Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng II BẤT BẤT PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH VÀ VÀ HỆ HỆ BẤT BẤT PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH II BẬC NHẤT NHẤT MỘT MỘT ẨN ẨN BẬC Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm  b a>0 S =  −∞; − ÷ a   b  a > x+ 5 5( x − 1) 2( x + 1) 3( x + 1) x −1 d) + −1 < < 3− Giải biện luận bất phương trình sau: m( x − m ) ≤ x − b) mx + > x + 3m (m + 1) x + m < 3m + d) mx + > m + x m( x − 2) x − m x + f) − mx < 2( x − m) − (m + 1)2 + > Bài Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) m x + 4m − < x + m b) m x + ≥ m + (3m − 2) x e) c) mx − m > mx − d) − mx < 2( x − m) − ( m + 1)2 Bài a) Trang 42 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc ẩn Bài a) d) g) Bài a) Bài a) Giải hệ bất phương trình sau:   4x − 4 15 x − 8 x − >  < x +3  − 12 x ≤ x + b)  c)   2(2 x − 3) > x −  3x + > x −  4x − < − x    x 11 − x  2 ≤ x +  ≥ 2x − 15 x − > x + e)  f)   x − 19 + x x −   2 ( x − ) < x − 14 < ( x + 1) ≥     x − 3( x − 2)  x − 3x + − 3x −1 >  −  < 3 x + ≥ x + h)  i)    x + > x + 19 3 x + < − x 3 − x − > x − − − x  18 12  Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:   6 x + > x + 15 x − > x + b)   8x +  2( x − 4) < x − 14 < x + 25   Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  x + m −1 >  x −1 > b)  c)  3m − − x > mx − >  x + 4m ≤ 2mx +  3 x + > x − 7 x − ≥ −4 x + 19 d)  2 x − 3m + <  mx − > e)  (3m − 2) x − m > Bài a) VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình tích • Dạng: P(x).Q(x) > (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P( x ) > (2) • Dạng: (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Q( x ) P( x ) • Cách giải: Lập bảng xét dấu Từ suy tập nghiệm (2) Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ • Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ Trang 43 Trần Sĩ Tùng • Dạng 1: • Dạng 2: Bất đẳng thức – Bất phương trình  g( x ) > f ( x ) < g( x ) ⇔  − g( x ) < f ( x ) < g( x )   g( x ) <   f ( x ) coù nghóa  f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥     f ( x ) < − g( x )    f ( x ) > g( x )  Chú ý: Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ;  A < −B A >B⇔ A > B Bài Giải bất phương trình sau: a) ( x + 1)( x − 1)(3 x − 6) > b) (2 x − 7)(4 − x ) ≥ d) x (2 x + 7)(9 − x ) ≥ e) Bài Giải bất phương trình sau: (2 x − 5)( x + 2) a) b) >0 −4 x + 3x − d) e) >1 x −2 −4 g) h) < 3x + − x Bài Giải bất phương trình sau: a) x − > b) x + x + 17 x + 10 < x −3 x +5 > x +1 x − 2x − ≥ −1 2− x 2x2 + x ≥ 1− x − 2x x − 12 < x +1 d) x + 15 ≥ e) x − > g) x − ≤ x + h) x + ≤ x Bài Giải biện luận bất phương trình sau: 2x + m −1 mx − m + a) b) >0 , >0 a2 x + b2 x – Đặt x1 = − c) x − x − 20 > 2( x − 11) f) x + x + 11x + > x − 1− 2x < x +5 x −3 f) ≤ x −1 2x −1 x − 3x + i) < 3x + 2 x − c) c) 2x − ≤ x f) x − < i) x − > x + c) x − 1( x − m + 2) > (hoặc < ≥ 0, ≤ 0) b1 b ; x2 = − Tính x1 − x2 a1 a2 – Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1 − x2 – Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta a x + b1 x xét dấu (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) (hoặc ) nhờ qui tắc đan dấu a2 x + b2 x   3− m  ; +∞ ÷  m < : S = (−∞; −1) ∪     a)   3−m  m > : S =  −∞; ÷∪ (−1; +∞)     m = : S = R \ { − 1}  Trang 44   m −1  ; +∞ ÷  m < : S = (−∞;1) ∪   m   b)   m −1  m > 0: S = ;1÷   m   m = : S = (−∞;1)  Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng  m < : S = (1; +∞) c)   m ≥ : S = (m − 2; +∞) Bài Giải bất phương trình sau: a) III BẤT BẤT PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH BẬC BẬC HAI HAI III Dấu tam thức bậc hai ∆0 f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0) a.f(x) > 0, ∀x ∈ R  b a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \  −   2a  a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞) a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2) a > Nhận xét: • ax + bx + c > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < a < • ax + bx + c < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < Bất phương trình bậc hai ẩn ax + bx + c > (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Xét dấu biểu thức sau: a) x − x + d) x − x − b) − x + x + e) − x + x − c) −4 x + 12 x − f) x − x + g) (3 x − 10 x + 3)(4 x − 5) h) (3 x − x )(2 x − x − 1) i) Bài Giải bất phương trình sau: a) x − x + < d) −2 x + x − ≥ −3 x − x + 4 x + 3x − h) Trang 45 >0 4x2 + x − c) 16 x + 40 x + 25 > f) x − x − ≤ 5x + 3x − b) (1 + m) x − 2mx + 2m ≤ c) mx − x + > HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a ∆ – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Bài Giải hệ bất phương trình sau: 2 x + x + > 2 x + x − >  −2 x − x + < a)  b)  c)   x + x − < 3 x − 10 x + ≥  − x − x + 10 > g) >0 b) −5 x + x + 12 < e) x − x + ≥ (3 x − x )(3 − x ) i) Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình x2 + 4x + ≥  d) 2 x − x − 10 ≤ 2 x − x + >  g) −4 ≤  − x + x − < e)   x − x − ≥  x + x + < f)   x − x + > x2 − 2x − x2 − 2x − 10 x − x − h) i) −1 < ≤1 ≤ ≤1 b) x + (m + 1) x + 2m + > c) x + (m − 2) x − m + > d) mx + (m − 1) x + m − < e) (m − 1) x − 2(m + 1) x + 3(m − 2) > f) 3(m + 6) x − 3(m + 3) x + 2m − > Bài Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m + 2) x − 2(m − 1) x + < b) (m − 3) x + (m + 2) x − > c) (m + 2m − 3) x + 2(m − 1) x + < d) mx + 2(m − 1) x + ≥ e) (3 − m) x − 2(2m − 5) x − 2m + > f) mx − 4(m + 1) x + m − < Bài a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ  f ( x) ≥ C1  g( x ) ≥ C2   f ( x ) = g( x )  f ( x ) = g( x ) ⇔   f ( x ) = g( x ) ⇔   • Dạng 1:   f ( x ) = − g( x )   f ( x ) <   f ( x ) = − g( x )  f ( x ) = g( x ) f ( x ) = g( x ) ⇔  • Dạng 2:  f ( x ) = − g( x )  g( x ) > f ( x ) < g( x ) ⇔  • Dạng 3: − g( x ) < f ( x ) < g( x ) Trang 46 Bất đẳng thức – Bất phương trình   g( x ) <   f ( x ) coù nghóa  f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥     f ( x ) < − g( x )    f ( x ) > g( x )  • Dạng 4: Chú ý: Trần Sĩ Tùng • A = A ⇔ A≥ 0; A = −A ⇔ A ≤ • Với B > ta có: A < B ⇔ −B < A < B ; • A + B = A + B ⇔ AB ≥ ;  A < −B A >B⇔ A > B A − B = A + B ⇔ AB ≤ Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu  g( x ) ≥ f ( x ) = g( x ) ⇔  • Dạng 1:  f ( x ) = [ g( x )]  f ( x ) ≥ (hoaëc g( x ) ≥ 0) f ( x ) = g( x ) ⇔  • Dạng 2:  f ( x ) = g( x ) t = f ( x ), t ≥ a f ( x ) + b f ( x ) + c = ⇔  • Dạng 3:  at + bt + c = u = f ( x ) ; u, v ≥ đưa hệ u, v • Dạng 4: f ( x ) ± g( x ) = h( x ) Đặt   v = g( x )  f (x) ≥ f ( x ) < g( x ) ⇔  g( x ) > • Dạng 5:  f ( x ) < [ g( x )]    g( x ) <  f ( x) ≥  f ( x ) > g( x ) ⇔   g( x ) ≥ • Dạng 6:    f ( x ) > [ g( x )]   Bài Giải phương trình sau: a) x − x + = x + x + b) x − = x − x + c) − 3x − − x = d) x − x − = e) x − = − x f) x2 − + x + =2 x ( x − 2) Bài Giải bất phương trình sau: a) x − x − < b) x − > x + x − c) x − − x < d) x + x + > x − x − e) x − − x + < f) x − x + + x > x g) x2 − 4x ≤1 x2 + x + Bài Giải phương trình sau: a) x − = x − h) b) 2x − +1 > x −3 x + 10 = − x Trang 47 i) x −2 x − 5x + ≥3 c) x − x − = Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình d) x2 + 2x + = − x e) 3x − x + = x − f) g) 3x + − x + = h) x2 + − x2 − = i) 3x − x + = x − 21 + x + 21 − x 21 + x − 21 − x = 21 x Bài Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x + + x + = x + 11 b) x + + 3 x + = x − c) + x + − x = x +1 + x + + x + = Bài Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) d) a) x − + 2x − + x + + 2x − = b) x + − x +1 + x + − x +1 = c) 2x − 2 x −1 − 2x + − x −1 + x + − x −1 = Bài Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) b) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = a) x − x + = x − x + c) ( x − 3)2 + x − 22 = x − x + d) ( x + 1)( x + 2) = x + x − Bài Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) a) x + x + − x + x + = b) x + − x − 13 = c) − x +1 + + x +1 = d) e) 47 − x + 35 + x = f) 24 + x − + x = x + 4356 + x − x x + 4356 − x = x Bài Giải bất phương trình sau: a) x + x − 12 < − x b) x − x − 12 < − x c) − x − x + 21 < x + d) x − x − 10 > x − e) x + 13 x + ≥ x − f) 2x + x2 + > x + h) x + − − x > 2x − Bài Giải bất phương trình sau: a) ( x − 3)(8 − x ) + 26 > − x + 11x − x > − x − −3 − x i) g) b) ( x + 5)( x − 2) + x( x + 3) > c) ( x + 1)( x + 4) < x + x + 28 Bài 10 Giải bất phương trình sau: a) x2 − 4x ≤2 3− x c) ( x + 3) x − ≤ x − Bài 11 Giải bất phương trình sau: a) x + ≤ x + Bài 12 Giải phương trình sau: a) b) 2x + + x + ≤ d) 3x + 5x + − 3x + 5x + ≥ b) −2 x − 15 x + 17 ≥0 x +3 d) − x2 + x + − x2 + x + ≥ 2x + x+4 x + ≥ 3x − Trang 48 c) x +1 > x − Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c , với a, b, c > xyz = a+b+c a+b+c a+b+c b) + + ≥ , với a, b, c > a b c 1 1 1 + + ≥  + + ÷, với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi c) p−a p−b p−c a b c d) a b − + b a − ≤ ab , với a ≥ 1, b ≥ HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + c3 ≥ 3 a3b3c3 = ⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ (1) Bài a) b) c) d) a3 + + ≥ a3 ⇒ a3 + ≥ 3a (2) Tương tự: b3 + ≥ 3b (3), c3 + ≥ 3c (4) Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm b a b c c a b) BĐT ⇔  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ Dễ dàng chứng minh a b c b a c 1 1 4 + ≥ = c) Áp dụng BĐT: + ≥ , ta được: x y x+y p−a p−b p−a+ p−b c 1 1 + ≥ ; + ≥ Cộng BĐT ⇒ đpcm Tương tự: p−b p−c a p−c p−a b a + ab − a ab d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b − = a ab − a ≤ = 2 ab Tương tự: b a − ≤ Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy ⇔ a = b = 2 Tìm GTNN biểu thức sau: , với x > A= x+ x −1 B= + , với x, y > x + y = x 4y 1 C = a + b + + , với a, b > a + b ≤ a b 3 D = a + b + c3 , với a, b, c > ab + bc + ca = +1 ≥ +1 = x −1 Dấu "=" xảy ⇔ x = Vậy minA = HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x − 1) + Trang 49 Trần Sĩ Tùng b) B = Bất đẳng thức – Bất phương trình 4 + 4x + + y − ≥ x + y − = x 4y x 4y Vậy minB = 1 4 3 c) Ta có + ≥ ⇒ B ≥ a+b+ ≥ 2+ = a+b+ + ≥ a b a+b a+b a+b a+b a+b Dấu "=" xảy ⇔ a = b = Vậy minC = d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + ≥ 3ab , b3 + c3 + ≥ 3bc , c3 + a3 + ≥ 3ca Dấu "=" xảy ⇔ x = 1; y = ⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) + ≥ 3(ab + bc + ca) = ⇒ a3 + b3 + c3 ≥ Dấu "=" xảy ⇔ a = b = c = Vậy minD = Bài Tìm GTLN biểu thức sau: a) A = a + + b + , với a, b ≥ –1 a + b = b) B = x (1 − x ) , với < x < c) C = ( x + 1)(1 − x ) , với −1 < x < HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a + 1, b + ta được: A = a + + b + ≤ (1 + 1)(a + + b + 1) = Dấu "=" xảy ⇔ a = b = ⇒ maxA = b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x.x (1 − x ) ≤  x + x + − x ÷ =   27 1 Vậy maxB = 27 c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2 x + 2)(1 − x ) ≤  x + + − x ÷ = 2  Dấu "=" xảy ⇔ x = − Vậy maxC = Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  x + 4m ≤ 2mx +  x − 3x − ≤ a)  b)  3 x + > x − (m − 1) x − ≥  2x + > x − 7 x − ≥ −4 x + 19 c)  d)  2 x − 3m + < m + x > Bài Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:  mx + < x + m  x + 10 x + 16 ≤ a)  b)  4 x + < − x +  mx > 3m + Bài Giải bất phương trình sau: 2x − x − 5x + x + < a) b) ≥ x x − 6x − x − x + 5x + 2x −1 1 − ≥ c) d) + − ≤0 x x −1 x +1 x − x +1 x +1 x +1 Trang 50 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) (m − 1) x − 2(m + 3) x − m + = b) (m − 1) x + 2(m − 3) x + m + = Bài Tìm m để biểu thức sau không âm: a) (3m + 1) x − (3m + 1) x + m + b) (m + 1) x − 2(m − 1) x + 3m − Bài Tìm m để biểu thức sau âm: a) (m − 4) x + (m + 1) x + 2m − b) (m2 + m − 5) x − 2(m − 1) x + Bài 10 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: x − x + 20 3x − 5x + 0 a) b) mx + 2(m + 1) x + 9m + (m − 4) x + (1 + m) x + 2m − x + mx − x − x + h) x + < x − + x + b) x + + x + = x + (2 x + 3)( x + 1) − 16 c) x + − 1− x = 1− 2x d) x + + − x + ( x + 1)(4 − x ) = e) 4x −1 + 4x2 −1 = f) 3x − + x − = x − + 3x − 5x + g) ( x + 5)(2 − x ) = x + x h) x ( x − 4) − x + x + ( x − 2)2 = i) x + x + 11 = 31 k) Bài 16 Giải bất phương trình sau a) d) − x − x − 12 > x + 3(4 x − 9) 3x − ≤ 2x + b) x + − x = − x + 9x + x + 61x < x + e) ( x − 3) x + ≤ x − Bài 17 Trang 51 − x + 4x − ≥2 x 9x2 − ≤ 3x + f) 5x − c) Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình a) Trang 52