Ứng dụng toán Min-Max Biên soạn: NGUYỄN ĐÌNH HOÀN Bài toán 1: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm Hãy xác định bán kính nắp đậy cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu V Giả sử thùng sơn có nắp đậy có bán kính x x  Khi đó: V   x 2h  h  x2 Để tiết kiệm nhiên liệu ta cần thùng sơn có diện tích toàn phần bé 2000  2 x  f x Diện tích toàn phần thùng sơn là: S  2 xh  2 x  x     Khảo sát đồ thị lập bảng biến thiên ta tìm bán kính cần tìm x  10 cm  Bài toán 2: Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính hình trụ cho diện tích toàn phần bồn chưa đạt giá trị nhỏ Gọi h R chiều cao bán kính đáy ( Đơn vị: met) Ta có: V  h R2   h   R2 Stp  2 R2  2 Rh  2 R2  2 R  2 R2   f  R  R   R R 1 Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được: f  R  nhỏ khi: R  h 2 3 4 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức, ta có: 1 1  2 R2   2 R2    3 2 R2  3 2 R R R R R R Dấu xảy khi: R3  2 Bài toán 3: Người ta cần thiết kế bồn chứa dạng hình nón tích 1000 lít Yisnh bán kính đáy hình nón cho diện tích xung quanh hình nón đạt giá trị nhỏ Ta có: V  h. r   h  r 1 2 Sxq  đường sinh.chu vi đáy  h  r 2 r 2 Stp  2 R2  2 Rh  2 R2  2 R     r h2  r   r   r     r4 r r    Đặt: f  r    r Nhận xét: Sxq  f  r   r2 Cách 1: Khảo sát hàm số Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức, ta có: 9 9 81  r4    r  3 r  3 2 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 4  f  r   9  r4  r  2 2 r Bài toán 4: Trong thi thiết kế mái cho sân vận động có diện tích 20000 m2 có hai đồ án sau: Công ty A thiết kế sân vận động hình vuông với mái hình chóp tứ giác có chiều cao 70m, công ty B thiết kế sân vận động hình tròn với mái nửa mặt cầu Hỏi thiết kế công ty giúp tiết kiện diện tích mái hơn? Phương án A: Hình chóp tứ giác đều: Chiều cao cạnh bên là:  h  50   4900  5000  30 11 ( h  70 ) Độ dài cạnh đáy là: 20000   Sxq  chiều cao mặt bên.cạnh đáy  2.30 11.100  6000 22 m2 Phương án B: Mặt cầu: Diện tích hình Smai  2 R2  2 20000  tròn lớn 20000m   R2  20000  R  20000     40000 m2 Kết luận: Vậy phương án A giúp tiết kiện diện tích mái Bài toán 5: Người ta cần thiết kế bồn chứa chất lỏng tích 10000 lít Phương án thứ thiết kế theo dạng hình cầu, phương án thứ hai thiết kế theo dạng hình trụ có chiều cao đường kính đáy Hỏi thiết kế giúp tiết kiệm nguyên vật liệu hơn? Vì sao? 30 15 15  R a) Hình cầu: V  10000  l   10m3   R3  10  R3  4 2 2  Smc  4. R2  4 225  16225 4 b) Hình trụ: h  2R Ta có: Vtru  h. R2  2 R3  10  R   Ta có: Sxq  2 R2  2 Rh  2 R2  2 R.2R  6 R2  21625 Kết luận: Vậy thiết kế hình cầu giúp tiết kiệm nguyên vật liệu