Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật A Phần mở đầu I- Lý do chon đề tài 1. Cơ sở khoa học - Giải bài toán tìm chữ số tận cùng rèn cho học sinh đợc phơng pháp t duy phân tích tổng hợp và có đợc sự linh hoạt về t duy giải toán khác nhau nh chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phơng Học sinh có trí t- ởng tợng cao phát huy tích cực chủ động trong t duy, có tính sáng tạo trong khi giải toán. - Qua giảng dạy và tìm hiểu về dạng toán tìm chữ số tận cùng là dạng bài toán khó, bất quy tắc và khi giải bài tập có các dạng toán khác nhau. Khi làm bài học sinh phải linh hoạt và biết phân biệt dạng để đa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơn giản hơn. - Khi giáo viên đợc nghiên cứu sâu về các dạng toán. Cụ thể là bài toán tìm chữ số tận cùng, sẽ nâng cao t duy và năng lực chuyên môn. Để từ đó truyền đạt cho các em những bài toán đợc dễ hiểu hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: - Khi học sinh cha đợc phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì các em thờng lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng. Các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ là tham số. - Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về dạng toán tìm chữ số tận cùng, tôi đã phân rõ các phơng pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm đợc cách phân dạng Toán; từ đó các em đa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có cách giải nhanh nhất. - Với những giáo viên cha đợc nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận cùng, nếu nắm đợc các phơng pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao đợc năng lực t duy và năng lực chuyên môn. II. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài toán. 1 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật - Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi nâng cao năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi. III. Phơng pháp nghiên cứu: * Phơng pháp tìm hiểu tài liệu: * Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng trong cách tìm chữ số tận cùng. Từ đó tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm đối với những dạng Toán đó. 2 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật B. phần nội dung: Phần I: Phơng pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một số cuối cùng của một số tự nhiên. Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số: I. Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = n k với n, k N. 1. Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dới dạng: A = 10a + b = ab b là chữ số cuối cùng của A. Ta viết: A = n k = (10q + r) k = 10 t + r k với r N; 0 r 9 Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 10 m .a m + 01 .aa m = 01 . aaa m thì 01 .aa m là m chữ số cuối cùng của A. 2. Vận dụng nghị thức Newtơn: (a + b) n = ac n . 0 + bac n n 11 . +. nn n nn n bcbac . 11 + II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 9 9 Giải: Xem số M = 9 k ; k N - Nếu k chẵn k = 2m ta có: M = 9 2m = 81 m = (80 + 1) m =(10q + 1) m = 10 t + 1 (với m, q, t N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẻ k = 2m + 1 ta có: 3 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật M = 9 2m+1 = 9 2m .9 = (10t + 1).9 = 10q + 9 (với m, t, q N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 9 9 là một số lẻ. Do đó: A = 9 9 9 có chữ số cuối cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2 4 3 Giải: B = 2 4 3 = 2 81 = (2 5 ) 16 .2 = 32 16 .2 = (30 + 2) 16 . 2 = 10q + 2 17 = 10q + (2 5 ) 3 .2 2 = 10q + (10q + 2) 3 . 2 2 = 10t + 2 5 = 10t + 2 Vậy B có chữ số cuối cùng là 2. Bài 3: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2 999 Giải: Ta có : 2 10 + 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 2 10 1 25 Ta lại có 2 1000 1 = ( 2 20 ) 50 1 2 20 1 suy ra 2 1000 - 1 25 Do đó 2 1000 chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhng 2 1000 4 suy ra 2 1000 tận cùng là 76 2 999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2 999 4 2 999 tận cùng là 88 Vậy C = 2 999 có hai chữ số tận cùng là 88. Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3 999 Giải Ta có: 9 2m tận cùng là 1 ; 9 2m + 1 tận cùng là 9 Ta hãy tìm số d của phép chia 9 5 + 1 cho 100 Ta có : 9 5 + 1 = 10( 9 4 9 3 + 9 2 9 +1 ) Số : 9 4 + 9 2 +1 tận cùng là 3 9 3 + 9 tận cùng là 8 suy ra ( 9 4 9 3 + 9 2 9 +1) tận cùng là 5 9 4 9 3 + 9 2 9 +1 = 10q + 5 4 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật 9 5 + 1 =100q + 50 9 10 1 = ( 9 5 +1 )( 9 5 1 ) = 100 t Ta lại có :3 1000 1 = 9 500 1 = (9 10 ) 50 1 suy ra 3 1000 1 100 3 1000 tận cùng là 01 . Mặt khác 3 1000 3 Suy ra chữ số hàng trăm của 3 1000 phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 ) 3 1000 chữ số tận cùng là 201 Do đó 3 999 tận cùng là 67. Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 9 9 9 Giải A = 9 9 9 = ( 10 1) 9 9 có dạng: ( 10 1) n với n = 9 9 ta lại có A = C 0 n . 10 n - C 1 n .10 n-1 + + C 1 n n .10 - C n n Suy ra A có hai chữ số cuối cùng Với a = C 1 n n .10 - C n n = 10n 1 Số n = 9 9 tận cùng là 9 Suy ra 10n tận cùng là 90 a = 10n 1 tận cùng là 89 Vậy số A = 9 9 9 có hai chữ số cuối cùng là 89. Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B = 9 9 9 9 Giải B = 9 9 9 9 = (10-1) với m = 9 9 9 = m m m m m m m m cccc ++ 10 10.10. 1110 B có hai chữ số cuối cùng với số: B = 11010. 1 = mcc m n m m Số m = 9 9 9 tận cùng là 9 Suy ra: Số b tận cùng là 89. Vậy: Số B = 9 9 9 9 có 2 chữ số tận cùng là 89. 5 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật Phơng pháp 2: Nhận xét về lũy thừa. I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa. - a n là một lũy thừa Các trờng hợp đặc biệt: 1. Các số có dạng: + ( 0a ) n tận cùng bằng 0. + 1(a ) n ; ( 5a ) n ; ( 6a ) n tận cùng lần lợt là 1; 5; 6. + ( 3a ) 4 ; ( 7b ) n ; ( 9b ) n tận cùng bằng 1. + ( 2a ) 4 ; ( 4a ) 4 ; ( 8a ) 4 tận cùng bằng 6. 2. Các số 3 20 , 81 5 , 7 4 , 51 2 , 99 2 tận cùng 01 26 4 , 6 5 , 18 4 , 24 2 , 68 4 , 74 2 có 2 chữ số tận cùng là 76. 125 n , 25 n , 5 2 tận cùng là 25. 3. Các số có dạng: ( 01a ) n ; ( 25a ) n , ( 76a ) n có 2 chữ số tận cùng lần lợt là: 01, 25, 76. II. Bài tập: Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 9 9 Giải Ta có: 9 2m tận cùng là 1 9 2m+1 tận cùng là 9 Suy ra: 9 9 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.) Vậy A = 9 9 9 tận cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6 2002 , D = 2 2001 . Giải: Ta có: 6 1 tận cùng là 6 6 2 tận cùng là 6 6 3 tận cùng là 6 Vậy 6 n tận cùng là 6 suy ra 6 2002 tận cùng là 6 6 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật Ta có 2 4 = 16 tận cùng là 6 Suy ra 2 2002 = (2 4 ) 500 .2 2 = ( 6a ).4 = 4k với a,k N 2 2002 tận cùng là 4 Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 7 1999 ; G = 18 177 Giải *Ta có 7 4 = 2401 tận cùng là 1 M = 7 1999 = (7 4 ) = ( 1n ).343 = 3c tận cùng là 3 Vậy M = 7 1999 tận cùng là 3 *Ta có 18 4 = 6n tận cùng là 6 Suy ra: G = 18 177 = (18 4 ) 44 . 18 1 = 6t .18 = 8k Vậy G = 18 177 tận cùng là 8. Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2 999 , D = 3 999 Giải: * Ta có: 2 20 có 2 chữ số tận cùng là 76. Suy ra: C = 2 999 = (2 20 ) 49 .2 19 = ( 76y ). 88n = 88q (với y,n,q N) Vậy C = 2 999 có 2 chữ số tận cùng là 88 * Ta có: 3D = 3 1000 = (3 20 ) 50 = ( 01k ) 50 = 01z . Nên 3D tận cùng là 01 , mà 3.3 999 3 Chữ số hàng trăm của 3 1000 là 2 3 1000 tận cùng là 201 Vậy 3 999 có hai chữ số tận cùng là 67 Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số a, M = 7 8966 b, N = 24 7561 c, = 81 6251 Giải a, Ta có 7 4 có hai chữ số tận cùng là 01 Suy ra M = 7 8966 = (7 4 ) 2241 .7 2 = ( 01a ) 2241 .49 = 01c .49 = 49n 7 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Ngäc Hïng – Trêng THCS Yªn LuËt (víi a,c,n ∈ N) Suy ra M = 7 8966 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 49 b,Ta cã 24 2 tËn cïng lµ 76 Suy ra N = 24 7561 = (24 2 ) 3765 .24 = ( 76m ) 3765 .24 = 76k .24 = 24n (víi m,k,n ∈ N) VËy N = 24 7561 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 24. c, ta cã 81 5 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 01 Nªn Q = 81 6251 = (81 5 ) 1250 .81 = ( 01k ) 1250 .81 = 01t .81 = 81m (víi k, t, m ∈ N ) VËy Q = 81 6251 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 81. Bµi 6: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè a, Z = 26 854 b, C = 68 194 Gi¶i a, Ta cã 26 4 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76 ⇒ Z = 26 854 = (26 4 ) 213 .26 2 = ( 76n ) 213 .676 = 76k .676 = 76c ( Víi n, k, c ∈ N ) VËy Z = 26 854 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76 b, Ta cã 68 4 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 76 Suy ra C = 68 194 = (68 4 ) 48 .68 2 = ( 76n ) 48 .4624 = 76k .4624 = 24t ( Víi n, k, t ∈ N ) VËy C = 68 194 cã hai ch÷ sè tËn cïng lµ 24. Bµi 7: T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña sè T = 5 946 Gi¶i Ta cã 5 3 cã ba ch÷ sè tËn cïng lµ 125 Suy ra T = 5 946 = (5 3 ) 315 . 5 = ( 125n ) 315 .5 = 125m .5 = 625t ( Víi n, m, t ∈ N ) VËy T = 5 946 cã ba ch÷ sè tËn cïng lµ 125. 8 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật Bài 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 5 1994 Giải Ta có: 5 4 = 0625 tận cùng là 0625 5 5 tận cùng là 3125 5 6 tận cùng là 5625 5 7 tận cùng 8125 5 8 tận cùng là 0625 5 9 tận cùng là 3125 5 10 tận cùng là 5625 5 11 tận cùng là 8125 5 12 tận cùng là 0625 Chu kỳ lặp là 4 Suy ra: 5 4m tận cùng là 0625 5 4m+1 tận cùng là 3125 5 4m+2 tận cùng là 5625 5 4m+3 tận cùng là 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2. Do đó M = 5 1994 có 4 chữ số tận cùng là 5625. Phơng pháp 3: Dùng đồng d I. Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số d ta nói a đồng d với 6 theo mô đun m và viết a b (mod m). 2. Định lý: Ba mệnh đề sau tơng đơng với nhau: a. a đồng d với b theo mô đun m b. a b chia hết cho m c. có một số nguyên t sao cho a = b+m.t 3. Tính chất: 9 Ngời thực hiện: Nguyễn Ngọc Hùng Trờng THCS Yên Luật 1. a a (mod m) 2. a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m) 3. { )(mod )(mod mba mdc suy ra: )mod(, )(mod mdba mbdac Hệ quả: a+c b (mod m) cba (mod m) a b (mod m) nm ba (mod m) 4. Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì )(mod m k b k a = 5. { )(mod 0, mba kZk > suy ra ka kb (mod m). 6. d ƯC (a,b,m) thì: a b (mod m) suy ra d b d a = (mod d m ) 7. Nếu a b (mod m 1 ) và a b (mod m 2 ) suy ra a b (mod m) m = BCNN (m 1 , m 2 ) Hệ quả: (m 1 , m 2 , , m n ) =1 và ng tố từng đôi Suy ra: a b (mod m 1 ), a b (mod m 2 ) a b (mod m n ) a b (mod m 1 . m 2 . M n ). II. Bài tập 1. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6 195 và 2 1000 Giải: Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số d trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng d với N theo mod 10 * Ta có: 6 2 = 36 6 mod 10 suy ra 6 n 6 mod 10 Với N là số tự nhiên khác o Suy ra: 6 195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6 195 là 6. * Ta có: 2 1000 = 2 4 . 250 = (2 n ) 250 Vì 2 n 16 6 (mod 10) Suy ra: (2 n ) 250 16 250 6 250 6 (mod 10) Do đó: 2 1000 6 250 6 (mod 10) Nghĩa là chữ số tận cùng của 2 1000 là 6. 10 [...]... Vậy ta vận dụng đồng d vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của số N với: a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10 Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng là b:b . tìm chữ số tận cùng của số N với: Một chữ số tận cùng là N a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10 Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng. 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 5 1994 Giải Ta có: 5 4 = 0625 tận cùng là 0625 5 5 tận cùng là 3125 5 6 tận cùng là 5625 5 7 tận cùng 8125 5 8 tận cùng