KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ IX, NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 23/4/2016 Câu (4 điểm) 7 x + y + 3xy ( x − y ) = 12 x − x + Giải hệ phương trình  2 2 x + − − y + y = Câu (4 điểm) Cho đường tròn (O) dây AB Các đường tròn (O1 ) (O2 ) nằm phía đường thẳng AB, tiếp xúc với T đồng thời tiếp xúc với AB tiếp xúc với đường tròn (O) Tiếp tuyến chung T đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt đường tròn (O) C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng AB có chứa hai đường tròn (O1 ) (O2 ) ) Chứng minh T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (4 điểm) Cho m n số nguyên dương thỏa mãn 2016m + ước 2016n + Chứng minh m ước n Câu (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = abc b c a 1 1 Chứng minh + + + ≥  + + ÷ + a b c a b c Câu (4 điểm) Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập X , X , , X 64 tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tập A X có số phần tử không vượt mà A ∩ X i ≠ ∅ , với i = 1, 64 HẾT -(Thí sinh không sử dụng tài liệu loại máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Trang ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 10 (Hướng dẫn có 05 trang) Câu Câu (4 điểm) Nội dung Điểm 7 x + y + 3xy ( x − y ) = 12 x − x + (1) Giải hệ phương trình  2 (2) 2 x + − − y + y = 3 (Chuyên Bắc Giang) Lời giải 1,0 đ Điều kiện xác định: −3 ≤ y ≤ Phương trình (1) tương đương với phương trình: ( x − y) = ( x − 1) ⇔ y = 1− x Thế (3) vào (2) ta được: (3) 1,0 đ x2 + − + x − x2 − x = ⇒ x2 + = + x − x2 + x ( ) ⇒ x2 + = x + + x + x − x2 ⇒ ( x − 1) − x ( ) + x − x2 − =  x 2 ⇒ ( x − 1)  + =0 + x − x +    x −1 = ⇒ x 2 + =0  + x − x2 + 1,0 đ Ta có hai trường hợp: * TH 1: Nếu x = y = Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn x = ta có phương trình * TH 2: Nếu + + x − x2 + + 2x − x2 = − x − − x − ≥ ⇔ (vô nghiệm) 5 x + x + = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 1; ) Câu Cho đường tròn (O) dây AB Các đường tròn (O1 ) (O2 ) nằm Trang 1,0 đ (4 điểm) phía đường thẳng AB, tiếp xúc với T đồng thời tiếp xúc với AB tiếp xúc với đường tròn (O) Tiếp tuyến chung T đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt đường tròn (O) C (với C thuộc nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng AB có chứa hai đường tròn (O1 ) (O2 ) ) Chứng minh T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng) Lời giải 1,0 đ + Gọi E, F, M, N tiếp điểm (O1 ) , (O2 ) với đường tròn (O) AB hình vẽ Gọi K giao điểm thứ hai EF với (O) Ta có điểm E, O1 , O thẳng hàng; điểm M, O2 , O thẳng hàng · · · FE ⇒ O F //OK ⇒ OK ⊥ AB + Hơn EKO = OEF =O 1,0 đ Vậy K điểm cung AB Như EF qua điểm K cung AB + Chứng minh tương tự ta có MN qua K · · + Từ MEF nên tứ giác EFNM tứ giác nội tiếp, = MNB 1,0 đ 1 PK /( O1 ) = KF KE = KN KM = PK /( O2 ) Vậy điểm K nằm trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) , suy ba điểm C, T, K thẳng hàng Từ điểm T nằm phân giác ·ACB (1) Trang + Ta có cặp tam giác đồng dạng V KAF V KEA ; V KBN V KMB 1,0 đ Từ KA2 = KF KE = KT , suy KA = KT Ta lại có KA = KB , suy KA = KB = KT Vì tam giác KAT KBT cân K · · · · · Do CAT = ATK − ·ACT = TAK − BAK = TAB · Suy AT phân giác CAB (2) + Từ (1) (2) suy T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (đpcm) Câu (4 điểm) Cho m n số nguyên dương thỏa mãn 2016m + ước 2016n + Chứng minh m ước n (Chuyên Vĩnh Phúc) Lời giải Đặt n = mq + r ( ≤ r < m ) Khi ta viết 0,5 đ 2016n + = 2016mq + r + = 2016mq.2016r + Ta xét trường hợp sau: 1,5 đ ( n m * TH1: Nếu q số lẻ 2016 + =  2016  ( m q +1 2016r + − 2016 r  ) ( 2016 + 1) thu + 1) ( 2016 − 1) ⇒ r = ⇒ m n m Kết hợp với 2016 + ( 2016 ) n r ( n m * TH2: Nếu q số chẵn 2016 + =  2016  ( ) ( 2016 m Kết hợp với 2016 + ( )( n ) ) q ( −1 2016r + 2016r +  ) ( + 2016m +  2016m  ) m r 2016 + 2016 + (vô lí ≤ r < m ) Vậy ta có đpcm Câu Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = abc Trang ) 1,0 đ 1,0 đ − 1 ta thu  (4 điểm) b c a 1 1 Chứng minh + + + ≥  + + ÷ + a b c a b c (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương) Lời giải 0,5 đ Đặt x = 1 , y = , z = Ta có x, y, z số dương xy + yz + zx = a b c x2 y z 2 + ≥ ( x + y + z) Ta cần chứng minh − + + y z x 2 x2 y z ( x + y + z ) ( x + y + z ) Trước hết ta chứng minh + + ≥ y z x xy + yz + zx (1) 1,5 đ Thật vậy, ta có: (1) ⇔ ( xy + yz + zx ) ∑ cyc x2 ≥ ( x + y + z ) ( x2 + y2 + z ) y x3 z ⇔ x + y +z +x z+z y+ y x+∑ ≥ x3 + y + z + ∑ x y cyc y sym ⇔ 3 2 x3 z y x z y + + ≥ xz + zy + yx y z x (2) Theo bất đẳng thức AM - GM ta có x3 z y x x3 z z y y3 x z3 y + ≥ 2x2 y ; + ≥ 2z2 x + ≥ 2y z ; y z y x z x Cộng theo vế ba BĐT suy BĐT (2) chứng minh Vậy BĐT (1) chứng minh x2 y z + ≥ − + ( x + y + z ) ( x2 + y + z ) Từ (1) suy − + + y z x 1,0 đ Vì ta cần chứng minh − + ( x + y + z ) ( x2 + y2 + z ) ≥ ( x + y + z ) ⇔ ( x + y + z ) ( x2 + y2 + z ) ≥ x2 + y + z + − ⇔ ( x + y + z ) ( x + y + z − 1) ≥ − (3) Do x + y + z ≥ xy + yz + zx = x + y + z ≥ ( xy + yz + zx ) = nên 1,0 đ ta có BĐT (3) chứng minh Từ ta có đpcm hay a = b = c = Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập X , X , , X 64 Dấu đẳng thức xảy x = y = z = Câu (4 điểm) tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Trang Chứng minh tồn tập A X có số phần tử không vượt mà A ∩ X i ≠ ∅ , với i = 1, 64 (Chuyên Thái Bình) Lời giải Tổng số phần tử 64 tập lớn 64.1008 = 32.2016 Vì tồn phần tử a tập X thuộc 33 tập con, giả sử X1, X2, …, X33 Xét 31 tập lại, lý luận tương tự suy tồn phần tử b tập X thuộc 16 tập con, giả sử X34, X35, …, X49 Xét 15 tập lại, lý luận tương tự suy tồn phần tử c tập X thuộc tập con, giả sử X50, X51, …, X57 Xét tập lại, lý luận tương tự suy tồn phần tử d tập X thuộc tập con, giả sử X58, X59, X60, X61 Xét tập lại, lý luận tương tự suy tồn phần tử e tập X thuộc tập con, giả sử X62, X63 Với tập X64 lại ta lấy phần tử f Như tập A chứa phần tử a, b, c, d, e, f thỏa mãn toán Suy đpcm 1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ CHÚ Ý KHI CHẤM 1) Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống chi tiết không số điểm dành cho câu, phần 2) Có thể chia điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần chấm, không làm tròn điểm 3) Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải trao đổi thống tổ chấm ghi vào biên Trang