SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ" I/ PHẦN MỞ ĐẦU 1- Tên đề tài: Giải toán hình học không gian phương pháp toạ độ – Lý chọn đề tài: Trong toán học nói chung hình học nói riêng phương pháp chung để giải toán Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Với loại toán đòi hỏi phương pháp cụ thể để giải cách đơn giản Sự đời phương pháp toạ độ đơn giản hoá phần lớn toán hình học không gian Thông qua phương pháp toạ độ phương pháp vectơ xây dựng thêm công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số Với học sinh lớp 12, em làm quen với phương pháp toạ độ mặt phẳng, sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải toán hình học không gian cách thuận tiện 3- Phạm vi , đối tượng nghiên cứu: - Khách thể: Học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Một số toán hình học không gian - Phạm vi nghiên cứu: Các toán sơ cấp hình học không gian chương trình THPT - Thực đề tài tập học sinh lớp 12 II– QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: – Tình trạng thực tế trước thực đề tài: Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải toán hình học không gian Tôi tiến hành kiểm tra qua toán sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: “Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD)” 30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện 10% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu 2- Các biện pháp thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá kiến thức Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập ứng đụng cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng – Kết thực đề tài: Tôi tiến hành kiểm tra qua toán sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB kẻ SH vuông góc với mp (ABCD) cho góc cạnh SD đáy ABCD 600 a/ Tính SH khoảng cách từ H đến mp (SCD) b/ Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK ⊥ SD tính góc hai mặt phẳng (ASD);(CSD) c/ Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) Kết : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện 80% Phiên dịch từ toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu III– Những học kinh nghiệm kiến nghị sau thực đề tài Qua kết điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy giải toán hình học không gian, học sinh thường không ý đến phương pháp toạ độ tính ưu việt lúng túng giải phương pháp toạ độ Do học sinh ngại giải toán không gian Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian thấy tính ưu việt phương pháp toạ độ giải tập hình học không gian, thầy giáo cần đề giải pháp giải toán hình học không gian phương pháp toạ độ Lựa chọn toán quy toạ độ hệ toạ độ thích hợp Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện Phiên dịch từ toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ ngược lại NỘI DUNG Chương I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Hệ trục toạ độ Cho ba trục toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz vuông góc với đôi r r r điểm O Gọi i, j, k véctơ đơn vị tương ứng trục x’Ox, y ,oy : z ,oz Hệ ba trục toạ độ gọi hệ trục toạ độ Đề vuông góc Oxyz đơn giản toạ độ Oxyz z x r r k j rO i y + Trục Ox gọi trục hoành + Trục Oy gọi trục tung + Trục Oz gọi trục cao + Điểm O gọi gốc hệ toạ độ 2/ Vectơ hệ toạ độ r + Cho hệ toạ độ Oxyz vectơ rtuỳ rý vr Vìr ba vectơ nên có ba số x, y, z cho: v = xi + y j + zk r r r r r i, j , k không đồng phẳng + Bộ ba số (x; y; z) gọi toạ độ vectơ v , kí hiệu v( x; y; z ) r gọi hoành độ, số y gọi tung độ số z gọi cao độ vectơ v + Với hai điểm M ( x1 , y1 , z1 ) M ( x2 , y2 , z ) r v = ( x; y; z ) Số x thì: uuuuuur M 1M = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) + Nếu có hai vectơ (i) (ii) ur v1 = ( x1 , y1 , z1 ) uu r v2 = ( x2 , y2 , z2 ) thì: ur uu r v1 + v2 = ( x + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) ur uu r v1 − v2 = ( x − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) (iii) ur kv1 = (kx1 , ky1 , kz1 ) (iv) ur uu r v1.v2 = x 1.x2 + y1 y2 + z1.z2 (v) ur uu r v1 ⊥ v2 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = (vi) Tích có hướng hai vectơ r v xác định bởi: ur v1 = ( x1 , y1 , z1 ) ur uu r r y v1 , v2  = v     y2 z1 z1 , z2 z2 uu r v2 = ( x2 , y2 , z2 ) x1 x1 , x2 x2 vectơ y1  ÷ y2  3/ Khoảng cách hai điểm Cho hai điểm uuuuuur vectơ M 1M : uuuuuur d = M 1M = M ( x1 , y1 , z1 ) ( x1 − x2 ) M ( x2 , y2 , z2 ) , + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) 2 khoảng cách d M1 M2 độ dài 4/ Chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số cho trước Điểm thức: M ( x, y , x ) chia đoạn thẳng M 1M theo tỉ số k: uuuuur uuuuur MM = k MM xác định công x1 − kx2  x = 1− k  y1 − ky2  y = 1− k  z1 − kz2  z = 1− k  Đặc biệt k= - 1, M trung điểm M 1M , toạ độ M là: x1 + x2  x =  y1 + y2  y =  z1 + z2  z =  5/ Góc hai vectơ Góc α hai vectơ ur v1 = ( x1 , y1 , z1 ) uu r v2 = ( x2 , y2 , z2 ) xác định bởi: cos α = x1.x2 + y1 y2 + z1.z2 x + y11 + z11 x22 + y22 + z22 1 6/ Hai vectơ phương ur r Hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) ≠ tồn số thực k cho: uu r ur v2 = kv1 ⇔ uu r r v2 = ( x2 , y2 , z2 ) ≠ ba định thức sau 0: y1 y2 phương với z1 z1 , z z2 x1 x1 , x2 x2 y1 y2 7/ Phương trình mặt phẳng a Khái niệm r r Một vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) nằm đường thẳng vuông góc với (α ) Mặt phẳng (α ) hoàn toàn xác định cho biết điểm tuyến M ∈ (α ) vectơ pháp b Định lý Mỗi mặt phẳng tập hợp tất điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) ngược lại phương trình dạng phương trình mặt phẳng 8/ Phương trình đường thẳng a Định nghĩa: Vectơ r a vectơ phương đường thẳng (d) r r a ≠ ⇔ r a //(d ) b Phương trình tổng quát đường thẳng: Vì đường thẳng (d) không gian xem giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đó, nên phương trình tổng quát (d) có dạng:  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (d ) :   A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ( 1) với điều kiện ( 2) A1 : B1 : C1 ≠ A : B2 : C2 (1), (2) theo thứ tự phương trình hai mặt phẳng (P) (Q) 9/ Phương trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp điểm cách điểm không đổi mặt cầu có phương trình: I ( a , b, c ) cho trước khoảng R>0 ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R Chương II GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ Để giải toán hình học nói chung hình học không gian nói riêng phải dựa vào yếu tố, quan hệ hình học, đồng phẳng, song song, vuông góc, Nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp ta chuyển thể toán hình học sang toán đại số với số, chữ, véc tơ với phép toán Với toán đại số có định hướng rõ ràng khả tìm lời giải nhanh Để thực điều đó, đòi hỏi học sinh phải có luyện tập, vận dụng kiến thức cần nắm quy trình giải toán phương pháp toạ độ thích hợp Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp Bước 2: Phiên dịch toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bước 3: Dùng kiến thức toạ độ để giải toán Bước 4: Phiên dịch kết toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Trong bước trên, bước bước học sinh hoàn toàn làm nhờ kiến thức liên hệ hình học không gian hệ toạ độ biết, bước học sinh sử dụng kiến thức hệ toạ độ cách sáng tạo để giải toán Buớc học sinh gặp khó khăn phương pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện phải biết dựa vào số đặc điểm toán Chọn hệ toạ độ cho gốc trùng với điểm cố định biết, dựa vào đường thẳng vuông góc để gắn với trục toạ độ, điểm biết gắn với toạ độ đơn giản, thuận lợi II/Giải toán định lượng hình học không gian Đối với loại toán tính toán, không chuyển phương pháp toạ độ khó khăn hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà có phương pháp toạ độ ta biểu diễn khoảng cách cách đơn giản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết 10 Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Góc, khoảng cách hai đường thẳng chéo Tính độ dài đoạn thẳng Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA’B’C’D’ ta thường thết lập hệ trục toạ độ dựa ba cạnh AB, AD AA’ tương ứng với trục Ox, Oy, Oz Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng A’B AC’ b/ Gọi K trung điểm DD’ Tính góc khoảng cách đường thẳng CK A’D’ c/ Mặt phẳng (P) qua BB’ hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc Tính góc z Giải A’ B’ Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B ∈ Ax, D ∈ Ay A′ ∈ Az , x B A D’ C’ Dy C đó: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) 11 r ( P ) : x − a + my = ⇔ ( P ) : x + my − a = ⇒ vtpt n ( 1; m;0 ) Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp γ ) nên: sin γ = m ( m + 1) 1− m = ( m + 1) ur u1 ( 0;1;1) uu r u2 ( 1; −1;1) ) hai góc ( giả sử ⇔ m = − m ⇔ m + 4m − = ⇔ m = −2 ± Với m = −2 + sin γ = Với −2 2  ( ) − + 1  m = −2 − sin γ = ta được: −2 22 − = −2 ( 4− 6) = −1 ta được: 6+2 ( = )  − − + 1   = 6+2 22 + = 6+2 ( 4+ 6) = +1 Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB; AC; AD vuông góc với đôi một, biết AB=a AC=b, AD=c a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD) D Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: z g A I C y B x 13 A = (0;0;0); B = (a;0;0) C = (0; b;0); D = (0;0; c) a/ Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, giả sử toạ độ I I ( x; y; z ) a  x =   b  a b c Tacó ⇔  y = ⇔ Toạ độ điểm I là: I = ( ; ; ) 2 2  c   z = * Xác định bán kính R 2 a b c R = IA = + + = a + b2 + c 4 a b c 2 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm I = ( ; ; ) bán kính: R = a + b2 + c 2 b Phương trình mp(BCD): x y z x y z + + = ⇔ + + −1 = a b c a b c Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) h ta có: 14 0 + + −1 a b c h= = 2 ( ) +( ) +( ) a b c abc = 1 a 2b + b c + c a + + a2 b2 c2 Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là: h= abc a 2b + b c + c a Bài 3: Chứng minh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AC’ vuông góc với mặt phẳng (B’CD’) Giải z A’ C’ B’ Chọn hệ toạ độ hình vẽ Giả sử hình lập phương có cạnh a Ta có toạ độ điểm là: x B D’ D y A O C A(0;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0); D’(0;a;a); C’(a;a;a) Ta có: uuuu r uuuu r AC ′ = ( a; a; a ) ; B′C = ( 0; a; − a ) uuuur D ' C = ( a;0; − a ) uuuu r uuuu r uuuu r uuuur AC ′.B′C = a.0 + a.a + a ( −a ) = ⇒ AC ' ⊥ B ' C ⇒ AC ' ⊥ B ' C (1) uuuu r uuuur uuuu r uuuur AC '.D ' C = a.a + a.0 + a.(−a ) = ⇒ AC ' ⊥ D ' C ⇒ AC ' ⊥ D ' C (2) 15 Từ (1) (2) suy AC ' ⊥ ( B ' CD ' ) Vậy suy điều phải chứng minh * Bài tập Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDA’B’C’D’ đường cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) góc α Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc µA = 600 , B’O vuông góc với đáy ABCD, cho BB’=a a/ Tính góc cạnh bên đáy b/ Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD’) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết số đo góc nhị diện (B SC D) 1200 Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB kẻ SH vuông góc với mp(ABCD) cho góc cạnh SD mặt đáy (ABCD) 600 a/ Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) b/ Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK ⊥ SD tính số đo góc mặt phẳng (A S D ) (C S D ) c/Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) 16 III/ Giải toán định tính hình học không gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ suy kết cần chứng minh Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh nhau: AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b Chứng minh đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh đường vuông góc chung hai cạnh z Giải g B I A Gọi I, K trung điểm AB  IK ⊥ AB Ta cần chứng minh:   IK ⊥ CD x C y gK D CD 17 Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho A(0;0;0) Giả sử hệ trục toạ độ B = ( x1; y1; z1 ); C = ( x2 ; y2 ; z2 ); D = ( x3 ; y3 ; z3 ) Khi x y z x + x y + y3 z2 + z3 I = ( ; ; ); K =( 3; ; ) 2 2 2 uur x + x − x y + y − y z + z − z ⇒ IK = ( ; ; 1) 2 Theo giả thiết, ta có: uuu r AB = AB = a ⇔ x12 + y12 + z12 = a uuur AC = AC = b ⇔ x22 + y22 + z22 = b uuur AD = AD = c ⇔ x32 + y32 + z32 = c BC = c ⇔ BC = c ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) = c Ta có ⇔ a + b − 2( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = = c2 a2 + b2 − c2 18 Tương tự ta có: BD = b ⇔ BD = b a + b2 − c2 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = b2 + c2 − a x2 x3 + y2 y3 + z2 z3 = uur uuu r x +x −x y + y3 − y1 z +z −z ⇒ IK AB = x1 + y + z1 2 x1 x2 + x1 x3 − x12 + y1 y2 + y1 y3 − y12 + z1 z2 − z12 = a2 + b2 − c a + c − b2 × − a2 2 = =0 uur uuu r ⇒ IK ⊥ AB uur uuur Chứng minh tương tự ta có: IK ⊥ CD uur uuu r  IK ⊥ AB ⇒  uur uuur ⇒ IK đường vuông góc chung cặp cạnh đối diện AB CD  IK ⊥ CD Chứng minh tương tự ta có IK đường vuông góc chung cặp đối diện lại ⇒ ĐPCM 19 Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên BD AD’ lấy hai điểm thay đổi M,N cho DM = AN = x (0 ≤ x ≤ a 2) CMR: MN song song với mặt phẳng cố định Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: A = (0;0;0); B = (a;0;0) D = (0; a;0); A′ = (0;0; a) Khi C = ( a; a;0) D′ = (0; a; a) Gọi M = ( x1; y1; z1 ), N = ( x2 ; y2 ; z2 ) z A’ uuur uuu r BC = (0; a;0); BA = (−a;0;0); Ta có: uuuur MN = ( x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) C’ B’ N Mặt khác theo giả thiết: DM = AN = x Đặt : k = x a (0 ≤ x ≤ a 2) A x D’ B D y M C (0 ≤ k ≤ 1) 20  x1 − a = k (−a )  x1 = a − ka uuuur uuur   DM = k DB ⇔  y1 = ka ⇔  y1 = ka z = z =   Xét  x2 = ka uuur uuuu r  AN = k AD′ ⇔  y2 =  z = ka  uuur uuur uuuu r D BC , BA ', MN = a ( −a ) ( z2 − z1 ) + ( y2 − y1 ) + ( x2 − x1 ) 0.a ( ) − ( x2 − x1 ) ( −a ) − a ( y2 − y1 ) a − 0.0 ( z2 − z1 ) = −a ( z2 − z1 ) − a ( y2 − y1 ) = −a ( z2 − z1 − y2 + y1 ) = −a2 ( ka − − − ka ) =0 Suy uuur uuur uuuu r BC , BA ', MN luôn đồng phẳng Suy MN luôn song song với (A’BCD’) cố định Bài 3: Cho tứ diện DABC có ba cạnh DA; DB; DC vuông góc với đôi Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh (α ) mặt phẳng qua O khoảng cách từ D xuống (α ) tổng đại số khoảng cách từ A, B, C đến mp (α ) z A Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz vuông góc D O C y cho: B x D ( 0;0;0 ) ; A ( 0;0; a ) ; B ( b;0;0 ) ; C ( 0; c;0 ) b c a Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện toạ độ O là: O  ; ; ÷ 2 2 21 Mặt phẳng ( α ) qua O có dạng: β x + γ y +η z + d = Không tính tổng quát giả sử d ≥0 Do ( α ) qua O nên: b c a + γ +η + d = 2 β b + γ c + η a + 2d = ( 1) β ⇔ Kí hiệu hD , hA , hB , hC tương ứng khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng ( α ) Theo công thức tính khoảng cách ta có: hD = hB = hA = d β + γ +η 2 βa + d β + γ +η 2 ηa + d β + γ +η hC = 2 d = ⇒ ⇒ β + γ +η 2 βa + d β + γ +η 2 ηa + d β + γ +η γc+d β + γ +η 2 ⇒ , ( 2) = hB Sgn ( β a + d ) , ( 3) = hA Sgn ( η a + d ) , ( ) γc + d β + γ +η 2 = hC Sgn ( γ c + d ) , ( ) Cộng trừ vế (3), (4), (5) ta được: 22 β b + γ c + η a + 3d β + γ +η = Sgn ( η a + d ) hA + Sgn ( β b + d ) hB + Sgn ( γ c + d ) hC ( 6) Từ (1), (2), (6) suy ra: hD = Sgn ( η a + d ) hA + Sgn ( β b + d ) hB + Sgn ( γ c + d ) hC Điều chứng tỏ Chú ý: 1  Sgn( x) = 0  −1  hD tổng đại số hA , hB , hC x>0 x=0 x[...]... giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK) 16 III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau: AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b Chứng... vuông góc với nhau 23 Bài 3: Đường thẳng (d) tạo với 2 đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau các góc bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng ( α ) chứa các đường thẳng này CMR hình chiếu vuông góc (d’) của đường thẳng (d) lên mặt phẳng ( α ) cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đường thẳng (d1) và (d2) IV/ GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực... Chú ý: 1  Sgn( x) = 0  −1  hD là tổng đại số của hA , hB , hC x>0 x=0 x