KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ IX, NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 23/4/2016 Câu (4 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) biết 2(n + 2) un +1 − (n3 + 4n + 5n + 2)un u1 = ; u2 = 673; un + = , n ∈ ¥ , n ≥ n+3 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt S Gọi d đường thẳng chứa phân giác góc A tam giác ABC Các đường trung trực đoạn thẳng AB, AC cắt d M N Gọi P giao điểm BM CN, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, H trực tâm tam giác OMN a Chứng minh H, I đối xứng với qua d b Chứng minh A, I, S thẳng hàng Câu (4 điểm) Tìm tất hàm số cho: f ( xf ( x + y ) ) = f ( yf ( x ) ) + x , ∀x, y ∈ ¡ Câu (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) với x, y nguyên tố ( ) 3 thỏa mãn phương trình: x − x = y − y Câu (4 điểm) Cho n số nguyên dương chẵn lớn Ta tô màu số số nguyên dương từ đến n cho xanh n số chúng tô màu n số lại tô màu đỏ Với cách tô vậy, kí hiệu f n số số nguyên dương mà viết dạng tổng hai số khác màu a Tìm tất giá trị f b Khi n ≥ 8, chứng minh f n < 2n − Hãy cách tô màu thỏa mãn f n = 2n − - HẾT -(Thí sinh không sử dụng tài liệu loại Máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Trang ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 11 (Hướng dẫn có 07 trang) Câu Ý Nội dung Điểm Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) biết Câu (4 điểm) 2(n + 2) un +1 − (n3 + 4n + 5n + 2)un u1 = ; u2 = 673; un + = , n ∈ ¥ , n ≥ n+3 Giải: 1đ +) Từ giả thiết ta có, với n ∈ ¥ , n ≥ thì: (n + 3)un + = 2(n + 2) un +1 − (n + 2)(n + 1) un ⇔ n+3 un + = 2(n + 2)un +1 − (n + 1) un n+2 n+3 un + = (n + 3)un +1 + (n + 1)un +1 − (n + 1) un n+2 +) Đặt un = n !vn , n ∈ ¥ , n ≥ ta thu được: ⇔ 1đ (n + 3)vn + = (n + 3)vn +1 + (n + 1)vn +1 − (n + 1)vn ⇔ (n + 3)(vn + − +1 ) = (n + 1)(vn+1 − ) +) Đặt wn = − −1 , n ∈ ¥ , n ≥ ta có: 1đ (n + 1) wn = (n − 1) wn −1 ⇔ (n + 1)nwn = n(n − 1) wn −1 Do ta có: (n + 1)nwn = n( n − 1) wn −1 = (n − 1)( n − 2) wn − = = 3.2.w2 = 6(v2 − v1 ) = 2016 2016 1 = 2016( − ) , n ∈ ¥,n ≥ n(n + 1) n n +1 1 n −1 ) = 1008 +) Từ đó, ta có − v1 = 2016( − n +1 n +1 Như vậy, wn = ⇔ = Vậy un = n ! Câu (4 điểm) 2017 n − 2015 , n ∈ ¥,n ≥ 2(n + 1) 2017 n − 2015 , n ∈ ¥,n ≥ 2(n + 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt S Gọi d đường thẳng chứa phân giác góc A tam Trang 1đ giác ABC Các đường trung trực đoạn thẳng AB, AC cắt d M N Gọi P giao điểm BM CN, I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, H trực tâm tam giác OMN a Chứng minh H, I đối xứng với qua d b Chứng minh A, I, S thẳng hàng K E A N O F H I P M d C D B E S a 1,5 đ Giải: +) Chứng minh OP trung trực MN Không tính tổng quát ta giả sử toán có vị trí tương đối hình vẽ Gọi D trung điểm BC, E giao điểm (khác A) d với (O), F trung điểm MN Vì hai tam giác MAB NAC cân nên dễ thấy : Trang · · · PMN = PNM , ·OMN = ONM Suy ra, tam giác PMN cân P tam giác OMN cân O Vậy OP trung trực MN 1,5 đ +) Chứng minh I, H đối xứng với qua d Ta có: 1· 1· 1· · · · IMF = BME = BAC , ·HMF = HON = BAC ⇒ IMF = ·HMF 2 Vậy hai điểm I H đối xứng với qua d b +) Chứng minh AD, AS đối xứng với qua AE 0,5 đ Gọi EK đường kính (O) Ta có (DSEK) = - nên A (DSEK) = -1 mà AE AK vuông góc với suy AE phân giác góc SAD Vậy AD, AS đối xứng với qua AE +) Dựa vào tính chất phép đối xứng trục d ta thấy A, I, S thẳng hàng 0,5 đ A, H, D thẳng hàng Ta dùng Melenauyt với tam giác OEF để chứng minh điều A MF cot HO FO − = cos A ; = −1 = A A HF FH MF tan sin 2 HO DE AF ⇒ = HF DO AE Câu (4 điểm) A 2sin DE R (1 − cos A) = = DO R cos A cos A Ta có điều phải chứng minh Tìm tất hàm số cho: f ( xf ( x + y ) ) = f ( yf ( x ) ) + x , ∀x, y ∈ ¡ (1) Giải : +) Cho x = vào (1) ta có f ( ) = f ( yf ( ) ) , ∀y ∈ ¡ , suy f ( ) = ngược lại cho y = 0,5 đ t f ( ) = f ( t ) , ∀t ∈ ¡ ta thu f f (0) hàm hằng, thay vào (1) thấy vô lý +) Cho y = y = − x vào (1) có f ( xf ( x ) ) = x 1,0 đ = f ( xf ( x − x ) ) = f ( − xf ( x ) ) + x ∀x ∈ ¡ ⇒ − x = f ( − xf ( x ) ) ( ) +) Nếu tồn t0 ≠ cho f ( t0 ) = = f t0 f ( t0 ) = ( t0 ) vô lý 0,5 đ +) Chứng minh hàm số cần tìm đơn ánh Trang 0,5 đ Giả sử f ( x ) = f ( y ) ta có: x = f ( xf ( x ) ) = f ( xf ( y ) ) = f ⇒ f ( ( y − x) f ( x) ) + x  f ( x) = ( ( y − x) f ( x) ) = ⇒  ⇒x= y x − y = +) Ta chứng minh f ( − x ) = − f ( x ) ∀ x ∈ ¡ Ta xét x ≠ x = hiển nhiên Giả sử f ( x ) > ⇒ ∃z > cho f ( x ) = z Vì f đơn ánh 0,5 đ f ( zf ( z ) ) = z nên x = zf ( z ) f ( − x ) = f ( − zf ( z ) ) = − z = − f ( x ) Trong trường hợp f ( x ) < chứng minh tương tự +) Mặt khác, ta có f ( yf ( x ) ) = − x + f ( xf ( x + y ) ) 0,5 đ 2 = − x + ( x + y ) − ( x + y ) + f ( − xf ( x + y ) )    = y + xy − f ( ( x + y ) f ( y ) ) = xy + ( − y ) + f ( ( x + y ) f ( − y ) )  = xy + f ( − yf ( x ) )   Suy f ( yf ( x ) ) = xy , ∀ x, y ∈ ¡ Tương tự f ( xf ( y ) ) = xy xf ( y ) = yf ( x ) ⇒ f ( x ) = cx, ∀ x ∈ ¡ 0,5 đ thay vào (1) suy c ∈ { −1;1} Thử lại hai hàm số f ( x ) = ± x thỏa mãn yêu cầu Câu (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) với x, y nguyên tố ( ) 3 thỏa mãn phương trình x − x = y − y Giải: 1đ +) Áp dụng đẳng thức a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Ta có : ⇔ x3 + x3 + ( − y ) = x − y ⇔ ( x + x − y ) ( x + x + y − x.x + xy + yx ) + 3x.x.( − y ) = x − y ⇔ ( x − y ) ( x + y + xy − 1) = 3x y ( *) (2 x − y ) 3x y ⇒ ⇒ (2 x − y ) x (2 x − y ) 3x ( x − y ) Trang 1đ ( ) Mặt khác x − y ,6 x = ( x − y ,6 ) ( ) (do ( x, y ) = ⇒ ( x − y, x ) = ⇒ x − y , x = ) Suy ra, (2 x − y ) nên x − y ∈ { 1,2,3,6} (do từ ( *) 2x − y ∈ ¥ * ) Trường hợp x − y = ⇔ y = x − thay vào phương trình cho ta 1đ được: ( x − x ) = ( x − 1) − ( x − 1) ⇔ x ( x − 1) = ⇒ x = ⇒ y = Trường hợp 2 x − y = ⇔ y = x − thay vào phương trình cho ta được: ( x − 1) ( x − 3x + 1) = ⇒ x = ⇒ y = (loại) Trường hợp x − y = ⇔ y = x − thay vào phương trình cho ta 1đ được: ( x − 1) ( x − 4) = ⇒ x = ⇒ y = (với x = ⇒ y = (loại)) Trường hợp x − y = ⇔ y = x − thay vào phương trình cho ta : + x − 12 x + 36 x − 35 = y ∈ Z , x > 3, x 35 ⇒ x ∈ { 5,7,35} thử lại giá trị thỏa mãn Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán là: ( x, y ) = ( , 1) ( x, y ) = ( , ) Cho n số nguyên dương chẵn lớn Ta tô màu Câu (4 điểm) số số nguyên dương từ đến n cho tô màu xanh n số chúng n số lại tô màu đỏ Với cách tô vậy, kí hiệu f n số số nguyên dương mà viết dạng tổng hai số khác màu a Tìm tất giá trị f b Khi n ≥ 8, chứng minh f n < 2n − Hãy cách tô màu thỏa mãn f n = 2n − a Giải: 1đ +) Không tổng quát, coi tô xanh Ta có trường hợp sau: 1X 2X (suy 3Đ 4Đ) : f = (các số viết dạng tổng hai số khác Trang màu 4; 5; 6); 1X 2Đ 3X (suy 4Đ) : f = (các số viết dạng tổng hai số khác màu 3; 5; 7); 1X 2Đ 3Đ (suy 4X) : f = (các số viết dạng tổng hai số khác 1đ màu 3; 4; 6; 7); Vậy f ∈ { 3; 4} b +) Ta xét với n ≥ 1đ Rõ ràng f n ≤ 2n − 3, số viết dạng tổng hai số khác màu lớn nhỏ 2n − Nếu f n = 2n − từ đến (n − 1) viết dạng tổng hai số khác màu Và đó, ta coi 1X, 2Đ Lại số từ đến (n − 1) viết dạng tổng hai số khác màu nên 3Đ, 4Đ,…, n , vô lý Vậy f n < 2n − Ta cách tô màu thỏa mãn f n = 2n − (n − 2) Đ Lúc này, số tô Đ vượt 1đ Thật vậy, giả sử n = 2k , ta tô X số 1; 2; 4; …; 2k − 2, tô Đ số 3; 5; …; 2k − 1; 2k Khi đó, số viết dạng tổng hai số khác màu tất số từ đến 4k − 2, tức có 4k − số mà viết dạng tổng hai số khác màu Chú ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống chi tiết không số điểm dành cho câu, phần Có thể chia điểm thành phần không 0, 25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, không làm tròn điểm Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi thống tổ chấm ghi vào biên Trang