BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VÂN ANH SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thụ người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt q trình học tập để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Vân Anh LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý tốn với đề tài “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt không gian nửa vô hạn” hồn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Những đóng góp đề tài Phương pháp nghiên cứu Chương TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng 1.1.1 Nguyên lý đồng 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng 1.2 Thống kê Bose – Einstein 1.3 Tình hình nghiên cứu ngưng tụ Bose – Einstein 14 1.4 Thực nghiệm ngưng tụ Bose – Einstein 17 1.4.1 Ngưng tụ Bose – Einstein nguyên tố erbium 17 1.4.2 Loại ánh sáng tạo đột phá vật lý 18 1.4.3 Các nhà Vật lý khẳng định tồn trạng thái ngưng tụ polartion 20 1.4.4 Chất siêu dẫn 23 1.4.5 Lần quan sát thấy hiệu ứng Hall ngưng tụ Bose Einstein 24 Chương LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII 27 2.1 Gần trường trung bình 27 2.2 Phương trình Gross-Pitaevskii 30 Chương SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN 33 3.1 Gần Parabol kép (Double parabola approximation - DPA) 33 3.2 Trạng thái gần Parabol kép 35 3.3 Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt không gian nửa vô hạn 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học tự nhiên tập trung vào nghiên cứu vật chất chuyển động khơng gian thời gian hay phân tích tổng quát tự nhiên Đầu kỉ XVII, môn khoa học tự nhiên lên ngành nghiên cứu riêng độc lập với nhau, vật lý học giao với nhiều lĩnh vực nghiên cứu, phát vật lý thường giải thích chế môn khoa học khác đồng thời mở hướng nghiên cứu có trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein (BEC Bose - Einstein condensate) Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết thương đối tổng qt để miêu tả mơ hình cấu trúc toàn tinh thể vũ trụ, thành tựu khoa học ơng ý tưởng BEC năm 1924 nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy định luật Planck cho xạ vật đen lúc xem photon chất khí nhiều hạt đồng Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng với Einstein hai nhà khoa học tổng quát hóa lý thuyết Bose cho khí lý tưởng nguyên tử tiên đoán nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng cùa chúng trở thành lớn đến mức chồng lên Các nguyên tử nhận dạng nhân tạo nên trạnh thái lượng tử vĩ mơ hay nói cách khác siêu ngun tử tức BEC Mãi đến năm 1980 kĩ thuật laser đủ phát triển đủ để làm siêu lạnh nguyên tử tới nhiệt độ thấp BEC thực Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein tạo giới từ nguyên tử lạnh năm 1995 Điều có ý nghĩa lớn tạo nên dạng vật chất hạt bị giam chung trạnh thái có lượng thấp mờ nhiều triển vọng nghiên cứu vật lý Đây lĩnh vực khoa học hay, có hướng phát triển mạnh mẽ, đa dạng thời gian tốt, tạo nhiều dạng vật chất mang ý nghĩa quan trọng ngành vật lý Chính mà tơi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt khơng gian nửa vơ hạn.” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đóng góp ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vật lý thống kê học lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Xuất phát từ hệ hạt đồng nhất, thống kê Bose - Einstein boson hạt có spin ngun, phương trình Gross - Pitaevskii Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Phương trình Gross - Pitaevskii  Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt không gian nửa vô hạn Những đóng góp đề tài Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt khơng gian nửa vơ hạn có đóng góp quan trọng Vật lý thống kê học lượng tử nói riêng, Vật lý lý thuyết nói chung Phƣơng pháp nghiên cứu  Đọc sách tra cứu tài liệu  Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử phép tính giải tích tốn học  Sử dụng phần mềm Mathematica  Sử dụng phép gần parabol kép Chƣơng TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Hệ hạt đồng 1.1.1 Nguyên lý đồng Chúng ta nghiên cứu hệ gồm N hạt chuyển động phi tương đối tính Trong trường hợp tốn tử Hamilton viết dạng N P ˆ2 ˆ ˆ , H   i  Vˆ  r1, r2, , rn   W m i 1 i (1.1) Vˆ tốn tử tương tác với hạt với chất hàm tọa độ ˆ toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương tác tất hạt, W spin hạt trường ngồi… Hàm sóng hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger     Hˆ  1,2, , N , t   , i  t  (1.2) với toán tử Hamilton (1.1) hàm thời gian, tọa độ không gian spin hạt 1,2,3,…,N Nếu hạt có đặc trưng điện tích, khối lượng, spin,… khơng phân biệt với có hệ N hạt đồng Trong hệ ta phân biệt hạt theo trạng thái chúng, nghĩa nêu tọa độ xung lượng hạt 1.1.2 Các trạng thái đối xứng phản đối xứng Ta kí hiệu tốn tử hốn vị hạt i j với Pˆij kí hiệu trạng thái hệ N hạt đồng  1,2, , N , t     i, j  Nếu Pˆij  i, j     i, j  ; Pˆij  j, i     i, j  , Phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử Pˆij (1.3) Pˆij  i, j     i, j  (1.4) Phương trình (1.4) có   Pˆ ij2  i, j    2  i, j   Pˆij Pˆij  i, j   Pˆij  i, j     i, j  Từ suy trị riêng toán tử Pˆij   1 Nên hàm riêng toán tử hoán vị Pˆij chia làm hai lớp: a) Lớp hàm đổi dấu hoán vị cặp hạt (hàm phản đối xứng) Pˆij a   a tương ứng với trị riêng   1 b) Lớp hàm khơng đổi dấu hốn vị cặp hạt (hàm đối xứng) Pˆij s   s tương ứng với trị riêng   Tính đối xứng phản đối xứng hạt tích phân chuyển động Các thí nghiệm chứng tỏ rằng, tính chất đối xứng phản đối xứng hàm sóng liên quan đến tính chất nội hạt Các hạt có hàm sóng  s đối xứng gọi hạt Bose hay Boson, chúng tuân theo thống kê Bose – Einstein Các hạt có hàm sóng  a phản đối xứng gọi cac hạt femi hay fermion, chúng tuân theo thống kê Fermi – Dirac Các Boson hạt có spin nguyên, fermi hạt có spin bán nguyên 1.1.3 Nguyên lý Pauli hàm sóng hệ tương tác yếu Đối với Fermion có nguyên lý cấm Pauli đưa Nguyên lý phát biểu sau: “Nếu có đại lượng động lực  L1, L2 , L3 , St  đủ để đặc trưng cho trạng thái hạt hệ Fermion khơng thể có hai hạt có trạng thái đặc trưng số  L1, L2 , L3 , St  giống nhau” Nguyên lý rút từ tính phản đối xứng hàm sóng Fermion Ta giả sử hệ có hai hạt i j hai trạng thái giống Pˆij a  i, j    a  j, i    a  i, j  theo giả thiết  a  i, j    a  j , i   a  i, j    a i, j  Từ 2 a  i, j    a  i, j   nghĩa trạng thái hệ không tồn Ta xét hệ đồng mà hạt tương tác yếu với nhau, phép gần ta coi hạt không tương tác với Giả sử hàm nl  l  nghiệm phương trình  Hˆ  l    n  n  l   l l  Hˆ  l  toán tử Hamilton cho hạt thứ l  l  1,2, , N  , nl tập hợp số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái hạt l Khi hàm riêng tốn tử Hˆ hệ tương ứng với lượng En    nl tổ hợp tuyến l tính tích dạng n1 1  n2   nN  N  Đối với hệ Boson, hàm sóng phải có dạng tích đối xứng hóa s    N1 ! N ! N s !  P n1 1  n2   nN  N  N!  (1.5) đó, P tất hoán tích n1 1  n2   nN  N  khác đôi N1, N2 , Ns số hạt 34 1  a 4 =   2a  a   4a  6a  4a  a 1 =   2a  2a  a 2 VGP   1  a     Khai triển VGP giữ đến gần bậc hai ta VDPA  2a  1    1  , 2 (3.7) VDPA gần parabol kép Ta có đồ thị hai VGP VDPA sau Hình 3.1 Đồ thị VGP VDPA Đường màu xanh đồ thị VGP , đường màu đỏ đồ thị VDPA Ta thấy VGP có hai cực tiểu hình vẽ thay vào phương trình Gross-Pitaevskii ta khơng giải trực tiếp phương trình Do ta thay VDPA hai parabol ghép với gọi parabol kép Khi thay VDPA vào phương trình Gross-Pitaevskii ta giải phương trình 35 3.2 Trạng thái gần Parabol kép Trạng thái hệ BECs mô tả hệ phương trình GP [11] thơng qua (2.19) (2.20) Ta có d d dz d ,   dz dz dz 1 dz d2 d2    d2    , dz 12 dz    dz 2 d 21 d2 =>   1 n10 2m1 dz 2m1 12 dz  Thay 1   (3.8) vào (3.8) ta 2m11 d 21 2m11 d   1 n10 2m1 dz 2m1 dz   d2   1 1 n10 dz   g11n10   d2 n10 1 dz ta có 11  g11n10 n101 , g11 1 1  g11n10 1 2 n101  g11n10 n10 1 1 , g12  1  g12n20 n0 2 1 , 2 thay chúng vào (2.17) ta  d 21  1  13  K221  dz (3.9) 36 Tương tự ta có 2    d2 d 2   2 n20 ,   2m2 dz 2m2    dz 2 với     (3.10) 2m2 2 thay vào (3.10) ta  d 2 2 d2   m  2 n20 2 2m2 dz 2m2 dz     n20 d2 2 dz   g 22 n20 n20  d2 2 dz Ta có 2   g 22 n20 n20 2 , g 22    g 22n20 n20 2 2 , 2 g12 1   g12n10 n20 1 2 , 2 thay vào (2.18) ta d 22   2  23  K122  dz (3.11) Chú ý khảo sát hệ trạng thái cân pha, tức P1  P2 , với Pj  g jj n2j / Bây sử dụng DPA để tìm trạng thái hệ [9] Giả sử mặt phân cách hệ nằm vị trí z  , ta khai triển tham số trật tự  j quanh giá trị chuẩn hóa theo mật độ khối n j0 37 Xét miền z > 1   a,2  b , (3.12) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình  a ''  a   2b ''  2b  , thay vào (3.12) ta được: 1 ''  (1  1)  ,  22 ''  22  , với điều kiện biên 1    2    2     0, 1     , (3.13) ta thu nghiệm phương trình 1   1 exp( z ),    z     2  1 exp   (3.14) Xét miền z < , ta khai triển ngược lại 1  a,2   b (3.15) thay (3.15) vào (2.9) (2.11) ý giữ lại bậc a b ta hệ phương trình a ''  2a  0,  2b ''  2b  0, thay vào (3.15) ta 1 ''  21  ,  22 ''  (2  1)  38 với điều kiện biên 1    2    2     0, 1     ta thu nghiệm phương trình 1   sinh  z   , 2  2e với   2;   K  ,  z   z   z  e   1  e   1,     (3.16) vị trí biên Trong DPA, tác giả [9] chứng minh tham số trật tự đạo hàm bậc chúng phải liên tục mặt phân cách 1 (  )   j (  ) d j dz   di dz (3.17)  Từ (3.14), (3.16) (3.17) ta hệ số A1, A2, B1, B2 sau e  1  ,       2    cosh     2 sinh    e 1        1  e      e 2        ,         e       e      , 39 3.3 Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt không gian nửa vô hạn Thế hóa học  j hệ xác định qua số hạt N j sau N j   2j dr (3.18) Bây tính số hạt tương ứng với thành phần hai Cơng thức (3.18) lúc có dạng N  1  22dr , (3.19) hay:     N 20  1  22 dz  1   22 dz   22 dz  , 0  (3.20) N 20 số hạt thành phần hai đơn vị độ dài theo trục Oz Thay (3.14), (3.16) vào (3.20) ta N 20  1  M  N  Q   2         e   2      , (3.21) M  2  4   2      e  1  3      3    10  6 2 , (3.22)    N  4e          4  3    4e Q  4e 2     2  3  3  e 2 4  3          4  3   , (3.23)   2    2  3  10  6   (3.24)   Sử dụng (3.21) khảo sát phụ thuộc vị trí mặt phân 40 cách vào thông số hệ số hạt N 20 , số tương tác K tỉ lệ độ dài đặc trưng  14 12 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1K Hình 3.2 Sự phụ thuộc vào 1/K với N20  101   1(nét liền), 0.6 (nét gạch) 0.2 (nét chấm) Kết hoàn toàn phù hợp với quy luật vật lý Trong miền K > 1, số hạt thành phần hai giữ cố định nên ta giữ cố định  tức không thay đổi số tương tác hạt thành phần, thay đổi K tức thay đổi số tương tác hai thành phần với tương tác mạnh (1/K nhỏ) miền khơng gian thành phần hai chiếm lớn, tức tăng lên Khi K  , hai thành phần tương tác yếu chúng xuyên vào làm cho giảm nhanh Tại K = hai thành phần trộn lẫn vào lúc khơng cịn tồn mặt phân cách 41 25 20 15 10 0.0 0.2 Hình 3.3 Sự phụ thuộc 0.4 0.6 0.8 1.0 vào  K = N20  101 (nét liền), 151 (nét gạch), 201 (nét chấm) Trên hình 3.3 đồ thị biểu diễn phụ thuộc vị trí mặt phân cách vào  K = số giá trị cố định N 20 Rõ ràng phụ thuộc yếu Khi cố định K thay đổi  đồng nghĩa với việc ta thay đổi g jj nên rõ ràng mức độ ảnh hưởng lên vị trí mặt phân cách yếu 30 25 20 15 10 0 10 15 N20 Hình 3.4 Sự phụ thuộc 20 25 vào N 20 K =   (nét liền), 0.6 (nét gạch), 0.2 (nét chấm) 42 Hình 3.4 phụ thuộc vị trí mặt phân cách vào số hạt thành phần hai đại lượng K  cố định Theo kết phụ thuộc mạnh Khi số hạt thành phần thứ hai tăng lên tăng nhanh Tổng hợp kết ta thấy vị trí mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào số hạt thành phần hai Dựa vào kết thu được, hình 3.5, 3.6 3.7 chúng tơi vẽ đồ thị tham số trật tự theo tọa độ z ứng với số tham số 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 3.5 Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần vào số hạt trạng thái ứng với K = 3,  =1 43 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 25 z Hình 3.6 Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần vào số hạt trạng thái ứng với K = 3,  =3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 10 15 20 z Hình 3.7 Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần vào số hạt trạng thái ứng với K = 3,  = 0.5 44 KẾT LUẬN Luận văn “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngƣng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt không gian nửa vô hạn” làm kết sau - Tổng quan ngưng tụ Bose – Einstein: xây dựng thống kê Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất, từ đưa ngưng tụ Bose – Einstein khí bose lý tưởng - Hệ thống lý thuyết Gross – Pitaevskii - Tìm trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần gần parabol kép - Khảo sát phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần vào tham số hệ không gian nửa vô hạn 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Thái Hoa (1993), Bài giảng học lượng tử, NXB ĐHSP Hà Nội [2] Vũ Thanh Khiết (1988), Vật lý thống kê, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] www.wikipedia.org Tiếng Anh [4] A L Fetter and J D Walecka, Quantum Theory of Many – particles Systems (McGraw – Hill, Boston, 1971) [5] B V Schaeybroeck, Phys Rev A 78, 023624 (2008) [6] B Van Schaeybroeck and J O Indekeu, Phys Rev A 91, 013626 (2015) [7] C J Pethick, H Smith (2008), Bose – Einstein condensate in dilute gases, Cambridge University Press, New York [8] I E Mazets, Phys Rev A 65, 033618 (2002) [9] J O Indekeu, C Y Lin, N V Thu, B V Schaeybroeck, T H Phat (2015), Static interfacial properties of Bose – Einstein condensate mixtures, Phys Rev A 91, 033615 [10] L Pitaevskii, S Stringari (2003), Bose – Einstein condensation, Clarendon Press Oxford, New York [11] P Ao and S T Chiu, Phys Rev A 58, 4836 (1998) [12] R A Barankov, Phys Rev A 66, 013612 (2002) 46 47 48