PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. Kiến thức cơ bản Để chứng minh một mệnh đề chứa biến ( ) A n là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của ( ) * n p p≥ ∈ ¥ , ta thực hiện hai bước sau: • Bước 1. Chứng minh ( ) A n là mệnh đề đúng khi n = p. • Bước 2. Với k là một số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p, xuất phát từ giả thiết ( ) A n là mệnh đề đúng khi n k= , ta phải chứng minh ( ) A n cũng là mệnh đề đúng khi 1n k = + II. Các bài toán Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức sau: ( ) ( ) 2 1.2 2.5 . 3 1 1n n n n+ + + − = + Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 2n ≥ . 2 1 1 1 1 1 . 2 4 9 n n + + + + < − Bài 3. Giả sử 0 x π ≤ ≤ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: sin sinnx n x≤ Bài 4. Chứng minh rằng ( ) 1.1! 2.2! . . ! 1 ! 1n n n+ + + = + − với mọi số nguyên đương n. Bài 5. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1.2.3 2.3.4 . 1 2 4 n n n n n n n + + + + + + + + = với mọi số nguyên dương n. Bài 6. Chứng minh rằng 1 2 1 4 5 n n+ − + chia hết cho 21 với mọi số nguyên dương n. Bài 7. Chứng minh rằng 1 1 1 1 . 2 1 2 2 3 n n + + + + > + − với mọi số nguyên dương n. Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 1n ≥ và với mọi 2 ,x k k π ≠ ∈ ¢ ta có: 1. 1 sin 2 sin sin 2 . sin sin 2 sin 2 n x nx x x nx x + + + + = 2. 1 sin 2 1 cos cos2 . cos cos 2 sin 2 n x nx x x nx x + + + + + = Bài 9. Cho số nguyên dương n và cho n số thực dương x 1 , x 2 , …, x n thỏa mãn điều kiện 1 2 . 1 n x x x = . Chứng minh rằng 1 2 . n x x x n+ + + ≥ . Bài 10. Chứng minh bất đẳng thức ( ) ( ) * 1.3.5 . 2 1 1 , 2.4.6 . 2 3 1 n n n n − < ∀ ∈ + ¥ . . PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. Kiến thức cơ bản Để chứng minh một mệnh đề chứa biến ( ). , ta phải chứng minh ( ) A n cũng là mệnh đề đúng khi 1n k = + II. Các bài toán Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có các đẳng thức