MỞ ĐẦU Vật liệu composite ngày sử dụng rộng rãi thiết kế chế tạo kết cấu hàng không, tên lửa, vũ trụ, tàu thuyền Composite ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực khác ngành chế tạo máy kinh tế quốc dân Composite ứng dụng phát triển chúng nhẹ bền Để thiết kế tối ưu vật liệu kết cấu composite, cần thiết phải hiểu rõ chất quy luật ứng xử học phức tạp loại vật liệu Trong thực tế thường gặp kết cấu đặt tiếp xúc bề mặt môi trường vật thể đàn hồi khác, ví dụ dầm móng đặt đất, cầu phao phà đặt mặt nước Bài toán xác định nội lực chuyển vị kết cấu đàn hồi dạng toán siêu tĩnh, phản lực hệ lực phân bố liên tục bề mặt tiếp xúc, phụ thuộc vào biến dạng kết cấu quan niệm mô hình Trong luận văn ta sử dụng mô hình đơn giản, thường dùng kỹ thuật mô hình Vinkler Theo đó, cường độ phản lực điểm tỷ lệ thuận với độ lún điểm Nếu kí hiệu p áp suất phản lực, y độ lún, K hệ số p = Ky Thứ nguyên hệ số [Lực/(chiều dài)3] Dao động tượng phổ biến tự nhiên kỹ thuật Các máy, phương tiện giao thông vận tải, tòa nhà cao tầng, cầu, mạch điện hệ dao động kỹ thuật Nghiên cứu dao động ngày trở thành phận thiếu cho tất kết cấu, công trình Trong [1], [6] nghiên cứu toán dao động vỏ trụ vỏ thoải composite có gân gia cường Dao động phi tuyến composite lớp có gân gia cường tính toán [2] Trong [5] nghiên cứu toán phi tuyến, đưa hệ thức tính toán tĩnh động cho vỏ thoải composite hai độ cong Trong [7] tính toán dao động vỏ thoải composite Mục đích luận văn tìm nghiệm giải tích gần toán tĩnh động lực composite lớp đàn hồi theo mô hình Vinkler Từ hệ phương trình cân sử dụng hàm ứng suất phương pháp BubnovGalerkin để nhận phương trình dao động phi tuyến Lời giải số tìm theo phương pháp bước lặp sơ đồ tính toán Newmark, xem xét quan hệ tần số - biên độ dao động phi tuyến, ảnh hưởng hệ số tần số dao động ngoại lực đến lời giải toán động lực Báo cáo sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán độ võng composite lớp đàn hồi Đã so sánh kết thu theo hai phương pháp giải tích phần tử hữu hạn Luận văn gồm chương: Chương Các hệ thức sở composite lớp đàn hồi Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho composite lớp đàn hồi Chương Tính toán số cho composite lớp đàn hồi Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Vũ Đỗ Long người tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô môn Cơ học thầy cô khoa Toán – Cơ – Tin học trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Các kết luận văn trình bày thảo luận Hội nghị khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10” Tác giả nhận góp ý bổ ích từ thành viên Hội nghị Tuy nhiên bước đầu tiếp cận nghiên cứu khoa học lĩnh vực vật liệu composite, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong tiếp tục nhận đánh giá góp ý thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Học viên Nguyễn Thị Huệ CHƯƠNG CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ CỦA TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 1.1 Phương trình tổng quát composite lớp đàn hồi 1.1.1 Mối liên hệ chuyển dịch – biến dạng composite lớp Xét composite lớp có , x3x≡12 z trục tọa độ nằm mặt phẳng theo cạnh, hướng theo phương pháp tuyến với mặt (Hình 1) x1 x1 x3 x2 Hình Theo lý thuyết Kirchhoff – Love mối liên hệ phi tuyến dịch chuyển – biến dạng tấm: ε11 = ε10 + zφ1 ε 22 = ε 20 + zφ2 0 ∂w  ∂ u = ε + zφ6 ε1 = γ 12 +  ÷ ∂x1  ∂x1  ∂v  ∂w  ε2 = +  ÷ ∂x2  ∂x2  ∂u ∂v ∂w ∂w ε 60 = + + ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂ 2w φ1 = − ∂x1 ∂2w φ2 = − ∂x2 ∂2w φ6 = − ∂x1∂x2 Trong đó: (1.1) Còn chuyển vị phương εφ1u01,,,φεv22,0,w ,φε660 ngang, phương dọc độ võng điểm thuộc mặt phẳng tấm; biến dạng mặt giữa; biến thiên độ cong Chúng thỏa mãn phương trình tương thích biến dạng: ∂ 2ε10 ∂ 2ε 20 ∂ 2ε 60  ∂ w  ∂ w ∂ w + − = ÷ − ∂x1∂x2  ∂x1∂x2  ∂x22 ∂x1 ∂x1 ∂x22 (1.2) 1.1.2 Quan hệ ứng suất biến dạng composite lớp Sử dụng giả thiết σ 13 = σ 23 = σ 33 = Kirchhoff bỏ qua thành phần ứng suất vuông góc với mặt giữa: Liên hệ ứng suất biến dạng lớp composite thứ k [5]: σ 11    σ 22  σ   12  (k )  Q11 Q12 Q16    =  Q12 Q22 Q26    Q 16 Q26 Q66  (k )  ε1    ε  ε   6 (k ) (1.3) Trong ký hiệu thành phần biến dạng mặt phẳng lớp thứ k: εε22 611≡≡εε12 12 , , Trường hợp phương sợi lệch Q Qθx1ijijkk góc với trục tấm, thay ma trận ma trận Trong tính qua theo công thức [4]: Q11 = Q11 cos θ + ( Q12 + 2Q66 ) sin θ cos θ + Q22 sin θ ( Q12 = ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin θ cos θ + Q12 sin θ + cos θ ) Q16 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cos3 θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cosθ Q22 = Q11 sin θ + ( Q12 + 2Q66 ) sin θ cos θ + Q22 cos θ Q26 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cosθ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cos3 θ ( Q66 = ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin θ cos θ + Q66 sin θ + cos θ ) (1.4) Biểu thức số độ cứng qua mô đun đàn hồi hệ trục sau: QQ6616 =G 012 26=E 2E 12 QQ = = ν 12 1211 22 E E ν G E đó: ,là môđun đàn 22 2 12 12 (1.5) 1− − ν 12 ν12 E1E1 hồi theo phương trục lớp vật liệu composite; hệ số Poisson vật liệu, môđun trượt hệ trục lớp vật liệu Lực pháp, lực tiếp, mômen uốn, mômen xoắn xác định theo công thức: , , Ở đây: N12 = Thay (1.3) vào (1.6) ta được: hh 22 h h M N161 == 22 σσ11 dz 11 12zdz N 21MN=262N==6−−, hh22M = M 21 σσ22 dz 12 22zdz −−hh 22 ∫ ∫ = M6 (1.6) h N1 = ∑ k =1 − =∑ k =1 − h = ∫h h (Q 11 2 ∫h ( k) ( k) ( k) ) ε1 + Q12 ε + Q16 ε dz ( ) ( ) ( Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ( ) ( ) ( Q ( 1) ε + zφ + Q ( 1) ε + zφ + Q ( 1) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ∫ h h ( 0 + − ∫h ( −h + − ) ( ) ) dz + ( Q ( 2) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ∫ + ∫h ) ( ) ) dz ) dz + ( ) Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ dz + 1 12 2 16 6   11  ( ) ( ) ( Q ( 4) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ) dz = A11ε10 + A12ε 20 + A16ε 60 + B11φ1 + B12φ2 + B16φ6 N2 = ∑ h ∫ (Q k =1 − h = A12ε10 + 12 ( k) ( k) ( k) ) ε1 + Q22 ε + Qh26 ε dz ( ( k) N = ∑ ∫ Q16 ε1 + Q26 A22ε 20 + A26ε 60 + B12 k =φ 11− h+ B22φ2 + B26φ6 ( k) ( k) ) ε + Q66 ε dz = A16ε10 + A26ε 20 + A66ε 60 + B16φ1 + B26φ2 + B66φ6 M1 = ∑ h ∫ k =1 − h =∑ h 2 ∫ k =1 − h ( ( k) ( k) ( k) ) Q11 ε1 + Q12 ε + Q16 ε zdz ( ) ( ) ( ) Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ zdz 1 12 2 16 6   11  h ( h ) ( ) ( ) Q ( 1) ε + zφ + Q ( 1) ε + zφ + Q ( 1) ε + zφ zdz + 1 12 2 16 6   11  ∫ h = ( ) ( ) ( ) zdz + ( ) ( ) zdz + ( 2) ( 2) ( 2) + ∫ Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6  0 + − ∫h ( ) Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ + Q ( 3) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 −h + − ∫h h M2 = ∑ 2 ∫ k =1 − h = B411ε10 + B12ε 20 + B16ε4 60 + D11φ1 + D12φ1 +4 D16φ6 Q ( ) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ + Q ( ) ε + zφ 1 12 2 16 6  11 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) zdz ( ) Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ zdz 1 22 2 26 6   12  = B12ε10 + B22ε 20 + B26ε 60 + D12φ1 + D22φ1 + D26φ6 M6 = ∑ h k =1 − ∫h ( ) ( ) ( Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ + Q ( k ) ε + zφ 1 26 2 66 6  16 = B16ε10 + B26ε 20 + B66ε 60 + D16φ1 + D26φ1 + D66φ6 Với: (i, j = 1, 2, N zk +1 ( k) Aij , Bij , Dij ) = ∑ ∫ Qij ( 1, z , z ) dz ( 6) k =1 zk ) zdz (1.7) Mối quan hệ lực pháp, lực tiếp, momen uốn, momen xoắn biến dạng, biến thiên độ cong viết dạng ma trận sau:  N1   A11 N  A    12  N   A16  =  M1   B11  M   B12     M   B16 A12 A22 A26 B12 B22 A16 B11 B12 A26 B12 B22 A66 B16 B26 B16 D11 D12 B26 D12 D22 B26 B66 D16 D26 B16  ε1  ÷  B26 ÷ε 20  (1.8) B66 ÷ε  với: N  Aij  ,  Bij  ,  Dij        ÷  D16 ÷ φ  = D26 ÷φ  số lớp tấm; ÷  D66 ÷  φ6  ma trận độ cứng dãn nén, độ cứng tương tác dãn – uốn – xoắn độ cứng uốn composite lớp A16 , AB26ij,D=160, D26   xứng qua mặt ta có xem Giả thiết xếp lớp đối đại lượng nhỏ bỏ qua Khai triển (1.8) ta biểu thức lực màng composite lớp: N1 = A11ε10 + A12ε 20 N = A12ε10 + A22ε 20 N = A66ε 60 (1.9) Giải ngược lại suy ra: , , Trong đó: , , E12* GA*11=A22 A66− A12 = A11 22 εε1020 == 11  ε = AA12121 N N N − − N N 6  12 G* 21 ÷ AA2211 EE1*2*   Và mômen composite lớp tính theo công thức:  ∂ 2w ∂ 2w  M1 = D11φ1 + D12φ2 = − D1  + µ2 ÷ ∂x2  (1.10)  ∂x1 ∂ w ∂ w  Trong đó: M = D12φ1 + D22φ2 = − D2  + µ1 ÷ ∂x1   ∂x2 ∂ w M = D66φ6 = −2 Dk ∂x1∂x2 DDk21 == D D66 22 11 , , µ Dµ122 µ121 === 12 D1 D D D22 11 , , D3 = Dk + D1µ = Dk + D2 µ1 1.1.3 Phương trình chuyển động composite lớp đàn hồi Phương trình chuyển động composite lớp đàn hồi với hệ số K theo mô hình Vinkler viết sau [5]: ∂N1 ∂N ∂ 2u ∂3w + = J O − J1 (1.11) ∂ x ∂ x ∂t ∂x1∂t 12 2 ∂ M ∂N∂ M∂6N ∂ M 2∂ 2v ∂  ∂∂3w ∂w  ∂  ∂w ∂w  + + +2 =N Jz2kJ+1i + − J N1 w + N + N6 + N2 Trong ÷  ÷ ∂x1∂xJ∂2x= ∂x2O ∂ρt(2k∂) xz1i dz ∂∂x1t ∂x2  ∂x2  ∂x1 ∂x2  ∂x1  ∂ x ∂ x xác định theo i ∑ ∫ 2 3    ∂4w k = ∂ w ∂ u ∂ v ∂4w  z công thức: k = J O + J1  + − J  2 + 2 ÷− q (t ) + Kw 2÷ k2)) ( q ( t mật độ khối ∂t ∂ x ∂ t ∂ x ∂ t ∂x2 ∂t   1ρ   ∂x1 ∂t lượng lớp thứ k, lực phân bố 1.2 Nghiệm toán Giả thiết lực ngang phân bố q(t ) mật độ khối lượng lớp thứ k số Khi ta có: N zk +1 Theo Volmir [8] J1 = ∑ ∫ k =1 ρ ( k ) zdz = zk số hạng quán tính hai phương trình đầu (1.11) bỏ qua Do phương trình chuyển động có dạng: ∂N1 ∂N + =0 ∂x1 ∂x2 (1.12) (1.13) ∂N ∂N + =0 ∂x1 ∂x2 ∂ M1 ∂ 2M ∂2M ∂  ∂w ∂w  + + + N + N  ÷+ ∂x1∂x2 ∂x1  ∂x1 ∂x2  ∂x12 ∂x22  ∂ 4w ∂  ∂w ∂w  ∂ 2w ∂ 4w  + + N2  N6 ÷ = J O − J  2 + 2 ÷− q (t ) + Kw ∂x2  ∂x1 ∂x2  ∂t ∂x2 ∂t   ∂x1 ∂t (1.14) Phương trình (1.12), (1.13) thỏa mãn đưa vào hàm ứng suất φ dạng: ∂ 2ϕ N1 = hσ 11 = ∂x2 (1.15) ∂ϕ N = hσ 22 = ∂x1 ∂ 2ϕ N = hσ12 = − ∂x1∂x2 Thay (1.9) (1.15) vào phương trình tương thích biến dạng ta được: Suy ra: Vì nên ∂ 2ε10  ∂ 4ϕ * ∂ ϕ  = *  − ν1 2 ÷ ∂x22 E1  ∂x2 ∂x1 ∂x2  ∂ 2∂ε21ε0 20 ∂ 2ε120  ∂ 4∂ϕ2ε 60 * ∂14ϕ∂ 4ϕ ∂ 4ϕ  ν 1* ν 2*  ∂ 4ϕ + = 2* − − ν 2= 2* 4÷ + * +  − * − * ÷ 2 ∂∂x2*1x1ν∂*x212 ∂xE1ν1∂1*x∂2x2 E2 ∂x1  G E1 E2  ∂x1 ∂x2 ∂x∂22x112 ∂νE x1*12 ν1*ν − * − * =* = * − * G E11 E1E∂23ϕE2G E1 Do phương trình ∂ε =− * ∂x1 G ∂x1 ∂x2 tương thích biến dạng trở ∂ 2ε 60 ∂ 4ϕ thành: =− * 2 ∂x1∂x2 G ∂x1 ∂x2 ∂ 4ϕ  ν 1*  ∂ 4ϕ ∂ 4ϕ  ∂ w  ∂ w ∂ w + −2 *÷ 2 + * = ÷ − (1.16) E2* ∂x14  G* E1  ∂x1 ∂x2 E1 ∂x2  ∂x1∂x2  ∂x1 ∂x22 Thay (1.10) (1.15) vào (1.14) ta được:  ∂ 4w ∂ M1 ∂ 4w  = − D + µ ÷ 1 2 ∂x∂124∂wx22  ∂∂2xM 12  ∂∂x41w = − D2  + µ1 2 ÷ ∂x22 ∂x1 ∂x2   ∂x2 10 mm1 := 0.6212807491 10 > mm3:=M3; mm3 := 0.1042629241 10 12 > Mh1:=mm1/mm; Mh1 := 0.4467530044 10 K := [0.4467530044 10 + 0.7497379351 10 1010 f 2] Mh3 := 0.7497379351 10 qh := 116.5734963 > Mh3:=mm3/mm; > qh:=F/mm; > K:=matrix(1,1,[Mh1+Mh3*f^2]); > PTVP; 54 PTVP > ddf_dt^2+Mh1*f+Mh3*f^3=qh*sin(omega*t); ddf_dt + 0.4467530044 10 f + 0.7497379351 10 10 f = 116.5734963 sin( ω t ) Tanso_Daodong_Tudo ω1 := 2113.653246 Matran_M > Tanso_Daodong_Tudo; > omega1:=sqrt(Mh1); > Matran_M; 55 > M:=matrix(1,1,[1]); M := [ 1] ω0 := 1943 Dt := 0.00002694795552 > omega0:=1943; T := 0.003233754662 > T:=2*evalf(Pi,10)/omega0; > Dt:=T/120; > Giaidoan_0; 56 Giaidoan_0 > P0:=matrix(1,1,[qh]); P0 := [116.5734963 ] P0 := > P[0]:=evalm(P0*sin(omega0*Dt*0)); > f0:=matrix(1,1,[0]); 57 f0 := [ 0] > df0:=matrix(1,1,0); df0 := [ ] f := [ 0] := [ 0] ddf0 > ddf0:=matrix(1,1,0); > f[0]:=evalm(f0); > df[0]:=evalm(df0); 58 df := [ 0] > ddf[0]:=evalm(ddf0); ddf := [ 0] f30 := > f30:=f[0][1,1]; 59 > M1:=evalm((4/Dt^2)*M); M1 := [0.5508182836 10 10] > Ks:=evalm(K+M1); Ks := [0.5512650366 10 10 + 0.7497379351 10 10 f 2] > Km:=map(unapply,Ks,f); PKm := [ 6.100985403 ] Km := [ ] M2 := [[0 ] hs 0:= 1, > hs[0]:=evalm((4/Dt^2)*f[0]+(4/Dt)*df[0]+ddf[0]); > M2[0]:=multiply(M,hs[0]); > P[1]:=evalm(P0*sin(omega0*Dt*1)); 60 > Ps[1]:=evalm(P[1]+M2[0]); Ps1 := [6.100985403 ] > f3:=0: > Km_1:=inverse(Km(f3)); -9] Km_1 := [0.1814009476 10-8 v1, 12 := [0.1106724533 10 ] -9 -8] Km_1 := [0.1814009476 10 10 f3 := 0.1106724533 > v[1,1]:=multiply(Km_1,Ps[1]); > f3:=v[1,1][1,1]; > Km_1:=inverse(Km(f3)); > v[1,2]:=multiply(Km_1,Ps[1]); > delta:=1: 61 > k:=0: > while delta>0.001 > if k=0 then f3:=0: fi: > if k>0 then f3:=v[1,k][1,1];fi: > Km_1:=inverse(Km(f3)): > v[1,k+1]:=multiply(Km_1,Ps[1]); > if k>0 then delta:=abs(v[1,k+1][1,1]-v[1,k][1,1])/v[1,k][1,1]: fi: > print("delta", delta); > k:=k+1; > od; -9] -8 10 ] Km_1 [0.1814009476 10 v1, :=:=[0.1106724533 "delta", 62 k := v1, := [0.1106724533 10 -8] Km_1 := [0.1814009476 10 -9] "delta", 63 k := f1 := [0.1106724533 10 > f[1]:=evalm(v[1,k]); > n:=0; 64 -8] n := > Mf1:=evalm((4/Dt^2)*(f[n+1]-f[n])); Mf1 := [6.096041077 ] Mf2 := [ ] > Mf2:=evalm((4/Dt)*df[n]); > ddf[n+1]:=evalm(Mf1-Mf2-ddf[n]); 65 ddf := [6.096041077 ] > Mf3:=evalm((Dt/2)*(ddf[n]+ddf[n+1])); Mf3 := [0.00008213792190 ] df := [0.00008213792190 ] nn := 1200 > df[n+1]:=evalm(df[n]+Mf3); > So_buoc_lap: > nn:=1200; > Giai_doan_n>=2; 66 ≤ Giai_doan_n > for n from to nn > hs[n+1]:=evalm((4/Dt^2)*f[n]+(4/Dt)*df[n]+ddf[n]): > M2[n+1]:=multiply(M,hs[n+1]); > P[n+1]:=evalm(P0*sin(omega0*Dt*(n+1))): > Ps[n+1]:=evalm(P[n+1]+M2[n+1]); > delta:=1: > k:=0: > while delta>0.001 > if k=0 then f3:=0: fi: > if k>0 then f3:=v[n+1,k][1,1];fi: > Km_1:=inverse(Km(f3)): > v[n+1,k+1]:=multiply(Km_1,Ps[n+1]); > if k>0 then delta:=abs(v[n+1,k+1][1,1]-v[n+1,k][1,1])/v[n+1,k][1,1]: fi: > k:=k+1; > od; > f[n+1]:=evalm(v[n+1,k]); > Mf1:=evalm((4/Dt^2)*(f[n+1]-f[n])): > Mf2:=evalm((4/Dt)*df[n]): > ddf[n+1]:=evalm(Mf1-Mf2-ddf[n]): > Mf3:=evalm((Dt/2)*(ddf[n]+ddf[n+1])): > df[n+1]:=evalm(df[n]+Mf3): > od: > lin3c_pt_k0:=[seq([i*Dt/T,f[i][1,1]],i=0 nn)]: > with(plots): 67 > plot([lin3c_pt_k0],thickness=[2],color=[blue]); 68