ĐẠI ĐẠI HỌC HỌC QUỐC QUỐC GIA GIA HÀ HÀ NỘI NỘI TRƯỜNG TRƯỜNG ĐẠI ĐẠI HỌC HỌC KHOA KHOA HỌC HỌC Tự Tự NHIÊN NHIÊN o0o - ĐINH ĐINH THỊ THỊ HẠNH HẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội Muc luc Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh 2.1 2.2 Nửa nhóm liên tục mạnh 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Các tính chất sơ cấp Mở Đầu Trong thời gian gần yêu cầu đòi hỏi từ mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính phương trình vi phân không gian Banach phát triển mạnh mẽ Các kết nhận tính ổn định phương trình vi phân không gian Banach ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng việc nghiên cứu mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, vật lý học Một vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệm phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu mối tương quan họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach Mục đích luận văn sử dụng phương pháp nhiễu nửa nhóm việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình tiến hoá trừu tượng, để từ đưa ứng dụng vào mô hình dân số Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất nửa nhóm liên tục mạnh số định lý quan trọng toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh ([1, 2, 5, 9, 10]) Chương hai trình bày toán nhiễu nửa nhóm, định nghĩa tính chất họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12]) Chương ba trình bày tương đương tiệm cận định lý liên quan; Từ đưa điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Chương Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một họ (T(t))t>0 toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C 0- nửa nhóm) thỏa mãn điều kiện sau: (a) T(t + s) = T(t)T(s) với t,s > (b) T(0) = I (c) lim T(t)x = x với x G X Ao+ |f(t + s) — f(s)| < e Vs G R t ^ (T(t)f )(s) = / (t + s), V / G Co , V s G R + seR Từ suy tra |/(tnhóm + s) — /(s)tục |< e, Vt =: 0/(s < ỗ Vậyđó(T(t)) >0 sup nửa liên mạnh □< t- t), (Tr(t)f )(s) V/seR G Co, Vs G R Theo định nghĩa giới hạn ta có: lim sup |/(t + s) — /(s)| = Khi (Tr(t))t>0 (T (t))t>0 nửa nhóm liên tục mạnh C0, gọi tương ứng nửa nhóm dịch chuyển phải trái C0 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải chứng minh tương tự Trước hết ta chứng minh (T(t))t>0 nửa nhóm Thật vậy: Vt, h > 0, V/ G C0, s G R, ta có: (T (t + h)f )(s) = / (t + h + s) = (T (t)f )(h + s) = (T (t)T (h))f (s), Các tính chất sơ cấp Bổ đề 1.1 ([8]) Giả sử X không gian Banach F hàm từ tập compact K c R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương ; F liên tục với tô pô toán tử mạnh, tức ánh xạ K t F(t)x G X liên tục Vx G X ; F bị chặn K ánh xạ K t F(t)x G X liên tục Vx G D c X, D trù mật X ; F liên tục tôpô hội tụ tập compact X, tức Định lý 1.1 Cho nửa nhóm (T(t))t> không gian Banach X Khi tính chất sau tương đương: (a) Nửa nhóm (T(t))t> liên tục mạnh (b) lim T(t)x = x, Vx £ X tC o + (c) Tồn ỗ > 0,M > tập trù mật D c X cho: (i) \\T (t)\\ < M, Vt £ [0,ỗ], (ii) lim T(t)x = x, Vx £ D t^ 0+ Chứng minh (a) ^ (c.ii) Vì (T(t))t> nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach nên ta có: lim T(t)x = T(0)x = x, Vx £ D (D trù mật X) \\T(t0 + h)x - T(t0)x\\ < \\T(t0 + h)\\.\\x - T(—h)x\\, từ dẫn đến tính liên tục trái, \\T(t)\\ bị chặn Vt £ [0,t0] Với t > lấy t = s + n, V n G N < s < Khi đó: n ||T(t)|| = ||T(s + n)|| = ||T(s).T(n)|| < ||T(s)||.||T(n)|| với w = ln M t > wt □ Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T(t)) t>0, số í^o định nghĩa sau: u = W0(T) = inf{w G R : tồn M w > thỏa mãn ||T(t)||< M w e w t , Vt > 0} goi cận tăng trưởng nửa nhóm Ta có: T(t) = 0, Vt > —M Vậy ^0 = —TO 1.1.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (a) Định nghĩa tính chất toán tử sinh Bổ đề 1.2 Cho nửa nhóm (T(t))t>0 liên tục mạnh phần tử x e X Đối với ánh xạ quỹ đạo Cc : t T(t)x, tính chất sau tương đương: (i) £x(.) khả vi R+ (ii) £x(.) khả vi bên phải t = Chứng minh Chúng ta cần (b) ^ (a) Thật vậy: suy £x(.) khả vi bên phải R+ Mặt khác, với —t < h < ta có: ^ (T(t + h)x - T(t)x) - T(t)4x(0) = T(t + h) (^(x - T(-h)x) - 4(0)) + T (t + h)4( 0) — T (t)4(0) (1.2) Khi h ^ 0- hạng tử vế phải hội tụ đến ||T(t + h)|| bị chặn Phần lại hội tụ đến tính liên tục mạnh (T(t))t>0 Do £x khả vi bên trái R+ Vậy £x(.) liên tục R+ 4(t) = T(t)4(0), vt > □ (1.3) Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) c X ^ X nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) t>0 Định lý 1.3 Đối với toán tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) t > , ta có tính chất sau: (1.19) A : D(A) c X ^ X toán tử tuyến tính (1.21) Vt > x G X, ta có: (1.7) AT (t)x, Vt > t Ị (iv) Vt > 0, ta có: T(s)xds G t T(t)x — x = A J T(s)xds x G X, t (1.8) = J T(s)Axds x G D(A) Chứng minh (a) Va, h G R x,y G X, ta có: A{ax + Ị3ỳ) = lim —[(T(h)(ax + Ị3ỳ) — {ax + hy)] = OíAx + h>Ay h^0+ h i(t) T (t + h)x — T (t)x = T (t)i( 0) = T (t)Ax Do đó: lim ị (T(h)T(t)x - T{t)x) = lim T ^ + h ) x - T ^) x h^0 h t t = T ự} Â X i h^0+ h t t T{h) I T{s)xds — I T{s)xds I = — T(s + h)xds — — T{s)xds t+h h 0 t — T{s)xds — — t+h Ị 0 h T{s)xds = — T{s)xds — — Ị sup |||T(t)| H < M3 teR nghịch tồn chuẩn (ỊỊỊ.ỊỊỊ) tương đương với chuẩn xuất phát cho ll|T (to)||| = |||T-1 (íc)||| = Định lý 3.1 Giả sử (T(t))t>0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh (A, D(A)) không gian Banach X Khi điều kiện sau tương đương: (T(t))t>0 song ổn định (T(t))t>0 thác triển thành nhóm giới nội X (T(t))t>0 thác triển thành nhóm đẳng cự (T (t))teR không gian Banach có chuẩn tương đương với chuẩn xuất phát Với A G R\{0} ta có A G p(A) tồn M > cho ||[AR(A,A)]n|| < M, Vn G N Chứng minh suy Vậy, ta có: Đặt = max{M1 , M2 }, đó: ĐiềuMnày có nghĩa (T(t))teR nhóm giới nội (X, |||.|||) Vì ỊỊỊ.ỊỊỊ tương đương với chuẩn xuất phát (ỊỊ.ỊỊ) nên (T(t))teR nhóm giới nội (X, ỊỊ.ỊỊ) 42 (n _ )Ư0 ^ c)đóĐặt sup ||T(t)xỊỊ ^n c) Theo Từ định suyỊỊxịịi ra: nghĩa | |:= [AR(A, (3.10) suy A)]nra | | suy (T(t)) < Mra4t,>b) V G song N,ổn A> định Như ta có d) ^ a) Định lý chứng minh Chú ý R(_ A, A) =te_ R R(A, _ A) với A G _ p(A) = p(_ A) nên nhận đánh giá tương tự cho trường hợp A < Chọn M = M4 ta có điều phải chứng minh ^ d) Từ giả thiết c) suy (T(t)) t>0 thác triển thành nhóm giới nội (X, ||.||), ^tứca)làTừ d) ta có: tồngiả tạithiết M4 >của cho với t G R, ta có: | | [AR(A, A)]n| | < M, n G N Ị Ị T (Í)H< M4 Tương Định1 lý Với A >tự0 ,như theotrong Địnhchứng lý 1.7 minh chương ta 1.9 có: chương xây dựng chuẩn X sau: R(X,A)x = í e - X s T (s)xds | | | x| | | := sup{ sup | | p.nR(p., A)nx| | } , V n G N Lý luận tương tự hệ 1.1 chương ta có: ự>0 n> (_ )n-1 dn-1 Lặp lại kỹ thuật chứng minh Định lý 1.9 chương 1, ta có: 1r “ Ị Ị Ị AR(A, A)| | | < , V A > = -—-—— s n ~ e~ X s T(s)xds Điều dẫn đến (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm co (T+(t)) t>0 Tương tự trường hợp A < ta (-A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm co (T -(t))t>0 Từ ta có nhóm co (T(t))teR thỏa mãn điều kiện: su P WT(t)W < teR 43 Bổ đề 3.1 Cho (T(t)) ‘> nửa nhóm liên tục mạnh không gian Hilbert X Giả sử B(.) : X ^ X thỏa mãn điều kiện B(.) C b([0,t\], L s(X)) P : X ^ X phép chiếu trực giao X, giao hoán với T(t) thỏa mãn điều kiện (T(t)P)t>0 nửa nhóm ổn định mũ (T(t)(I — P)) t> nửa nhóm song ổn định Khi tồn t0 R+ cho ánh xạ F : X ^ X xác định bởi: F : x ^ ỉ T(t — T)(I — P)B( T )U(T, t0 )xdr Jt° ánh xạ tuyến tính giới nội thỏa mãn điều kiện: Chứng minh Đặt S(t) = T(t)P V(t) = T(t)(I — P) Khi đó: T (t) = S (t) + V (t), (3.2) V (t — s) = T (t — t )V (t — s) Từ điều kiện b) bổ đề suy tồn số dương M cho với t R, ta có: ||T(t)(i — P )!!< M Do U(t,s)x = T(t — s)x + f‘T(t — z)B(Z)U(Z,s)xdZ, Vx X, J0^ ||B(T)11 < +TO nên áp dụng bổ đề Gronwall-Bellman ta suy tồn số dương M e cho Vt > t0 > ta có: ||U(t,t0 )|| < Me 44 || (t) — x (t )|1 y < M6M7|M| / e w( T)||B(r)||dr + M5M6|M| / ||B(r)||dr Chứng minh Giả sử (S(ị))t>0 , (V (ị)) t > nửa nhóm xây dựng chứng minh bổ đề ||S(ị)||< M7 e-wt, Ví > y(t) = T(t - t0)y0 + Ị T(t - T)B( T )U(r,t 0)y0dr Jto x(t) = T (t — Í 0)x (3.4) Ta có: y(t) — x(í) = Jt0 T(t — T)B(r)U(r,Í0 )y0 dr — ft suy dr < ft - f X V(t — T)B(r)U(r,Í0 )y0 dr, fX w( t -T )| Do đó: to t + M9 y với Ms = M6 M7 11y0 11, Mỹ = M5 M6 ||y0 || ị eX Ị'ĩ || t t Ms X ( " B ^ d T < 3M, 45 3Ms ’ ||B(r )||dr > || B(r)| | < + + 3=C- [ e-“(,-T)ịịB{T)dT + ft e-“V-^\\B{T)\\dT t ũ / Khi đó: \\y(t) — x(t)\\ < M + Mg \\B(T )\\dr Suy lim \\y(t) - x(t)\\ = Chú ý rằng, I + F : X ^ X khả nghịch Do tồn song ánh tập nghiệm Sự tương đương tiệm cận nửa nhóm liên tục mạnh họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt Giả sử (T(t))t > nửa nhóm liên tục mạnh sinh toán tử tuyến tính (A,D(A)) không gian Banach X Xét họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt (U(t, s))t > s > xác định bởi: U(t, s)x = T(t — s)x + J T(t — z)B(Z)U (z,s)dz, V x £ X, B(.) : [0,tij ^ L (X) đo mạnh [0, ti] thoả mãn điều kiện: ess sup \ \ B(t)\ \ < T O 0 nửa nhóm song ổn định Khi tồn t0 R+ cho ánh xạ F : X ^ X xác định bởi: F : x ^ í T(to — T)(I — P)B(r)U( T , to)xdr Jto ánh xạ tuyến tính giới nội thỏa mãn điều kiện: ||F||TO < a < Sự tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hoá = A i ( t ) x ự ) t > 0, MẰ = ỊA (t) + B(tMt), t> 0, (3.6) đó: B(.) : [0, TO) ^ L(X) liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện: (3.8) Ký hiệu (U1 (t, s))t>s>0 (U2 (t, s))t>s>0 họ toán tử tiến hóa tương ứng với phương trình (3.6) (3.7) Khi mối quan hệ chúng xác định phương trình sau: t > s > lim ||Ui(t,t0 )x — U2 (t,t0 )y|| = , 47 1 U (t s)| | < | | U (t s)| | l, + J | | U (t )| | | | B( )| | | | U ( s)d i ,r r r, r Địnhđiều Từ nghĩa kiện3.5 (3.10), Giả sử (U(t, cách s))tsử >s>dụng bổcác đề toán Gronwall-Bellman tử tiến hóa liêntatục cómạnh thể suy tồn không họ gian Banach số K dương Khi (U(t, cho: s))t>s>0 gọi song ổn định s) sup1{1| |UU(t2,(t, | | s)| ,| | U(s,t)| | < | }K,< v+rt > o s > t>s>0 (3.10) Với t0 G R+ ta xét: xi (t) = Ui(t,t0 )xi(t0 ) x (t) = U2 (t,t0 )xi (t0 ) Từ định nghĩa ta thấy (U(t, s)) t>s>0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh song ổn định (U(t, s))_TO0 ổn định mũ (Ui(t, s))t>s>0 song ổn định Chứng minh Theo giả thiết định lý (U i (t, s))t>s ổn định mũ, tồn số dương A, M cho: 48 ||x (t) - x (t) i H < / \\Ui(t,T)||.||B( T ) | | | | U ( T , t ) | | | | x l ( t ) | | d T ||B( T )||dT -A(,-T ) suy Jto MK ||xi(to)|| e-A(t-T >||B(T )||dT + MK ||xi (to )|| ' to r , tồn t1 đủ lớn cho với t > t > to, ta có: \ \ x 2( t ) - X i ( t ) \ \ < I I e + = Suy Ui(to, s)B(s)U 2(s,to)ds xi(to) = X2 (to) Chú ý điều kiện (3.10), từ tính song ổn định (U i (t,s)) t > s > tính bị chặn (U2(t, s))t>s>o ta với a e (0,1) tồn to > đủ lớn cho: s)B(s)U 2(s,to)ds I +: X ^ XUi(to, Từ suy ánh xạ tuyến tính Q xác định bởi: Q= Ui(t,to )X2 (to) + Xi (t) = Ui (t,to )xi (to ) Ui(t, s)B(s)U 2(s,to)x 2(to)ds 49 ||x 1(t) - x 2(t) 11 < ||U (t s)|| ||B(s)|| ||U (s t )|| ||x (t )||ds f ( a 0) , , ,0 ro Xi (t) — X (t) = J t Ui(t,s)B(s)Ư 2(s,to)x (to )ds Ta có: Khi < Mi M2 | |x2 (to) 11 l|B (s)||ds Một số ứng dụng mô hình quần thể sinh học Về tính chất nghiệm toán dân số phụ thuộc vào tuổi ' df df Q ị ( a ’ + (a> t ) + Ma)/(a> *) = với a,t > (APE w f (0 ,t) t a biến thực không âm tương ứng với đại lượng thời gian tuổi cá thể; f (.,t) mô tả cấu trúc tuổi quần thể thời điểm t f giá trị ban đầu cấu trúc tuổi thời điểm t = Ngoài ^ Ị3 hàm giới nội, đo được, nhận giá trị dương mô tả tỉ lệ sinh tỉ lệ chết Tiếp theo xác định toán tử hạn chế A m sau: Af := Am f với D(A) = {f G D(A m) : f (0 ) 50 Ị3 (a)f (a)da} (3.11) ù(t)ta xét = Au(t) t > trừu tượng Như thay toán (APE ) chúng toánvới Cauchy với ủ(t) := f (.,t) Ì Áp dụng định lý toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh ta (A,D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T(t )) t >0 X (gọi nửa nhóm dân số) Trong trường hợp này, nghiệm (APE) ủ(0) ' df df (APE( f (a , p ) ) < f (0 , t) 0) + y(a)f(a,t) = a(t)f (a,t) với a,t > (a)f (a,t)da với t > 0 = JT = f (a) với a > , ||a(t)||dt < +TO, đó: a : R+ ^ L(X ) đo mạnh R+ thỏa mãn điều kiện: với a đủ lớn Từ toán Cauchy (APE(p)) đưa xét phương trình tiến hóa (CE( )) íủ ( t ) = [A + a ( t ) ] ủ ( t ) , t > ủ(0) = f0 U(t,s)x = T(t — s)x + J T(t — T ) B ( T ) U (r,s)xdr, x £ X (3.12) Mệnh đề 3.1 Giả sử (T(t)) t > nửa nhóm sinh (A, D(A)), A xác định (3.11) (U(t,s)) t > s > họ toán tử tiến hóa xác định (3.12) Khi mệnh đề sau đúng: a) Nếu (T(t)) t > nửa nhóm liên tục giới nội (U(t,s)) t > s > giới nội 51 = f0 , Nếu (T(t))t>0 ổn định mũ (U (t,s))t>s>0 ổn định mũ Nếu (T(t)) t > song ổn định (T(t)) t > (U(t, s))t>s>0 tương đương tiệm cận Nhận xét 3.1 Mệnh đề cho tranh dáng điệu tiệm cận nghiệm cổ điển toán Cauchy (CE ) bị nhiễu Từ ta suy nhóm dân Tính chất nghiệm toán dân số có phụ thuộc vào tuổi phân bố dân cư Giả sử Q c Rn miền giới nội có biên trơn, ký hiệu p = p(r, t) mật độ dân số ' dp(r, t,x) dp(r, t, x) , , —- H -~k~ = -gopiỵ, t, x) + KApiỵ, t, x) + g(t)p(r, t, x) (3.13) p(t) e L™(R+,X) p(t)dt < TO, với X Ở p = p + p(t) hàm tỷ lệ chết thoả mãn: L1 (R+, Q), đó: h(r) hàm tỷ lệ sinh (fertility), không âm, giới nội, đo [0,rm]; p0(r, x) phân bố mật độ ban đầu, p 0(r, x) > 0; K số dương A ký hiệu toán tử Lapplace Rn ( Aậ(r,x) = J _ i^QỘịr^x) + KAộ(r,x), VỘ G D{A) dr (3.14) 52 Định lý 3.6 Toán tử A định nghĩa (3.14) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (S(t)) t > X Tương ứng với phương trình (3.13) ta xét phương trình tiến hóa sau: W(t,s)x = S(t — s)x + J S(t — r)g(r)W(r,s)xdr,t > s > (3.15) Dễ dàng thấy (W(t, s))t>s>0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt X Áp dụng định lý tương đương tiệm cận họ toán tử tiến hóa ta có kết sau Mệnh đề 3.2 Giả sử (S(t)) t > s > nửa nhóm sinh (A, D(A)), A xác định ( 14) (W(t,s)) t > s > họ toán tử tiến hóa xác định (3.15) Khi mệnh đề sau đúng: Nếu (S(t)) t > s > nửa nhóm liên tục giới nội (W(t, s))t>s>0 giới nội Nếu (S(t)) t > s > ổn định mũ (W(t, s)) t > s > ổn định mũ Nếu (S(t)) t > s > song ổn định (S(t)) t > s > (W(t, s))t>s>0 tương đương tiệm cận Nhận xét 3.2 Theo mệnh đề ta thấy số trường hợp mà nửa nhóm dân số dp(r, t, Ap(r, t, x) x) p(r, 0, x) = P 0(r, x) (3.16) Liên quan đến vấn đề cần trả lời câu hỏi nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện a),b),c) mệnh đề 3.2 toán mà cần phải giải Do thời gian có hạn, khuôn khổ luận văn thạc sĩ 53 Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết toán nhiễu nửa nhóm Nội dung luận văn bao gồm: Tìm hiểu trình bày lại nội dung lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh không gian Banach Trình bày chi tiết chứng minh định lý nhiễu nửa nhóm tính chất liên quan đến họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt 54 Tài liêu tham khảo Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm , NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội D.D Chau; K.T.Linh (2005), On the asymptotic equivalence of solutions of the linear evolution equations in Banach spaces, International Journal of Evolution Equations Vol.1, Number 2, April 2005 D.D Chau; N.M Cuong (2011), equivalence of abstract evolution equations, International Journal of Evolution Equations Vol.6 , Number 3, April 2011 C.Chicone; Y Latushkin (1999), Evolution semigoup in dynamical systems differential equations, Amer Math Soc 1999 N.V.Minh,F Rabiger,R Schnaubelt (1998), On the exponential stability, exponential expansiveness, exponential dichotomy of evolution equations on the hahl line , Int Eq and Oper Theorey N.V.Minh and N.T.Huy (2001) Characterizations of Dichotomies of Evolution Equations on the Hahl-Line, J.Math.Anal.Appl.261(2001),28-44 K.-J Engel and R Nagel (2000), One-parametter Semigroups for Linear Evolution Equations , Springer-Verlag 55 B.Z Guo and W.I Chan (1994), On the Semigroup for Age Dependent Population Dynamics with Spatial Diffusion , Journal of Mathematical analysis and applications 184, 190-199 A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations, Springer-Verlag, Beclin-New York 56 [...]... Định lý được chứng minh 21 Chương 2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh Việc kiểm tra các điều kiện đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co hoặc nửa nhóm liên tục mạnh là một công việc khó khăn và đối với nhiều toán tử quan trọng không thể thực hiện một cách trực tiếp Nhiễu là phương pháp cơ bản giúp ta tiếp cận việc giải quyết vấn đề này Trước khi xét bài toán nhiễu của nửa nhóm ta xét bài... Các nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X và (S(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi S (t) = V - 1 T(t)V, trong đó (T(t)) t > 0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t)) t > 0 là B = V - 1 AV với miền xác định D(B) = {y e Y : Vy e D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t ))t>0 Ta có ơ(A) = ơ(B ) và. .. giải thức của B là: R(\,B ) = V- 1 R(A,A)V với A e p(A) b) Các nửa nhóm điều chỉnh: Nửa nhóm điều chỉnh (e MtT(at)) t > 0 ,y e C,a > 0 có toán tử sinh là B = aA + yĩ với miền xác định D(B) = D(A) do ; (G'-TY'-G'' Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm Định lý 1.8 Định lý toán tử sinh (Hille -Yosida) 17 (A,D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh (A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi... sinh của nửa nhóm liên tục đều khi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A 6 L(X)) Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử A 6 L(X), xét nửa nhóm T(í) = e tA(í > 0) Ta có (T(í))t>0 là nửa {tAỴ- 1 itA) n +TO +TO + T O m -1 Do vậy: —A= 12 n=2 {tAỴ- 1 Từ đây suy ra 11^1—^11 < < |W|.£ T(t) — n-11| A | |n-1 ^í^iiTir t ||A||(et||A - 1) ^ 0, (t ^ 0+) I „ n=2 Do đó: lim II—— -T|| = 0 Yậy A là toán tử sinh của nửa nhóm. .. Hệ quả 2.1 Cho (T(t))t> o và (S(t))t> o là hai nửa nhóm liên tục mạnh, trong đó toán tử sinh của (S(t)) t > o nhận được từ toán tử sinh của (T(t)) t > o bởi một nhiễu bị chặn Khi đó ||T(t) — S(t)|| < Mt với mọi t £ [0; 1] và M là hằng số dương nào đó Chứng minh Ta có: ||T(t)x — S (t)x|| = Ị ||T(t — s)BS (s)x||ấs o 30 |||x|1 1 V (x) = y, = suP ||x(t)H Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Volterra... là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh nào X = Co(R+) = { f G C(R+) : lim f (s) = 0} Trên X xác định ánh xạ Ax = f' với miền xác định D(A) = C0(R+) = {f G C1 (R+) : lim f(s) = lim f (s) = 0} và chuẩn ||f || = sup If (s)| + sup |f'(s)| s>0 s>0 Gọi S là phép đẳng cấu Sf = qf với hàm q là hàm dương, liên tục sao cho q và q -1 bị chặn và 26 Định lý 2.2 Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục... u(s)ds e D(A) với mọi t > 0 và tươngnếu đương: A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh Với mọi x e D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(.,x) của (ACP) và p(A) = 0 ít Với mọi x e D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(.,x) của (ACP), D(A) trù mật trong X và với mọi dãy {xn}^= 1 u(t,xn) = 0 đều trên [0, to ] c D(A) : lim xn = 0, tồn tại nghiệm u(t,xn) sao cho: lim u(t) = A u(s)ds + x Chứng minh J0 Mệnh đề 2.2 Giả... trù mật trong X nên D(A) là lõi (core) của B Từ đó suy ra D(A) = D(B) theo chuẩn đồ thị ||.||B Mà A đóng nên A = B Định lý được chứng minh Định nghĩa 2.3 (Bài toán Cauchy đặt chỉnh ) 25 với x G D(A + B) = D(A) n D(B) Trong một số trường hợp D(A + B) có thể là {0} Ví dụ 2.1 (i) Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh không bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh Khi đó D(A) = X Nếu lấy B = -A thì D(A) = D(B) và A... hai vế của phương trình dK x(t) = dyự[ t ds + Tiếp theo chúng ta xét định lý chính của phần này Ý nghĩa của nó là mọi toán tử tích phân Volterra luôn là ánh xạ co theo chuẩn Bielecki khi hàm K(t,s,x) của nó thỏa mãn điều kiện Lipschitz Đồng thời nó cũng là một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Volterra tương ứng HK(t,s,x) - K(t,s,y)|| < L(s)||x - y|| (2.9) và hằng... T(s)xds G D(A) 0 (d) Theo chứng minh trong (iii) khi h — 0+, Vx G X ta có (1.8) đúng Nếu x G D(A) thì hàm 0 Chứng minh Giả sử (T(t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach X Theo Định lý 1.3 toán tử sinh (A,D(A)) là một toán tử tuyến tính Ta chứng minh A là toán tử đóng Thật vậy: lấy một dãy (x n)neN c D(A) sao cho lim x n = x và lim Ax n = y tồn tại Do (1.9) trong Định lý 1.3 ta có: