Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có chương trình Là công cụ "mạnh" để giải hầu hết toán đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Ưu điểm phương pháp hiệu dễ sử dụng giải toán liên quan đến khảo sát hàm số Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh hay gặp khó khăn giải tốn liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các em thường mắc sai lầm mà em không tự khắc phục khơng có hướng dẫn người thầy Chẳng hạn, với tập "Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x  mx  (m  m  1)x  đạt cực đại x = 1" Đa số em sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 C6 (sĩ số 38) Số lượng Phần trăm Không giải 06 16 % Giải sai phương pháp 24 63 % Giải phương pháp 08 21 % Số lượng Phần trăm Không giải 13 36 % Giải sai phương pháp 19 53 % Giải phương pháp 04 11 % Lớp 12 C5 (sĩ số 36) Nhằm giúp học sinh nắm kiến thức đạo hàm, có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải tốn liên quan đến khảo sát hàm số, tơi chọn đề tài "phân tích Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" sai lầm học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - Hướng khắc phục" II Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III Nhiệm vụ nghiên cứu - Đánh giá thực tế trình vận dụng giải tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tốn liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban bản) để có giải tốn hồn chỉnh xác IV Đối tượng nghiên cứu - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI I Cơ sở lý luận Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số:  Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)  Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" 1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến:  Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f(x) - g(x)  Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x)g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f(x)g(x) f(x) g(x) hai hàm số không dương D 1.3 Cơng thức tính đạo hàm: Hàm số hợp y  u  có đạo hàm y ' = .u 1 u ' (*)  công thức (*) với số mũ  số  Nếu  khơng ngun cơng thức (*) u nhận giá trị dương 1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí sau:  Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f '(x) > với x  K hàm số f(x) đồng biến K b Nếu f '(x) < với x  K hàm số f(x) nghịch biến K c Nếu f '(x) = với x  K hàm số f(x) khơng đổi K  Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần 1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí sau:  Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = ( x  h; x  h) có đạo hàm K K \ x  , với h > a Nếu f '(x) > khoảng ( x  h; x ) f '(x) < khoảng ( x ; x  h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b Nếu f '(x) < khoảng ( x  h; x ) f '(x) > khoảng ( x ; x  h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x)  Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng ( x  h; x  h) , với h > Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại  Quy tắc để tìm điểm cực trị hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung khơng 1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D: f ( x)  m , x  D f ( x)  M , x  D , M  max f ( x )  D x  D : f ( x )  m x  D : f ( x )  M m  f ( x)   D  Nếu f ( x)  m , x  D (hay f ( x)  M , x  D ) không x  D : f ( x )  m (hay x  D : f ( x )  M ) dấu "=" khơng xảy Khi đó, khơng tồn giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D  Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) cần chuyển đổi điều kiện để tốn tương đương 1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x):  Tiếp tuyến điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0  Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: f (x)  k(x  x1 )  y1 y = k.(x - x1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:  f '(x)  k (*,*)  Nếu điểm M1(x1;y1) nói thuộc (C) hệ số góc k thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến Sai lầm thường gặp giải toán 1.1 Sai lầm tốn xét tính đơn điệu hàm số, khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay không ý tới điểm tới hạn hàm số 1.2 Sai lầm tốn chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến 1.3 Sai lầm việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai cơng thức lũy thừa với số mũ thực 1.4 Sai lầm việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" 1.5 Sai lầm việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi toán không tương đương 1.6 Sai lầm việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số II Cơ sở pháp lý - Dựa khái niệm, định nghĩa, định lí học chương I "ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " - Dựa khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới q trình giải tập ứng dụng đạo hàm - Dựa kết đắn chân lí hiển nhiên hay chứng minh, thừa nhận CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I Biện pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới giảng Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai làm thường mắc phải giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - toán liên quan Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, tốn Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo II Nghiên cứu thực tế Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa 1.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Các em thường mắc phải sai lầm không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ minh họa 1: x 1 x 1 Xét tính đơn điệu hàm số: y  f ( x)  Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D Ta có: y '  \  0, x  D ( x  1)2 Bảng biến thiên: x -1 y' + + y Suy ra: Hàm số đồng biến ( ; 1) ( 1; ) Phân tích: Lời giải rồi, ta khơng ý đến kết luận toán ! Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = - D x2 = D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) ??? Lời giải là: Tập xác định: D Ta có: y '  \  0, x  D ( x  1)2 Bảng biến thiên: x -1 y' + + y Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng ( ; 1) ( 1; )  Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu hàm số: y  f (x)  x    x2 Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D x Ta có: y '   y'   1 2;  x2 x      x2  x   x2  x2    x2  x  x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) giữ nguyên dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: x -2 y' - + -3 y 2 2 -1 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng ( ( 2; 2; 2) nghịch biến khoảng 2) ( 2;2) Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn 2; giá trị hàm số giảm từ -3 xuống - ??? Thực - điểm tới hạn hàm số Lời giải là: Tập xác định: D y'   1 2; Ta có: y '   x  x2 x     x2  x   2  x2 4  x  x x x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) giữ nguyên dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" x -2 2 y' + - 2 y 1 -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng ( 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2;2) 1.2 Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) Chứng minh rằng: tanx > x, với x 0; Một số học sinh trình bày sau: Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Ta có: f '(x) = khoảng 0; Từ x > 1 tan x cos x 0; 0, x 0; , suy hàm số f(x) đồng biến tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với x f(x) > f(0) 0; Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau kết luận f(x) đồng biến khoảng 0; Sai lầm 0; từ x > f(x) > f(0) ??? Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn a; b (tức f(x) liên tục a; b f '(x)> với x a; b ) với x1 , x a; b , x1 x2 f (x1 ) f (x ) Lời giải là: Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x 0; Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Ta có: f '(x) = cos x tan x 0, x 0; hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng 0; Từ x > 2 , dấu "=" xảy x = 0, suy tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với x f(x) > f(0) 0;  Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ minh họa 4: Chứng minh với x e , x > - x.ex Một số học sinh trình bày sau: Xét hàm số f(x) = x, g(x) = ex hàm đồng biến x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến f(x) > f(-1) hay x.ex Suy hàm số h(x) = Suy ra, từ x > - 1 e Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải là: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng x.e x , dấu "=" xảy 0, x Từ x > - 1; x= -1 f(x) > f(-1) hay e 1.3 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm hàm số y = (2x+1)x Một số học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2x 1)x (2x 1) ' 2x.(2x 1) x Phân tích: Lời giải vận dụng công thức u ' công thức áp dụng cho số mũ u u ' Vận dụng sai, số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 10 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Lời giải là: ,x Điều kiện: x Từ y = (2x+1)x y' ln y (khi y > 0) x.ln(2x 1) (2x 1) x ln(2x 1) (ln y ) ' x.ln(2x 1) ' y' y ln(2x 1) 2x 2x 2x 2x  Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức u ' , quên nhận giá trị dương Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y u u ' , không nguyên cơng thức u x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = - Một số học sinh trình bày sau: Với x = - ta có y Ta có y = x y '(-1) = 3 ( 1) 2 suy y ' = x ( 1) 3 ( 1) ( 1) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y (x 1) hay y x Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết ( 1) không (!) Lời giải là: Với x = - ta có y Ta có y3 = x2 ( 1) (y3)'= (x2)' 3.y2 y ' = 2x Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y y'= 2x 3y 2 ( x 1) 33 x hay y y '(-1) = x 3 1.4 Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 11 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Quy tắc:  y ' , x (a; b) hàm số đồng biến khoảng (a;b)  y ' , x (a; b) hàm số nghịch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- đồng biến Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D = y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến m 3 m y' 0, x a ' Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến , y ' = 3x2 0, x , dấu "=" xảy x= (!) Nhớ rằng: hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), f '(x) 0, x (a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) Lời giải là: Hàm số đồng biến m2 3 y' m 0, x a '  Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  f '(x0 ) f ''(x0 )  f '(x0 ) f ''(x0 ) x0 điểm cực tiểu x0 điểm cực đại Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 12 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là: f '(0) 4m.0 f ''(0) 12m.0 hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = x = Bảng biến thiên: x y' + - 0 y Suy hàm số đạt cực đại x = (!) Vậy lời giải sai đâu ??? Nhớ rằng, x0 thỏa mãn f '(x0 ) f ''(x0 ) x0 điểm cực đại hàm số, điều ngược lại chưa (!) Vì x0 điểm cực đại f ''(x0) = Lí điều kiện f ''(x0) < điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), đó: f '(x) f '(x0 ) 0, x (x h; x0 ) f '(x) f '(x0 ) 0, x (x ; x h) x0 điểm cực đại hàm số Lời giải là:  Cách 1: Ta có y ' = 4mx3 Để hàm số đạt cực đại x = y '(x) > 0, x ( h;0) , với h > Tức là: 4mx3 h x m < Thử lại, ta thấy với m < điều kiện cần tìm  Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)  m = 0: Ta có y = f(x) = hàm nên hàm số khơng có cực trị  m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực tiểu hàm số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 13 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = m < Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: f '(0) f ''(0) 4.03 +3m.02 12m.0 6m.0 hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + y ' = 4x3 , y ' = x = Bảng biến thiên: x y' - + y Suy hàm số đạt cực tiểu x = (!) Lời giải là:  Cách 1: Để hàm số đạt cực tiểu x = (1) (2) x ( h;0) 4x 3mx2 x (0; h) 4x 3mx x 4x 3m x ( h;0) 0, x ( h;0) (1) f '(x) 0, x ( ; h) (2) x ( h;0) x x (0; h) 4x 3m f '(x) x 3m (0; h) 3m (với h > 0) 3m 3m 0 m (1') m (2') Từ (1') (2') suy m = Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 14 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)  m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' = x = Bảng biến thiên: x y' - + y Suy hàm số đạt cực tiểu x =  m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 3m x = x = - Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x =  m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = 3m x = x = - Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = 1.5 Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos2 x cos x cosx cosx Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx cosx cos x cos x = t2 - Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - Vậy f (x) 4, t , t = - Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), t Có thể thấy t = - không tồn giá trị x để cosx cosx = - (!) Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 15 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" f ( x)  m , x  D x  D : f ( x )  m Nhớ rằng, số m  f ( x)   D Lời giải là: t cosx cosx Khi đó: cos x cos x Đặt t = cosx cosx cosx = t2 - \ k ,k Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - -1 -2 g '(t) D Dấu "=" xảy cosx = Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t t , với x cosx - - ): + + g(t) -3 f (x) = g(t) = - Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m  D t 2 cosx x k2 , k cosx 1.6 Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Đạt t = - cosx Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) y biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = - 3x2 + 6x Ta có điểm A(-1;4) đồ thị (C) suy phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 y 9x y 9(x 1) x -1 Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y 9x tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có -5 Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 16 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: x3 3x2 k (x 1) 3x2 k Hệ (I) x3 k 3x (I) 6x 3x2 x 2, k 6x x 1, k Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = y = - 9x - Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = 2x x b y = x2 x x c y = cosx - sinx Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y= x2 2mx x m Bài tập 3: Tìm cực trị hàm số sau: a y = (7 x) x c y = sin2x b y = cosx - sinx Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x = 1: y = x3 mx2 m x Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau đồng biến y= (a 1)x3 ax 3a : x Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a y = x3 3x2 72x 90 đoạn b y = 2sinx + sin2x đoạn 0; 5;5 c y = cos 3x - 6cos 2x + 9cosx + Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 17 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Bài tập 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Bài tập 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a ex cos x b ex e c 8sin x x 2 x2 , x x2 , 2ln x sin 2x x 2x, x Bài tập 9: Cho hàm số y = x 0; x (m 1)x m 3x (m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + ba điểm phân biệt Bài tập 10: Với giá trị tham số m phương trình: x2 2x m( x 1) có nghiệm thực phân biệt ? III Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tơi nhận thấy kết đạt có khả quan Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tập toán lớp 12C5 12C6 sau: Bài số 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  mx  (m2  24)x  đạt cực tiểu x  Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 C6 (sĩ số 38) Số lượng Phần trăm Không giải 02 05 % Giải sai phương pháp 02 05 % Giải phương pháp 31 90 % Số lượng Phần trăm Không giải 03 08 % Giải sai phương pháp 03 08 % Giải phương pháp 26 84 % Lớp 12 C5 (sĩ số 36) Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 18 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Bài số 2: Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x)  x2  2x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 C6 (sĩ số 38) Số lượng Phần trăm Không giải 01 03 % Giải sai phương pháp 03 08 % Giải phương pháp 34 89 % Số lượng Phần trăm Không giải 02 06 % Giải sai phương pháp 03 08 % Giải phương pháp 31 86 % Lớp 12 C5 (sĩ số 36) Bài số 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: ex cos x x x2 , x Số liệu thống kê qua bảng sau đây: Lớp 12 C6 (sĩ số 38) Số lượng Phần trăm Không giải 11 29 % Giải sai phương pháp 04 11 % Giải phương pháp 23 60 % Số lượng Phần trăm Không giải 18 50 % Giải sai phương pháp 05 14 % Giải phương pháp 13 36 % Lớp 12 C5 (sĩ số 36) Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 19 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I – Kết luận Polya viết "con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình" Thơng qua sai lầm, ta biết cách nhìn nhận nó, kịp thời uốn nắn sửa chữa giúp ta ghi nhớ lâu tri thức học, đồng thời giúp ta tránh sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm mặt tư Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định đạo hàm ứng dụng đạo hàm, với kiến thức liên quan, người học có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng ; người học quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy đạo hàm công cụ "mạnh" để giải nhiều toán ; nữa, tốn giải cơng cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn hơn, đẹp Nói riêng, với học sinh kiến thức đạo hàm tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) Ở cấp độ trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng mơn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 20 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" cao chất lượng dạy học ; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tơi khơng có tham vọng phân tích hết sai lầm học sinh khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thơng Phan Đình Giót, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Điện Biên quý thầy cô II – Kiến nghị Như nói, hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng khảo sát, vẽ đồ thị hàm số giải toán liên quan Ngồi ra, đạo hàm cịn cơng cụ sắc bén để giải nhiều dạng toán khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình ; chứng minh bất đẳng thức Chính lẽ đó, tơi hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ bé vào việc giải dạng toán nêu ; tài liệu tham khảo cho em học sinh q trình học tốn ôn thi tốt nghiệp thi vào trường Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp Điện Biên Phủ, ngày 18 tháng 04 năm 2010 Người viết Trần Trường Sinh Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót 21 Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH GIĨT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót 22