LTĐH- TOÁN TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN I/ ĐẠI SỐ: Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c b (a ≠ 0; α , β ∈ R; α < β ; S = − ; ∆ = b − 4ac) a ∆ ≤ a / f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a > ∆ ≤ b / f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a < c / x1 < α < x2 ⇔ af (α ) <   ∆ >   af (α ) >  k / α < x1 < x2 < β ⇔ af ( β ) > S  −α > 2 S  −β b * ⇔a>c b > c *a > b ⇔ a + c > b + c  ∆ >  d / α < x1 < x2 ⇔ af (α ) > S  −α > 2  ∆ >  e / x1 < x2 < α ⇔ af (α ) > S  −α < 2 α < x1 < x2 ∆ > f / ⇔ af (α ) >  x1 < x2 < α c > * ⇔ ac > bc a > b c < * ⇔ ac < bc a > b a > b * ⇒ a+c >b+d c > d *a + c > b ⇔ a > b − c a > b ≥ * ⇒ ac > bd c > d ≥ a > b ≥ * ⇒ a n > bn * n ∈ N af (α ) < g / x1 < α < x2 < β ⇔  af ( β ) > af (α ) < h / x1 < α < β < x2 ⇔  af ( β ) < *a > b ≥ ⇔ a > b *a > b ⇔ a > b Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối: − a ≤ a ≤ a ∀a ∈ R  af (α ) > i / α < x1 < β < x2 ⇔   af ( β ) <  x < α < x2 < β j/ ⇔ f (α ) f ( β ) < α < x1 < β < x2 x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ( a > 0) x > a ⇔ x < −a ∪ x > a a − b < a+b < a + b (a, b ∈ R ) Bất đăûng thức Cauchy( cho số không âm): a+b ≥ ab dấu “=” xảy a = b * a+b+c ≥ abc * dấu “=” xảy a= b= c Trang 1/13 LTĐH- TOÁN Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho số thực): *ab + cd ≤ (a + c )(b + d ) Dấu “=” xảy ad= bc *a1b1 + a2b2 + c3b3 ≤ (a Dấu “=” xảy a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 + a22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32 ) Cấp số cộng: a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…… Gọi cấp số cộng có công sai d un = un −1 + d b/Số hạng thứ n: un = u1 + ( n − 1)d  B <  A ≥ * A > B ⇔  B ≥    A > B Phương trình, bất phương trình logarit: 0 < a ≠  *log a f ( x) = log a g ( x) ⇔  f ( x) > ( g ( x) > 0) f(x)=g(x)  n −1 b/Số hạng thứ n: un = u1.q c/Tổng n số hạng đầu tiên: − qn S n = u1 (q ≠ 1) 1− q u Sn = Nếu −1 < q < ⇒ lim n →∞ 1− q Phương trình, bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối: * A = B ⇔ A = ±B 0 < a ≠  f ( x) >  *log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   g ( x) > (a − 1) [ f ( x ) − g ( x) ] >  hoctoancapba.com Phương trình , bất phương trình mũ:  0 < a ≠   f ( x) = g ( x) f ( x) g ( x) *a =a ⇔  a =    / ∃f ( x ), g ( x) B ≥ *A =B⇔  A = ±B A < B *A −B *A < B ⇔A  A < B2  c/Tổng n số hạng đầu tiên: n n S n = (u1 + un ) = [2u1 + (n −)d ] 2 Cấp số nhân: a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…… Gọi cấp số nhân có công bội q un = un −1.q Phương trình , bất phương trình chứa thức: ( B ≥ 0) A ≥ * A= B ⇔ A = B  a > *a f ( x ) > a g ( x ) ⇔  (a − 1) [ f ( x) − g ( x ) ] > A > B *A >B⇔  A < −B Trang 2/13 LTĐH- TOÁN Lũy thừa: *aα a β a γ = aα + β +γ Hệ thức bản: sin x + cos x = sin x tgx = cos x cos x cot gx = sin x tgx.cot gx = 1 + tg x = cos x 1 + cot g x = sin x Cung liên kết: Cung đối: cos(− x) = cos x aα = aα − β β a *(aα ) β = aαβ * β α * a =a α β α aα  a  = ÷ bα  b  *aα bα = (a.b)α *a −α = α a * k * a = a =a 10 Logarit:0 Hai điểm M(x1; y1) M’(x2; y2) nằm khác phía so với ∆ ⇔ t1.t2 < Ax + By1 + C A ' x2 + B ' y + C ' (t1 = ; t2 = ) A2 + B A '2 + B '2 3/Đường tròn: Phương trình đường tròn: -Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) bán kính R 2 ( x − a ) + ( y − b ) = R2 -Dạng 2: Phương trình có dạng x + y − 2ax − 2by + c = Với điều kiện a + b − c > phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R = a + b − c -Phương tích điểm M0 (x0 ; y0) đường tròn: PM /( C ) = x02 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c 4/Elip: -Phương trình chinh tắc Elip (E) x2 y + =1 a b2 (a > b); c = a − b -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) -Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b) c -Tâm sai : e = < a Trang 8/13 LTĐH- TOÁN -Phương trình đường chuẩn: x = ± -Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM a e MF2 = a − exM -Phương trình tiếp tuyến (E) M0( x0; y0) ∈ (E) x0 x y0 y + =1 a2 b -Điều kiện tiếp xúc x2 y2 (E): + = ∆ : Ax + By + C = là: a b 2 2 A a + B b = C2 5/Hypebol: a/ Phương trình chinh tắc Elip (E) x2 y2 − =1 a b2 c = a + b2 -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0) c -Tâm sai : e = > a -Phương trình đường chuẩn: x = ± -Phương trình tiệm cận: y = ± a e b x a -Bán kính qua tiêu: MF1 = exM + a MF2 = exM − a -Phương trình tiếp tuyến (E) M0( x0; y0) ∈ (E) x0 x y0 y − =1 a2 b -Điều kiện tiếp xúc x2 y2 (E): − = ∆ : Ax + By + C = là: a b 2 2 A a − B b = C2 6/ Parabol: -Phương trình tắc Parabol: ( P ) : y = px p -Tiêu điểm: F ( ;0) p -Phương trình tiếp tuyến với (P) M(x0 ; y0) ∈ ( P ) : y0 y = p ( x0 + x) -Phương trình đường chuẩn: x = − -Điều kiện tiếp xúc (P) ( ∆ ) : Ax + By + C = 2AC = B p II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1/ Tích có hướng hai vectơ: a/Đònh nghóa: cho hai vectơ r u = ( x; y; z ) r v = ( x '; y '; z ') r r  y z z x x y  u , v  =  ; ; ÷   y ' z ' z ' x ' x' y'   Các ứng dụng: r r r r r - u , v phương ⇔ u , v  = r r ur r r ur - u , v, w đồng phẳng ⇔ u , v  w = uuur uuur - S ∆ABC =  AB, AC  uuur uuur uuur -ABCD tứ diện ⇔  AB, AC  AD = m ≠ - VABCD = m b/ Mặt phẳng: -Phương trình tổng quát mặt phẳng: Dạng 1: Ax + By + Cz + D = r n = ( A; B; C ) ( A2 + B + C ≠ 0) Dạng 2: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r n = ( A, B, C ), M ( x0 ; y0 ; z0 ) -Phương trình mặt phẳng chắn: x y z + + =1 a b c (( α ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c)) -Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng khác: (α ) : Ax + By + Cz + D = (β ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = λ ( Ax + By + Cz + D ) + µ ( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = 2 Trong λ + µ ≠ Trang 9/13 LTĐH- TOÁN x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c ( α ) : Ax + By + Cz + D = -Vò trí tương đối hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng: ( α ) : Ax + By + Cz + D = d: ( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D = a / ( α ) ∩ ( β ) = d ⇔ A : B : C ≠ A' : B ' : C ' a / d ∩ ( α ) = I ⇔ aA + bB + cC ≠ aA + bB + cC = b / d P( α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ aA + bB + cC = c / d ∈( α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D = A B C D = = = A' B ' B ' D ' A B C D c / ( α ) // ( β ) ⇔ = = ≠ A' B ' C ' D ' 3/Phương trình đường thẳng: a/Phương trình tổng quát:  Ax + By + Cz + D =  A' x + B ' y + C ' z + D ' = b/(α) ≡ ( β ) ⇔ 6/ Các công hức tính khoảng cách: -Khoảng cácg từ điểm đến mặt phẳng: M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( α ) : Ax + By + Cz + D = b/ Phương trình tham số:  x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct  ⇒ d( M / α ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C -Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong không gian cho điểm M ( x1; y1 ; z1 ) Trong (x0; y0; z0) có vectơ phương r u = (a; b; c ) c/ Phương trình tắc đường thẳng: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c 2 (a + b + c ≠ 0) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c uuuuuu rr  M M u    ⇒ dM / d = r u d: 4/ Vò trí tương đối hai đường thẳng không gian: Giả sử đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ r phương u = (a; b; c ) đường thẳng d’ qua M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) có vectơ phương ur u ' = (a '; b '; c ') r ur uuuuuuur a / d , d ' ⊂ α ⇔ u.u ' M M '0 = r ur uuuuuuur  u.u ' M M '0 =  b / d ∩ d ' = I ⇔   a : b : c ≠ a : b ' : c ' c / d P d ' ⇔ a : b : c = a ' : b ' : c ' ≠ ( x − x0 ) : ( y − y ) : ( z − z ) d / d ≡ d ' ⇔ a : b : c = a ' : b ' : c ' = ( x − x0 ) : ( y − y0 ) : ( z − z0 ) r ur uuuuuuur e / d , d ' ∉ α ⇔ u.u ' M M '0 ≠ 5/ Vò trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian: không gian cho : -Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: x − x0 y − y0 z − z0 ∆: = = a b c x − x '0 y − y '0 z − z '0 ∆': = = a' b' c' r ur uuuuuuuur u.u ' M M '0   ⇒ d∆ / ∆ ' = r ur u.u '   7/ Góc : hoctoancapba.com - Góc hai đường thẳng: Gọi ϕ góc hai đường thẳng d d’ ta có: r d : u = (a; b; c) ur d ' : u ' = ( a ', b ', c ') r ur u.u ' aa '+ bb '+ cc ' cos ϕ = r ur = u u' a + b + c a '2 + b '2 + c '2 - Góc đường thẳng mặt phẳng: Gọi ϕ góc đường thẳng mặt phẳng: Trang 10/13 LTĐH- TOÁN r d : u = (a; b; c) r ( α ) : n = ( A; B; C ) 00 < ϕ < 900 sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c - Góc hai mặt phẳng: ( α ) : AX + By + Cz + D = ( β ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = cos ϕ = AA '+ BB '+ CC ' A2 + B + C A '2 + B '2 + C '2 8/Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) bán kính R 2 ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 2 Dạng 2: x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Trong tâm I (a; b; c), bán kính R = a + b2 + c2 − d III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN -Đường thẳng mặt phẳng: Các tiên đề: Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng mà Tiên đề 2: Qua điểm không thẳng hàng có mặt phẳng mà Tiên đề 3: Một đường thẳng có điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đường thẳng thuộc mặt phẳng Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung có chung đường thẳng qua điểm chung Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng : 1/ Một điểm xác đònh đường thẳng cắt A = a ∩ b 2/ Một mặt phẳng xác đònh điều kiện sau: a/ Ba điểm không thẳng hàng (α ) = ( ABC ) b/ Một đường thẳng điểm đường thẳng (α ) = (a, A) c/ Hai đường thẳng cắt (α ) = (a, b) d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ (α ) = (a, a ') Quan hệ song song : 1/ Hai đường thẳng song song chúng nằm mặt phẳng điểm chung 2/ Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ thuộc mặt phẳng α d song song với mặt phẳng α 3/ Nếu d// α , mặt phẳng chứa đường thẳng d cắt α theo giao tuyến giao tuyến song song với d 4/ Hai mặt phẳng song song với đường thẳng d cắt giao tuyến chúng song song với d 5/ Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song d d’ giao tuyến chúng (nếu có) song song với d d’ 6/ Có đường thẳng song song, mặt phẳng song song với đường thẳng song song chứa đường thẳng 7/ Nếu mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt mặt phẳng giao tuyến song song 8/ Nếu α // β α song song với đường thẳng nằm β 9/ Nếu α chứa hai đường thẳng cắt song với β α // β 10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song Quan hệ vuông góc: 1/ Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mắt phẳng 2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) 3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ vuông góc với đường thẳng thứ hai 4/ Hai đường thẳng vuông góc cắt chéo 5/ Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba song song 7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (P) d vuông góc với (P) Trang 11/13 LTĐH- TOÁN 8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thứ vuông góc với mặt phẳng thứ hai 9/ Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song 10/ Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song 11/ Một đường thẳng mặt phẳng không chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng khác song song 12/ Có đường thẳng mặt phẳng song song, mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng 14/ Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba 15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song 16/ Đònh lý ba đường vuông góc OH ⊥ ( α )  Giả sử OA đường xiên  A ∈ d nằm α ( )  Ta có OA ⊥ D ⇔ HA ⊥ D hoctoancapba.com O 3/ Khoảng từ O đến mặt phẳng α độ dài đoạn OH ⊥ α 4/ Khoảng cách từ O đến α ngắn so với khoảng cách từ O đến điểm α 5/ Khoảng cách d // α khoảng cách từ điểm d đến α 6/Khoảng cách α // β khoảng cách từ điểm α đến β 7/ Khoảng cáh đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng 8/ Góc đường thẳng d mặt phẳng α góc nhọn tạo d hình chiếu d’ xuống α 9/ Góc hai đường thẳng chéo góc nhọn tạo hai đường thẳng song song với hai đường thẳng vẽ từ điểm 10/ Góc hai mặt phẳng góc nhọn tạo hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng 11/ Góc phẳng nhò diện góc tạo đường thẳng nằm hai mặt phẳng nhò diện vông góc với giao tuyến 12/ Đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2: - Dựng mặt phẳng α chứa d2 song song với d1 - Tìm hình chiếu d’ d1 lên α , d’ cắt d2 N - Từ N vẽ đường vuông góc với α cắt d1 M - Suy MN đoạn vuông góc chung d1 d2 d α H A Khoảng cách – góc – đường vông góc chung hai đường thẳng chéo 1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d đoạn OH ⊥ d 2/ Khoảng cách từ O đến d ngắn so với khoảng cách từ O đến điểm d Trang 12/13 LTĐH- TOÁN Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương 1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy h 2/ Thể tích chóp cụt:  B,B' diện tích đáy B + B '+ B.B ' h   h chiều cao hình chóp 3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c 4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π Rh V= ( ) 5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + Sđáy 6/ Thể tích hình trụ: V=π R h 7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = π Ra 8/Thể tích hình nón V= π R h 9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq = π ( R + R ') a 2 R + R '2 + RR ' ) h ( 11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq = 4π R 10/ Thể tích hình nón cụt: V= 12 / Thể tích mặt cầu: V= π R 3 V/ GIẢI TÍCH TỔ HP -Hoán vò: Pn = n ! = n(n − 1)(n − 2) 3.2.1 n! k ( ≤ k ≤ n) -Chỉnh hợp: An = n − k ! ( ) n! k -Tổ hợp: Cn = n − k !k ! ( ) -Các hệ thức cần nhớ: n ! = ( n − 1) !n ( < k < n) Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11 ( < k < n) Cnk = Cnn − k -Nhò thức Newton: (a + b)n = Cn0 a nb + Cn1 a n −1b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n k =0 = ∑ Cnk a n − k bk n -Các công thức cần nhớ: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1) k Cnk + + (−1) n Cnn = Trang 13/13 [...]... 10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau 11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song nhau 12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng 13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông... cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song 16/ Đònh lý ba đường vuông góc OH ⊥ ( α )  Giả sử OA là đường xiên  A ∈ d nằm trong α ( )  Ta có OA ⊥ D ⇔ HA ⊥ D hoctoancapba.com O 3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng α là độ dài đoạn OH ⊥ α 4/ Khoảng cách từ O đến α là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên α 5/ Khoảng cách giữa d // α là khoảng cách... phẳng là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy 11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng vông góc với giao tuyến 12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2: - Dựng mặt phẳng α chứa d2 và song song với d1 - Tìm hình chiếu d’ của d1 lên α , d’ cắt d2 tại N - Từ N vẽ đường vuông góc với α cắt d1... góc – đường vông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn OH ⊥ d 2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d Trang 12/ 13 LTĐH- TOÁN Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương 1 1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy h 3 2/ Thể tích chóp cụt:  B,B' là diện tích 2 đáy 1 B + B '+ B.B ' h  3  h là chiều cao hình chóp 3/Thể tích... 8/Thể tích hình nón V= π R 2 h 3 9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq = π ( R + R ') a 2 1 2 R + R '2 + RR ' ) h ( 3 11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq = 4π R 2 10/ Thể tích hình nón cụt: V= 4 12 / Thể tích mặt cầu: V= π R 3 3 V/ GIẢI TÍCH TỔ HP -Hoán vò: Pn = n ! = n(n − 1)(n − 2) 3.2.1 n! k ( 0 ≤ k ≤ n) -Chỉnh hợp: An = n − k ! ( ) n! k -Tổ hợp: Cn = n − k !k ! ( ) -Các hệ thức cần nhớ: n