Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! TUYN TP 200 BI TP BT NG THC Cể LI GII CHI TIT NM 2015 - Ti liu c son theo nhu cu ca cỏc bn hc sinh trng THPT (c bit l 12) - Biờn son theo cu trỳc cõu hi thi tuyn sinh i hc Cao ng ca B GD&T - Ti liu th tỏc gi biờn son: Cao Vn Tỳ CN.Mng Toỏn Khoa CNTT Trng H CNTT&TT Thỏi Nguyờn (Ch biờn) Cụ Trn Th Ngc Loan CLB Gia S Thỏi Nguyờn(ng ch biờn) Thy V Khc Mnh CLB Gia s Bc Giang (T vn) Nguyn Th Kiu Trang SV Khoa Toỏn Trng HSP Thỏi Nguyờn Nguyn Trng Giang Khoa CNTT Trng H CNTT&TT Thỏi Nguyờn Lý Th Thanh Nga SVNC Khoa Toỏn Trng H SP Thỏi Nguyờn Ngụ Th Lý Khoa CNTT Trng H CNTT&TT Thỏi Nguyờn - Ti liu c lu hnh ni b - Nghiờm cm chộp di mi hỡnh thc - Nu cha c s ng ý ca ban Biờn son m t ng post ti liu thỡ u c coi l vi phm ni quy ca nhúm - Ti liu ó c b sung v chnh lý ln th Tuy nhúm Biờn son ó c gng ht sc nhng cng khụng th trỏnh s sai xút nht nh Rt mong cỏc bn cú th phn hi nhng ch sai xút v a ch email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chõn thnh cỏm n!!! Chỳc cỏc bn hc v ụn thi tht tt!!! Thỏi Nguyờn, thỏng 07 nm 2014 Trng nhúm Biờn son Cao Vn Tỳ Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi 1: Chng minh rng vi a, b, c dng: 1 1 1 (5) a 2b c b 2c a c 2a b a 3b b 3c c 3a Gii 1 1 ( ) ta cú: x y x y 1 a 3b b 2c a (a 3b) (b 2c a) a 2b c 1 b 3c c 2a b (b 3c) (c 2a b) b 2c a 1 c 3a a 2b c (c 3a) (a 2b c) c 2a b Cng v vi v cỏc bt ng thc trờn v rỳt gn ta cú bt ng thc (5) a 3b b 2c a ng thc xy khi: b 3c c 2a b a b c c 3a a 2b c Vn dng bt ng thc Bi 2: Cho ba s dng a, b, c, chng minh: 1 1 1 ( ) ab bc ca a b c ng thc xy a = b = c (2) Gii 1 1 ( ) ta cú iu phi chng minh x y x y Phỏt trin: p dng (2) cho s a+b, b+c, c+a ta c: 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b b c c a Kt hp (2) v (3) ta cú: p dng Bi 3: Vi a, b, c l cỏc s dng: 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b c Ch biờn: Cao Vn Tỳ (3) (4) Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! ng thc xy a = b = c Gii 1 Vi a, b, c l cỏc s dng tha Chng minh rng: a b c 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b a b c 1 Thc cht l t (4) thờm gi thit: a b c Bi 4: Hóy xỏc nh dng ca tam giỏc ABC nu cỏc gúc ca nú luụn tha ng thc sau: C B C C A A B A B C tan tan tan tan tan tan 4.tan tan tan 2 2 2 2 tan A tan B tan Gii A B C , y tan , z tan thỡ x, y, z dng v xy + yz + zx=1 2 x y z H thc tr thnh: yz zx xy xyz Ta cú: x y z yz zx xy x y z ( xy yz ) ( zx yz ) ( xy zx) ( yz zx) ( xy yz ) ( zx xy ) t x tan x x y y z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy x z x y y z 1 xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z xyz xyz ng thc xy v ch khi: x = y = z hay ABC u Bi 5: Cho x, y, z l cỏc s thc tha iu kin: x y z 0, x 0, y 0, z Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: Q x y z x y z Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Gii t a x 0, b y 0, c z a b c 1 Ta cú: a b c v Q a b c a b c Theo bt ng thc (1) ta cú: 1 4 16 ( ) a b c ab c abc Q 3 a b a b x y ng thc xy v ch khi: a b c a b c c z Vy: MaxQ t c x y z Bi 6: Chng minh rng : 2x x6 y 2y 2z 1 y6 z z x4 x4 y z Vi x, y, z l cỏc s dng Du bng xy no ? Gii x 1 x2 4x x y x6 y x6 y x6 y Tng t ta cú: 1 4y 1 4z ; 4 4 y z y z z x z x Cng tng v bt ng thc trờn ta cú bt ng thc cn chng minh Du bng xy v ch x = y = z = Bi 7: Cho s thc dng a, b v c tho: ab bc ca abc Chng minh rng: a4 b4 b4 c4 c4 a ab a3 b3 bc b3 c3 ca c3 a3 Gii Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Ta cú: ab bc ca abc Lu hnh ni b! 1 1 1 t x ; y ; z x+y+z=1 a b c a b c Khi ú ta cú: 1 x y4 y3 x 6 x y 3 3 3 3 x y ab a b x x y y x y x3 y3 x2 y 1 xy x3 y3 2 y2 x 3 4 x y x y x2 y x y 2 2 x y x2 y x x2 y y x y x y x y a b4 Tng t ta cú: x4 y b4 c yz c4 a4 zx ; 3 3 2 bc b c ca c a Cng v vi v ba bt ng thc trờn ta cú: a4 b4 b4 c4 c4 a x y z 3 3 3 ab a b bc b c ca c a Suy iu phi chng minh Bi 8: Vi x, y, z, t l cỏc s dng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A x t t y y z z x t y y z z x xt Gii Ta cú: x t ty yz zx A( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ty yz zx xt x y t z y x z t ( x y) ( t z ) y z xt4 t y y z z x xt t y z x 4 4( x y z t ) ( x y) (t z ) 40 x y z t x y z t z y z t Vy MinA = x = y = z = t Bi 9: Cho x, y, z l ba s dng chng minh rng: 1 1 ( ) x yz x y z Du bng xy v ch x y z Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Gii p dng bt ng thc Cụ-si cho ba s dng ta cú: x y + z xyz ; 1 1 1 x y z x y z xyz 1 1 1 1 T ú: ( x y z ) x y z x y z x y z ng thc xy x y z Bi 10: Cho ba s a, b, c bt kỡ v x, y, z l ba s thc dng ta cú: a b2 c a b c (Bt ng thc s-vac) x y z x yz a b c Du bng xy v ch x y z Gii p dng bt ng thc bunhiacopski ta cú: a b c a b2 c x y z x y z y z x x y z 2 a b c T ú suy iu phi chng minh a b2 c a b c vi a, b, c l cỏc s thc dng Bi 11: Chng minh rng: b c a Gii p dng bt ng thc (7) ta cú: a b2 c a b c a b c Suy iu phi chng minh b c a abc a b c abc Du bng xy v ch b c a Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! 6 a b c b3 c3 c3 a3 a3 b3 Trong ú a, b, c l cỏc s thc dng tha món: a b c Bi 12: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: B Gii p dng bt ng thc (7) ta cú: a3 b3 c3 a6 b6 c6 a b3 c B 3 3 3 Mt khỏc theo bt ng b c c a a b a b3 c 2 thc Bunhiacovski ta cú: a b c a b2 c aa a bb b cc c 3 3 3 3 a b c a b c a b c a b c Vy B 18 Bi 13: Cho cỏc s thc dng x, y, z, t tha xyzt=1 Chng minh rng : 1 1 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy Gii 1 1 t x ; y ; z ; t= , theo bi ta cú abcd = v a b c d 1 a2 ; tng t ta cú : 1 bcd x3 yz zt ty a3 bc dc bd b2 c2 d2 ; ; y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c Cng cỏc v bt ng thc trờn ta cú: 1 1 3 x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy a2 b2 c2 d2 a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d a b c d 4 abcd 3 (M rng t nhiờn bt ng thc (7) cho bn s) Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 a b c d Du bng xy a b c d b c d a c d a b d a b c Bi 14: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: B a8 b2 c Lu hnh ni b! b8 a2 c2 b c8 a2 Trong ú a, b, c l cỏc s thc dng tha iu kin ab bc ca Gii p dng bt ng thc (7) ta cú: B b a8 c b8 a b4 2 a c b a b a b c c 2a b b c a c 2 4 a b c a c b c8 2 2 2 2 c2 4 2 2 a2 2 Xột biu thc a 2b2 b2c2 a 2c Theo bt ng thc Bunhiacovski ta cú : a2b2 b2c2 a 2c2 a b4 c Do ú: B a b4 c 2 a b4 c a b4 c a b c a a b c 4 4 4 b4 c Mt khỏc cng theo bt ng thc Bunhiacovski ab bc ca a b4 c 2 2 Bi 15: Cho x,y, z > v tho: x y z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: y3 x3 z3 2x y 5z y 3z 5x 2z 3x y Gii Cỏc s x, y, z cú vai trũ bỡnh ng D oỏn du bng xy v ch chỳng bng v bng Gii: p dng bt ng thc (7) ta cú : Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! 3 4 x y z x y z4 x y 5z y 3z 5x z 3x y x2 3xy 5xz y yz yx z 3xz yz x2 y z 2 x2 y z xy yz zx x2 y z x2 y z 2 x2 y z x2 y z x2 y z 10 x2 y2 z2 30 Du bng xy v ch khi: x2 y2 z2 x2 3xy 5xz y yz yx z 3xz yz x yz x y z 2 x y z Bi 16: Cho a, b, c > v tho: a.b.c = Chng minh rng: a3 b c 2 3 b c a c a b Gii Nhn xột: -Cỏc s x, y, z cú vai trũ bỡnh ng D oỏn du bng xy v ch chỳng bng v bng 1 x y z - n gin biu thc ta cú th t a ; b ; c 1 t a ; b ; c Theo gi thit ta cú: xyz = x y z 2x2 ; tng t ta cú: Ta cú a b c 1 y z x3 y z 2 2z 2 y2 ; b3 a c x z c3 b a 1 y x y3 x z z3 y x Do ú p dng bt ng thc (7) ta cú : 2 2 x2 y 2 z a b c b2 c a c a b y z x z y x 2 x y z x y z xyz x y z Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Du bng xy v ch x y z Bi 17: Cho s thc dng x, y, z > tho: x y z Tỡm GTNN ca biu thc: y2 x2 z2 A= x yz y zx z xy Gii p dng bt ng thc (6) ta cú : x y z y2 x2 z2 Ta cú x yz y zx z xy x y z yz zx xy yz zx xy x y z x y z y2 x y z x2 z2 Do ú 2 x yz y zx z xy x y z x y z x y z Du bng xy v ch x y z x y z x y z x yz y zx z xy Bi 18: Vi x, y, z l cỏc s dng v x y.z x y z Chng minh rng: x yz y zx z xy (1) Gii t a x , b y,c z Bi toỏn tr thnh: a, b, c l s dng v a.b.c a2 b2 c2 (2) 2 2 a bc b ac c ab Chng minh rng: p dng bt ng thc trờn ta cú a2 b2 c2 a b c a bc b ac c ab a bc b ac c ab Bỡnh phng hai v bt ng thc: 2 Ch biờn: Cao Vn Tỳ 2 10 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Phõn tớch v tỡm tũi li gii: a, b, c Do S l biu thc i xng vi a,b,c nờn Max S thng xy iu kin : a b c a b 2 a b c b c Vy hng s cn nhõn thờm l: 3 3 c a 22 a b 3 a b 33 Ta cú li gii: 22 b c 3 b c 33 a b 23 23 b c 23 23 22 c a 3 c a 33 2 c a 3 a bc 18 4 S a b bc c a a b Vy Max S = 18 Du = xy b c a b c 3 c a a, b, c Bi 80: Cho a b c Tỡm giỏ tr ln nht: S a b b c c a Gii Sai lm thng gp: Ch biờn: Cao Vn Tỳ 42 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Cụsi a b a b a b Cụsi b c a b c a b bc c a b c b c 2 Cụsi c a c a c a Nguyờn nhõn sai lm Du = xy a + b = b + c = c + a = a + b + c = trỏi vi gi thit Phõn tớch v tỡm tũi li gii: Do vai trũ ca a, b, c cỏc biu thc l nh ú im ca BT s l a b c t ú ta d oỏn Max S = a + b = b + c = c + a = hng s cn 3 nhõn thờm l Vy li gii ỳng l : a b bc ca Cụsi a b 3 Cụsi b c 3 Cụsi c a 3 a b 2 b c 2 c a 2 2 a b c 3 a b bc c a 2 Bi toỏn trờn nu cho u bi theo yờu cu sau thỡ hc sinh cú nh hng tt hn: Cho a, b, c Chng minh rng: S a b b c c a a b c Tuy nhiờn nu nm c k thut im ri thỡ vic vit u bi theo hng no cng cú th gii quyt c Bi 81: Chng minh rng: a b b a ab a, b Gii Ch biờn: Cao Vn Tỳ 43 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi ny chỳng ta hon ton cú th chia c v cho ab, sau ú ỏp dng phng phỏp ỏnh giỏ t TBN sang TBC nh phn trc ó trỡnh by, nhiờn õy ta ỏp dng mt phng phỏp mi : phng phỏp nhõn thờm hng s Ta cú : a b a b 1 b a b a 1 b 1 ab 2 Cụsi a 1 ab b 2 a b b a b Du = xy a a Cụsi ab ab + ab 2 b a Bi 82: CMR abc a b c a, b, c (1) Gii Ta cú bin i sau, (1) tng ng: 1.1.1 abc a b c 1.1.1 abc 1 a b c a b c Theo BT Cụsi ta cú: 1 1 a b c a b c 1 VT a b c a b c a b c Du = xy a = b = c > Ta cú bi toỏn tng quỏt 1: bn n a1 b1 a2 b2 an bn CMR: n a1a2 .an n bb , bi i 1, n a c Bi 83: CMR c a c c b c ab b c Gii Ta cú (1) tng ng vi: c b c c a c ab ab Theo BT Cụsi ta cú: Ch biờn: Cao Vn Tỳ 44 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! c b c c a c c b c a b c a c 1(pcm) ab ab 2b a a b a b Bi 84: Cho a, b, c, d > Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: a b c d b c d c d a a b d a b c S bc d c d a a b d a bc a b c d Gii Sai lm thng gp a bcd b c d a b cd a b c d a c a b d a b d c d a bc d a b c a bcd bcd a b cd a cd a b S 2+2+2+2=8 c a b d a b d c d a bc a bc d Sai lm thng gp S dng bt ng thc Cụsi cho s: S 88 a b c d bc d c d a a b d a b c bc d c d a a b d a b c a b c d Nguyờn nhõn sai lm: a b c d b cd a Min S = a + b + c + d = 3(a + b + c + d) = vụ lớ c d a b d a b c Phõn tớch v tỡm tũi li gii tỡm MinS ta cn chỳ ý S l mt biu thc i xng vi a,b,c,d > ú MinS nu cú thng t ti im ri t l l a = b = c = d > 0.( núi l im ri t vỡ a,b,c,d khụng mang mt giỏ tr c th) Vy ta cho trc a = b = c = d d oỏn 40 Min S 12 T ú suy cỏc ỏnh giỏ ca BT b phn phi cú iu kin du 3 bng xy l ca iu kin d oỏn: a = b = c = d > Ta cú s im ri : Cho a = b = c = d > ta cú: Ch biờn: Cao Vn Tỳ 45 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! a b c d b c d c d a a b d a b c 3 b c d c d a a b d a b c a b c d Cỏch 1: S dng BT Cụsi ta cú : a bcd bcd 9a a,b,c,d 9a S a,b,c,d b c d 88 a b c d b c d c d a a b d a b c b c d c d a a b d a b c 9a 9b 9c 9d b c d c d a a b d a b c a a a b b b c c c d d d b c d c d a a b d a b c 8 8 40 12.12 12 a a a b b b c c c d d d Vi a = b = c = d > thỡ Min S = 40/3 a, b, c Bi 85: Cho Tỡm GTNN ca a b c S a2 12 b2 12 c2 12 b c a Gii Sai lm thng gp: S 33 a2 12 b2 12 c2 12 36 a2 12 . b2 12 . c2 12 b c a b c a b c a 36 a2 12 . b2 12 . c2 12 36 MinS = Nguyờn nhõn sai lm: MinS = a b c a b c (trỏi vi gi thit) a b c Phõn tớch v tỡm tũi li gii: Do S l mt biu thc i xng vi a,b,c nờn d oỏn Min S t ti im ri a b c Ch biờn: Cao Vn Tỳ 46 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 2 a b c 16 2 a b c Lu hnh ni b! Li gii S a2 1 1 1 b2 c2 2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a2 16 1717 a2 16 1 1 1 1717 b2 1717 c2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a2 16 1717 16 16 a2 b2 c2 a b c 17 17 17 17 17 17 17 17 168 b16 1616 b32 1616 c32 1616 a32 168 c16 168 a16 17 33 17 16 a 17 b 17 c a 17 1717 5 16 16 16 16 b 16 c 16 a 16 a b c 2.17 2a2b2c 17 15 2a 2b 2c 17 Du = xy a b c Min S = 17 2 17 a, b, c Bi 86: Cho Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a b c S a bc a b c Gii Sai lm thng gp: S a b c 66 a.b.c Min S = a b c a b c Nguyờn nhõn sai lm : Min S = a b c a b c trỏi vi gi thit a b c Phõn tớch v tỡm tũi li gii Ch biờn: Cao Vn Tỳ 47 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Do S l mt biu thc i xng vi a,b,c nờn d oỏn Min S t ti im ri a b c S im ri: a b c a b c a b c Hoc ta cú s im ri sau : a b c a b c a b c 2 Vy ta cú cỏch gii theo s sau: S 4a 4b 4c a b c 66 4a.4b.4c a b c a b c abc 15 15 12 Vi a b c thỡ MinS = 2 2 Bi 87: Cho a Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: S a a2 Gii S chn im ri: a a = 1 a2 = Sai lm thng gp S a 12 a 12 7a a 12 7a 7a 7.2 MinS = 8a a a 8a 8.2 4 Nguyờn nhõn sai lm: Mc dự chn im ri a = v MinS = l ỏp s ỳng nhng cỏch gii trờn ó mc sai lm vic ỏnh giỏ mu s: Nu a thỡ Ch biờn: Cao Vn Tỳ 48 ỏnh giỏ sai 8a 8.2 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! thc hin li gii ỳng ta cn phi kt hp vi k thut tỏch nghch o, phi bin i S cho sau s dng BT Cụsi s kh ht bin s a mu s Li gii ỳng: S a a a 6a Cụsi 33 a a 6a 6a 6.2 8 a2 8 a2 8 a2 Vi a = thỡ Min S = Bi 88: Cho a Tỡm giỏ tr nh nht (GTNN) ca S a a Gii Sai lm thng gp ca hc sinh: S a a =2 a a Du = xy a a = vụ lớ vỡ gi thit l a a Cỏch lm ỳng Ta chn im ri: ta phi tỏch hng t a hoc hng t cho ỏp dng BT Cụsi a du = xy a = Cú cỏc hỡnh thc tỏch sau: 1 a; a a; a a, a a; a a; a (1) Chng hn ta chn s im ri (1): ( s im ri (2),(3),(4) hc sinh t lm) (2) a a (3) (4) = a 3a a 3a 3.2 a 4a 4 Vy ta cú : S Du = xy a = Bi 89: CMR : 2a 4b(a b) Ch biờn: Cao Vn Tỳ a a b 49 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Gii Nhn xột : di mu s b(a-b) ta nhn thy b + ( a b ) = a Chuyn i tt c biu thc sang bin a l iu mong mun vỡ vic x lớ vi mt bin s n gin hn Bin tớch thnh tng l mt mt mnh ca BT Cụsi Do ú : b Ta cú ỏnh giỏ v mu s nh sau: 4.b a b 4. a b a a2 Cụsi 2a3 a3 a3 2a 1 Cụsi 33 a.a a a Vy: 4b(a b) a a a2 a2 b a b Du = xy a a2 Bi 90: CMR: a a b a b0 a b b (1) Gii Vỡ hng t u ch cú a cn phi thờm bt tỏch thnh cỏc hng t sau s dng BT s rỳt gn cho cỏc tha s di mu Tuy nhiờn di mu cú dng a b b 12 (tha s th nht l mt a thc bc nht b, tha s th hai l mt tam thc bc hai ca b) ú ta cú th tỏch hng t a thnh tng cỏc hng t l cỏc tha s ca mu Vy ta cú : a b b = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phõn tớch a thnh hai cỏch sau: 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) a +1 = a b b b 2 T ú ta cú (1) tng ng : VT + = a b b a b 2 a b b 1b a b b 4.4 a b b b pcm 2 a b b 1b Cụsi Ch biờn: Cao Vn Tỳ 50 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Bi 91: CMR: a Lu hnh ni b! a b b a b Gii Ta cú nhn xột : b + a b = a khụng ph thuc vo bin b ú hng t u a s c phõn tớch nh sau : a Cụsi b a b 3 b. a b a b b a b b a b b a b Du = xy b a b a2 a Bi 92: CMR: a = v b = b a b a R Gii Ta cú : Cụsi a2 a 1 a2 1 a 2 2 a a a a 1 a a Du = xy a2 a a bc Bi 93: CMR: a b c abc abc 3 a, b, c Gii a b a b c Ta cú: 3 c a b c Cụsi (1) Ta cú: a b c ab bc ca a b c abc Cụsi 33 a2b2c2 33 abc abc abc Ta cú: abc Cụsi (2) abc abc (3) Du = (1) xy 1+a = 1+b = 1+c a = b = c Du = (2) xy ab = bc = ca v a = b = c a = b= c Du = (3) xy abc =1 abc = Ch biờn: Cao Vn Tỳ 51 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi toỏn tng quỏt Cho x1, x2, x3, , xn CMR: x 1 n n3 x2 xn x1 x2 xn n x1x2 xn 2n x1x2 xn n a, b, c, d Bi 94: Cho: 1 1 a b c d CMR : abcd 81 Gii T gi thuyt suy ra: b c d Cụsi bcd = 33 a b c d b c d b c d Vy: bcd 3 b c d a cda 1 b 3 c d a abcd 81 a b c d a b c d dca c d c a abc 3 d a b c 81 Bi toỏn tng quỏt 1: abcd x1, x2 , x3 , , xn Cho: 1 1 x x x x n n CMR : x1x2 x3 xn n n Bi 95: Chng minh rng: 3a3 + 7b3 9ab2 a, b Gii Ch biờn: Cao Vn Tỳ 52 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Ta cú: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b Bi 96: Chng minh rng: Lu hnh ni b! Cụsi 33 33 a3b6 = 9ab2 a b 64ab(a b)2 a,b Gii a b a b a b ab 64ab(a b) 2 a b ab 24.22.ab. a b CụSi Bi 97: Chng minh rng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 8a2b2c2 a, b, c Gii Sai lm thng gp S dng: x, y thỡ x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 x2 + y2 2xy Do ú: a b2 2ab 2 2 2 2 2 b c 2bc a b b c c a 8a b c a, b, c (Sai) c2 a 2ca Vớ d: 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) Li gii ỳng: S dng BT Cụsi : x2 + y2 x2 y = 2|xy| ta cú: a2 b2 ab 2 b c bc 2 c a ca a b2 b2 c2 c2 a2 8| a2b2c2| 8a2b2c2 a, b, c (ỳng) Bi 98 : Chng minh rng nu x, y, z l ba s dng thỡ 1 ( x y z )( ) Khi no xy ng thc ? x y z Gii Vỡ x, y, z l ba s dng nờn x y z 3 xyz ( ng thc xy v ch x = y = z ) Ch biờn: Cao Vn Tỳ 53 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 1 1 1 33 ( ng thc xy v ch ) x y z x y z xyz x y z Do ú ( x y z)( ) xyz 3 Lu hnh ni b! xyz x y z ng thc xy v ch : 1 x y z Vy ng thc xy v ch x = y = z Bi 99: Cho a, b, c > CMR: 1 1 1 4a 4b 4c 2a b c 2b c a 2c a b Gii Aáp bất đẳng thức cô si VT 4 1 1 1 1 1 1 16 a b c 16 a a b c a b b c a b c c 4 16 16 16 4 16 a.abc abbc abcc 16 2a b c 2b a c 2c a b 1 (dfcm) 2a b c 2b a c 2c a b Bi 100: Cho hai n số: (a1, a2, , an) (b1, b2, ,bn) Chứng minh: (a12 + a22 + an2).(b12 + b22 + + bn2) (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 (*) Gii 2 2 Đặt A = a1 + a2 + an ; B = b1 + b2 + + bn2 ; C = a1b1 + a2b2 + + anbn (*) A.B C2 a) Xét A = a12 + a22 + an2 =0 a1 = a2 = = an = (*) = (đúng) Xét B = b12 + b22 + + bn2 = b1 = b2 = =bn = (*) = (đúng) A Ta có: B b) Xét (a1x - b1)2 a12x2 - 2a1b1x + b12 (a2x - b2)2 a22x2 - 2a2b2x + b22 (anx - bn)2 an2x2 - 2anbnx + bn2 Cộng n bất đẳng thức với ta đ-ợc: (a12 + a22 + + an2)x2 2(a1b1 + a2b2 + + anbn)x + b12 + b22 + + bn2 Ch biờn: Cao Vn Tỳ 54 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Ax2 2Cx + B (**) C2 C A 2C B C 2C AB AB C C Thay x = (**) A A A 2 (a1 a a n2 )(b12 b22 bn2 ) a1b1 a2 b2 an bn (dfcm) Ch biờn: Cao Vn Tỳ 55 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn 100 bi v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! - Ti liu th tỏc gi biờn son: Cao Vn Tỳ CN.Mng Toỏn Khoa CNTT Trng H CNTT&TT Thỏi Nguyờn (Ch biờn) Cụ Trn Th Ngc Loan CLB Gia S Thỏi Nguyờn(ng ch biờn) 10.Thy V Khc Mnh CLB Gia s Bc Giang (T vn) 11.Nguyn Th Kiu Trang SV Khoa Toỏn Trng HSP Thỏi Nguyờn 12.Nguyn Trng Giang Khoa CNTT Trng H CNTT&TT Thỏi Nguyờn 13.Lý Th Thanh Nga SVNC Khoa Toỏn Trng H SP Thỏi Nguyờn 14.Ngụ Th Lý Khoa CNTT Trng H CNTT&TT Thỏi Nguyờn - Ti liu c lu hnh ni b - Nghiờm cm chộp di mi hỡnh thc - Nu cha c s ng ý ca ban Biờn son m t ng post ti liu thỡ u c coi l vi phm ni quy ca nhúm - Ti liu ó c b sung v chnh lý ln th Tuy nhúm Biờn son ó c gng ht sc nhng cng khụng th trỏnh s sai xút nht nh Rt mong cỏc bn cú th phn hi nhng ch sai xút v a ch email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chõn thnh cỏm n!!! Chỳc cỏc bn hc v ụn thi tht tt!!! Thỏi Nguyờn, thỏng 07 nm 2014 Trng nhúm Biờn son Cao Vn Tỳ Ch biờn: Cao Vn Tỳ 56 Email: caotua5lg3@gmail.com [...]... 4c 2 a 2 4ad 4d 2 a 2 4ac 4c 2 0 a 2b2 a 2c2 a 2d 2 a 2c2 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Bi 64: Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng : a2 + b 2 (b c) 2 2 b2 + c2 (c a ) 2 2 c2 + a2 ( a b) 2 2 Gii Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai Ta có : (b c) 2 2 (1) (c a ) 2 b +c < 2 (2) ( a b) 2 2 (3) a2 + b 2 < 2 2 c2... )(1 b 2 )(1 ab) (2) Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 0 Do đó bất đẳng thức ( 1 ) đ-ợc chứng minh Ch biờn: Cao Vn Tỳ 27 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi 55: Cho a , b , c , d , e là các số thực Chứng minh rằng : a) a2 + b2 + 1 ab + a + b b) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) Gii a) Ta có : a + b + 1 ab + a +... < 0 ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0 ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( vô lí ) Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng Ch biờn: Cao Vn Tỳ 34 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Bi 65: Tỡm s nguyờn dng n v cỏc s nguyờn dng a1 = a2 = = an tho cỏc iu kin : a1 a 2 a n 2 1 1... 4a b2 0 a) a 2 2a b 0 2 (bất đẳng thức này luôn đúng) b2 Vậy a ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 4 2 b) a b2 1 ab a b 2(a 2 b 2 1 2(ab a b) 2 a 2 2ab b2 a 2 2a 1 b2 2b 1 0 (a b) 2 (a 1) 2 (b 1) 2 0 Bất đẳng thức cuối đúng Vậy a 2 b2 1 ab a b Ch biờn: Cao Vn Tỳ 33 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Dấu... 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0 ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e Bi 56: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tuỳ ý ta có: a4 b4 a3b b3a Gii a4 b4 a3b b3a a 4 a 3b b 4 b 3 a 0 a 3 (a b) b 3 (a b) 0 (a ... ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) 0 ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) 0 ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b Nên ta có điều phải chứng minh Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 b) Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 0 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac... 26 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Gii Ta có : ( 1 + 1 1 )(1+ ) 9 a b (1) a 1 b 1 9 a b ab + a + b + 1 9ab ( vì ab > 0 ) a + b + 1 8ab 2 8ab ( vì a + b = 1 ) 1 4ab ( a + b )2 4ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b )2 0 (2) Bi 54: Cho ab 1 Chứng minh rằng : 1 1 2 + 2 2 1 ab 1 a 1 b Gii Ta có : ( 1 1 2 + 2 2 1 ab 1 a 1 b (1)... b c Hay x x y y z z x=y=z=1 Bi 22: Cho a, b, c là các số d-ơng Chứng minh rằng: a b c 3 bc ca ab 2 Ch biờn: Cao Vn Tỳ 13 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Gii Ta có: 1 1 1 9 9 b c c a a b b c c a a b 2(a b c) 1 1 1 9 (a b c)( ) bc ca ab 2 abc abc abc 9 a b c 3 bc ca ab 2 bc ca ab 2 (Đpcm) 3 Bi 23: Cho... caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 +3 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 0 Bi 61: chứng minh rằng : a2 b2 c2 a b c 3 3 a2 b2 a b a) ;b) 2 2 2 2 c) Hãy tổng quát bài toán Gii a b... chứng minh A B tho định nghĩa 2 Ch biờn: Cao Vn Tỳ 32 Email: caotua5lg3@gmail.com Tuyn tp 100 bi tp v Bt ng thc cú li gii chi tit nm 2015 Lu hnh ni b! B-ớc 1: Ta xét hiệu H = A - B B-ớc 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +.+(E+F) 2 B-ớc 3:Kết luận A B Bi 62: (Chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta đều có: m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Gii m2 m2 m2 m2 mn n 2 mp p 2