Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên phan bội châu Năm học 2008-2009 h ớng dẫn chấm và biểu điểm môn toán Đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm này gồm có 03 trang) Bài 1 (2,0 điểm) Điểm Điều kiện: 1 x, y 9, x, y nguyên 0.25 Ta có: 2 2 = + xxyy xx yy (1) x.100.11+y.11= x 2 .11 2 +y 2 .11 2 100x+y=11(x 2 +y 2 ) 0.5 => 11 + Mx y => x+y=11( vì 1 x, y 9; x, y ) 0.5 => (x,y) chỉ có thể là các cặp (2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (6, 5); (7, 4); (8; 3) (9, 2) 0.5 Thay lân lợt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ ó x=8 và y=3 thỏa mãn. Vậy số cần tìm là 83. 0.25 Bài 2 (2,0 điểm). Điều kiện: x -1 0,25 Ta có: 3 2 10 1 3( 2) + = + x x 2 2 10 1 1 3( 2) + + = + x x x x 0,25 Đặt 2 1 1 = + = + u x v x x , (điều kiện u 0, v > 0) khi đó phng trình (2) trở thành 10u.v = 3(u 2 +v 2 ) 0,5 (3 )( 3 ) 0 = u v u v 3 3 = = u v u v 0,25 Trờng hợp 1: u = 3v ta có: 2 1 3 1 + = + x x x 9x 2 -10x+8 = 0 vô nghiệm 0,25 Trờng hợp 2: 3u = v ta có: 2 3 1 1 + = + x x x 9x + 9= x 2 x+1 0,25 x 2 10x 8 = 0 0,25 1 5 33 5 33 = = + x x (thỏa mãn điều kiện x -1) Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là: 5 33 = x và 5 33 = + x Bài 3 (1,0 điểm) Vì phơng trình f(x) = x vô nghiệm nên f(x) > x, x R hoặc f(x) < x, x R 0,5 . Nếu f(x)> x, x R thì a[f(x)] 2 + b.f(x) + c = f(f(x)) > f(x) > x, x R suy ra phơng trình a[f(x)] 2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm 0,25 . Nếu f(x)< x, x R thì a[f(x)] 2 + b.f(x) + c = f(f(x)) < f(x) < x, x R suy ra phơng trình a[f(x)] 2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm Vậy ta có điều phải chứng minh. 0,25 Bài 4 (1,0điểm) Ta có xy+yz+zx= xyz 1 1 1 1 + + = x y z Đặt 1 1 1 , , = = = a b c x y z ta đợc a, b, c >0 và a+b+c=1 (1) Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: 2 2 2 2 2 2 3( ) + + + + a b c a b c b c a (2) 0,25 Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1) Thật vậy, do điều kiện a+b+c=1 nên ta có: (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) ( ) + + + + + + + ữ ữ ữ + + a b c a b b c c a a b b c a c a b c 0,25 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + a b b c c a a b b c c a b c a 2 2 2 1 1 1 ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( ) 0 + + a b b c c a b c a 0,25 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + + + + + a c b a c b a b b c c a b c a Bất đẳng thức đúng vì: a, b, c > 0. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =1/3 hay x = y = z = 3. 0,25 Bài 5 (3,0 điểm) a, 1,75 (điểm) 2 A B C N M O F H E Theo tính chất tiếp tuyến ta có OM, ON lần lợt là phân giác của các góc EOH, FOH 0,25 Tứ giác AEOF nội tiếp nên BAC + EOF = 180 o 0,25 Từ đó MON= 180 2 = = o BAC ABC ACB Suy ra MOB = ONC. Vậy MOB ONC b, 1,25 (điểm) Từ MOB ONC => = MB OB OC NC BM.CN=OB.OC= 2 4 BC = const Vì S AMN = S ABC S BMNC nên S AMN lớn nhất khi và chỉ khi S BMNC nhỏ nhất(do S ABC không đổi) Ta có S BMNC = S BOM +S MON + S NOC = 1 ( ) 2 + + R BM MN CN = 1 ( )( ) 2 + + + = + R BM CN ME NF doMN ME NF = 1 ( ) 2 + + + R BM CN BM BE CN CF = R(BM+CN-BE) do BE=CF R (2 . ) BM CN BE = R(BC-BE) không đổi Dấu = xảy ra BM = CN MN //BC H là trung điểm của cung nhỏ EF. Vậy S AMN lớn nhất khi H là trung điểm của cung nhỏ EF 3 S S Câu 6 ( 1,0 điểm) Chia hìh vung đã cho thành 16 hình vung đơn vị(các cạnh song song với các cạnh hình vuông đã cho và có độ dài bằng 1) Do 33>16.2 nên theo nguyên lý Dirichlê, tồn tại ít nhất 3 điểm cùng nằm trong hoặc trên cạnh của một hình vuông đơn vị. Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh của hình vuông đơn vị MNPQ. Ta có MP = 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP AE, tức AE 2 . Từ đó hình tròn (A; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ. Tơng tự các hình tròn (B; 2 ), (C; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ. Suy ra ba hình tròn (A; 2 ), (B; 2 ), (C; 2 ) chữa hình vuông MNPQ và ba điểm A, B, C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên. Vậy câu trả lời bài toán là có, 4 . Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên phan bội châu Năm học 2008-2009 h ớng dẫn chấm và biểu. biểu điểm môn toán Đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm này gồm có 03 trang) Bài 1 (2,0 điểm) Điểm Điều kiện: 1 x, y 9, x, y nguyên 0.25 Ta có: 2