Bài tập Giải tích Đạo hàm riêng vi phân hàm tường minh cho cho f ( x , y ) = x + xy + y − 4ln x − 10ln y , f ( x , y ) = arctan Tìm vi phân cấp của: x+y , − xy chứng minh rằng: df (1, 2), d 2f (1,2) ′′ = fxy f ( x , y ) = x − y − x + x y + 3xy y f ( x , y ) = arctan , x cho tìm: Tìm hàm khả vi u = u(x, y) cho chứng minh rằng: ′′ + fyy ′′ = fxx x du = dx − dy y y ĐÁP SỐ / df (1,2) = −4dy , d f (1,2) = 6dx + 2dxdy − dy 2 / d 4f ( x , y ) = 24dx − 24dy xy ′′ = ′′ / fxx = −fyy 2 (x + y ) x x / u′x = ⇒ u = + C ( y ) ⇒ u′y = − + C′( y ) y y y x u′y = − ⇒ C ′( y ) = ⇒ C ( y ) = const y x u = + const y Mặt khác: Vậy: Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp, hàm ẩn 1 z = ln , r Cho r = ( x − a) + ( y − b) , α = α(x,y) hàm khả vi cho trước, chứng minh : ( z′x ) + ( z′y ) = z 2 Cho hàm ẩn Biết z′′xx + z′′yy =  x cos α + y sin α + ln z = f (α )  − x sin α + y cos α = f ′(α ) Cho hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ hệ pt: Biết f cmr: z = z( x , y ) z (1,0) = ln , tìm thỏa xz = ln(1 + yz + x ) dz(1,0) Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp, hàm ẩn z = f (r ,ϕ ), Cho x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , tính z′x , z′y HD: tìm dx, dy để có dr dϕ, sau thay vào dz Cho phương trình: dy x + y = , dx x − y x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , cách đặt dr =r dϕ chứng minh rằng, cmr phương trình cho viết lại dạng: Cho z = ϕ (t ), t = x2 + y 2, tìm d 2z theo dx , dy ( x , y ) = (1, −1) tìm Cho hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình: y ′( x ), y ′′( x ) ( x + y )3 − 3( x + y ) + = Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp, hàm ẩn cmr: Cho Tính Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định từ phương trình: x.z′x + y z′y = z z = f ( x , y ), dz dx theo f , F y = y (x) x y F  , ÷ = z z hàm ẩn xác định từ pt F ( x , y ) = ĐÁP SỐ  −r + 2( x − a) −r + 2( y − b) , z′′yy = z′′xx = 1/  r r4 ( x − a ) + ( y − b ) = r  cos α − xα x′ sin α + yα x′ cos α − f ′(α ).α x′ / z′x = − z = − z cos α z′y = − z sin α ln   / dz (1,0) =  − ln ÷dx + dy 2  ĐÁP SỐ / z′x = fr′.r cos ϕ − fϕ′ sin ϕ , z′y = fr′.r sin ϕ + fϕ′ cos ϕ 5/ Làm giống câu 4, thay vào phương trình chia tử mẫu vế trái cho dϕ Gom gọn pt 2 2 ′′ ′ / d z = ϕ (t )(2 xdx + ydy ) + ϕ (t )(dx + dy ) x x2 + y / y ′( x ) = − , y ′′( x ) = − y y3 z.Fu′ z.Fv′ / z′x = , z′y = x.Fu′ + y Fv′ x.Fu′ + y Fv′  Fx′  dz 9/ = fx′ + fy′  − ÷ dx  Fy′  Khai triển Taylor Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3: f ( x , y ) = arctan Viết khai triển Taylor đến cấp lân cận điểm f ( x , y ) = sin( x + y ) Viết khai triển Taylor đến cấp lân cận (1,0) f ( x , y ) = ln(1 + xy ) Từ suy ′′′ (1,0) fxyy y 1+ x  0, π   ÷  2 ĐÁP SỐ / f ( x , y ) = y − xy + x y − y + o ( ρ ) 2 x2 π π / f ( x , y ) = − − x  y − ÷−  y − ÷ + o ( ρ ) 2  2 2  y2 y 3 / f ( x , y ) = y + ( x − 1) y − − ( x − 1) y + + o ( ρ ) ′′′ (1,0) = −2 fxyy Cực trị, giá trị nhỏ nhất, lớn Tìm cực trị hàm số sau: Tìm cực trị hàm số sau: Tìm cực trị hàm số sau: Tìm cực trị f (x, y ) = 1+ x2 + y f ( x , y ) = x + 3xy − 15 x − 12 y f ( x , y ) = ( x + y ).e − xy f ( x , y ) = − x − 3y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 1+ x − y thỏa điều kiện f (x, y ) = x + y x2 + y = miền ≤ y ≤ 1− x2 ĐÁP SỐ / fcd = f (1, −1) = / fcd = f (−2,1), fct = f (2,1) f không đạt cự trị điểm dừng (1,2) 3/ Hàm số cưc trị 3 3   / fct = f  , ÷, λ = 10; fcd = f  − , − ÷, λ = −10  20   20  5/ fmin = f (−1,0) = −1, fmax 3  = f  , ÷=  4 Tích phân kép I= I= I= I= Biểu diễn miền D theo tích phân sau vẽ miền đó: 2− x ∫0 dx ∫ x ∫ dx ∫ 1 x +3 x f ( x , y )dy 2− x ∫−1dx ∫x f ( x , y )dy f ( x , y )dy 4− y ∫0 dy ∫2−y f ( x , y )dx Tích phân kép I= I= I= I= Đổi thứ tự tích phân sau: 1− y ∫0 dy ∫− 1−y 3 x f ( x , y )dx 10 − x x ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ ∫ dy ∫ 16 − x 4x−x 1− y 2 y −1 f ( x , y )dy f ( x , y )dx f ( x , y )dy Tích phân kép Tính ∫∫ x2 dxdy y ∫∫ x2 dxdy y ∫∫ ( x + y )dxdy I= D Tính I= D Tính I= với D miền giới hạn bởi: với D miền giới hạn bởi: với D miền giới hạn bởi: D Tính I= ∫∫ D xdxdy x2 + y y = x , y = x tan x , x = với D miền giới hạn bởi: π π x ≥  ÷ 8 8 y = x , x = 2, xy = y = x , x = 2, xy = 1, y = y = x , x + y = 2, x = Tích phân kép Tính I= ∫∫ e x + y dxdy với D miền giới hạn bởi: D Tính I= ∫∫ xydxdy với D miền giới hạn bởi: D y + x = 2, x + y = 2y ( x > 0) Tính I= ∫−2 dx ∫−3− 12+4x − x xdy y = e x , y = 2, x = Tích phân kép ( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ) 10 Chuyển tích phân sau tọa độ cực I= I= 11 Tính : dx x−x2 ∫ ∫ 23− a ∫ dx ∫ a+ a2 − x ax I= I= −x f ∫∫D ) f ( x , y ) dy x x + y dxdy ∫ dx ∫ ( x + y dy 16 − x 4x−x ydy Với ( D: x +y ) 2 ≤ x2 − y 2, x ≥ ĐÁP SỐ 2/ a/ b/ c/ I= I= I= ∫ −1 I= dx 1− x ∫ 10− y 2− 4− y ∫ dy ∫ ∫ dy ∫ 16 − y −1 dx ∫ x +1 1− x 0 ∫ dx ∫ f ( x , y )dy f ( x , y )dx ∫ f ( x , y )dy + ∫1 dy ∫9/ y + d/ f ( x , y )dx + ∫ dy ∫ 16 − y 2+ 4− y f ( x , y )dx f ( x , y )dx f ( x , y )dy + ∫ dx ∫ 0 1− x f ( x , y )dy ĐÁP SỐ 3/I = π2 6/ 128 4/ Hàm dấu không xác định D 7/I =e 8/I = 4 5/I = / 48 + 16π [...]... phân kép ( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ) 10 Chuyển các tích phân sau đây trong tọa độ cực I= I= 11 Tính : 3 4 dx 0 x−x2 ∫ ∫ 23 − a ∫ dx ∫ a+ a2 − x 2 ax 0 I= I= 3 −x 4 f 2 ∫∫D 4 ) f ( x , y ) dy x x 2 + y 2 dxdy ∫ dx ∫ 0 ( x 2 + y 2 dy 16 − x 2 4x−x 2 ydy Với ( 2 D: x +y ) 2 2 ≤ x2 − y 2, x ≥ 0 ĐÁP SỐ 2/ a/ b/ c/ I= I= I= ∫ −1 I= dx 1− x 2 ∫ 0 10− y 2 2− 4− y 2 ∫ dy ∫ 0 ∫ dy ∫ 2 16 − y 2 0 −1 dx 0 ∫ 0... I= ∫∫ D xdxdy x2 + y 2 y = x , y = x tan x , x = với D là miền giới hạn bởi: π π x ≥  ÷ 8 8 y = x , x = 2, xy = 1 y = x , x = 2, xy = 1, y = 0 y = x , x + y = 2, x = 0 Tích phân kép 7 Tính I= ∫∫ e x + y dxdy với D là miền giới hạn bởi: D 8 Tính I= ∫∫ xydxdy với D là miền giới hạn bởi: D y + x = 2, x 2 + y 2 = 2y ( x > 0) 9 Tính I= 6 0 ∫ 2 dx ∫−3− 12+ 4x − x 2 xdy y = e x , y = 2, x = 0 Tích phân... điểm dừng (1 ,2) 3/ Hàm số không có cưc trị 1 3 1 3   4 / fct = f  , ÷, λ = 10; fcd = f  − , − ÷, λ = −10  5 20   5 20  5/ fmin = f (−1,0) = −1, fmax 1 3 5  = f  , ÷=  2 4 4 Tích phân kép 1 I= I= I= I= Biểu diễn miền D theo các tích phân sau và vẽ các miền đó: 2 x 2 1 ∫0 dx ∫ x 2 ∫ dx ∫ 1 1 x +3 x 2 f ( x , y )dy 2 x 2 ∫−1dx ∫x 2 f ( x , y )dy f ( x , y )dy 4− y 2 ∫0 dy 2 y f ( x ,... , y )dy 4− y 2 ∫0 dy 2 y f ( x , y )dx Tích phân kép 2 I= I= I= I= Đổi thứ tự trong tích phân sau: 1− y 1 ∫0 dy ∫− 1−y 7 3 3 9 x 2 f ( x , y )dx 9 10 − x 7 9 x ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ 4 ∫ dx ∫ 0 1 ∫ dy ∫ 0 16 − x 2 4x−x 1− y 2 2 y −1 2 f ( x , y )dy f ( x , y )dx f ( x , y )dy Tích phân kép 3 Tính ∫∫ x2 dxdy 2 y ∫∫ x2 dxdy 2 y ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy I= D 4 Tính I= D 5 Tính I= với D là miền giới... của hàm số sau: 2 Tìm cực trị của hàm số sau: 3 Tìm cực trị của hàm số sau: Tìm cực trị của 5 f (x, y ) = 1+ x2 + y 2 f ( x , y ) = x 3 + 3xy 2 − 15 x − 12 y f ( x , y ) = ( x + y ).e − xy f ( x , y ) = 6 − 4 x − 3y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1+ x − y thỏa điều kiện f (x, y ) = x + y x2 + y 2 = 1 trên miền 0 ≤ y ≤ 1− x2 ĐÁP SỐ 1 / fcd = f (1, −1) = 3 2 / fcd = f ( 2, 1), fct = f (2, 1) f không đạt... 2 16 − y 2 0 −1 dx 0 ∫ 0 x +1 1 1− x 0 0 ∫ dx ∫ f ( x , y )dy f ( x , y )dx 0 4 ∫ f ( x , y )dy + 3 ∫1 dy ∫9/ y + d/ 0 f ( x , y )dx + 2 ∫ dy ∫ 16 − y 2 2+ 4− y 0 2 f ( x , y )dx f ( x , y )dx f ( x , y )dy + 1 ∫ dx ∫ 0 0 1− x f ( x , y )dy ĐÁP SỐ 9 3/I = 4 2 6/ 128 4/ Hàm dưới dấu tp không xác định trên D 7/I =e 1 8/I = 4 4 5/I = 3 9 / 48 + 16π