CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Công thức tính tích phân mặt loại Định nghĩa Tích phân mặt loại I tích phân có dạng f (x, y , z)dS, S S mặt cong lấy tích phân, f (x, y , z) gọi hàm lấy tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Cơng thức tính tích phân mặt loại Mặt cong S cho phương trình z = z(x, y ) Nếu mặt cong S có phương trình z = z(x, y ), Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Khi f (x, y , z)dS = S = f (x, y , z(x, y )) + ∂z ∂x + ∂z ∂x dxdy Dxy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Công thức tính tích phân mặt loại Mặt cong S cho phương trình y = y (x, z) Nếu mặt cong S có phương trình y = y (x, z), Dxz hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxz Khi f (x, y , z)dS = S = f (x, y (x, z), z) + ∂y ∂x + ∂y ∂z dxdz Dxz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Cơng thức tính tích phân mặt loại Mặt cong S cho phương trình x = x(y , z) Nếu mặt cong S có phương trình x = x(y , z), Dyz hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz Khi f (x, y , z)dS = S = f (x(y , z), y , z) + ∂x ∂y + ∂x ∂z dydz Dyz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Cơng thức tính tích phân mặt loại Ví dụ Tính tích phân Ví dụ xyzdS, S phần mặt S phẳng x + y + z = nằm góc x 0, y 0, z Ví dụ dS, S (1 + x + y ) S mặt xung quanh tứ diện x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = Tính tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Cơng thức tính tích phân mặt loại Ví dụ Tính tích phân Ví dụ |xyz|dS, S phần S mặt z = x + y nằm mặt phẳng z = 0, z = Ví dụ x dS, S + y2 x S phần tám mặt cầu x + y + z = R góc x 0, y 0, z Tính tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Cơng thức tính tích phân mặt loại Ví dụ Tính tích phân Ví dụ (x + y + z)dS, S S phần mặt phẳng 2x + 2y + z = góc x 0, y 0, z Ví dụ Tính tích phân (xy + yz + zx)dS, S S phần mặt nón z = x + y bị cắt mặt trụ x + y = 2ax (a > 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Tích phân mặt loại hai Định nghĩa tính phân mặt loại hai Cho hàm P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) xác định mặt định hướng S Pháp véctơ → mặt S − n = (cos α, cos β, cos γ) Tích phân mặt loại I = (P cos α + Q cos β + R cos γ)dS S gọi tích phân mặt loại hai P, Q, R mặt cong S ký hiệu I = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 / 18 Tích phân mặt loại hai I = Cách tính tích phân mặt loại hai Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = S = Pdydz+ S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Qdzdx+ S Rdxdy = I1+I2+I3 S CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 10 / 18 Tích phân mặt loại hai Cách tính tích phân mặt loại hai Tính I3 Gọi Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Khi R(x, y , z)dxdy = ± R(x, y , z(x, y ))dxdy S Dxy Dấu "+" pháp véctơ tạo với chiều dương tia Oz góc nhọn Dấu "-" pháp véctơ tạo với chiều dương tia Oz góc tù Tích phân I3 = pháp véctơ tạo với chiều dương tia Oz góc π2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 11 / 18 Tích phân mặt loại hai Ví dụ Tính tích phân Ví dụ zdxdy , S mặt phía S x2 y2 z2 ngồi ellipsoid + + = a b c Ví dụ Tính tích phân x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , S S mặt phía ngồi nửa mặt cầu x + y + z = a2, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 12 / 18 Tích phân mặt loại hai Ví dụ Tính tích phân Ví dụ −x 2zdydz + ydzdx + 2dxdy , S S mặt phía ngồi mặt 4x + y + 4z = nằm góc x 0, y 0, z Ví dụ Tính tích phân z 2dydz + xdzdx − 3zdxdy , S S mặt phía phần mặt trụ z = − y giới hạn x = 0, x = 1, z = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 13 / 18 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Ostrogratxki - Gauss Cho S mặt kín, lấy hướng phía ngồi V vật thể bao quanh S Nếu hàm P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) đạo hàm riêng liên tục miền V Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = S ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z = dxdydz V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 14 / 18 Tích phân mặt loại hai Ví dụ Ví dụ Dùng cơng thức Ostrogratxki - Gauss tính tích phân (y − x)dydz + (z − y )dzdx + (x − z)dxdy , S S mặt phía ngồi hình lập phương −1 x 1, −1 y 1, −1 z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 15 / 18 Tích phân mặt loại hai Ví dụ Ví dụ Dùng cơng thức Ostrogratxki - Gauss tính tích phân ydydz + xydzdx − zdxdy , S S mặt biên phía miền cho x + y 4, z x + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 16 / 18 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz = C ∂R ∂Q − ∂y ∂z = dydz + ∂P ∂R − ∂z ∂x dzdx+ S + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 17 / 18 Tích phân mặt loại hai Ví dụ Ví dụ Dùng cơng thức Stokes tính tích phân 3ydx + 3xdy + zdz, C đường giao C tuyến x + y = với mặt z = lấy theo ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 18 / 18 Tích phân mặt loại hai Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 6: TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2011 19 / 18