CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Định nghĩa Tích phân đường loại I tích phân có dạng f (x, y )dl , C f (x, y , z)dl C C đường cong lấy tích phân (trong Oxy Oxyz), dl gọi vi phân cung , f (x, y ), f (x, y , z) gọi hàm lấy tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Tính phân đường loại mặt phẳng Cho cung trơn AB có phương trình tham số   x = x(t) y = y (t)  a t b Hàm số f (x, y ) liên tục cung AB Khi b f (x(t), y (t)) (x (t))2 + (y (t))2 dt f (x, y )dl = a AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Trường hợp cung AB có phương trình y = y (x), a x b b f (x, y (x)) + (y (x))2dx f (x, y )dl = a AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Trường hợp cung AB cho hệ tọa độ cực   x = r (ϕ) cos ϕ y = r (ϕ) sin ϕ  α ϕ β Hàm số f (x, y ) liên tục cung AB Khi f (x, y )dl = AB β f (r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ) sin ϕ) (r (ϕ))2 + (r (ϕ))2 dϕ = α TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Tính phân đường loại không gian Cho cung trơn AB có phương trình tham số   x = x(t)    y = y (t) z = z(t)     a t b Hàm số f (x, y , z) liên tục cung AB Khi f (x, y , z)dl = AB = b a f (x(t), y (t), z(t)) (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt Chú ý Tích phân đường loại không phụ thuộc vào chiều lấy tích phân cung AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Bài Tính Tính phân đường loại không gian x + y 2dl C nửa đường tròn C x + y = 2x, x Bài Tính x 3dl C cung C √ x2 y = ,0 x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Tính phân đường loại không gian Bài Tính (x + y )dl C chu vi tam giác C OAB với O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) Bài Tính (x + z)dl C đường cong C x = t, y = 3t √ ,z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = t 3, t CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 / 32 Công thức tính tích phân đường loại Bài Tính Tính phân đường loại không gian xyzdl C giao tuyến mặt C x + y + z = x + y = x 0, y 0, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG lấy phần TP HCM — 2011 / 32 Tích phân đường loại hai Tính phân đường loại hai mặt phẳng Cho cung trơn AB có phương trình tham số x = x(t) y = y (t) t = a ứng với điểm đầu C , t = b ứng với điểm cuối C Hàm số P(x, y ), Q(x, y ) liên tục miền mở D chứa cung trơn AB Khi P(x, y )dx + Q(x, y )dy = AB = b a [P(x(t), y (t))x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (t) + Q(x(t), y (t))y (t)]dt CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 10 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ xdy − ydx theo đường cong C C , từ A(0, 0) đến B(1, 2) C đoạn thẳng AB C cung parabol y = 2x C đường thẳng gấp khúc nối điểm A, B, D với D(0, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 19 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ xydx − y 2dy theo đường C cong C , xác định y = 2x từ A(0, 0) đến B(2, 2) Ví dụ 3x 2y Tính tích phân I = dx − dy theo đường y x C cong C , xác định y = x từ A(4, 2) đến B(1, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 20 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Ví dụ x y −x dx − dy theo đường y x C cong C , xác định y = x từ A(2, 4) đến B(1, 1) Tính tích phân I = Ví dụ Tính tích phân I = xdy theo đường cong C , C nửa đường tròn xác định x + y = a2, x 0, từ A(0, −a) đến B(0, a) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 21 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ x 3dy − xydx theo đường C cong C , đoạn thẳng nối A(0, −2) đến B(1, 3) Ví dụ Tính tích phân I = −3x 2dx + y 3dy theo đường C cong C , đoạn thẳng nối A(0, 0) đến B(2, 4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 22 / 32 Tích phân đường loại hai Tính phân đường loại hai không gian Cho cung trơn AB có phương trình tham số   x = x(t)    y = y (t) z = z(t)     a t b TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 23 / 32 Tích phân đường loại hai Tính phân đường loại hai không gian Hàm số P(x, y , z), Q(x, y , z), R(x, y , z) liên tục miền mở D chứa cung AB Khi P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz = AB b = [P(x(t), y (t), z(t))x (t)+ a +Q(x(t), y (t), z(t))y (t) +R(x(t), y (t), z(t))z (t)]dt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 24 / 32 Tích phân đường loại hai Công thức Green Định lý Cho D miền đóng có biên đường cong C Các hàm P(x, y ), Q(x, y ) đạo hàm riêng cấp liên tục D Khi P(x, y )dx+Q(x, y )dy = + C ( ∂Q ∂P − )dxdy ∂x ∂y D Dấu "+" chiều lấy tích phân trùng với chiều dương quy ước Ngược lại, ta lấy dấu "-" TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 25 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Tính tích phân I = Ví dụ x 2ydx − xy 2dy , với C C đường tròn x + y = R 2, lấy theo chiều ngược πR ) chiều kim đồng hồ (ĐS I = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 26 / 32 Tích phân đường loại hai Tích phân không phụ thuộc vào đường Định lý Cho hàm P(x, y ), Q(x, y ) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở, đơn liên D chứa cung AB Khi mện đề sau tương đương ∂Q ∂P = ∂x ∂y Tích phân I = P(x, y )dx + Q(x, y )dy AB không phụ thuộc đường cong trơn khúc nối cung AB nằm D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 27 / 32 Tích phân đường loại hai Tích phân không phụ thuộc vào đường Tồn hàm u(x, y ) vi phân toàn phần P(x, y )dx + Q(x, y )dy , tức du(x, y ) = P(x, y )dx + Q(x, y )dy Tích phân chu tuyến kín C , trơn tùng khúc D I = P(x, y )dx + Q(x, y )dy = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 28 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng, tích phân đường I = (3x 2y + y )dx + (x + x)dy , với AB A(1, −2), B(2, 3) không phụ thuộc vào đường Tính I (ĐS I = 34.) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 29 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Ví dụ Tính tích phân (2,3) x x2 + y2 − y x2 dx+ y x2 + y2 + x dy (1,1) theo đường cong C không qua gốc O không cắt trục tung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 30 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Ví dụ Cho hàm P(x, y ) = (1+x +y )e −y , Q(x, y ) = (1−x −y )e −y Tìm hàm h(x) để biểu thức h(x)P(x, y )dx + h(x)Q(x, y )dy vi phân toàn phần hàm u(x, y ) Với h(x) vừa tìm, tính tích phân [h(x)P(x, y )dx + h(x)Q(x, y )dy ] L L nửa đường tròn x + y = nằm bên phải trục tung, chiều từ điểm A(0, −3) đến điểm B(0, 3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 31 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ Ví dụ Cho hàm P(x, y ) = 2ye xy + e αx cos y , Q(x, y ) = 2xe xy − e αx sin y , α số Tìm α để biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x, y ) Với α vừa tìm được, tính tích phân đường [P(x, y ) − y 3]dx + [Q(x, y ) + x 3]dy C C đường tròn x + y = 2x lấy theo chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 32 / 32 Tích phân đường loại hai Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TP HCM — 2011 33 / 32