ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM THỊ HIÊN MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Lê Anh Vinh Hà Nội MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.1 Nhắc lại tập hợp 1.2 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.3 Giai thừa hoán vị 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp 1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp tổ hợp lặp 1.5.1 Chỉnh hợp lặp .6 1.5.2 Hoán vị lặp 1.5.3 Tổ hợp lặp CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 2.1 Một số toán đếm không lặp 2.1.1 Bài toán lập số 2.1.2 Bài toán chọn vật, chọn người, xếp 17 2.1.3 Bài toán tương tự 26 2.2 Một số toán đếm có lặp .28 2.2.1 Bài toán lập số 29 2.2.2 Bài toán đếm sử dụng tổ hợp lặp 32 2.2.3 Bài toán đếm sử dụng chỉnh hợp lặp 36 2.2.4 Bài toán đếm sử dụng hoán vị lặp 37 2.2.5 Bài toán phân bố đồ vật vào hộp 38 2.2.6 Bài toán tương tự 39 CHƯƠNG - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO 41 3.1 Một số toán sử dụng nguyên lý bù trừ .41 3.1.1 Nguyên lý bù trừ .41 3.1.2 Các toán giải phương pháp bù trừ 42 3.2 Một số toán giải phương pháp song ánh 48 3.2.1 Phương pháp song ánh .48 3.2.2 Các toán tổ hợp giải phương pháp song ánh 49 3.3 Một số toán giải phương pháp hàm sinh 50 3.3.1 Bài toán chọn phần tử riêng biệt 50 3.3.2 Bài toán chọn phần tử có lặp 51 3.4 Một số toán giải phương pháp hệ thức truy hồi 55 3.4.1 Khái niệm mở đầu mô hình hóa hệ thức truy hồi .55 3.4.2 Các toán tổ hợp giải hệ thức truy hồi 56 3.4.3 Các toán tương tự .58 3.5 Bài toán giải nguyên lí cực hạn - khả xảy nhiều nhất, 58 3.6 Bài toán giải phương pháp xếp thứ tự 59 3.7 Bài toán giải phương pháp liệt kê trường hợp 60 KẾT LUẬN .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp lĩnh vực nghiên cứu từ sớm Hiện giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi đại học cao đẳng nước ta Mặc dù mức độ không khó học sinh gặp khó khăn giải toán Còn kỳ thi Quốc gia Quốc tế, toán tổ hợp có mặt thử thách thực với thí sinh, chí định thành tích đội tuyển dự thi Trong luận văn đề cập đến số toán tổ hợp toán học phổ thông, cụ thể toán tổ hợp sử dụng phương pháp đếm từ đến nâng cao Đây coi tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh THPT chủ đề Luận văn gồm ba chương: Chương 1- Cơ sở lý thuyết tổ hợp Chương 2- Một số toán tổ hợp Chương 3- Một số toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên toán tổ hợp luận văn ít, chưa có nhiều toán khó Ngoài khoá luận tránh khỏi sai sót nhiều góc độ, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn CHƯƠNG - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP Chương nhắc lại số lý thuyết tập hợp hệ thống lý thuyết toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ bản, nâng cao hệ chuyên nghành toán 1.1 Nhắc lại tập hợp Tập hợp A hợp gọi tập tập Định nghĩa: Cho tập hợp Tập B phần tử tập thuộc ⊂ A B⇒ x ∈ A ) ( ∀x ∈ B⇔ Tính chất: - Mọi tập hợp có tập φA - Tập có phần tử số tập 2nAn Tập hợp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có phần m tử gọi thứ tự với phần tử tập hợp ta cho tương ứng số tự nhiên từ đến , cho với phần tử khác ứng với số khác Khi thứ tự phần ( ba11 ,ba22m, , abmm ) tử dãy hữu hạn phần tử hai thứ tự phần tử tương ứng ⇔ ba, , am.) ((iab=, ab1,2, , i b 11 m m = = Số phần tử số tập hợp AA ) tử số phần tử kí hiệu Tập hợp có hữu hạn phần n (A là: A, B, C tập hợp hữu hạn, A∪ B = A + B − A∩ B A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − C ∩ A + A∩ B ∩C 1) An Tổng quát: Cho tập hợp A1 , (An2n>, , hữu hạn Khi ( ) A n m ∑ 1∑ A Aii∩−Ak + n a n, a , , a 1≤i < k ≤i =n1 …+ │…│= ++ n −1n (−1) ∑A1 ∩AAi 2∩∩A k ∩ ∩A Anl 1≤i < k , , 1) An Nếu tập hợp hữu hạn, số phần tử tích đề các tập hợp tích số phần tử tập thành phần Để liên hệ với quy tắc nhân =A1A ×1A.2A×1n22 × AAnn nhớ việc chọn phần tử tích đề tiến hành cách chọn phần tử , phần tử ,…, phần tử Theo quy tắc nhân ta nhận đẳng thức: 1.3 Giai thừa hoán vị Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa , kí hiệu n ! tích số tự nhiên liên tiếp từ đến ∈n.¥ n! = 1.2.3n… ( n − 1) ( n ) , , >1 Quy ước : 0!= 1!= Hoán vị Định nghĩa ≥ 1) tử Một cách thứ tự phần tử Cho tập hợp , gồm phần (n nA tập hợp gọi hoán vị phần tử Kí hiệu: số hoán vị Pn n phần tử = n ! = 1.2P… n ( n − 1) n 1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp Chỉnh hợp Định nghĩa ≥ 1) Kết việc lấy phần tử Cho tập hợp gồm phần tử (n nkA khác từ phần tử tập hợp xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập phần tử cho Kí hiệu: số chỉnh hợp chập Ankk phần tử n n ≤A nk( !kn≤− k + 1) Công thức: == (với 1) n.( n − 1) … n (n − k )! Chú ý Nhưng lần sử dụng hàm sinh Cụ thể Đầu tiên ta xét tập hợp có phần { a1} tử Ta có: cách chọn phần tử cách chọn phần tử cách chọn phần tử trở lên Suy hàm sinh cho số cách chọn 1{ a+1}x n phần tử từ tập { } (1{1a+≤i }xi ≤ k ) Tương tự vậy, hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập (không phụ thuộc vào khác biệt ) Tiếp tục xét tập phần tử ta có { a1 , a2 } cách chọn phần tử cách chọn phần tử cách chọn phần tử cách chọn phần tử trở lên Suy hàm sinh cho số cách chọn { a1 , a2 } n phần tử từ tập + x + x2 = ( + x ) = ( + x ) ( + x ) Tiếp tục áp dụng quy tắc ta hàm sinh cho số cách chọn phần tử từ tập k phần tử ( + x ) ( + x ) ( + x ) = ( + x ) k k Ck0 + Ck1 + Ck2 + + Ckk = ( + x ) Ta có Như hệ số xn ( +Ckxn ) k số cách chọn n phần tử phân biệt từ tập k phần tử 3.3.2 Bài toán chọn phần tử có lặp Để hiểu cách giải toán trước tiên ta phải mở rộng, ta có quy tắc xoắn A ( AB A x∪ )( BxB)( x ) Gọi hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập hợp A hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập 51 hợp B Nếu A B rời hàm sinh cho cách chọn phần tử từ tập Quy tắc cho trường hợp chọn phần tử phân biệt, cho trường hợp chọn nhiều lần phần tử Bài 87: Có cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử, cho phép phần tử chọn nhiều lần Giải: Ai ,1 ≤ i ≤ n Chia tập n phần tử thành hợp n tập ; tập gồm phần tử thuộc tập n phần tử Với tập ta có: Ai cách chọn phần tử cách chọn phần tử cách chọn phần tử Suy hàm sinh cách chọn có Ai lặp từ tập + x + x + x + = Áp dụng quy tắc xoắn suy 1− x hàm sinh cách chọn có lặp phần tử từ tập hợp n phần tử : 1 1 = 1− x 1− x 1− x ( 1− x) n Bây ta cần tính hệ số xk n ( 1− x) Áp dụng khai triển Taylor f ( x) = ( 1− x) n = f ( 0) + f ' ( 0) f '' ( ) f ( k ) ( 0) k x+ x + + x + 1! 2! k! k f ( k ) x k Suy hệ số = Cn + k −1 k! Như số cách chọn k phần tử 52 Cnk+ k −1 có lặp từ tập hợp có n phần tử Bài 88 : Có loại kẹo : kẹo sữa, kẹo chanh, kẹo socola, kẹo dâu kẹo cà phê Hỏi có cách chọn 12 kẹo từ loại kẹo Giải : Theo tập số cách chọn 12 C1612 kẹo từ loại kẹo Bài 89 : Bài toán chọn Có cách xếp giỏ n trái thỏa mãn điều kiện sau : Số táo phải chẵn Số chuối phải chia hết cho Chỉ có nhiều cam Chỉ có nhiều đào Bài toán có điều kiện ràng buộc phức tạp ta có cảm giác việc giải toán vô vọng Nhưng hàm sinh lại cho ta cách giải nhanh gọn Giải: Trước tiên ta tìm hàm sinh cho loại Chọn táo cách chọn táo cách chọn táo cách chọn táo cách chọn táo ……………………… A ( x ) = + x + x + = Như ta có hàm sinh − x2 Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn chuối : 53 B ( x ) = + x + x10 + = 1 − x5 Hàm sinh cho cách chọn cam đào khác chút Chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam cách chọn cam C ( x ) = + x + x + x3 + x = − x Như ta có hàm 1− x sinh Tương tự ta tìm hàm sinh cho cách chọn đào : − x2 D ( x) = 1+ x = 1− x Áp dụng Quy tắc xoắn suy hàm sinh cho cách chọn từ loại là: A( x) B ( x) C ( x) D ( x) = 1 − x5 − x = = + x + 3x + x + 2 − x − x − x − x ( − x2 ) Như cách xếp giỏ trái gồm n + n trái đơn giản cách Bài 90: Tìm hàm sinh để xác định số cách chia 10 bóng giống cho đứa trẻ để đứa nhận hai Giải: Để giải toán ta tìm hàm sinh cho số cách chia bóng cho đứa trẻ Giả thiết cho đứa nhận hai bóng nên ta suy cách đứa trẻ nhận 54 cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận x + x + x + Vậy hàm sinh cho cách chia Áp dụng quy tắc xoắn ta tìm hàm sinh cho cách chia bóng cho đứa trẻ F ( x ) = ( x + x + x + ) = x8 ( + x + x + x + ) = x8 ( 1− x) = x8 ∑ C4k+ k −1 x k n≥0 = ∑ C3k+ k x k +8 n≥0 4 Suy số cách chia 10 bóng hệ số cách 3.4 Một số toán giải phương pháp hệ thức truy hồi 3.4.1 Khái niệm mở đầu mô hình hóa hệ thức truy hồi Đôi ta khó định nghĩa đối tượng cách tường minh Nhưng dễ dàng định nghĩa đối tượng qua Kỹ thuật gọi đệ quy Định nghĩa đệ quy dãy số định rõ giá trị hay nhiều số hạng quy tắc xác định số hạng từ số hạng trước Định nghĩa đệ quy dùng để giải toán đếm Khi quy tắc tìm số hạng từ số hạng trước gọi hệ thức truy hồi Định nghĩa : Hệ thức truy hồi (hay công thức truy hồi) dãy số {a n} công thức biểu diễn a n qua hay nhiều số hạng trước dãy Dãy số gọi lời giải hay nghiệm hệ thức truy hồi số hạng thỏa mãn hệ thức truy hồi 55 10 C52 = x10 3.4.2 Các toán tổ hợp giải hệ thức truy hồi Bài 91 (Lãi kép): Giả sử người gửi 10.000 đô la vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Giải: Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Vì số tiền có tài khoản sau n năm số có sau n − năm cộng lãi suất năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau: Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1 với điều kiện đầu P0 = 10.000 đô la Từ suy P n = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la Bài 92 Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n hai số liên tiếp Có xâu nhị phân có độ dài 5? Giải: Gọi an số xâu nhị phân độ dài n hai số liên tiếp Để nhận hệ thức truy hồi cho {a n}, ta thấy theo quy tắc cộng, số xâu nhị phân độ dài n hai số liên tiếp số xâu nhị phân kết thúc số cộng với số xâu kết thúc số Giả sử n ≥ Các xâu nhị phân độ dài n, hai số liên tiếp kết thúc số xâu nhị phân thế, độ dài n − thêm số vào cuối chúng Vậy chúng có tất an-1 Các xâu nhị phân độ dài n, hai số liên tiếp kết thúc số 0, cần phải có bit thứ n − 1, không chúng có hai số hai bit cuối Trong trường hợp 56 chúng có tất an-2 Cuối ta có được: an = an-1 + an-2 với n ≥ Điều kiện đầu a1 = a2 = Khi a5 = a4 + a3 = a3 + a2 + a3 = 2(a2 + a1) + a2 = 13 Bài 93 (Bài toán tháp Hà Nội) Có cọc 1,2,3 Ở cọc có n đĩa xếp chồng lên cho đĩa nằm lớn đĩa nằm Hãy chuyển tất đĩa từ cọc sang cọc dùng cọc làm cọc trung gian với điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác đảm bảo đĩa nằm lớn đĩa nằm Bài toán đặt là: Tìm số lần di chuyển đĩa cần thực để giải xong toán Giải: Phương pháp di chuyển sau: Gọi Sn số lần di chuyển đĩa cần thực Chuyển n – đĩa từ cọc sang cọc (lấy cọc làm trung gian) ta có S n-1 phép chuyển Chuyển đĩa lớn từ cọc sang cọc Ta có phép chuyển Chuyển n – đĩa từ cọc sang cọc (lấy cọc làm trung gian) ta có S n-1 phép chuyển S n-1 +1S+ ,SS -1,SS=n2−, 21 S+n1−1 + Do để chuyển n n0 = n12   S1 = đĩa từ cọc sang cọc 3, ta cần phép chuyển Vậy ta có công thức truy hồi dãy số Ta có S n = S n −1 + = ( S n − + 1) = 22 ( Sn −3 + 1) + + = 23 S n −3 + 22 + + = = 2n −1 S1 + n −2 + n −3 + + + Bài = 2n −1 + 2n −2 + 2n −3 + + + = 57 n −1 1− + = 2n − 1− (Olympic Bungari, 94 1995) >≥a2i +n1a− Cho số nguyên Hãy i ∈( a{11,a, ain2, , , , n )1} tìm số hoán vị 1, 2,…,n cho tồn số thỏa mãn Giải: i −1n − = an+na1ann−n−1)− aii (∈ =(a1, a{1n11, ,a2, , ,(aa1i2, , , , ≥, , 2) }1) n2> 2C n −i1i≤ Gọi Sn số hoán vị thỏa mãn điều kiện toán Để ý số hoán vị mà S n-1 (Bởi số hoán vị Sn-1 số hoán vị cho tồn số thỏa mãn ) Còn số hoán vị thỏa mãn điều kiện toán với n− n1−1 Do (Do ) i =i1=1 Hiện nhiên S2 = Sn = 2n − n − S n = S n −1 +∑ ∑CCni −n−i1−1−11==2Sn−n1−1 + 2n−1 − Tương tự ta có 3.4.3 Các toán tương tự Bài 95: Bạn A viết thư cho người khác chuẩn bị sẵn phong bì ghi sẵn địa họ Hỏi có cách bỏ thư vào phong bì cho thư gửi đến người có địa ghi phong bì OAi Ai +1 (A11≤; Ai2≤; ;n )A12( A13 = A1 ) Bài 96: Xét đa giác 12 đỉnh với tâm O Chúng ta tô màu miền đa giác màu đỏ, xanh da trời, xanh thẫm, vàng cho hai miền đa giác kề tô hai màu khác Hỏi có cách tô màu vậy? 3.5 Bài toán giải nguyên lí cực hạn - khả xảy nhiều nhất, Bài 97 Cho 1985 tập hợp, tập hợp số gồm 45 phần tử, hợp hai tập hợp gồm 89 phần tử Có phần tử chứa 58 tất 1985 tập hợp Giải: A2 , aA3∈, , A1 A46 Ta chứng minh có tồn số mà a thuộc 45 tập hợp khác 44.45 + = 1981 Giả sử ngược lại: Mọi phần tử A thuộc nhiều 44 tập hợp nên phần tử A thuộc nhiều tập hợp Vì hợp hai tập hợp có số phần tử 89 nên giao hai tập hợp phần tử Suy A giao với 1984 tập hợp khác Suy phần tử thuộc A thuộc 1984 tập hợp khác (mâu thuẫn) A1 , A2 , , A46 Vậy tập hợp giao phần tử a A1 , A2 , , A46 (a tồn b thuộc vào tập hợp giao hai tập hợp có hai phần tử) A1 , A2 , , A46 Giả sử A* không chứa a Suy A* giao với 46 phần tử khác Do A * có 46 phần tử (mâu thuẫn với giả thiết) 3.6 Bài toán giải phương pháp xếp thứ tự Bài 98 Cho số thực có tính chất 2nn++11 tổng n số nhỏ thua tổng số lại Chứng minh tất số dương Giải: Sắp xếp số cho theo thứ tự tăng dần, ta có a1 ≤ a2 ≤ ≤ a2 n +1 Theo giả thiết ta suy an + + an + + + a2 n +1 < a1 + a2 + + an +1 59 Suy a1 > ( an + − a2 ) + ( an + − a3 ) + + ( a2 n +1 − an +1 ) ≥ Vì giả thiết nhỏ nên ta có điều phải chứng minh Bài 99 Cho 2n số nguyên dương − a j phân biệt không vượt n2 Chứng minh tồn hiệu Giải: Vì 2n số cho phân biệt nên ta xếp a1 < a2 < < a2 n +1 Đặt S = ( a2 − a1 ) + ( a3 − a2 ) + + ( a2 n − a2 n −1 ) Giả sử không tồn ba hiệu – aj nhau, S > + + + + + ( n − 1) + ( n − 1) + n Suy S ≥ ( n − 1) n + n = n 2 Hơn S = a2 n − a1 ≤ n − Từ hai bất đẳng thức suy mâu thuẫn 3.7 Bài toán giải phương pháp liệt kê trường hợp Bài 100 Người đưa thư phân phát thư tới 19 nhà dãy phố Người đưa thư phát hai nhà liền kề nhận thư ngày nhiều hai nhà không nhận thư ngày Hỏi có cách phân phối thư? Giải: Từ giả thiết thứ ta thấy hai nhà liên tiếp có nhà không 60 nhận thư Suy số nhà không nhận thư số nhà nhận thư nhiều 10 Suy có nhiều 10 người nhận thư ngày Từ giả thiết thứ hai ba nhà liên tiếp có nhà nhận thư Vậy có nhà nhận thư ngày Ta liệt kê trường hợp toán: • Trường hợp 1: Có nhà nhận thư Gán số vào vị trí nhận thư gán số vào nhà không nhận thư Mà hai vị trí phải có nhà số nên suy có nhà không nhận thư Còn nhà không nhận thư xếp sau: Hai nhà không nhận thư hai vị trí đầu, hai vị trí cuối, bốn nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ với nhà nhận thư Vậy trường hợp có cách C54 = xếp • Trường hợp 2: Có nhà nhận thư nhà xen kẽ với nhà không nhận thư nên nhà không nhận thư xếp sau: nhà đầu, nhà cuối, nhà C62 = 15 lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, 1nhà cuối, nhà C63 = 20 lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, nhà cuối, nhà C63 = 20 lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, nhà cuối, nhà C64 = 15 lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, nhà cuối, nhà C64 = 15 lại xếp vào vị trí xen kẽ Có 61 nhà đầu, nhà cuối, 4nhà C64 = 15 lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, nhà cuối, nhà C65 = lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, nhà cuối, nhà C65 = lại xếp vào vị trí xen kẽ Có nhà đầu, nhà cuối, nhà lại xếp vào vị trí xen kẽ Có cách Vậy trường hợp có 113 cách • Trường hợp 3: Có nhà nhận thư nhà xen kẽ với nhà không nhận thư nên cò nhà không nhận thư xếp sau: nhà đầu, nhà cuối Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C71 = lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C71 = lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C72 = 21 lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C72 = 21 lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C72 = 21 lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C73 = 35 lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C73 = 35 lại xếp vào vị trí Có cách nhà đầu, nhà cuối, nhà C74 = 35 lại xếp vào vị trí Có cách Vậy trường hợp có 183 cách Bằng cách chứng minh tương tự ta có kết cho trường hợp lại: • Trường hợp 4: Có nhà nhận thư Có 47 cách • Trường hợp 5: Có 10 nhà nhận thư Có cách Vậy người đưa thư có + 113 + 183 + 47 + = 349 cách phân phối thư 62 KẾT LUẬN Luận văn MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP ĐẾM phân loại số dạng tập tổ hợp sử dụng phép đếm từ đến nâng cao Ngoài chọn lọc số toán tổ hợp hay phù hợp với học sinh trung học phổ thông ôn tập chuẩn bị tham gia vào kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học hay tham gia kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế 63 Rõ ràng toán tổ hợp khó, khuôn mẫu định cho việc giải, đòi hỏi sáng tạo, tư không ngừng từ phía người đọc Mặt khác toán thường kích thích cho việc hình thành tư toán học kĩ trình bày, giải vấn đề học sinh Ngoài việc phát triển kĩ này, toán tổ hợp mang tính thực tế tính thẩm mỹ cao, đem lại cho học sinh đam mê, hứng thú Tôi tin toán tổ hợp thú vị đem đến tranh luận hấp dẫn thể loại toán khác TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (1994), Tài liệu chuẩn kiến thức lớp 12, NXB Giáo 64 dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán tổ hợp,Nhà xuất Hà Nội Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2009), Giải tích toán học rời rạc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục Tạp chí toán học tuổi trẻ , Nhà xuất Giáo dục 65 [...]... MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN Chương 1 đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp Dựa trên cơ sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày một số 8 bài toán tổ hợp cơ bản, phù hợp với học sinh THPT khi tham gia các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học 2.1 Một số bài toán đếm không lặp Trong các bài toán về phép đếm không lặp, mỗi phần tử cần đếm chỉ có thể xuất hiện tối đa một. .. chỉ một và một trong 2 danh thủ nói trên Bài 42:Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số 2.2 Một số bài toán đếm có lặp Trong các bài toán đếm có lặp, mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần Để giải các bài toán đếm có lặp, người ta thường quy về các bài toán đếm. .. 2.1.3 Bài toán tương tự Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại quá 1 lần Bài 28: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng trước Bài 29: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau là số lẻ và nhỏ hơn 600000 Bài 30: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau là số chẵn và 26 nhỏ hơn 25000 Bài 31: Từ được bao nhiêu số. .. 6 chữ số từ nên số 1 phải có mặt tối thiểu 3 lần Gọi A3 là tập hợp các số có 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần Khi đó mỗi số 2, 3, 4 có mặt đúng một lần A4 là tập hợp các số có 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 4 lần Khi đó mỗi số 2, 3, 4 có mặt tối đa một lần A5 là tập hợp các số có 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 5 lần Khi đó mỗi số 2, 3, 4 có mặt tối đa một lần Khi đó A3 ,A4 ,A5 đôi một rời nhau nên... a5 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ do đó nó là một hoán vị của 4 Có 4! cách chọn Vậy có 2.4.4 ! = 192 số thỏa mãn bài toán Bài 4: A = { 0, 1, …, 5} Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần Tính tổng tất cả các số đó Giải: Xét trường hợp các số lập được từ A có 6 chữ số (cả trường hợp số 0 đứng đầu) P6 = 6! = 720 Có số Ta thấy các số trong... Vì là số chẵn nên có 4 cách chọn Còn là một bộ phân biệt có thứ tự được chọn từ X do đó nó là một chỉnh hợp chập 5 của 8 (Trừ đi số a6 đã chọn) Có cách chọn Vậy có số thỏa mãn bài 4 A5 = 224 8 toán Bài 2: X 2,…,7} Cho tập hợp các chữ X = { 0, 1, số Từ tập hợp có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau từng đôi một thỏa mãn : a Là số chẵn b Là số tiến (chữ số sau lớn hơn chữ số đứng... dụng thêm một số kiến thức khác 28 2.2.1 Bài toán lập số Bài 43: Cho tập hợp A = { 0;1;2;3;4;5;6;7} Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ A? Giải: Vì các chữ số có thể 0;1;2;3;4;5;6;7) trùng nhau nên mỗi số tương ứng với một phép biến đổi có lặp 5 phần tử bớt đi trường hợp có số 0 đứng đầu (bằng một phép biến đổi có lặp 4 phần tử từ Vậy số các số bằng 85 − 84 = 28672 Bài 44:... nk ! 1.5.3 Tổ hợp lặp Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không có thứ tự k phần tử có thể lặp lại của tập đã cho Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do đó có thể là k > n 7 Định lý 1.5.3 Số tổ hợp lặp chập Cnk+ k −1 k từ tập n phần tử bằng Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu diễn bằng một dãy n−1... để đặt 5 chữ số 1 n1 = C65 = 6 Số cách chọn là 30 Bước 2 một vị trí còn lại đặt một trong ba số 2, 3, 4 n2 = A31 = 3 Số cách chọn A5 = n1.n2 = 6.3 = 18 Vậy Vậy số các số có 6 chữ số cần tìm là 120+90+18=228 số Bài 46: A = { 0;1; 2;3; ;9} Cho tập hợp Cần lập ra các số tự nhiên có 7 chữ số thoả mãn đồng thời các tính chất sau: a Chữ số ở vị trí thứ 3 ( hàng vạn) là một số chẵn b Đó là số không chia... , a51}, a6 , a7 12 là một bộ 6 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử Có số A96 5 Vậy có số thỏa mãn 3 A4 + 3.A A85 7+4 +A96A8= 69720 7 bài toán Bài 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó mỗi số có tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị Giải: Gọi số cần tìm là: n =aa11a≠20 a6 , Ta có Vậy tổng của ba 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 chữ số đầu là 10 Dễ thấy