SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA §1 §2 §3 §1 I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN 1.Nguyên hàm: HÀM: 2.Tính chất nguyên hàm : 1.Phương pháp đổi biến số: 3.Sự tồn nguyên hàm: 4.Bảng nguyên hàm Phương pháp tính nguyên số hàm số thường gặp: hàm phần: I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm: Bài toán nêu : Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) : a) f ( x ) = 3x x ∈ ( −∞ ; +∞ )  π π b) f ( x ) = x∈ − ; ÷ cos x  2 Kí hiệu K khoảng đoạn , nửa khoảng R Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x ∈ K Ví dụ 1: a) Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số y = x2 (-∞ ; +∞) , F’(x) = (x3)’ = x2 với x ∈ (-∞ ; +∞) b) Hàm số F(x) = tan x nguyên hàm hàm số 1  π π f ( x ) = x ∈  − ; ÷ Vì F ' ( x ) = ( tan x ) ' = cos x  2 cos x  π π x∈  − ; ÷  2 Nêu thêm số ví dụ khác: c) Hàm số F(x) = 3x2 + nguyên hàm hàm số : f(x) = x R d) Hàm số F(x) = ln x nguyên hàm hàm số : f ( x) = x , x ∈( 0; +∞) Định lý 1: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C , hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K Hãy tự chứng minh định lý Định lý 2: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C , với C số Chứng minh: Giả sử G(x) nguyên hàm f(x) K , tức G’(x) = f(x) x ∈ K Khi : (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = , x ∈ K Vậy: G(x) – F(x) hàm số không đổi K Ta có : G(x) – F(x) = C Hay: G(x) = F(x) + C với x ∈ K F(x) + C , C ∈ R gọi họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu : f x dx = F x + C ( ) ( ) ∫ Chú ý : Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x ), dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ : f x dx = F x + C ( ) ( ) ∫ a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) , 2xdx = x + C ∫ b) Với x ∈ ( ; + ∞ ) , ∫ dx = ln x + C x ∫ c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) , cos x.dx = sin x + C 2.Tính chất nguyên hàm : Tính chất 1: f ' x dx = f x + C ( ) ( ) ∫ Ví dụ 3: Suy từ định nghĩa nguyên hàm ∫ ( cos x ) '.dx = ∫ ( − sin x ) dx = cos x + C Tính chất 2: k f x dx = k f x dx ( ) ( ) ∫ ∫ k f x dx = k f x dx ( ) ( ) ∫ ∫ Chứng minh: Gọi F(x) nguyên hàm kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) Vì k ≠ nên 1 f ( x ) = F '( x ) = F k k Theo t/c ta có : ' '  ( x) ÷  1  1  k ∫ f ( x ) dx = k ∫  F ( x ) ÷dx = k  F ( x ) + C1 ÷ = F ( x ) + kC1 ( C1 ∈ R ) k  k  = F ( x) + C =∫k f ( x ) dx 3.Sự tồn nguyên hàm: Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Công nhận định lý Ví dụ 5: f ( x) = x a) Hàm số Có nguyên hàm ( ; + ∞ ) 3 ∫x dx =5 x +C b) Hàm số g ( x ) = sin x Có nguyên hàm ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z ∫sin x dx =−cot x +C Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : 0dx ∫ = C ∫dx =x +C x a x a ∫ dx = ln a + C ( < a ≠ 1) ∫ cos x.dx = sin x + C α +1 ∫ x dx = α + x + C ( α ≠ − 1) ∫ sin x.dx = − cos x + C ∫ x dx =ln x +C ∫ cos x dx = tan x + C ∫e ∫ sin x dx = − cot x + C α x dx = e +C x Tính: Ví dụ 6:   a) ∫  x + ÷dx , x ∈ ( 0; +∞ ) x   3 =2 ∫ x dx +∫ x dx = x +3 x +C − b) ∫ ( 3cos x − ) dx , x ∈ ( −∞; +∞ ) x −1 x = 3∫ cos xdx − ∫ dx 3x =3sin x − +C ln 3x −1 =3sin x − +C ln Chú ý: Từ yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1.Phương pháp đổi biến số : a) Cho : ∫ ( x −1) 10 dx Đặt u = x – Hãy viết (x – )10 dx , theo u du b) Cho : ln x ∫ x dx Đặt x = et Hãy viết biểu thức dấu ∫ , theo t dt Định lý 1: Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục : ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C Chứng minh: Theo công thức đạo hàm hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) : F’(u) = f(u) = f(u(x)) ⇒ (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) Hệ quả: Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có ∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C Ví dụ 7: Tính: ∫sin ( 3x −1) dx Giải: Vì ∫ sin udu = − cos u + C nên theo hệ ta có : ∫ sin ( 3x − 1) dx = − cos ( 3x − 1) + C Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số u ( u = u(x)) , sau tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) x dx Ví dụ 8: Tính : ∫ 1) (x + Giải: Đặt u = x + , u’ = x u −1 dx = du u ( x + 1) u −1 Khi : ∫ x +1 dx =∫ u du ( )   = ∫  − ÷du = ∫ u −4 du − ∫ u −5 du u  u x 1 1 =− + +C u u Thay u = x + vào kết , có : x ∫ ( x +1) 1 1 dx = − ÷+C  ( x +1)  x +1  2.Phương pháp tính nguyên hàm phần: Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x Hãy tính : ∫ ( x.cos x ) '.dx & ∫ cos x.dx Từ ∫ tính : x.sin x.dx Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K : u x v ' x dx = u x v x + u ' x v x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ Chứng minh : Theo công thức đạo hàm tích , ta có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có : ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = ∫ ( u ( x ) v ( x ) ) '.dx − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Vậy: ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Chú ý : Công thức viết dạng : u dv = u v − v du ∫ ∫ Ví dụ : Tính: a) Giải: xe dx b ) x cos x dx c ) ∫ ∫ x ln x dx ∫ a) Đặt u = x dv = ex dx , du = dx v = ex nên có : x x x x x ∫ x.e dx = x.e − ∫ e dx = x.e −e +C b) Đặt u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x nên có : ∫ x.cos xdx = x.sin x − ∫ sin x.dx = x.sin x + cos x +C c) Đặt u = ln x dv = dx , du = dx x v = x Do đó: =x ln x −x + C ln x dx = x ln x − dx ∫ ∫ Bài củng cố : Cho P(x) đa thức x Từ ví dụ lập bảng theo mẫu sau điền u dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân phần x P x e ∫ ( ) dx u dv P ( x) x e dx ∫ P ( x ) cos x.dx P(x) ????? ????? cosx.dx ∫ P ( x ) ln x.dx P(x) ????? ????? lnx.dx Bài tập nhà: Bài ; ; ; trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 [...]... ∈ ( 0; +∞ ) 3 2 x   2 1 3 2 3 =2 ∫ x dx +∫ x dx = x +3 x +C 3 − 3 2 b) ∫ ( 3cos x − 3 ) dx , x ∈ ( −∞; +∞ ) x −1 1 x = 3 cos xdx − ∫ 3 dx 3 1 3x =3sin x − +C 3 ln 3 3x −1 =3sin x − +C ln 3 Chú ý: Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA II/ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: 1.Phương... 3: ∫ f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Tự chứng minh t/c này Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: 2 f ( x ) = 3sin x + , x ∈ ( 0; +∞) x Giải: Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :  ∫  3sin x + 2 1 ÷ dx = 3 sin xdx + 2∫ dx = − 3cos x + 2ln x + C x x 3. Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Công nhận định lý này Ví dụ 5: 2 3. .. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Công nhận định lý này Ví dụ 5: 2 3 f ( x) = x a) Hàm số Có nguyên hàm trên ( 0 ; + ∞ ) 2 3 5 3 3 ∫x dx =5 x +C 1 b) Hàm số g ( x ) = sin 2 x Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z 1 ∫sin 2 x dx =−cot x +C 4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : 0dx ∫ = C ∫dx =x +C x a x a ∫ dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1) ∫ cos x.dx = sin x + C 1 α +1... ( 3x − 1) dx = − 3 cos ( 3x − 1) + C Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) x dx Ví dụ 8: Tính : ∫ 5 1) (x + Giải: Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và x u −1 dx = 5 du 5 u ( x + 1) u −1 Khi đó : ∫ x +1 5 dx =∫ u 5 du ( ) 1   1 = ∫  4 − 5 ÷du = ∫ u −4 du − ∫ u −5 du u  u x 1 1 1 1 =− 3 + 4 +C 3. .. dt Định lý 1: Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C Chứng minh: Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , ta có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x) vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) ⇒ (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x) Hệ quả: Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có 1 ∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C Ví dụ 7: Tính: ∫sin ( 3x −1) dx Giải: Vì... ÷+C 3  ( x +1)  4 x +1 3  1 5 2.Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Ta có: (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay: - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x Hãy tính : ∫ ( x.cos x ) '.dx & ∫ cos x.dx Từ đó ∫ tính : x.sin x.dx Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì : u x v ' x dx = u x v x + u ' x v x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ Chứng minh : Theo công thức đạo hàm. .. + C ln x dx = x ln x − dx ∫ ∫ Bài củng cố : Cho P(x) là đa thức của x Từ ví dụ 9 hãy lập bảng theo mẫu sau và điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần x P x e ∫ ( ) dx u dv P ( x) x e dx ∫ P ( x ) cos x.dx P(x) ????? ????? cosx.dx ∫ P ( x ) ln x.dx P(x) ????? ????? lnx.dx Bài tập về nhà: Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 100 sách giáo khoa GT 12 - 2008 ... ∫ ∫ Chứng minh : Theo công thức đạo hàm của tích , ta có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay : u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có : ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = ∫ ( u ( x ) v ( x ) ) '.dx − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Vậy: ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Chú ý : Công thức trên còn được viết dưới dạng : u dv = u v − v du ∫ ∫ Ví dụ 9 : Tính: a) Giải: xe dx b ) x cos x dx c ) ∫ ∫ x ln x