MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, AG cắt (BCD) A’ Chứng minh A’ trọng tâm tam giác BCD ( Đường thẳng qua đỉnh trọng tâm tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh ấy) Định hướng phương pháp lời giải: Bằng việc bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian, toán chuyển thành toán hình học phẳng sau đây: Cho tam giác ABN, M trung điểm AB, G trung điểm MN, AG cắt cạnh BN A’ Chứng minh BA’ = A’N Mặt phẳng Không gian A A M M B G D A' G N N B C D A' Bài toán học sinh THCS dễ dàng chứng minh sau học tính chất đường trung bình Cụ thể chứng minh sau: Kẻ đường thẳng qua M song song với AA’ cắt BN D MD; GA’ lần lươt đường trung bình  ABA’  NMD nên BD = DA’ = A’N Vậy BA’ = 2A’N Ví dụ 2: (SGK hình học 11 - Cơ bản) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Chứng minh đường thẳng AC’ qua trọng tâm G  BA’D Định hướng phương pháp lời giải: Bài toán trở nên đơn giản hơn, dễ hình dung, dễ giải nhiều học sinh biết cách bóc tách phận phẳng khỏi không gian để đưa toán hình học phẳng sau: Cho hình bình hành AA’C’C, O trung điểm cạnh AC, A’O cắt cạnh AC’ G Chứng minh C’G = 2AG Mặt phẳng Không gian A D A O B O C C G G M D' A' A' E B' C' C' Chứng minh: Gọi E trung điểm A’C’ kẻ CE cắt AC’ M Dễ thấy A’ECO hình bình hành nên CE // A’O Vậy OG EM đường trung bình  ADC  C’A’G  AG = GM = MC’ (đpcm) Ví dụ 3: Tứ diện SABC, có cạnh bên tạo với mặt đáy góc  Đáy  ABC vuông C, cạnh AB = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Định hướng phương pháp lời giải: Gọi H chân đường cao hạ từ S thì: HA = HB = HC,  ABC vuông C nên  H trung điểm AB Đến học sinh tính bán kính cách sử dụng tính chất đồng dạng tam giác Tuy nhiên học sinh giải toán cách đơn giản nhận thấy tâm mặt cầu tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB, từ tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đưa giải toán phẳng đơn giản sau: S Không gian H A B C Tam giác SAB cân S, AB = a, góc A =  Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp  SAB S Mặt phẳng O A   B Bài toán phẳng giải dễ dàng sử dụng định lý hàm số Sin a AB  2R  R  sau: sin 2 SinS b Một số tập áp dụng Bài 1: ( Trang 103 - Hình học 11 - Nâng cao) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc a Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn b Chứng minh hình chiếu H điểm O (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC 1 1    c Chứng minh OH OA2 OB OC Bài 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với OA = a, OB = b, OC = c Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA c Một số nhận xét + Yếu tố cốt lõi để giải toán hình học không gian thường bị che khuất, khó phát hình không gian thường có nhiều đường phụ gây khó khăn cho học sinh việc hình dung, tưởng tượng Vì khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian giúp học sinh đơn giản hóa toán, dễ dàng tìm yếu tố then chốt toán từ giải toán dễ dàng + Hoạt động tách phận phẳng khỏi không gian có ý nghĩa cụ thể là: - Xác lập liên hệ hình học không gian hình học phẳng - Kết nối dạy học toán THCS THPT - Xác lập liên hệ liên môn, liên hệ bên môn toán - Nâng cao hiệu hoạt động giải toán hình học không gian từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh 3.2 Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình Nhiều toán hình học không gian giải dễ dàng cách đưa giải toán hình học phẳng thông qua hoạt động trải hình (hay khai triển hình) Đây hoạt động khai triển yếu tố không gian lên mặt phẳng, chuyển toán không gian toán hình học phẳng, gắn kết toán phẳng toán không gian a Các ví dụ minh họa: Ví dụ 4: Chứng minh tứ diện có cặp cạnh đối đôi ( tứ diện gần đều) góc tam diện đỉnh có tổng góc phẳng 180 Định hướng phương pháp lời giải: Ta trải tam giác ABC, ABD, DCD lên mặt phẳng (BCD) cho điểm A  ABC nằm vị trí điểm A1 không thuộc nửa mặt phẳng chứa D có bờ BC; tương ứng điểm A  ABD nằm vị trí điểm A ; điểm A  ACD nằm vị trí điểm A A C B D A1 Khi BA = BA = CD; BC = DA = DA BD = CA = CA nên tứ giác BCDA ; DBCA hình bình hành  BC//DA ; BC//DA  A ; D; A3 thẳng hàng Tương tự A ; B; A A ; C; A thẳng hàng B C  A2    A1 + A2 + A3 = 1800  D A3 đpcm Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, M;N thuộc cạnh AD; BB1 cho AM = BN Gọi I; J trung điểm AB; C1D1 a/ Chứng minh IJ cắt vuông góc với MN trung điểm MN b/ Dựng thiết diện lập phương tạo mặt phẳng chứa MN; IJ Tìm vị trí M, N cho thiết diện có chu vi bé Định hướng phương pháp lời giải: a/ Kéo dài IN cắt AA1 K, ta có AK = BN  AK = AM  MK // AD1 Vì IJ//AD1  IJ // KM, IJ đường trung bình  NKM  IJ cắt MN trung điểm MN Mặt khác tam giác MIN cân I ( IM = IN) nên IJ vuông góc với MN  đpcm K A M D I B C F N A1 D1 J B1 E C1 b/ Dễ thấy thiết diện cần tìm lục giác IMFJEN E; F thuộc DD1; B1C1 cho MF//AD1; NE//BC1 Khi MF//IJ//NE FD1= EC1 = BN = AM = x (  x  a ) Khi chu vi thiết diện = 2(IM + MF + FJ) Tìm vị trí M, N để chu vi thiết diện bé ta tính chu vi theo x đưa toán hình học toán giải tích Tuy nhiên cách làm tương đối phức tạp, toán giải theo cách đơn giản thông qua họat động trải hình cụ thể sau: Ta trải mặt ABCD DCC1D1 lên mặt phẳng (ADD1A1) cho điểm B, C, I mặt ABCD nằm vị trí điểm B’, C’, I’ không thuộc nửa mặt phẳng chứa D1, A1 có bờ AD Tương tự điểm C, C1, J nằm vị trí điểm C’, C1’, J’ C' B' I' A M M' C' D I F' B C F N A1 D1 J' C1' J B1 E C1 Khi việc giải toán không gian quy giải toán hình học phẳng sau: Gọi chu vi thiết diện P, ta có: P = 2(I’M + MF + FJ’) Vì để P bé ta tìm vị trí M, F cho I’M + MF + FJ’ bé nhất, dễ thấy M trùng với M’ F trùng với F’ ( M’; F’ giao điểm I’J’ với AD DD1)  P bé  M; N trung điểm AD; BB1 b Một số tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh tổng góc phẳng hình chóp lớn 1800 cạnh bên nhỏ nửa chu vi đáy Bài 2: Cho tứ diện gần ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho chu vi tam giác MCD nhỏ Xác định giá trị nhỏ chu vi Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a Một mặt phẳng cắt cạnh tứ diện M, N, P, Q Chứng minh chu vi p thiết diện MNPQ không nhỏ 2a không lớn 3a Bài 4: Tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = 1; AB = a; CD = b; M, N trung điểm AB CD Tìm cạnh AD điểm P cho PM + PN đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ c Nhận xét: + Phương pháp trải hình vận dụng nhiều toán xác định vị trí điểm; toán cực trị hình học + Có thể giải toán cách khác nhiên đơn giản hiệu vận dụng phương pháp trải hình + Việc biết cách vận dụng phương pháp trải hình giúp học sinh giải nhiều toán hình không gian hay khó từ giúp học sinh rèn luyện phát triển tư sáng tạo 3.3 Biện pháp 3: Vận dụng phương pháp sử dụng tính bất biến phép chiếu song song Nhiều toán hình học đặc biệt toán hình không gian dễ dàng giải thông qua hoạt động sử dụng tính bất biến phép chiếu song song a Các ví dụ họa: Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Chứng minh đỉnh A, C’ trọng tâm G  BDA’ thẳng hàng Định hướng phương pháp lời giải: Hướng 1: C B O A D K G O' B' C' A' D' Xét phép chiếu S lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phương AC’ Khi phép chiếu S biến A thành C’, biến C’ thành C’, biến O thành O’ Ta có OO’//AC’, O’ thuộc (A’B’C’D’) nên O’ giao OK A’C’ A' G A' C '   C’ ảnh G qua phép chiếu S  A, G, C’ thẳng hàng A' O A' O'  Hướng 2: C B O O' A D G G' B' C' A' D' Xét phép chiếu lên (AA’B’B) theo phương AD biến A thành A, biến C’ thành B’, biến O thành O’ trung điểm AB, biến G thành G’ Vì tỉ số đoạn thẳng phương bảo toàn qua phép chiếu song song nên A' G ' A' G    G’ G ' O' GO giao AB’ A’O’ ảnh A, G, C’ thẳng hàng Tương tự xét phép chiếu lên (A’B’C’D’) theo phương AA’ ảnh A, G, C’ thẳng hàng  A, G, C’ thẳng hàng Ví dụ 7: Cho ba đường thẳng a, b, c đôi chéo nhau, dựng đường BA  m cho trước thẳng  cắt ba đường thẳng A, B, C cho BC Định hướng lời giải: Chọn mặt phẳng (P) cho b cắt (P) B’ phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) biến a, c thành a’, c’ cắt O Từ B’ vẽ đường thẳng song song với a’ cắt c’ B1, c’ ta B1O  m tìm điểm C’ cho B1C ' c C b B A a  C' B1 B' a' O c' A' ' B ' A' B1O   m Gọi A, C B ' C ' B1 C ' thuộc a, c cho ảnh A, B qua phép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) A’, C’  AA’//b; CC’//b nên đường thẳng  qua A, C cắt b BA B' A'   m Vậy  đường thẳng cần tìm B Khi theo định lí Talet BC B' C ' Ví dụ Chứng minh tứ diện trực tâm ( cặp cạnh đối đôi vuông góc) ba điểm sau thẳng hàng: Trọng tâm G, trực tâm H tâm mặt cầu ngoại tiếp O thẳng hàng Định hướng phương pháp giải: Đường thẳng C’B’ cắt a’ A’  A M G D O H H' B M' G' N O' C Gọi M, N trung điểm AB, CD Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (BCD), biến điểm B, C, D, N thành nó; biến A, H thành H’; biến điểm M, G, O thành M’, G’, O’ Khi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp  BCD Ta có AB  CD (ABCD tứ diện trực tâm ) AH’  CD nên BH’  CD (định lý đường vuông góc), tương tự CH’  BD H’ trực tâm  BCD Theo tính chất phép chiếu vuông góc M’ trung điểm BH’ G’ trung điểm M’N Để chứng minh H, G, O thẳng hàng ta cần chứng minh H’, G’, O’ thẳng hàng Tuy nhiên đến học sinh việc chứng minh không đơn giản Nhận thấy điểm M’, H’, G’, O’ thuộc mặt phẳng (BCD) nên ta bóc tách yếu tố phẳng khỏi không gian để đơn giản hóa toán cách đưa toán giải toán phẳng sau: Bài toán: “Cho  BCD H’, O’ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M’, N trung điểm BH’, CD; G’ trung điểm M’N Chứng minh ba điểm H’, G’, O’ thẳng hàng” Đến học sinh hoàn toàn giải toán cách sử dụng tính chất hình học học THCS Cụ thể lời giải sau: C B O' G' M' C1 N H' D C C đường kính đường tròn ngoại tiếp  BCD ta có: C1 B  BC DH '  BC nên C B//DH’, tương tự C1 D  CD BH '  CD nên C D//BH’  BC DH’ hình bình hành  C D = BH’ = 2O’N Mặt khác BH’ = 2M’H’  M’H’ = O’N, BH’  CD O’N  CD nên M’H’//O’N  M’H’NO’ hình bình hành, từ G’ trung điểm M’N nên suy G’ trung điểm O’H’ O’, G’, H’ thẳng hàng Đến toán phẳng chứng minh việc sử dụng tính chất hình học phẳng Trở lại toán ban đầu, tương tự thực phép chiếu vuông góc lên (ACD) biến O, G, H thành O’’, G’’, H’’ thẳng hàng Vậy áp dụng tính chất phép chiếu vuông góc ta có O, G, H thẳng hàng b Một số tập áp dụng: Bài 1( Bài tập Hình học 11 -Nâng cao - Trang 62) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ a/ Hãy xác định đường thẳng d cắt hai đường thẳng AC’ BA’ đồng thời song song với B’D’ AI b/ Gọi I, J giao điểm d với AC’ BA’ Tính tỉ số AC' 10 Bài 2: Cho ba đường thẳng đôi chéo không song song với mặt phẳng điểm G không nằm đường thẳng ba đường thẳng Hãy dựng tam giác có đỉnh thứ tự nằm ba đường thẳng cho nhận G làm trọng tâm c Nhận xét: + Có thể giải toán sử dụng tính chất khác quan hệ song song, quan hệ vuông góc nhiên toán phức tạp nhiều so với dùng tính chất phép chiếu song song + Để giải toán hình học không gian thường phải kết hợp nhiều phương pháp (chẳng hạn kết hợp phương pháp sử dụng phép chiếu song song phương pháp bóc tách phận phẳng khỏi không gian) + Việc đơn giản hóa toán; giải toán cách giải hay, ngắn gọn; giải toán nhiều cách giúp nhiều cho học sinh phát triển tư sáng tạo 3.4 Biện pháp 4: Vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ Việc vận dụng hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ vào học toán nói chung, giải tập hình học nói riêng việc làm có nhiều tác dụng thiết thực, công cụ hiệu để học sinh giải nhiều toán từ nâng cao hiệu hoạt động nhận thức toán học Chuyển đổi ngôn ngữ toán học đóng vai trò công cụ để học sinh đơn giản hóa toán, chuyển đổi yếu tố phức tạp sang yếu tố đơn giản, biến vấn đề chưa biết thành vấn đề biết, hướng việc tìm hiểu yếu tố toán học sang tìm hiểu yếu tố toán học khác Đối với hình học không gian dạng chuyển đổi ngôn ngữ chủ yếu sau: + Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ khác: Việc chuyển đổi chuyển hóa sư phạm từ ngôn ngữ khoa học sang ngôn ngữ toán học phổ thông (chẳng hạn chuyển đổi ngôn ngữ từ toán học cao cấp sang ngôn ngữ toán phổ thông) chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ, tọa độ, biến hình, đại số… + Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ hình học khác Việc huy động nhóm tri thức khác có nhiếu ý nghĩa thiết thực để giải toán hình học Để huy động kiến thức cần thiết phải chuyển hóa qua lại yếu tố bên như: yếu tố vuông góc chuyển hóa sang yếu tố song song, phép biến hình chuyển hóa sang phép biến hình khác… a Các ví dụ áp dụng: Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có tâm O Dựng thiết diện hình lập phương tạo mặt phẳng (P) qua O mặt phẳng vuông góc với AC’ Định hướng lời giải toán: 11 D A N B C S O P R D' A' Q C' B' Nhận thấy AC’  (BDA’) nên AC’  (P)  (P)// (BDA’) Từ ta chuyển toán với yếu tố vuông góc thành toán với yếu tố song song sau: Dựng thiết diện hình lập phương mặt phẳng (P) qua O // (BDA’) Khi áp dụng tính chất “ Hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng thứ ba theo hai giao tuyến phân biệt hai giao tuyến song song ” ta dễ thấy thiết diện cần tìm lục giác MNPQRS M, N, P, Q, R, S trung điểm CD, BC, BB’, A’B’, A’D’, DD’ Ví dụ 10: Tính thể tích tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c ( Tứ diện gần đều) Định hướng lời giải toán: Nhận thấy việc tính thể tích theo phương pháp thông thường tính diện tích đáy chiều cao khó thực với toán khó xác định chân đường cao hạ từ đỉnh tứ diện Bài toán dễ dàng giải thực phép chuyển đổi sau: Hướng 1: Từ B, C, D ta vẽ đường thẳng song song với CD, BD, BC Các đường thẳng đôi cắt M, N, P Ta có AB = CD = BM = BP nên  AMP vuông A, tương tự tam giác AMN, ANP vuông A V APMN = 1/6 xyz  V ABCD = ¼ V APMN = xyz Tính x, y, z theo a, 24 b, c A y c z b a N x D P a b c C B M Ta có: 12  x  z  4a  2  x  y  4b  y  z  4c   x  2a  2b  2c     y  2b  2c  2a  2  z  2a  2c  2b2 (a  b  c )(b  c  a )( c  a  b ) 12 Hướng 2: Qua cạnh hình chóp ta dựng mặt phẳng song song với cạnh đối diện, mặt phẳng giao tạo thành hình hộp ngoại tiếp tứ diện Vậy V  M B y x N A z D P Q C' V ABCD = V hộp – V MADB = xyz – 1/6 xyz = 1/3 xyz Ta tính x, y, z theo a, b, c kết hướng b Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M,N,P,Q thuộc AB, BC, CD, DA cho AM  AB ; BN  BC ; AQ  AD ; DP  k DC Hãy xác 3 định k để bốn điểm P, Q, M, N nằm mặt phẳng Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Một đường thẳng d cắt đường MA thẳng AA’, BB’, CC’ M, N, P cho NM  NP Tính MA' c Một số nhận xét + Phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ có phạm vi rộng, áp dụng nhiều giải toán hình học không gian + Việc vận dụng tốt phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh linh hoạt chuyển hóa yếu tố hình học để biến phức tạp thành đơn giản, chưa biết thành biết từ góp phần phát triển tư sáng tạ TÁC GIẢ: Trịnh Trọng Trung 13 14