Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Giả sử chứng minh an  k Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số chia hết cho thừa số k Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n  35 Với  n  N Giải: Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M  35 Vậy 36n - 26n  35 Với  n  N Ví dụ 2: CMR: Với  n số tự nhiên chăn biểu thức A = 20n + 16n - 3n -  232 Giải: Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chứng minh A  17 A  19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M  17M 16n - = (16 + 1)M = 17N  17 (n chẵn)  A  17 (1) ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - = (20 - 1)p = 19p  19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 (n chẵn)  A  19 (2) Từ (1) (2)  A  232 Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n -  (n - 1)2 Với  n >1 Giải: Với n =  nn - n2 + n - = (n - 1)2 = (2 - 1)2 =  nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M  (n - 1)2 Vậy A  (n - 1)2 (ĐPCM) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2  b mn(m4 - n4)  30 Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  Bài 3: Cho a b số phương lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1)  192 Bài 4: CMR: Với p số nguyên tố p > p4 -  240 Bài 5: Cho số nguyên dương a, b, c thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc  60 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n  b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1)  30 Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = n = 2k (k  N) có 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64  A(n)  Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k  N) Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1)  64 Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c không chia hết cho  a2, b2 c2 chia hết cho dư  a2  b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M  Nếu a, b, c không chia hết cho  a2, b2 c2 chia dư  b2 + c2 chia dư 2;  a2  b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M  Nếu a, b, c số lẻ  b2 c2 chia hết cho dư  b2 + c2  (mod 4)  a2  b2 + c2 Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn Nếu C số chẵn  M  Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2  a số lẻ b a  c  a  c   b = (a - c) (a + b)        2     b chẵn  b   m  Vậy M = abc  3.4.5 = 60