp riêng Mặt khác, ta biết tính ổn định tiệm cận hệ đảm bảo quỹ đạo nghiệm với điều kiện đầu khác (trong thực tiễn thường không biết) hội tụ điểm cân Do trạng thái hệ nằm lân cận điểm cân sau khoảng thời gian đủ lớn Tuy nhiên, tính ổn định tiệm cận không cho ước lượng thời điểm để trạng thái hệ lân cận cho trước điểm cân Vì vậy, toán nghiên cứu tính ổn định mũ với số mũ cho trước đóng vai trò quan trọng thiết kế điều khiển hệ thống Cách tiếp cận sử dụng rộng rãi phương pháp hàm LKF có trọng [7, 9, 10] Tuy nhiên, kết biết, việc ước lượng tách rời hàm trọng trạng thái (xem [10]) đưa đến điều kiện bảo thủ, đặc biệt số mũ Mới đây, [6], tác giả đề xuất cách tiếp cận đánh giá trực tiếp hàm trọng trạng thái bất đẳng thức gọi bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng (WII) số dạng cải tiến Nội dung Luận văn trình bày số kết nghiên cứu báo [6] người hướng dẫn cộng Trong báo đó, tác giả xem lại khả ứng dụng bất đẳng thức Jensen nghiên cứu tính ổn định mũ hệ có trễ Bằng kỹ thuật hiệu chỉnh đặc biệt, tác giả đề xuất số bất đẳng thức có trọng làm mịn Trong trường hợp tới hạn, số mũ dần tới không tác giả thu bất đẳng thức tích phân Jensen [3] WBI [8] Nội dung luận văn trình bày chương Chương trình bày số kết liên quan, nhắc lại Định lí Lyapunov–Krasovskii cho tính ổn định tiệm cận ổn định mũ số kiến thức liên quan giải tích ma trận dùng trình bày nội dung chương sau Chương trình bày dạng bất đẳng thức tích phân Jensen, bất đẳng thức Jensen có trọng dạng cải tiến Chương trình bày số kết tính ổn định mũ hai lớp hệ tuyến tính có trễ bao gồm hệ tuyến tính có trễ hỗn hợp dạng phân phối rời rạc hệ có trễ biến thiên đoạn dựa nội dung báo [6] Luận văn hoàn thành Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện Qua Luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Bộ môn Giải tích, thầy cô Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung, đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lê Văn Hiện, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ em trình nghiên cứu hoàn thành Luận văn MỘT SỐ KÍ HIỆU R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng x, y = xT y chuẩn vectơ x = n i=1 xi Rn×r Tập hợp ma trận kích thước n × r A⊤ Ma trận chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị λ(A) Tập tất giá trị riêng A λmax (A) = max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} A>0 Ma trận A xác định dương, tức x⊤ Ax > 0, ∀x ∈ Rn , x = A≥0 Ma trận A nửa xác định dương, tức x⊤ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>B Ma trận A − B xác định dương S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều C([a, b], Rn ) Tập hàm liên tục [a, b] với chuẩn x = supt∈[a,b] x(t) LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính A⊗B Tích Kronecker ma trận A B Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức phương trình hàm, phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LKF) nghiên cứu tính ổn định tiệm cận ổn định mũ hệ phương trình vi phân hàm số kiến thức liên quan bổ trợ cho việc trình bày kết chương sau 1.1 Hệ phương trình vi phân hàm Với số thực h > 0, kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0] với chuẩn φ = sup φ(s) −h≤s≤0 Xét toán Cauchy (IVP) cho phương trình vi phân hàm x(t) ˙ = f (t, xt ), x(t) = φ(t), t ≥ t0 , (1.1) t ∈ [t0 − h, t0 ], f : D = [t0 , ∞) × C → Rn φ ∈ C hàm ban đầu Định lí sau tồn nghiệm toán (1.1) Định lí 1.1.1 (xem [1]) Giả sử f : D → Rn hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo biến thứ hai D Khi đó, với φ ∈ C , tồn tφ = tφ,t0 ,f ∈ (t0 , ∞] cho (i) Bài toán (1.1) có nghiệm x(t, φ) khoảng [t0 , tφ ) (ii) Trên đoạn [t0 , t1 ] ⊂ [t0 , tφ ), nghiệm x(t, φ) (iii) [t0 , tφ ) khoảng tồn cực đại nghiệm x(t, φ) (iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f Trong Định lí 1.1.1, hàm f thỏa mãn thêm điều kiện tăng trưởng kiểu tuyến tính, tức (1.2) f (t, φ) ≤ A(t) φ + B(t), A(.), B(.) ∈ C[t0 , ∞) nghiệm x(t, φ) tồn toàn cục, tức tφ = ∞ (xem [1]) Tổng quát hơn, hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo f (t, φ) ≤ Φ(t, φ ), (1.3) ∀(t, φ) ∈ D, Φ : [t0 , ∞) × R+ → (0, ∞) hàm liên tục, không giảm theo t, thỏa mãn điều kiện ∞ ds = ∞, Φ(t, s) t ≥ t0 , nghiệm x(t, φ) tồn toàn cục 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Trong mục này, hàm f (t, φ) giả thiết thỏa mãn điều kiện cho với t0 ∈ [0, ∞), φ ∈ ([−h, 0], Rn ), toán (1.1) có nghiệm xác định [t0 , ∞) Hơn nữa, giả sử f (t, 0) = 0, ∀t ≥ Khi (1.1) có nghiệm x = Định nghĩa 1.2.1 ( [2]) Nghiệm x = (1.1) gọi là: (i) Ổn định với t0 ∈ R+ , ε > 0, tồn δ = δ(t0 , ε) > cho, với nghiệm x(t, φ) (1.1), φ < δ x(t, φ) < ε, ∀t ≥ t0 ; (ii) Ổn định số δ nói không phụ thuộc t0 , tức với ǫ > tồn δ(ǫ) > cho φ < δ(ǫ) kéo theo x(t, φ) < ǫ, ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.2 ( [2]) Nghiệm x = (1.1) gọi là: (i) Ổn định tiệm cận (AS) ổn định với t0 ≥ tồn δ(t0 ) > cho limt→∞ x(t, φ) = với φ thỏa mãn φ < δ(t0 ); nghiệm x = ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) số δ(t0 ) lớn tùy ý; (ii) Ổn định tiệm cận (UAS) ổn định tồn δa > cho với η > tồn T (δa , η) > cho φ < δa ⇒ x(t, φ) < η, ∀t ≥ t0 + T (δa , η); (iii) Ổn định tiệm cận toàn cục (GUAS) số δa nói lớn tùy ý; (iv) Ổn định mũ toàn cục (sau ta nói gọn ổn định mũ GES) tồn số dương α, β nghiệm x(t, φ) (1.1) thỏa mãn đánh giá x(t, φ) ≤ β φ e−α(t−t0) , ∀t ≥ t0 (1.4) Hơn nữa, số α > cho trước nghiệm (1.1) thỏa mãn (1.4) ta nói hệ (1.1) α-ổn định mũ Hệ (1.1) GAS, GUAS, GES nghiệm x = GAS, GUAS, GES Ví dụ 1.2.1 Phương trình (1.5) x(t) ˙ = −x(t)x4 (t − h(t)), t ≥ 0, ¯ hàm liên tục diễn tả độ trễ hệ, ổn định Thật ≤ h(t) ≤ h vậy, d (x (t)) = −2x2 (t)x4 (t − h(t)) ≤ 0, dt ∀t ≥ 0, nên nghiệm x(t, φ) (1.5) thỏa mãn |x(t, φ)| ≤ φ Với ǫ > 0, chọn δ = ǫ, φ < δ kéo theo |x(t, φ)| < ǫ, ∀t ≥ việc sử dụng bất đẳng thức tích phân dạng cải tiến trình bày Chương 2, kỹ thuật ước lượng tổ hợp lồi vận dụng để tìm mối liên hệ trễ biến thiên h(t) với khoảng giá trị Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau: x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − h(t)), t ≥ (3.7) x(t) = φ(t), t ∈ [−h2 , 0] A, Ad ∈ Rn×n ma trận hằng, h(t) hàm trễ biến thiên thỏa mãn ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2 , với h1 , h2 số cho trước liên quan đến cận cận hàm trễ Bổ đề sau sử dụng việc đánh giá trạng thái với trễ biến thiên mà ràng buộc độ biến thiên Bổ đề 3.2.1 Cho trước ma trận R1 ∈ Sn+ , R2 ∈ Sm + Giả sử tồn ma trận X ∈ Rn×m cho R1 X X⊤ R2 ≥ Khi bất đẳng thức ma trận sau với δ ∈ (0, 1): R δ 1 1−δ R2 ≥ R1 X X⊤ R2 (3.8) Chứng minh Với vectơ u ∈ Rn , v ∈ Rm , ta có [u⊤ R ⊤ δ v ] = u 1−δ R2 − [u⊤ 1−δ ⊤ u R1 u δ −v ⊤ X ⊤ u = 1−δ δ u − δ 1−δ v v −u⊤ Xv δ ⊤ 1−δ v R2 v ⊤ R1 XT Do (3.8) với δ ∈ (0, 1) 32 X R2 u R1 X v⊤] v X ⊤ R2 1−δ δ u − δ 1−δ v ≥ Để thuận tiện trình bày điều kiện ổn định số mũ cho hệ (3.7) ký hiệu ma trận khối ei = [0n×(i−1)n 0n×(7−i)n ], In i = 1, 2, , 7, A = Ae1 + Ad e3 ký hiệu vectơ, ma trận sau x(t) t x(s)ds t−h x(t − h1 ) h1 t−h , χ(t) = col , h(t)−h1 t−h(t) x(s)ds x(t − h(t)) t−h(t) x(s)ds h −h(t) t−h 2 x(t − h2 ) Υ(h) = Υ1 = Υ3 = e1 A h1 e5 (h − h1 )e6 + (h2 − h)e7 e1 − e2 h1 (e1 − e5 ) , e3 − e4 e3 + e4 − 2e7 , , Υ2 = Υ0 = e1 − e2 , e2 − e4 e2 − e3 e2 + e3 − 2e6 ∆= Υ2 Υ3 , , ⊤ Ω0 (h) = Υ(h)⊤ P Υ0 + Υ⊤ P Υ(h) + αΥ(h) P Υ(h), −αh1 ⊤ −αh2 ⊤ Ω1 = e⊤ e2 Q1 e2 + e−αh1 e⊤ e4 Q2 e4 , Q1 e1 − e Q2 e2 − e Ω2 = A⊤ (h21 R1 + h212 eαh1 R2 )A, Ω3 = αh1 ⊤ ˜ ⊤ ˜ αh1 (e1 − e2 )⊤ R1 (e1 − e2 ) + Υ (L L1 ⊗ R1 )Υ1 , γ˜0 ρ˜0 1 ˜ = [1 γ˜0 = eαh1 − 1, γ˜1 = γ˜0 − αh1 , L ρ˜0 = − α˜ γ0 γ˜1 ], γ˜0 γ˜ − (αh1 )2 eαh1 , h12 = h2 − h1 γ˜12 Định lí 3.2.1 ( [6]) Với số α > cho trước, giả sử tồn ma trận n 2n×2n cho bất P ∈ S3n + , Qi , Ri ∈ S+ , i = 1, 2, ma trận X ∈ R đẳng thức ma trận sau với h ∈ {h1 , h2 } Π= ˜2 R X X⊤ ˜2 R ≥ 0, 33 (3.9a) Ω(h) = Ω0 (h) + Ω1 + Ω2 − Ω3 − e−αh12 ∆⊤ Π∆ < 0, (3.9b) R˜ = diag{R2 , 3R2 } Khi hệ (3.7) hệ ổn định số mũ với tốc độ hội tụ α/2 Chứng minh Xét hàm LK sau t V (xt ) = χ⊤ (t)P χ0 (t) x⊤ (s)Q1 x(s)ds + t−h1 t−h1 eα(s−t) x⊤ (s)Q2 x(s)ds + t−h2 t (3.10) α(u−t) ⊤ e + h1 x˙ (u)R1 x(u)duds ˙ −h1 t+s −h1 t eα(u+h1 −t) x˙ ⊤ (u)R2 x(u)duds, ˙ + h12 t+s −h2 χ0 (t) = x⊤ (t) t x⊤ (s)ds t−h t−h1 t−h2 x⊤ (s)ds Từ (3.10) suy V (xt ) ≥ λmin (P ) x(t) Bây ta tính đạo hàm (3.10) dọc theo quỹ đạo nghiệm (3.7) Trước hết ta có χ0 (t) = Υ(h)χ(t) d dt χ0 (t) = Υ0 χ(t) Do đó, đạo hàm (3.10) cho V˙ (xt ) + αV (xt ) = χ⊤ (t)(Ω0 (h) + Ω1 + Ω2 )χ(t) t − h1 eα(s−t) x˙ ⊤ (s)R1 x(s)ds ˙ t−h1 t−h1 (3.11) eα(s+h1 −t) x˙ ⊤ (s)R2 x(s)ds ˙ − h12 t−h2 Theo Bổ đề 2.3.2, ta có t eα(s−t) x˙ ⊤ (s)R1 x(s)ds ˙ ≤ −χ⊤ (t)Ω3 χ(t) − h1 t−h1 Tiếp theo, sử dụng phân tích t−h1 eα(s+h1 −t) x˙ ⊤ (s)R2 x(s)ds ˙ t−h2 34 (3.12) t−h(t) t−h1 eα(s+h1 −t) x˙ ⊤ (s)R2 x(s)ds ˙ α(s+h1 −t) ⊤ e = x˙ (s)R2 x(s)ds ˙ + t−h2 t−h(t) số hạng tích phân thứ hai (3.11) đánh giá bất đẳng thức Nhận xét 2.3.4 Bổ đề 3.2.1 sau t−h1 eα(s+h1 −t) x˙ ⊤ (s)R2 x(s)ds ˙ −h12 t−h2 ≤− h12 e−αh12 ⊤ ˜ h12 e−αh12 ⊤ ˜ χ2 (t)R2 χ2 (t) − χ (t)R2 χ3 (t) h(t) − h1 h2 − h(t) = −eαh12 χ2 (t) χ3 (t) ≤ −eαh12 ⊤ χ2 (t) χ3 (t) h12 ˜2 R h(t)−h ⊤ ˜2 R X X⊤ ˜2 R h12 ˜ R h2 −h(t) χ2 (t) χ3 (t) χ2 (t) χ3 (t) , χ2 (t) = Υ2 χ(t) and χ3 (t) = Υ3 χ(t) Khi h(t) = h1 χ2 (t) = h(t) = h2 χ3 (t) = 0, Do đánh giá cuối h(t) dần đến h1 h2 Từ ta có t−h1 eα(s+ha −t) x˙ ⊤ (s)R2 x(s)ds ˙ ≤ −eαh12 χ⊤ (t)∆⊤ Π∆χ(t) − h12 (3.13) t−h2 Kết hợp (3.11)-(3.13) ta V˙ (xt ) + αV (xt ) ≤ χ⊤ (t)Ω(h)χ(t) Từ điều kiện (3.9) thấy [07n×2n d2 dh2 Ω(h) (3.14) = 2αΓ⊤ P Γ ≥ 0, Γ = (e6 − e7 )⊤ ]⊤ Theo Ω(h) hàm toàn phương lồi h Do Ω(h1 ) < Ω(h2 ) < Ω(h) < với h ∈ [h1 , h2 ] Từ (3.14) ta có V˙ (xt ) + αV (xt ) ≤ Lập luận tương tự chứng minh Định lí 3.1.1, hệ (3.7) ổn định mũ với tốc độ hội tụ σ = α/2 Định lí chứng minh Nhận xét 3.2.1 Trong trường hợp tới hạn, cho α dần tới 0, từ Định lí (3.2.1) ta thu điều kiện ổn định tiệm cận cho hệ (3.7) đưa [13] dựa cách tiếp cận bất đẳng thức Wirtinger 35 Hệ 3.2.1 Hệ (3.7) ổn định tiệm cận độ trễ h(t) ∈ [h1 , h2 ] n tồn ma trận P ∈ S3n + , Qi , Ri ∈ S+ , i = 1, 2, ma trận X ∈ R2n×2n thỏa mãn (3.9a) cho bất đẳng thức sau với h ∈ {h1 , h2 } (3.15) ˜ (h) + Φ1 − Φ2 − ∆⊤ Π∆ < 0, Ω ˜ (h) = Υ(h)⊤ P Υ0 + Υ⊤ P Υ(h) Ω ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ 2 Φ1 = e⊤ Q1 e1 − e2 Q1 e2 + e2 Q2 e2 − e4 Q2 e4 + A (h1 R1 + h12 R2 )A, Φ2 = Υ⊤ diag{R1 , 3R1 }Υ4 , 3.3 Υ4 = col{e1 − 2e2 , e1 + e2 − 2e5 } Ví dụ minh họa Mục trình bày số ví dụ [6] minh họa tính hiệu tính vượt trội cách tiếp cận bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng Ví dụ 3.3.1 Xét hệ tuyến tính có trễ phân phối sau [8, 14] x(t) ˙ = 0.2 0.2 0.1 x(t) + −1 t −1 −1 x(s)ds (3.16) t−h Bằng phương pháp quét phân tích giá trị phổ, [8] hệ (3.16) ổn định tiệm cận với trễ h ∈ [0.2, 2.04] Theo cách tiếp cận bất đẳng thức Wirtinger, Định lí [8] Định lí [14] đảm bảo tính ổn định tiệm cận hệ cách tương ứng với độ trễ h ∈ [0.2, 1.877] h ∈ [0.2, 1.9504] với số biến định tính toán (NoDv) 3n2 + 2n 12.5n2 + 4.5n Áp dụng Định lí 3.1.1 với số α cố định 0.0002, điều kiện (3.3) thỏa mãn với h ∈ [0.2, 1.9778] số biến định 6n2 + 3n Rõ ràng Định lí 3.1.1 cho kết vượt trội độ trễ lẫn giá tính toán 36 Ví dụ 3.3.2 Xét hệ (3.1) với liệu sau [5] A0 = −2 0.1 , A1 = 0 , A2 = 0 0 Đối với hệ điều kiện ổn định mũ đưa [9, 15, 16] đặc biệt [17] không cho nghiệm khả dụng với h > 0, α > Sử dụng cách tiếp cận lý thuyết [18] (với ký hiệu hệ dương [18]), ta có M = AM + |A1 | = Vì vậy, với vectơ v = 0.1 (v1 , v2 )⊤ ∈ R2 , v1 > 0, v2 > 0, Mv = v2 3v1 + v2 > Điều chứng tỏ tiêu chuẩn ổn định [18] [19] không áp dụng trường hợp (điều kiện [18, 19] tồn vectơ v > cho Mv < 0) Hơn nữa, Re(eig(A0 + A1 )) = 0.05 > nên hệ trễ tương ứng hệ không ổn định Cách tiếp cận bất đẳng thức Wirtinger [8] có cải tiến đáng kể Để so sánh với kết [8], ta áp dụng Định lí [8] cho hệ (3.6) Kết trình bày Bảng Rõ ràng cách tiếp cận bất đẳng thức tích phân có trọng [6] cho kết tốt Kết mô Hình 3.1 ứng với h = 1.6, σ = 0.045, bước chia s = 10−4 điều kiện đầu φ(t) = (2 − 1)⊤ Quỹ đạo z(t) = eσt x(t) bị chặn x(t) hội tụ mũ với tốc độ không nhỏ σ = 0.045 Bảng 3.1: Chỉ số mũ σ với giá trị khác h Ví dụ 3.3.2 h 0.3 0.5 0.8 1.0 1.5 1.6 NoDv [8] 0.0971 0.1905 0.2936 0.2766 0.0175 - 3n2 + 2n Định lí 3.1.1 0.0971 0.2095 0.4195 0.4978 0.1039 0.045 6n2 + 3n 37 0.045 t e x1(t) e0.045 tx (t) z(t) = e0.045 tx(t) −1 −2 −3 20 40 60 80 100 Time (sec) Hình 3.1: Quỹ đạo z(t) = e0.045t x(t) với h = 1.6 Ví dụ 3.3.3 Xét hệ điều khiển dao động xe có trễ đầu vào [20] x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t − h(t)), (3.17) y(t) = Cx(t), x(t) ∈ R4 vectơ trạng thái, u(t) điều khiển đầu vào, y(t) tín hiệu đo A= − ks ms ks mu −1 0 cs −m s cs ms − mktu cs mu t − csm+c u , B= , ms − m1u ⊤ 1 1 C= 1 Các tham số sau lấy từ báo [20] Bảng 3.2: Quarter-car model parameters ms mu ks kt cs ct 973kg 114kg 42720N/m 101115N/m 1095Ns/m 14.6Ns/m Một hàm điều khiển tĩnh theo tín hiệu thiết kế dạng u(t) = Ky(t), K hệ số đạt Hệ đóng có dạng (3.7) với Ad = BKC Để minh 38 họa ta cho K = Trong trường hợp tiêu chuẩn ổn định [18, 19] dựa cách tiếp cận hệ dương không áp dụng Trong [21], số đẳng thức tích phân sử dụng phương trình tự để giảm tính bảo thủ điều kiện ổn định Ta áp dụng định lí [21] vào trường hợp này, kết h1 = giá trị khác h2 trình bày Bảng 3.3 Trong [22], số ổn định mũ cách đánh giá số mũ Lyapunov cực đại Theo Định lí [22], số ổn định mũ σ ∈ (0, λ∗ ], λ∗ nghiệm dương phương trình λ + 0.0087eλh2 = 0.2707 Bây ta áp dụng Định lí 3.2.1 với h1 = giá trị khác h2 Kết đưa Bảng 3.3 Các kết thu rõ ràng tính hiệu cách tiếp cận bất đẳng thức Jensen có trọng Một kết mô Hình 3.2 với h(t) = + 5| sin(t)|, σ = 0.2546 bước chia s = 10−4 minh họa cho kết lý thuyết thu Bảng 3.3: Chỉ số ổn định mũ σ với h1 = giá trị khác h2 h2 NoDv [21] 0.1338 0.1316 0.1300 0.1290 0.1267 50.5n2 + 6.5n [22] 0.2562 0.2522 0.2473 0.2416 0.2351 - Định lí 3.2.1 0.2690 0.2672 0.2644 0.2603 0.2546 10.5n2 + 3.5n Ví dụ 3.3.4 Xét hệ (3.7) với ma trận sau A= −10 −1 , Ad = 0.1 0.1 0.2 Ví dụ xét [24] Kết thu áp dụng Hệ 3.2.1 kết [24] trình bày Bản 3.4 Các kết Bảng 3.4 lần minh họa cho tính hiệu phương pháp [6] 39 30 e0.2546tx1(t) e0.2546tx2(t) 20 e0.2546tx3(t) e0.2546tx(t) e0.2546tx4(t) 10 −10 −20 10 20 30 40 50 Time (sec) Hình 3.2: Quỹ đạo e0.2546t x(t) với h(t) = + 5| sin(t)| Bảng 3.4: Cận h2 với giá trị khác h1 = h1 0.3 0.7 NoDv [21] 0.55 0.77 1.17 1.47 2.47 50.5n2 + 6.5n [23] 1.35 1.64 2.02 2.31 3.31 9.5n2 + 5.5n [24] 1.64 2.13 2.70 2.96 3.63 21n2 + 6n Hệ 3.2.1 1.88 2.18 2.53 2.81 3.78 10.5n2 + 3.5n KẾT LUẬN CHƯƠNG Nội dung Chương ứng dụng bất đẳng thức Jensen có trọng số dạng tiến việc nghiên cứu tính ổn định mũ hệ tuyến tính có trễ theo cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính Cụ thể: • Phần thứ trình bày kết tính ổn định mũ lớp hệ tuyến tính có trễ hỗn hợp dạng phân phối rời rạc • Tính ổn định lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên tổng quát 40 trình bày phần Chương Hàm trễ giả thiết hàm liên tục, nhận giá trị đoạn mà không ràng buộc tốc độ biến thiên Điều cho phép áp dụng kết thu cho hệ có trễ biến thiên nhanh Bằng việc xây dựng phiếm hàm LK có trọng áp dụng bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng số dạng cải tiến, tác giả [6] đưa số điều kiện ổn định mũ với số mũ cho trước • Tính hiệu vượt trội cách tiếp cận [6] minh họa ví dụ số từ mô hình ứng dụng thực tiễn 41 KẾT LUẬN CHUNG Phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii phương pháp hiệu việc thiết lập điều kiện ổn định mũ cho hệ vi phân điều khiển tuyến tính có trễ Trong cách tiếp cận LKFs, bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng cải tiến công cụ quan trọng để tìm kiếm điều kiện ổn định phụ thuộc trễ bảo thủ Luận văn trình bày số dạng cải tiến bất đẳng thức Jensen có trọng công bố [6] ứng dụng vào xét tính ổn định mũ số lớp hệ có trễ Cụ thể: • Chương trình bày sở việc sử dụng bất đẳng thức Jensen có trọng, phương pháp hàm LK để tìm điều kiện ổn định mũ thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính số dạng cải tiến bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng • Chương ứng dụng kết từ Chương vào nghiên cứu tính ổn định mũ hai lớp hệ tuyến tính có trễ gồm: Hệ tuyến tính có trễ phân phối hệ có trễ biến thiên tổng quát Tính hiệu phương pháp [6] thể qua ví dụ so sánh với cách tiếp cận khác • Cách tiếp cận bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng hiệu việc mở rộng độ lớn khoảng trễ số ổn định mũ mà giảm đáng kể giá tính toán việc giảm số biến ma trận tự Cách tiếp cận có nhiều tiềm ứng dụng cho số toán quan trọng khác lý thuyết điều khiển hệ thống như: Phân tích tính ổn định vững, thiết kế điều khiển theo trạng thái 42 theo đầu ra, điều khiển H∞ hay thiết kế quan sát ổn định hóa hệ Những vấn đề cần tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển từ kết [6] 43 Tài liệu tham khảo [1] V Kolmanovskii and A Myshkis (1992) Applied Theory of Functional Differential Equations, Kluwer Academic Publishers, NY [2] E Fridman (2014) Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control Birkh¨auser: Basel [3] K Gu, V.L Kharitonov and J Chen (2003) Stability of Time-Delay Systems Birkh¨auser: Basel [4] L.V Hien and H Trinh (2015) An enhanced stability criterion for timedelay systems via a new bounding technique Journal of the Franklin Institute, vol 352, pp 4407–4422 [5] L.V Hien and H Trinh (2015) Refined Jensen-based inequality approach to stability analysis of time-delay systems IET Control Theory and Applications, vol 9, pp 2188–2194 [6] L.V Hien and H Trinh (2016) Exponential stability of time-delay systems via new weighted integral inequalities Applied Mathematics and Computation, vol 275, pp 335–344 [7] Lê Văn Hiện (2010) Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội [8] A Seuret and F Gouaisbaut (2013) Wirtinger-based integral inequality: Application to time-delay systems Automatica, vol 49, pp 2860–2866 44 [9] S Mondié and V Kharitonov (2005) Exponential estimates for retarded time-delay systems: An LMI approach IEEE Trans Autom Control, vol 50, pp 268–273 [10] V.N Phat, Y Khongtham and K Ratchagit (2012) LMI approach to exponential stability of linear systems with interval time-varying delays Linear Alg Appl., vol 436, pp 243–251 [11] A Graham (1981) Kronecker Products and Matrix Calculus: with Applications John Wiley & Sons, NY [12] Vũ Ngọc Phát (2001) Nhập môn Lý thuyết Điều khiển Toán học NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [13] A Seuret, F Gouaisbaut and E Fridman (2013) Stability of systems with fast-varying delay using improved Wirtinger’s inequality IEEE Conf Decision Control, Florence, Italy, pp 946–951 [14] M.J Park, O.M Kwon, J.H Park, S.M Lee and E.J Cha (2015) Stability of time-delay systems via Wirtinger-based double integral inequality Automatica, vol 55, pp 204–208 [15] S Xu, J Lam and M Zhong (2006) New exponential estimates for timedelay systems IEEE Trans Autom Control, vol 51, pp 1501–1505 [16] P.L Liu (2013) Exponential stability for linear time-delay systems with delay dependence J Franklin Inst., vol 340, pp 481–488 [17] J Cao (2013) Improved delay-dependent exponential stability criteria for time-delay system J Franklin Inst., vol 350, pp 790–801 [18] H.R Feyzmahdavian, T Charalambous and M Johansson (2014) Exponential stability of homogeneous positive systems of degree one with time-varying delays IEEE Trans Autom Control, vol 59, pp 1594–1599 45 [19] P.H.A Ngoc (2013) Stability of positive differential systems with delay IEEE Trans Autom Control, vol 58, pp 203–209 [20] H Li, X Jing and H.R Karimi (2014) Output-feedback-based H∞ control for vehicle suspension systems with control delay IEEE Trans Ind Electron., vol 61, pp 436–446 [21] L Guo, H Gu, J Xing and X He (2012) Asymptotic and exponential stability of uncertain system with interval delay Appl Math Comput., vol 218, 9997–10006 [22] A.A Zevin and M.A Pinsky (2010) Sharp bounds for Lyapunov exponents and stability conditions for uncertain systems with delays IEEE Trans Autom Control, vol 55, pp 1249–1253 [23] W.I Lee, S.Y Lee and P Park (2014) Improved criteria on robust stability and H∞ performance for linear systems with interval time-varying delays via new triple integral functionals Appl Math Comput., vol 243, pp 570–577 [24] P.G Park, W.I Lee and S.Y Lee (2015) Auxiliary function-based integral inequalities for quadratic functions and their applications to timedelay systems J Franklin Inst., vol 352, pp 1378–1396 46 [...]... bằng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Đặc biệt, chúng tôi trình bày cơ sở của việc sử dụng bất đẳng thức tích phân Jensen trong nghiên cứu tính ổn định và ổn định mũ các hệ tuyến tính có trễ • Dạng cơ bản bất đẳng thức tích phân Jensen và một số dạng cải tiến của nó dựa trên bất đẳng thức Wirtinger (WBI) và bất đẳng thức làm mịn của bất đẳng thức tích phân Jensen • Bất đẳng thức tích phân có trọng và. .. là các hằng số, ϕ ∈ P C([a, b], Rn ), R ∈ S+ n và α > 0 là một hằng số Đó là cơ sở cho việc sử dụng bất đẳng thức tích phân Jensen và bất đẳng thức tích phân có trọng trong việc tìm các điều kiện LMIs cho tính ổn định và ổn định mũ của lớp hệ có trễ dạng (2.1) và mở rộng của nó 2.2 Bất đẳng thức tích phân Jensen Một trong những kĩ thuật để đánh giá (2.8a) được nhiều tác giả sử dụng là dùng bất đẳng thức. .. thay thế dựa trên các bất đẳng thức tích phân có trọng số như đã trình bày trong các Bổ đề 2.3.2 và 2.3.3 3.2 Hệ có trễ biến thiên Mục này trình một kết quả về tính ổn định mũ của lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên tổng quát theo cách tiếp cận bằng bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng Hàm trễ h(t) được giả thiết là hàm liên tục, nhận giá trị trên đoạn cho trước [h1 , h2 ] và không có ràng buộc gì... chỉnh, các tác giả trong [6] đã đưa ra một số dạng cải tiến của (WII) từ bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng Kết quả đưa ra trong [6] suy ra các dạng quan trọng như bất đẳng thức tích phân Jensen hay WBI trong trường hợp tới hạn 27 Chương 3 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định mũ với số mũ cho trước của một số lớp hệ tuyến tính có trễ. .. không phụ thuộc vào việc chọn đa thức bậc một p(t) = c0 + c1 t Nói cách khác, bất đẳng thức (2.17) có thể suy ra từ bất đẳng thức (2.13) với bất kì hàm h(t) nào có dạng thức (c0 + c1 t)eα(b−t) , c1 = 0 Đặc biệt, khi c1 = 0 bất đẳng thức (2.17) được quy về bất đẳng thức (2.13) Bằng cách tiếp cận tương tự trong Bổ đề 2.3.3, từ (2.14) ta có kết quả sau Bổ đề 2.3.3 ( [6]) Cho trước số dương α và ma trận R... khi và chỉ khi Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN JENSEN CÓ TRỌNG Mục đích chính của chương này là trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây về một số dạng cải tiến của bất đẳng thức tích phân Jensen và bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng từ kết quả của bài báo [6] Đây là một công cụ quan trọng trong việc ước lượng đạo hàm các phiếm hàm LKFs để tìm các điều kiện ổn định dạng LMIs phụ thuộc độ trễ. .. α-ổn định mũ (chỉ số mũ α > 0 cho trước tùy theo mục đích ứng dụng) có ý nghĩa quan trọng trong các ứng dụng cho các mô hình điều khiển Để tìm các đánh giá mũ cho hệ (2.4), một số phương pháp đã được đề xuất như phương pháp dùng lý thuyết độ đo ma trận, phương pháp đổi biến dạng ξ(t) = eαt x(t) và tìm các điều kiện để nghiệm của hệ đối với ξ(t) là bị chặn (xem các phân tích trong [6]) Tuy nhiên, các phương... Hơn nữa, các hạn chế về tốc độ biến thiên của h(t), chẳng hạn ˙ giả thiết hạn chế trễ biến thiên chậm h(t) ≤ µ < 1 được loại bỏ Bằng cách áp dụng các bất đẳng thức Jensen có trọng, một số điều kiện ổn định phụ thuộc các cận h1 , h2 của hàm trễ được thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính Điều này cho phép sử dụng các phương pháp số sẵn có để xác định độ trễ cực đại hay chỉ số mũ tối... một phương pháp thông dụng trong việc xét tính ổn định, ổn định mũ của các hệ có trễ dựa trên phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii và cách tiếp cận bằng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities LMIs) Trong chương sau chúng tôi đi sâu phân tích các kĩ thuật áp dụng của phương pháp này và ứng dụng nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ có trễ 14 1.3 Một số kiến thức bổ trợ Mục này... kiện bớt bảo thủ hơn các tiêu chuẩn ổn định dùng bất đẳng thức Jensen 21 Trong một công bố gần đây [5], bằng một phương pháp hiệu chỉnh đặc biệt các tác giả trong [5] làm mịn bất đẳng thức Jensen cho trong Bổ đề 2.2.1 và đưa ra một đánh giá mới cho JRg (ϕ) Bổ đề 2.2.3 (Refined Jensen- based inequality [5]) Với ma trận cho trước n R ∈ S+ n , a < b và một hàm ϕ ∈ C([a, b], R ), bất đẳng thức sau đúng JRg