Bài toán Min Max xử lýBĐT phương ép biên CHUYÊN ĐỀ THI pháp THPT QG MỖI TUẦN CHỦ ĐỀ TUẦN : ÉP BIÊN BÀI MẪU – Đề 11 Thầy Quang Baby : Cho a, b, c số thực thỏa mãn a, c  1; b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b  c  b  2c  c  a  b b  2a   a  c   2b    ac  Lời giải Ta có 1  a   b     2a  b  ab   2a  b  ab   c  a  b c  a  b 1    b  2a ab  b  2a ab  Tương tự ta có a b  c b  2c  a b  c  bc  Lại có 2  a  c   2b    a  c   b    a  c     a  c  b  4ac    ab  ac  bc     P c  a  b ab   a b  c bc    ab  bc  ca    ac  3  ac  bc   ab  ac  ab  bc  ca    1    1  2 ac   ab    bc    ab  bc  ca   1     ab  bc  ca      2 2 ab  bc  ca   ab  bc  ac   Xét hàm số f  t   t  2 t7 27 Mà t  ab  bc  ca   P   45 t7 45 13  57 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 13 , dấu "  " xảy a  1, b  2, c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Bài : CHUYÊN ĐHSP HN Cho số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn a  b  c  Chứng minh đẳng thức: a2 b2 c2    bc  ac  ab  Bài giải: Từ giả thiết ta có: (b  1)(c  2)  bc   2b  c   2(bc  2)  3(b  c)  3(4  a)  (b  2)(c  1)  bc   b  2c a2 a2 Do đó: ; đẳng thức xảy  a = 0; b = c =  bc   a Tương tự: Suy ra: b2 b2 c2 c2   ac   b ab   c a2 b2 c2  a2 b2 c2         (*) bc  ac  ab    a  b  c  ( Không tồn a, b, c để đẳng thức xảy ) t2 ; t  [1; 2] 4t t (8  t ) Ta có: f / (t )   0; t  [1; 2] nên hàm số f  t  đồng biến 1; 2 (4  t ) Xét hàm số: f (t )  1 Suy f (t )  f    t  [1; 2] 2 Thay t a, b, c vào vế trái (*) ta được: P a2 b2 c2 21 1        bc  ac  ab   3  Vậy P  Bài – Sưu tập Chuyên Bắc Ninh :Với số thực:  a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a   b   c Ta chứng minh :  a   b    a  b (*) Thật vậy: (*)   a   b  (1  a)(1  b)    a  b   a  b  (1  a)(1  b)   a  b  ab  (luôn đúng) Vì vai trò a,b,c nên không tính tổng quát giả sử a  b  c Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Suy :  c  Theo (*) ta có: P    a  b   c    c   c Xét hàm: f (c )    c   c ;1  c  Ta có f / (c)   4c  1 c ; f / (c )   c  3 Ta có: f (1)  f (2)    3; f     10 Vậy : P    2 Vậy GTNN P là:   Bài 3: Nhiều trường chọn để thi thử Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: a  [0;1], b  [0; 2], c  [0;3] Tìm gía trị lớn P  2(2ab  ac  bc) 8b b    2a  b  3c b  c  b( a  c )  12a  3b  27c  Ta có a  [0;1], b  [0; 2], c  [0;3] (1  a )(b  c)  b  c  ab  ac    2a  b  3c  2ab  bc  ac (2  b)(a  c)   2a  2c  ab  bc 2(2ab  ac  bc) 2(2ab  ac  bc)    2a  b  3c  2ab  ac  bc Mặt khác b  c  a(b  c) ( a  [0;1] ) 8b 8b 8b   b  c  b(a  c )  a (b  c)  b(a  c)  2ab  bc  ac  Với số thực x, y, z, ta có:  ( x  y )2  ( y  z )  ( y  x)   2( x  y  z )  xy  yz  xz  3( x  y  z )  ( x  y  z )2  12a  3b  27c  (2a )  b  (3c)   (2a  b  3c)2  2a  b  3c  2ab  bc  ac  b  b 2ab  bc  ac  12a  3b  27c  Suy 2(2ab  bc  ac) 8b b P    2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  2ab  bc  ac  2(2ab  bc  ac) P   2ab  bc  ac 2ab  bc  ac  Đặt t  2ab  bc  ac  t  [0;13] Xét hàm số: f (t )  2t  , t  [0;3] t 1 t  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên f / (t )   , f / (t )   t  2 (t  1) (t  8) 16 47 16 ; f (13)   f (t )  t  [0;13] 21 16 16 16 Do đó: P  Khi a  1; b  2; c  P  Vậy GTLN P 7 f (0)  1; f (6)  Bài (Sưu tập) : Cho số thực x, y, z thỏa mãn x, y, z  1 x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2 y2   x  y  4( xy  1) z  z  Phân tích ý tưởng: Lời giải: Từ giả thiết ta có: ( x  1)( y  1)   xy  ( x  y )  x  y   z Do x  y  4( xy  1)  ( x  y)2  xy   ( x  y)2  2( x  y)   ( x  y  1)2   z  z  Khi đó, suy P  x2 y2  x2 y2  x2  y2      x  y  4( xy  1) z  z  z  z  z  z  z  z  Mặt khác: x  y  ( x  y )2  xy  ( x  y )2  2( x  y)   ( x  y  1)   z  z  17 z  z  17 z  z  17 Đặt (*) Khi (*) t  z2  4z  z2  4z   (t  1) z  (8  4t ) z  5t  16  Vì P  Phương trình có nghiệm /   (4  2t )2  (t  1)(5t  16)   5t  t    t  5 3 3  5 Suy P  Dấu xảy  x; y; z    1; ;   x; y; z    ; 1;  2 2  2 Vậy giá trị lớn biểu thức P Bài 5: Sưu tập Cho a  [1; 2] Chứng minh (2a  3a  4a )(6a  8a  12a )  24a1 1  BĐT  (2a  3a  4a )  a  a  a 2    24  Do a  [1; 2]   2a  4;3  3a  9;  4a  16   2a  16;  3a  16;  4a  16 (0.25đ) Với x  [2;16] ta có: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên ( x  2)( x  16)   x  18 x  32   x  18  1  Từ suy ra: 32  a  a  a 2 32  18  x x  a a a   54  (2   )  1  54  (2a  3a  4a )   a  a  a  32  2 1  Khi đó:  (2a  3a  4a )  a  a  a 2 a a a a a a  (2   )[54  (2   )]   32  Bài : (Mẫn Ngọc Quang) Cho số thực a,b,c thỏa mãn:  (2a, b)   c Tìm MIN P 2a (b  c)  bc  ab a (b  c ) 4b( a  c)   72 2( a  b  2c )  28a  7b  2c  Ta có : 2(2a  b  c)2  5(2a  b)2   28a  7b2  2c  12ab  8ac  4bc 2a (b  c)  b(a  c)  a  b  2c  (2a, b)   c 3ab  2ac  bc 4a(b  c) 4b(a  c)   72 3ab  2ac  bc  12ab  8ac  2bc   ab  ac  3ab  2ac  bc 4b(a  c)    1 1 72   3ab  2ac  bc   3ab  2ac  bc   2 2   3t t   , t  3ab  2ac  bc  72 t  P Xét hàm số ta có kết dấu xảy : t = 11/2 , a = ½ , b = , c = Câu 7:Đề thi thử (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho số thực x, y, z thuộc  0;1 z   x, y, z Tìm GTNN biểu thức: P  x  z2 y  14 yz  z  y  z   x  1 y  1 z  1 x y z2 Lời giải Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên z Do z   x, y, z nên ta có x  z   x    2 Ta lại có z  y   y  z   y  y z  y z  yz  z  y  14 yz y  y z  y  y  14 yz  z  2  y  14 yz  z  Do ta có P  Ta có  x  z  2  y  z y z  x  2    y  z  2  y  14 yz  z  y  z  z  y  2     1  y y  z  z y  2   x  1 y  1 z  1 x yz2  z  z   x  y  z 2  x  y      2  Và  x  1 y  1 z  1    x  y  z    xy  yz  zx   xyz    x  y  z    xy  yz  zx  Lại có 1  x 1  y 1  z     x  y  z    xy  yz  zx   xyz   xy  yz  zx  x  y  z   xyz  x  y  z   P  Xét hàm số f  t   Ta có f '  t     x  y  z  16  x  y  z  x yz2 16t  với t  a  b  c t  0;3 t2 t  16 32  ; f '  t    t   f  t   f    10 t t  2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 10 , dấu "  " xảy x  y  1, z  Câu 8: Đề thi thử (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho số thực x, y , z  thõa mãn xyz   x  y  z Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Tìm GTLN biểu thức Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên P 2x2  x   y2  y   2z  z   x  y  z  2 xyz  Lời giải Cách 1: ép biên Ta có: x( x  1)   x  x   x  x   x  x   x  x   x  Tương tự ta có: Do : P  y  y   y  1; z  z   z  2x 1  y 1  2z 1 2( x  y  z )       2 ( x  y  z) xyz  ( x  y  z) x  y  z x  y  z (x  y  z) Xét hàm số f  t    với t  x  y  z  t t2 Hàm số f  t  nghịch biến nên P  f  t   f  3  Vậy giá trị lớn biểu thức P 1, dấu "  " xảy x  y  z  Câu 9: Đề thi thử 16 (Nhóm học sinh thầy Quang Baby) Cho  a, b, c  , a (4  a  b)  c(a  b) Tìm GTNN : P  1  a  b 1  b  c 1  c  a   16a  16bc  64a Ép biên :  a, b, c  *)a(4  a  b)  c(a  b)  4a  a  ac  bc  ab  (a  b)(a  c) *)16a  16bc  64a  16(ab  ac) *)(1  a  b)(1  c  a)(1  b  c)  (1  6a  b  c)(1  b  c)   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  P   6a  2b  2c  6a(b  c)  (b  c)  16(ab  ac)   (2a  4a )  (b  c)  2b  2c  10a(b  c)   [2a]   4a  (b  c)    2b  2c   10a(b  c) Vi :  a, b, c   [2a ]  a (b  c),  4a  (b  c)2   4a (b  c),  2b  2c   2a (b  c)  P   a(b  c)  4a(b  c)  2a(b  c)  10a(b  c)    5 Bài 10 : Đề thi thử THPT Đào Duy Từ Năm 2012 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên a, b, c   0,1 Chứng minh : P  a b c    abc   bc  ac  ab Giải: không làm tính tổng quát toán, ta giả sử:  a  b  c  Ta có: A  a b c b c bc    abc     bc  bc    bc  ac  ab  bc  bc  bc  bc  bc Ta có: 1  b 1  c     bc  b  c   Vậy nên: A  bc   bc 1  bc 1  bc Đặt t   ab 1  t   đó: 1 f  t   t   f '  t       :1  t   t t  f  t  đồng biến 1; 2  f  t max  f     a  b  c 1 Bài 11 : ( trích đề thi thử Đô Lương 1) Cho x, y, z   0; 2 ; xy  yz  zx  Tìm P  x  y  z  10  xy  yz  zx   96 x3  y  z Bài Làm:   Ta có: P   x  y  z   x  y  z  96 3 x  y3  z x  y  z   x  x    y  y    z  z      x  y  z    x  y  z  x  y   x  y  , z  z Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Khi đo: P  5 x  y  z   8 x  y  z   96 2 x  y  z Đặt: t  x  y  z  t    P  5t  8t  48  Pmin  28  x  2, y  z  t Bài 12 : ( trích đề thi thử Đặng Thục Hứa 2016) a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm Max P a  b  5c  6abc   abc ab  bc  ca Bài Làm Ta đánh giá:  a  1 a   a  1 a     b   b  1 b   b  1   a  b  5a  5b  P  a  b  c   6abc  ab  bc  ca  abc Ta lại có:  a  1 b  1 c  1   abc    ab  bc  ca    abc  3    a   b   c    6abc  73 P  abc  10   Pmax   a  b  1, c  abc  Vậy Pmax   a  b  1, c  Bài 13) ( Trích đề thi thử Anh Sơn 2)giống câu (lời giải khác) Cho số thực a,b,c thỏa mãn: a   0,1 , b   0, 2 , c   0,3 Tìm Max P  2(2ab  bc  ac) 8b b    2a  b  3c b  c  b( a  c )  12a  3b  27c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Giải: Ta có: 1  a  b  c    2a  b  3c  2ab  ca  bc    b  a  c   PTa có: b  c  a  b  c   2 2  12a  3b  27c   2a  b  3c   2ab  bc  ca  8b b P    2ab  bc  ca 2ab  bc  ca  2ab  bc  ca  Đặt t  2ab  bc  ca  t   P 2t 16 16    Pmax   a  1, b  2, c  1 t t  7 Vậy Pmax  16  a  1, b  2, c  Bài 14 ) Đề THPT Ngô Sĩ Liên x, y , z   0,1 Chứng minh : P  (1  1 1 )( x  y  z )     xyz x y z Giải: Ta có:  x  1 y  1   xy   x  y    1   xy x y 1 1 1    2     xy yz zx x y z   1 1 1  1  x  y  z      x  y  z  2     x  y  z  xy yz zx  xyz  x y z Ta có: P   Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 10 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên 1 1 1 1 1       x  y  z        x  y  z   x  y  z   P  x  y  z   dpcm  x y z x y z x y z Dấu xảy  x  y  z  P Bài 15 (Sưu tập ) x, y, z  1, 4 , x  y  z  Tìm : P  z x2  y   8( x  y ) xyz Giải: z x2  y  z x2  y2 z P        2 2 2 xyz xyz xyz  x  y  z xyz 8 x  y  8 x  y   x  1 y  1   xy  x  y    z 2  x  y   z  10 z  26 Ta có:  P z 1     z  10 z  26  z z   z  2  z    z  45 z  117  Ta chưng minh: P   0 z   z   z  10 z  26  MaxP   x  y  1, z  Bài 16) ( Trích đề thi thử lần thư Thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,1 Tìm GTLN biểu thức: P  a b c    2(1  a)(1  b)(1  c) bc  ac  ab  Bài giải: ( Trích lời giải từ: Phong Đình Nhữ ) Giả sử c  b  a Ta có: 1  a 1  b    ab   a  b Ta chứng minh: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 11 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên 2a  a  bc   a  b   2bc   a  b  2b  b   2ca   a  b   ca  a  b  2c  c  ab   a  b   2ab   a  b  P  a  b  c  1  a 1  b 1  c 1  a  b   a  b  c  1  c     2 a  b 1 1 a  b a  b 1 1 a  b Dấu xảy  a  b  c  a  b  1, c  ( hoán vị)  1 Bài 17 ( Trích đề số 11 thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,  Tìm  2 P a b c    (1  a)(1  b)(1  c) b  c 1 a  c 1 a  b 1 Bài giải: ( Trích từ: Phong Đình Nhữ )  5   1  a  b  a  b    a  b  a  b  8      2 27     Áp dụng AM - GM ta có:   1 c  a   a    b       2    Ta có: 5   5   c  a  b b  a  c a   2    1 a 1 b 1 c P       b  c 1 8 5   5   c   a    b  b   a   c  a   2    1 a 1 b 1 c Đặt: f  a         b  c 1 8      Ta có: f  a    f   , f     Ta có ) f     bc  7  b  c    b  c    c  g  b  32 32  32 8 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 12 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên 3 8 Do  c    1   0, c  0;  32   2 1  f 0  g b  g    2 bc 1 ) f       8    b  c  Vậy Pmin  abc Bài 18 ) a, b, c  1,3 , a  b  c  Tìm max P  abc(a3  b3  c3 )2 Bài giải: Ta có: a  b3  c   a  b  c    a  b  b  c  c  a   216  18  ab  bc  ca   3abc Ta có:  a  3 b  3 c  3    ab  bc  ca    a  b  c   27  abc  27  abc   P  3  ab  bc  ca   27  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27   P   ab  bc  ca   135   ab  bc  ca   2  P  7776 Vậy Pmax  7776  a  1, b  2, c  hoán vị Bài 19 ( Sưu tập ) : Cho a, b, c  1, 2 , a  b  c  Tìm GTLN của: P  a  c  21b  14 3 12(a  b )  28b  25 Giải: a  21a  20   a  1 a   a  5   c  21c  20 Ta có:  3a  7a   3c  7c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 13 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên P  21 a  b  c   40  14 28  a  b  c   Đặt: t  a  b  c  a  1 b  1 c  1  13 29  ab  bc  ca   t   a   b   c    Với  c  b  a   Bài 20 : Cho a  b  2c  ab  bc  ca  Tìm Giá trị lớn biểu thức: a  2b  4c    ab  bc  ca  b  ab  bc  3ac P  2a  4b  8c  18  Bài giải:  ) Từ giã thiết ta có:  b  a  b  c    b2  ca  b  a  c  b  ab  bc  3ac  b  ab  bc  3ac   ab  bc  ca    ab  bc  ca 2  ) Mặt khác ta lại có:  a  1   b   2   c  2   2a  4b  8c  18  a  b  2c   ab  bc  ca Suy ra: 2a  4b  8c  18  ab  bc  ca  ) Từ ta có: P  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 2 4  ab  bc  ca  2  2 a  b  c  Dấu bẳng xảy khi:  Bài 22 : Đề thi thử (Thầy Quang Baby) Cho số thực x, y, z  0;1 z   x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 14 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên  y  z P xz  yz  1  y  y  z  xy  xz  yz  Lời giải Với toán có điều kiện biên x, y, z  0;1 tìm cách khai thác , dự đoán điểm rơi là: x  y  1, z  có chứa xy  xz  yz mẫu , hạng tử gợi ý cho xy  xz  yz dồn biến xy  xz  yz Hơn với Ta có: x,  0;1 Suy xx ,  y  z xz  x  y  z x x  z  x2  y  z  xx  z  Dấu A = B > Do đự đoán A.B A  B điểm rơi x = y = , z = nên khả x = x + z y = y + z hoàn toàn xảy Áp dụng BĐT phụ Cô-Si ngược ta có : Ta có: x2  y  z  2  x  y  z 2x  z x x  z Do P  2 2  yz  1 x2  y  z  2x  z  2y  z 2  yz  1  yz    2y  z y  y  z  xy  yz  xz  1  2   xy  xz  yz x yz xy  xz  yz A2 B ( A  B)   , x y x y Với điều kiện: x, y, z  0;1 , ta có: 1  x 1  x 1  x    xy  yz  xz   xyz  x  y  z  x  y  z Suy P  x  y  z  xy  xz  yz Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x   y  z   x  y  z   x  y  z   xy  xz  yz  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 15 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Mà x, y, z  0;1 ,  x  y  z  x2  y  z   xy  xz  yz  Suy P  2( xy  xz  yz )  xy  xz  yz AM  GM  x  y  Dấu “=” xảy   z  Vậy giá trị nhỏ P MinP  đạt  x; y; z   1;1;0 GÓC NHÌN TỪ ĐỀ THI ĐẠI HỌC : Câu – 2014D: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2y y  2x   x  y  y  3x   x  y  1 Bài giải: Do  x  nên  x  1 x    0, nghĩa x   x Tương tự y   y Suy P  x  2y y  2x x y     x  y  3x  y   x  y  1 x  y   x  y  1 Đặt t  x  y, suy  t  Xét f  t   Ta có f '  t   Mà f     t  1   t  1 t  , với  t  t   t  1 Suy f '  t    t  11 53 7 ; f  3  ; f    nên f  t   f  3  Do P  12 60 8 Khi x  1, y  P  x  7 Vậy Pmin    8 y  Câu 10 – 2015 : Cho số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 thỏa mãn điều kiện a  b  c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 16 Bài toán Min Max xử lý phương pháp ép biên Tìm giá trị lớn biểu thức P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca Bài giải: Đặt t  ab  bc  ca Ta có: 36   a  b  c   1 2 a  b    b  c    c  a    3t  3t Suy t  12   2 Mặt khác  a  1 b  1 c  1  nên abc  ab  bc  ca   t  5;   a   b   c   nên 3t   ab  bc  ca   abc  27  t  22 Suy t  11 Khi P  a 2b  b c  c a  12abc  72  abc ab  bc  ca  ab  bc  ca    72 abc t  72 t  t  5t  144     ab  bc  ca t 2t Xét hàm số f  t   t  5t  144 t  144 với t  11;12 Ta có f '  t   2t 2t Do f '  t   0, t  11;12 , nên f '  t  nghịch biến 11;12 Suy f  t   f 11  160 160 160 Do P   Pmax   a  1, b  2, c  hoán vị 11 11 11 chúng CÂU HỎI ĐẺ HỌC SINH SUY NGHĨ VÀ VẬN DỤNG Câu : Bài 20 : Cho x, y, z  1;3 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức:  10  4608 P   x  y  3z   y  z      x  y  xy  z Câu : a, b, c  1; 2 Bài 21 (Đề thi thử 19 – Thầy Mẫn Ngọc Quang): Cho  a  b  c  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 17 Bài toán Min Max xử x lý ng phương pháp ép biên Tìm Giá trị nhó biểu thứ ức:  c  1 P  2abc  10c   a  b  c  1  a  b  1  Thầy Quang Baby – Tr.Quang Quang – Q.Việt - Thành Tuấn 13 4c  13  Page 18 [...]... Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi:  Bài 22 : Đề thi thử 6 (Thầy Quang Baby) Cho các số thực x, y, z  0;1 và z  min  x, y, z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 14 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên  y  z P 2 xz  yz  1  2 y  y  z  xy  xz  yz  Lời giải Với những bài toán có điều kiện biên x, y, z  0;1 chúng ta sẽ.. .Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên 1 1 1 1 1 1 1 1 1       x  y  z  3  2      x  y  z   x  y  z  3  P  x  y  z  3  dpcm  x y z x y z x y z Dấu bằng xảy ra  x  y  z  1 P Bài 15 (Sưu tập ) x, y, z  1, 4 , x  y  z  6 Tìm min : P  z x2  y 2  1  8( x 2  y 2 ) xyz Giải: z x2  y 2  1 z x2  y2 1 z 2 1... x  1, y  2 thì P  x  1 7 7 Vậy Pmin    8 8 y  2 Câu 10 – 2015 : Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn điều kiện a  b  c  6 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 16 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  12abc  72 1  abc ab  bc  ca 2 Bài giải: Đặt t  ab  bc  ca 2 Ta có: 36... Page 11 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên 2a  a  bc  1  a  b  1  2bc  1  a  b  2b  b   2ca  1  a  b   ca  1 a  b  1 2c  c  ab  1  a  b  1  2ab  1  a  b  P 2  a  b  c  2 1  a 1  b 1  c 1  a  b  2  a  b  c  2 1  c     2 a  b 1 1 a  b a  b 1 1 a  b Dấu bằng xảy ra  a  b  c  0 hoặc a  b  1, c  0 ( hoán vị)  1 Bài. .. có: f  a  min   f  0  , f     3 8 Ta có ) f  0   1  bc  7 3 7 7  b  c   1  b  c    c  g  b  32 32  32 8 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 12 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên 3 8 Do  c  7   1   0, c  0;  32   2 1 7  f 0  g b  g    2 8 1 bc 1 7 1 ) f       8 2 8  2  2  2 b  c  Vậy Pmin  7 1...  2  xy  xz  yz  Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 15 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp ép biên Mà x, y, z  0;1 ,  x  y  z  x2  y 2  z 2  2  xy  xz  yz  Suy ra P  2( xy  xz  yz )  2 xy  xz  yz AM  GM  4 x  y  1 Dấu “=” xảy ra   z  0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là MinP  4 đạt được khi  x; y; z   1;1;0 GÓC NHÌN TỪ ĐỀ THI ĐẠI HỌC : Câu 9... Vậy Pmax  7776  a  1, b  2, c  3 và các hoán vị Bài 19 ( Sưu tập ) : Cho a, b, c  1, 2 , a  b  c  9 2 Tìm GTLN của: P  a 6  c 6  21b 2  14 3 3 12(a  b )  28b 2  25 Giải: a 6  21a 2  20   a 2  1 a 2  4  a 2  5  0  c 6  21c 2  20 Ta có:  3 2 3a  7a  4  3 2 3c  7c  4 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 13 Bài toán Min Max xử lý bằng phương pháp. ..  3  x  y  xy  9 z Câu 2 : a, b, c  1; 2 Bài 21 (Đề thi thử 19 – Thầy Mẫn Ngọc Quang): Cho  a  b  c  5 Thầy Quang Baby – Tr.Quang – Q.Việt - Thành Tuấn Page 17 Bài toán Min Max xử x lý bằng ng phương pháp ép biên Tìm Giá trị nhó nhất của biểu thứ ức: 3  c  1 P  2abc  10c  3  a  b  c 2  1  a  b  1 2  Thầy Quang Baby – Tr.Quang Quang – Q.Việt - Thành Tuấn 13 4c 2  13...  117  1 Ta chưng minh: P   0 2 8 z  5  z   z 2  10 z  26  MaxP  1  x  y  1, z  4 2 Bài 16) ( Trích đề thi thử lần thư 6 Thầy Đặng Thành Nam ) a, b, c   0,1 Tìm GTLN của biểu thức: P  a b c    2(1  a)(1  b)(1  c) bc  1 ac  1 ab  1 Bài giải: ( Trích lời giải từ: Phong Đình Nhữ ) Giả sử c  b  a Ta có: 1  a 1  b   0  ab  1  a  b Ta sẽ chứng minh: Thầy Quang Baby... pháp ép biên P  21 a 2  b 2  c 2   40  14 28  a 2  b 2  c 2   7 Đặt: t  a 2  b 2  c 2  a  1 b  1 c  1  0 13 29  ab  bc  ca   t  2 4  a  2  b  2  c  2   0 Với  c  b  a  0  Bài 20 : Cho a 2  b 2  2c 2  ab  bc  ca  5 Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức: a  2b  4c  9   ab  bc  ca  2 b 2  ab  bc  3ac P  2a  4b  8c  18  2 4 Bài giải: