SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC" -1- PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Lý thuyết đại số tổ hợp hình thành từ sớm lịch sử phát triển Toán học, công cụ để nghiên cứu xác suất, giải nhiều toán thực tế Nó góp phần bồi dưỡng tư logic cho học sinh Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp trường phổ thông có ý nghĩa lớn Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp việc khó học sinh Học sinh thường phân vân sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu đòi hỏi người giáo viên phải đề biện pháp hợp lý cách chọn nội dung phương pháp: Dạy gì? Dạy để học sinh tiếp thu giảng cách có hiệu quả, làm để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức làm tập? vấn đề nhiều người quan tâm nghiên cứu Chính từ yêu cầu cấp bách nhận thức đây, chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số sai lầm thường gặp học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp cách khắc phục” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn học sinh giải toán tổ hợp, phân tích sai làm phổ biến nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh trung học phổ thông Từ nghiên cứu, đề xuất số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trường trung học phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm bao gồm: -2- 3.1 Bước đầu làm sáng tỏ số khó khăn sai lầm học sinh trình học Đại số tổ hợp 3.2 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm 3.3 Nghiên cứu đề xuất số vấn đề cách khắc phục sai lầm 3.4 Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi hiệu đề xuất 3.5 Đưa kết luận cần thiết Phương pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, tài liệu tâm lý học, giáo dục học, công trình nghiên cứu có liên quan đế đề tài số tác giả, sách tham khảo… 4.2 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu số liệu thông qua giáo viên toán trường phổ thông, qua kiểm tra học sinh trung học phổ thông Đặng thai Mai 4.3 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm số tiết trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai PHẦN : NỘI DUNG NỘI DUNG: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC 1.1 Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp học sinh THPT -3- Chúng tiến hành khảo sát thực trạng kết học chủ đề Đại số Tổ hợp 100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với hình thức kiểm tra tự luận (thời gian: 20 phút) Đề kiểm tra Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình Có cách chia 16 học sinh thành tổ, tổ người, cho tổ có học sinh giỏi học sinh khá? (Đáp án: 3780 cách) Có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt cho tổng chữ số số chẵn? (Đáp án: 64800 số) *Chúng trình bày số lời giải sai học sinh : Câu 1: - Lời giải 1: Có học sinh giỏi chia cho tổ nên có học sinh giỏi, tổ có học sinh giỏi Gọi A tổ có học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán Có trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: A13.A25.A58 = 403200 cách Trường hợp 2: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: -4- A13.A35.A48 = 302400 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán là: 403200 + 302400 = 705600 cách Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên sử dụng sai công thức - Lời giải 2: Có học sinh giỏi chia cho tổ nên tổ có học sinh giỏi, tổ có học sinh giỏi Gọi A tổ có học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán Có trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: A13+A25+A58= 6743 cách Trường hợp 2: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: A13 + A35 + A48 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán là: 6743 + 1743 = 8486 cách Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc - Lời giải 3: Mỗi cách chọn thành viên tổ cách chọn thành viên tổ Như ta cần xét cho tổ Có trường hợp: -5- Trường hợp 1: học sinh giỏi xảy khả năng: * Khả 1: học sinh học sinh trung bình Có: C13.C25.C58 = 1680 cách * Khả 2: học sinh học sinh trung bình Khả có: C13.C35.C48 = 2100 cách Trường hợp 2: học sinh giỏi Có khả năng: * Khả 1: học sinh học sinh trung bình Khả có: C23.C25.C48 = 2100 cách * Khả 2: học sinh học sinh trung bình Khả có: C23.C35.C38 = 1680 cách Theo quy tắc cộng ta có kết là: 1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa sác dẫn đến lặp Do tổ bình đẳng với nên cách xếp tổ trường hợp cách xếp tổ trường hợp - Lời giải là: Có học sinh giỏi chia cho tổ nên tổ có học sinh giỏi, tổ có học sinh giỏi Gọi A tổ có học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán Có trường hợp chọn tổ A: Trường hợp 1: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: -6- C13.C25.C58 = 1680 cách Trường hợp 2: Tổ A có học sinh học sinh trung bình Số cách chọn tổ A trường hợp là: C13.C35.C48 = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu toán là: 1680 + 2100 = 3780 cách Câu 2: - Lời giải 1: Số có chữ số thoả mãn: Tổng chữ số số chẵn xảy hai trường hợp: Trường hợp 1: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn có C25.C45.6! số Trường hợp 2: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn có C45.C25.6! số Trong số số có chữ số mà chữ số đứng đầu là: A59 = 15120 số Vậy kết toán là: C25.C45.6! – 15120 = 56880 số Nhận xét: Thực tế học sinh phân chia số có chữ số mà tổng chữ số số chẵn gồm hai tập hợp Giả sử: A: Gồm số có chữ số có tổng chữ số số chắn B: Gồm số có chữ số có chữ số đứng đầu C: Gồm chữ số thoả mãn yêu cầu toán -7- Nhận thấy rằng: Bø (Vì xét số tập B có đứng đầu tổng chữ số lại số chẵn suy không thuộc tập A) Từ dẫn đến sai lầm kết - Lời giải 2: Gải sử số cần tìm a1a2a3a4a5a6 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 số chẵn xảy trường hợp : Trường hợp : Có chữ số lẻ, chữ số chẵn ta : C25.C45.6 ! = 36000 số Trường hợp : Có chữ số lẻ, chữ số chẵn ta : C45.C25.6 ! = 36000 số Vậy số số tự nhiên cần tìm có chữ số thoả mãn yêu cầu toán : 36000 + 36000 = 72000 số Nhận xét : Học sinh nắm chưa xác khái niệm toán học nên không trừ số có chữ số phân biệt có chữ số đứng đầu - Lời giải : Giả sử số cần tìm a1a2a3a4a5a6 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 số chẵn xảy trường hợp : Trường hợp : Có chữ số lẻ, chữ số chẵn ta : C25.C45.6 ! - C25.C34.5 ! = 31200 số Trường hợp : Có chữ số lẻ, chữ số chẵn ta : C45.C25.6 ! – C45.C14.5 ! = 33600 số -8- Vậy số số tự nhiên cần tìm có chữ số thoả mãn yêu cầu toán : 31200 + 33600 = 64800 số *Một số sai lầm mà học sinh mắc phải đề kiểm tra : Sai lầm : Nhớ lẫn lộn công tác tính số tổ hợp số chỉnh hợp Sai lầm : Sử dụng sai quy tắc Sai lầm : Phân chia trường hợp riêng chưa dẫn đến lặp Sai lầm : Không biết phối hợp công thức, quy tắc Sai lầm : Hiểu sai khái niên toán học * Kết : Quan thực tế thấy số học sinh mắc sai lầm giải tập chủ đề ”Đại số tổ hợp” nhiều, kể số học sinh lớp Đa số học sinh mắc sai lầm việc vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng Qua cho thấy trình độ giải toán học sinh yếu Câu hỏi đặt học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh mắc sai lầm ? Cách hạn chế khắc phục sai lầm cho học sinh để nâng cao hiệu cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung 2.2 Một số sai lầm phổ biến học sinh học chủ đề Đại Số Tổ Hợp 2.2.1 Sai lầm hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa khái niệm thao tác tư nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm đối tượng khác, thường cách vạch nội hàm khái niệm đó” Trong trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh chưa hiểu chất khái niệm tổ hợp nên thường nhầm -9- lẫn ký hiệu đối tượng đối tượng định nghĩa Theo A.A.Stôliar không học sinh yếu việc nắm vững cú pháp ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm lý hiệu với khái niệm định nghĩa… Ví dụ : Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k n C kn ’’ mà phát biểu là: ‘Số tổ hợp chập k n Ckn’’ ‘Chỉnh hợp chập k n Akn ’’ mà phát biểu là: ‘Số chỉnh hợp chập k n phân tử Akn ” Cũng có học sinh áp dụng công thác thành thạo lại không hiểu ý nghĩa công thức Ví dụ : Khi gặp tập chứng minh Cnn-k = Ckn Học sinh dế dàng làm cách áp dụng trực tiếp công thức : Ck n = n! (n − k )! k ! Tuy nhiên học sinh chứng minh dựa vào định nghĩa C kn, học sinh không hiểu chất tập X gồm n phần tử có tập gồm k (k ≤ n) phần tử có nhiêu tập gồm (n-k) phần từ Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn sử dụng quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng: ‘’Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi công việc thực n+m cách” - 10 - Công đoạn 1: Chọn bạn nam có 20 cách Công đoạn 2: Ứng với cách chọn bạn nam có 20 cách chọn bạn nữ Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ban cán gồm bạn nam bạn nữ là: 20.20 = 400 (cách chọn) Khi giải toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh chưa hiểu rõ khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp Dịnh nghĩa chỉnh hợp: ‘‘Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) số nguyên k với 1≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự,ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A)” Định nghĩa tổ hợp: ‘‘Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với 1≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phẩn tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A)” Do học sinh không nắm vững khái niệm nên sử dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy nhầm lẫn Ví dụ : Có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt ? ♠ Học sinh giải sau: Giả sử a1a2a3 số thoả mãn yêu cầu toán suy a1 ≠ Tổng số cách chọn chữ số 10 chữ số từ đến C 310, số cách xếp a1 = C29 Do kết toán là: C310 – C29 = 84 - 12 - ♠ Nguyên nhân sai lầm: Học sinh chưa nắm chỉnh hợp tập gồm k phần tử thứ tự toán với chữ số a1a2a3 phân biệt có cách xếp thành số khác (chẳng hạn a1a2a3 ≠ a1a2a3 ) ♠ Lời giải là: Giả sử a1a2a3 số thoả mãn yêu cầu toán suy a ≠ 0, ứng với cách xếp cho ta số Tổng số cách xếp chữ số 10 chữ số từ đến A310, số cách xếp a1 = A29 Do kết toán : A310 – A29 = 648 (số) Ví dụ 5: Trong buổi giao lưu kết bạn có nữ nam Người ta tổ chức chơi gồm cặp thi với nhau, cặp có nam nữ Hỏi có cách chọn cặp để tham gia trò chơi? ♠ Học sinh giải sau: Mỗi cách xếp thứ tự bạn nam bạn nam chỉnh hợp chập 7, nên số chọn nam có thứ tự A 37 = 210 cách Tương tự số cách chọn nữ có thứ tự là: A39 = 504 cách Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn cặp để tham gia trò chơi là: A13.A35 = 210.504 = 105840 (cách) ♠ Sai lầm học sinh mắc phải: Việc xếp thứ tự nam nữ dẫn đến việc lặp lại Giả sử bạn nam xếp thứ tự A,B,C ghép với nữ theo thứ tự a, b, c Ta có cặp (A,a), (B,b), (C,c) Nếu lấy thứ tự khác nam B,C,A nữ b,c,a ta có cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống - 13 - trước Như toán ta phải dùng công thức tính số tổ hợp không dùng công thức tính số chỉnh hợp ♠ Lời giải là: Xem việc lập cặp để tham gia trò chơi gồm công đoạn: Công đoạn 1: Chọn học sinh nam Số cách chọn là: C13 = 35 cách Công đoạn 2: Chọn học sinh nữ Số cách chọn là: C39 = 84 cách Công đoạn 3: Sắp xếp bạn thành đôi nam nữ Có 3! Cách xếp Theo quy tắc nhân số cách chọn cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu toán là: 3! 84.35 = 17640 cách 2.2.2 Hiểu sai khái niệm toán học Trong trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niêm dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Nhiều khái niệm mở rộng thu hẹp khái niệm trước, việc không nắm vững hiểu không khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm khái niệm Sai lầm khái niệm toán học, khái niệm dẫn đến việc tất yếu học sinh giải toán sai Với ngôn ngữ toán học cổ điển, lý thuyết tập hợp người ta hay sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử” - 14 - Chẳng hạn chữ cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp chữ có mặt cụm từ {Đ; a; i; h; o; c; v; n} (Có phần tử khác nhau) Theo quan điểm lý thuyết tổ hợp cụm từ gồm 10 chữ (10 phần tử) Chính thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc phải sai lầm giải toán tổ hợp Ví dụ 6: Với chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; viết thành số có chữ số chữ số có mặt hai lần chữ số khác có mặt lần? ♠ Lời giải học sinh: Giả sử số thoả mãn yêu cầu toán là: a1a2a3a4a5a6a7a8 Số a1 có cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết (là hoán vị tập hợp gồm chữ số khác nhau) Nếu coi hai chữ số khác số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7.7! cách viết Do số xuất hai lần nên với hai vị trí hai chữ số có hai hoán vị Vậy kết hai toán là: 7.7! = 17640 (cách viết) ♠ Sai lầm là: Nếu coi hai chữ số khác số a1 có cách viết Nghĩa phải giả sử hai chữ số khác từ đầu ♠ Lời giải là: Nếu coi hai chữ số khác số a1 có cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 7} Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết - 15 - Với hai vị trí hai chữ số có hai hoán vị Vậy số a1a2a3a4a5a6a7a8 có: 8.7! = 20160 (cách viết) Trong toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập số gồm k chữ số khác nhau” Với cụm từ dụng ý tác giải viết sách là: Số gồm k chữ số a1a2 … ak a1 (i = 1,k) phải khác đôi Tức là: ≠ aj với i,j =1,k ; i ≠ j Tuy nhiên, có học sinh hiểu số gồm k chữ số khác tức a1a2 …ak ≠ b1b2 …bk dẫn đến sai lầm giải toán Trong toán chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng nhiều kiến thức toán học như: Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập số chẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững khái niệm nên có nhiều sai lầm đáng tiếc giải tập Ví dụ 7: Từ chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; lập số có chữ số phân biệt thiết phải có mặt chữ số 5? ♠ Lời giải học sinh: Số cách lập số có chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là: A46 = 360 cách Mỗi cách lập cho ta số có chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu toán Trong số cách lập số có chữ số phân biệt mặt chữ số là: A45 = 120 cách Theo quy tắc cộng ta có kết toán là: - 16 - A46 - A45 = 360 – 120 = 240 (Số) ♠ Sai lầm là: Học sinh tính số cách lập số có chữ số phân biệt số lập có số dạng 0abc, dạng số có chữ số không thoả mãu yêu cầu toán Như học sinh không trừ số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết ♠ Lời giải là: Giả sử a1a2a3a4 số thoả mãn yêu cầu toán, suy a1 ≠ Số cách xếp chữ số chữ số từ đến A46 – A35 = 300 cách Trong số cách xếp chữ số chữ số từ đến mặt chữ số là: A45 – A34 = 96 cách Mỗi cách xếp cho ta số Sử dụng quy tắc công ta có kết toán là: 300 – 96 = 204 số Ví dụ 8: Trong buổi giao lưu kết bạn có nữ nam Người ta tổ chức chơi gồm cặp thi với nhau, cặp có nam nữ Hỏi có nhiêu cách chọn cặp để tham gia trò chơi? ♠ Lời giải học sinh: Xem việc chọn cặp nam nữ công việc gồm công đoạn: Công đoạn 1: Chọn cặp nam nữ thứ Có C19C17 cách chọn - 17 - Công đoạn 2: Chọn cặp nam nữ thứ hai Có C18C16 cách chọn Công đoạn 3: Chọn cặp nam nữ thứ ba Có C17C15 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn cặp nam nữ để tham gia trò chơi là: C19C17 C18C16 C17C15 = 105840 cách ♠ Nguyên nhân sai lầm: Học sinh áp dụng quy tắc nhân, xem việc chọn cặp nam nữ trải qua công đoạn cách thực sau lại phụ thuộc vào cách thực công đoạn trước Ví dụ: Trải qua công đoạn ta chọn cặp là: (A,a), (B,b), (C,c) Trong công đoạn ta chọn cặp (B,b), công đoạn chọn cặp (A,a), công đoạn chọn cặp (C,c) Như ta cặp nam nữ khác (B,b), (A,a), (C,c) Hai cách chọn thực chất học sinh tính lặp 2.2.3 Phân chia trường hợp riêng Phân chia trường hợp biện pháp hay dùng giải tập tổ hợp Đứng trước toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá toán giúp học sinh giải tập cách xác Tuy nhiên, để phân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng quy tắc nhân Nếu quy tắc nhân phân chia thành công đoạn thích hợp, quy tắc cộng phân chia thành tập hợp Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí phân chia nên dẫn đến sai lầm giải toán Để phân chia khái niệm thành khái niệm nhỏ phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) phân chia Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ độc lập Chẳng hạn ta chia tập hợp A thành tập con: A = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak - 18 - * A1 ∩ Aj ≠ 0; i ≠ j Thì phải thoả mãn: Và * k ∪ A1 = A ; i,j = 1,k i=1 Nhiều học sinh trình phân chia khái niệm thành khái niệm nhỏ vi phạm tính đầy đủ độc lập nên dẫn đến sai lầm giải toán Ví dụ 9: Cho 10 người ngồi 10 ghế, xung quanh bàn tròn, có học sinh nữ học sinh nam Hỏi có cách xếp cho hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau? ♠ Lời giải học sinh: Ta xét toán gián tiếp: Tính số cách xếp cho học sinh nữ ngồi cạnh học sinh nam khác Ta có A24 cách chọn học sinh nữ (có thứ tự) Như học sinh nữ chia làm nhóm Ta cần tìm số cặp chỗ ngồi cho cặp học sinh nữ Có C 25 cách chọn chỗ ngồi cho cặp học sinh nữ học sinh nam lại xếp tuỳ ý học sinh nữ, ta cố định vị trí học sinh nam học sinh nam lại có 5! Cách xếp vòng tròn Vậy số cách xếp để học sinh nữ ngồi cạnh học sinh nữ khác là: A24.C25.5! = 14400 cách Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn có 9! Cách xếp Vậy số cách xếp học sinh nữ không ngồi cạnh là: 9! – 14400 = 348480 cách - 19 - ♠ Nguyên nhân sai lầm: Do học sinh phân chia thiếu trường hợp nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ lại không ngồi cạnh bạn nữ ♠ Lời giải là: Giả sử xếp chỗ ngồi cho học sinh nam Vì học sinh nữ không ngồi cạnh nên họ chọn vị trí xen kẽ học sinh nam Số cách chọn là: A 46 Vì cách xếp vị trí cho 10 người với thứ tự quanh bàn tròn coi nên ta chọn trước vị trí cho học sinh nam đó, số hoán vị học sinh nam lại vào vị trí 5! Vậy theo quy tắc nhân, số cách xếp là: A46.5! = 43200 cách 2.3 Một số cách khắc phục sai lầm học sinh học chủ đề Đại số tổ hợp 2.3.1 Một số yêu cầu trình phát sửa chữa sai lầm cho học sinh Giáo viên cần phải diễn đạt xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực phương pháp, tư lời giải phải xác cho toán Giáo viên không phủ định lời giải sai học sinh cách chung chung mà phải sai lầm, nguyên nhân sai lầm học sinh cách xác thuyết phục Tính xác đòi hỏi toán giáo viên đưa không sai lầm, việc đánh giá giải học sinh qua điểm số phải công Sau học sinh trình bày lời giải, việc giáo viên nhận xét đúng, sai cần phải xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày tiến - 20 - 2.3.2 Giáo viên cần nhấn mạnh dấu hiệu đặc trưng khái niệm, quy tắc… Trong việc dạy học toán việc dạy học môn học trường phổ thông, điều quan trọng hình thành cách vững cho học sinh hệ thống khái niệm Đó tảng toàn kiến thức toán học học sinh, tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả vận dụng kiến thức học Muốn làm tập, điều quan trọng học sinh phải nắm vững kiến thức liên quan đến tập Tức khái niệm, định lý, quy tắc Học tốt khái niệm toán điều kiện để đảm bảo tư toán học xác, không học tốt khái niệm, định lý nguyên nhân gốc dẫn đến sai lầm giải tập toán Về mặt kỹ năng, cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải tập toán đếm * Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu phương án phân biệt, tức cách thực công việc thuộc phương án Quy tắc cộng phát biểu dạng tổng số phần tử tập hợp không giao * Trong quy tắc nhân phát biểu: Với cách thực công đoạn A i công đoạn Ai+1 làm theo ni+1 cách Như vậy, số cách thực công đoạn Ai+1 ni+1 không phụ thuộc vào cách thực công đoạn Khi dạy khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được: - 21 - - Thế hoán vị tập hợp, hai hoán vị tập hợp khác nghĩa gì, nhớ công thức tính số hoán vị tập hợp - Thế hợp chập k phần tử tập hợp có n phần tử, hiểu chỉnh hợp chập n n phần tử hoán vị tập hợp Hai chỉnh hợp chập k n phần tử A khác chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp - Hiểu rõ tổ hợp chập k n phần tử tập hợp A, khác hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp - Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Ngoài giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc dùng công thức tổ hợp, dùng công thức chỉnh hợp toán đếm Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp tổ hợp Trong trình dạy hai khái niệm giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp tổ hợp: Tổ hợp không kể đến thứ tự phần tử chọn nghĩa việc thay đổi vị trí phần tử không tạo cách Chỉnh hợp ngược lại, kể đến thứ tự phần tử chọn ra, việc thay đổi thứ tự phần tử sinh cách 2.3.3 Hướng dẫn học sinh giải toán gián tiếp Một loại toán có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm phương pháp giải toán cho lớp toàn G.Pôlya đưa bước quan trọng cho việc tìm đến lời giải toán: - Tìm hiểu nội dung toán - 22 - - Xây dựng chương trình giải - Thực chương trình giải - Kiểm tra nghiên cứu lời giải Khi dạy quy tắc cộng quy tắc nhân, toán đếm phức tạp giáo viên hướng dẫn học sinh chuyển giải toán gián tiếp: Trong số toán đếm, số phần tử tập E có tính chất A khó đếm việc đếm số phần tử E tính chất A dễ ta nên dùng toán gián tiếp, tức đếm số phần tử E tính chất A, sau tính số phần tử tập E có tính chất A số phần tử tập E trừ số phần tử tập E tính chất A E=B ∪B Trong B tập hợp phần tử có tính chất A B tập hợp phần tử tính chất A E B Khi đó: B /B/ = /E/ - /B/ - Nếu toán chuẩn dạng biết sử dụng quy tắc biết để giải - Nếu toán không chuẩn cần hành động theo hướng: Tách từ toán chia nhỏ toán thành toán nhỏ có dạng chuẩn diễn đạt lại toán theo cách khác, dẫn đến toán đến toán có dạng chuẩn - 23 - Nhiều học sinh biết cách chuyển toán gián tiếp trình chuyển đổi lại gặp sai sót Giáo viên cần đưa ví dụ dễ gặp sai sót hướng dẫn học sinh giải cẩn thận PHẦN : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Nội dung 3.1.1 Cách thức tiến hành Thực nghiệm tiến hành trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai chọn lớp 11B1 lớp thực nghiệm lớp 11B lớp đối chứng Trình độ chung môn toán lớp tương đương Giáo viên dạy lớp thực nghiệm giáo viên dạy đối chứng 3.1.2 Nội dung Thực nghiệm tiến hành tiết đầu chương: Tổ hợp xác suất (Sách giáo khoa Đại số 11 – nâng cao) Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra Nội dung đề kiểm tra sau: Đề kiểm tra: 20 phút Cho chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số có chữ số phân biệt chia hết cho 5? (Đáp án: 390) Một lớp học có nam sinh nữ sinh ưu tú (trong có nam sinh Cường nữ sinh Hoa) Cần lập ban cán gồm người ưu tú với yêu cầu có nữ, - 24 - Cường Hoa làm việc chung với ban cán Hỏi có cách lập ban cán sự? (Đáp án: 260 cách) 3.2 Đánh gái kết 3.2.1 Đánh giá định kỳ: Qua thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu tốt kiến thức Đại số tổ hợp trang bị Học sinh học tập cách tích cực Nhưng khó khăn sai lầm học sinh giảm nhiều Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy nghĩ làm kiểm tra đạt kết cao 3.2.2 Đánh giá định lượng: Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) thể thông qua bảng thống kê sau: Điể m 10 TN(11B1) 32 hs 0 2 6 ĐC(11B2) 32 hs 4 Lớp * Lớp thực nghiệm 11B1 có: 84,4% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; có 56,3% số học sinh đạt điểm khá, giỏi * Lớp đối chứng 11B có: 65,6% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; có 34,4% học sinh đạt điểm giỏi 3.2.3 Kết luận: - 25 - Kết cho thấy người giáo viên hoàn toàn có khả dự đoán sai lầm mà học sinh mắc phải giải toán Đồng thời đưa biện pháp sư phạm nhằm hạn chế sai lầm Trong khuôn khổ đề tài này, tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót Vì vậy, mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa quý thầy cô - 26 - [...]... cách 2.3 Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề Đại số tổ hợp 2.3.1 Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính xác cho từng bài toán Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung... của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp đó Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp - Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp - Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào... liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn chưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp Dịnh nghĩa chỉnh hợp: ‘‘Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1≤ k ≤ n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)” Định nghĩa tổ hợp: ‘‘Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1≤... tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)” Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn Ví dụ 4 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ? ♠ Học sinh giải như sau: Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0 Tổng số cách chọn 3 chữ số trong... phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính xác và thuyết phục Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm, và việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng Sau khi học sinh trình bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải chính xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày... thuộc vào bất kỳ cách nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được: - 21 - - Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp - Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử, hiểu được một chỉnh hợp chập n của. .. nữ đều ngồi cạnh một học sinh nam khác Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự) Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này Có C 25 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ 6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn Vậy số. .. chữ số 5? ♠ Lời giải của học sinh: Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là: A46 = 360 cách Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài toán Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5 là: A45 = 120 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là: - 16 - A46 - A45 = 360 – 120 = 240 (Số) ♠ Sai lầm ở đây là: Học sinh. .. …bk dẫn đến sai lầm trong giải toán Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức toán học cơ bản như: Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các số chẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên đã có nhiều sai lầm đáng tiếc khi giải bài tập Ví dụ 7: Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và trong đó... thức về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp Trong quá trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp: Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới