MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP Phần 2: 50 tập Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE.AD   C/m góc AOC BDC cân ACB CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB B I A O E D C Hình 51 1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)  chung 2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ADB ∽ ABE , có E   (góc tt dây) Sđ ABE = sđ cung BE Sđ   (góc nt chắn BE  ) = sñ BE BDE   3/C/m AOC ACB   * Do ABOC nt AOC (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt ABC     nhau)  ABC cân A ABC ACB  AOC ACB 1     * sđ ACB = sđ BEC (góc tt dây); sđ BDC = sđ BEC (goùc nt)        BDC = ACB maø ABC = BDC (do CD//AB)  BDC  BDC cân B BCD   4/ Ta có I chung; IBE (góc tt dây; góc nt chắn cung BE) ECB IE IB IBE∽ICB IB  IC  IB2=IE.IC    BE  ) mà BDC cân B Xét IAE ICA có I chung; sđ IAE = sđ ( DB      BC  sñ IAE  = sñ (BC-BE) = sñ CE= sñ ECA DB IA IE  IAE∽ICA IC  IA IA2=IE.IC Từ vàIA2=IB2 IA=IB Bài 52: Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân Quay ABC vòng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo A 1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4  AB=5; ABA’ vuông BBH2=AH.A’H C' K O A’H= BH =4 AH 25 AA’=AH+HA’= 25 H B C A' AO= 2/ACA’C’ hình gì? Do O trung điểm AA’ CC’ACA’C’ Hình 52 Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường tròn)AC’A’C hình chữ nhật 3/ C/m: AKHC thang cân:  ta có AKC=AHC=1vAKHC nội tiếp.HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà OAC cân OOAC=OCAHKC=HCAHK//ACAKHC hình thang  Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH) KAO+OAC=KCH+OCAHình thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân 4/ Khi Quay  ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón 1 Sxq= p.d= 2.BH.AB=15 1 V= B.h= BH2.AH=12 Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vuông góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr: a/ MH.MQ= MP2 b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tieáp QHP C P M S H A I B O J Q D 1/ a/ C/m MPOI laø thang vuông Vì OIMI; COIO(gt) CO//MI mà MPCO MPMIMP//OIMPOI thang vuông b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông IMP=1v hay QMP=1v QP đường kính (O) Q; O; P thẳng hàng 2/ Tính góc CSP: Ta có sđ CSP= sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm đường tròn) mà cung CP = CM Hình 53 1 CM=QD  CP=QD  sñ CSP= sñ(AQ+CP)= sñ CSP= sñ(AQ+QD) = sđAD=45o Vậy CSP=45o 3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ MHP có : Vì  AOM cân O; I trung điểm AO; MIAOMAO tam giác cân M AMO tam giác  cung AM=60o vaø MC = CP =30o  cung MP = 60o  cung AM=MP  goùc MPH= MQP (goùc nt chắn hai cung nhau.) MHP∽MQP đpcm b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  QHP Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp QHP.Do cung AQ=MP=60o HQP cân H QHP=120oJ nằm đường thẳng HO HPJ tam giác mà HPM=30oMPH+HPJ=MPJ=90o hay JPMP P nằm đường tròn ngoại tiếp HPQ đpcm Bài 54: Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM D C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn B C/m AC//MO MD=OD Đường thẳng OM cắt (O) Ed F Chứng tỏ MA2=ME.MF Xác định vị trí điểm M d để MAB tam giác đều.Tính diện E tíchOphần tạo bởFi hai tt với đường tròn trường hợp D C A H 1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA MB hai tt cắt BOM=OMB MA=MB MO đường trung trực ABMOAB Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn CAAB Vậy AC//MO Hình 54 C/mMD=OD Do OD//MB (cùng CB)DOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)DOM=DMODOM cân Dđpcm 3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ EAM= sd cungAE(góc tt dây) Sđ AFM= sđcungAE(góc nt chắn cungAE) EAM=A FM MAE∽MFAđpcm 4/Vì AMB tam giác đềugóc OMA=30oOM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB Ta có AB=AM= 3 OM  OA =R S AMBO=  1 BA.OM= 2R R = R2 2  R 120 R R 3   R2 Squaït= = S= R = 360 3 ÐÏ((ÐÏ Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường tròn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax By D C C/m AMN=BMC 2.x C/mANM=BMC 3.D DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FEAx Chứng tỏ M trung điểm DC y M C E F A N O B Hình 55 1/C/m AMN=BMA Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NMDCNMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA 2/C/m ANM=BCM: Do cung AM=MB=90o.dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông cân M)MAN=MBC=45o Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg) 3/C/m EFAx Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB)  AND=CNB Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1) Ta lại có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN nội tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB  EF//AB mà ABAx  EFAx 4/C/m M trung điểm DC: Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN) NMC vuông cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm ÐÏ((ÐÏ Bài 56: Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF C/m AECD nt A C/m:CD2=CE.CF F phân giác góc FCE Cmr: Tia đối tia CD K C/m IK//AB x C M D O I E B Hình 56 1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF Xét hai tam giác CDF CDE có: -Do AECD ntCED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD ntCDF=CBF(cùng chắn cung CF) Mà sđ CAD= sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Và sđ CBF= sđ cung BC(góc tt dây)FDC=DEC Do AECD nt BFCD nt DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)DCF=DCE.Từ và CDF∽CEDđpcm 3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD xCF= xCE.đpcm 4/C/m: IK//AB Ta có CBF=FDC=DAC(cmt) Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE) ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)CBA=CDI.trong CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn cung CK)KIC=BACKI//AB Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn C/m BM/ / OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình N P hành J Q AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng Ihàng K M A O B Hình 57 1/ C/m:BM//OP: Ta có MBAM (góc nt chắn nửa đtròn) OPAM (t/c hai tt cắt nhau)  MB//OP 2/ C/m: OBNP hình bình hành: Xét hai  APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP  POA=NBO (đồng vị)APO=ONB PO=BN Mà OP//NB (Cmt)  OBNP hình bình hành 3/ C/m:I; J; K thẳng hàng: Ta có: PMOJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ONABONOJI trực tâm OPJIJOP -Vì PNOA hình chữ nhật P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP MNOP thang cânNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn · · cung NM)  IPO=IOP IPO cân I Và KP=KOIKPO Vậy K; I; J thẳng hàng  Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ABI vuông cân I gọi J giao điểm AD với Bt C/m Lấy D điểm cung BC, AC.AI=AD.AJ C/m JDCI nội tiếp 1/C/m vuông câCmr: n(Có Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K.ABI Hạ DHAB nhiều cách-sau C/m AK qua trung điểm DH Hình158cách): C -Ta có ACB=1v(góc nt chắn J D nửa đtròn)ABC vuông C.Vì OCAB trung điểm K N OAOC=COB=1v  cung AC=CB=90o A B CAB=45 o (góc nt O H nửa số đo cung bị chắn) ABC vuông cân C Mà BtAB có góc CAB=45 o  ABI vuông cân B 2/C/m: AC.AI=AD.AJ Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= sđ cung AC =45o Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIB ADC∽AIJđpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND -Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ -Do DH JBAB(gt)DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có: DN AN NH AN DN NH    ;  maø JK=KBDN=NH JK AK KB AK JK KB ÐÏ((ÐÏ Baøi 59: Cho (O) vaø hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác củaEgóc góc góc AMB C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM 1/C/m nội tiếp:Sử Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác NMBO C M dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân N giác góc góc góc AMB: A B -Do ABCD trung điểm O O AB CD.Cung AD=DB=CB=AC=90 o sđ D sđcungAD=45o AMD= Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc góc AMB 3/C/m: AM.DN=AC.DM Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)AMC∽DMNđpcm 4/Khi ON=NM ta c/m MOB tam giác Do MN=ONNMO vcân NNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1vOMB=MOB.Mà OMB=OBM OMB=MOB=OBMMOB tam giác ÐÏ((ÐÏ Bài 60: Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d C/m: CD=CE Cmr: AD+BE=AB Vẽ đường cao CH ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE Chứng tỏ:CH2=AD.BE 1/C/m: CD=CE: Chứng minh:DH//CB Do ADd;OCd;BEd d D Hình 60 AD//OC//BE.Mà OH=OBOC C đường trung bình E hình thang ABED CD=CE A B 2/C/m AD+BE=AB H O Theo tính chất đường trung bình ... góc đối) 2/ C/m CM MD phân N giác góc góc góc AMB: A B -Do ABCD trung điểm O O AB CD.Cung AD=DB=CB=AC =90 o sđ D sđcungAD=45o AMD= Hình 59 sđ DMB= sđcung DB=45o.AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o EMC=CMA=45o.Vậy... AB) mà ACB=45oBFD=45o 2/ C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối 3/C/m EA phân giác góc DEF Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(ABC vuông cân A) AEB=45o.Mà DEF =90 oFEA=AED=45oEA phân... cao p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC có:AH2=BH.HC Mà AH=EF AH =2. OE =2. OF(t/c đường chéo hình chữ nhật) BH.HC = AH2= (2. OE )2= 4.OE.OF Bài 69: Cho ABC có A=1v AHBC.Gọi O tâm đường tròn ngoại