Đang tải... (xem toàn văn)
kiến thức cơ bản ôn thi đại học môn toán
TểM TT KIN THC C BN TON LUYN THI I HC PHN I/ i s I/ Phng trỡnh v h phng trỡnh: 1/ Phng trỡnh bc nht mt n s a/ phng phỏp gii : Gii v bin lun pt ax + b = (1) (1) ax = b Nu a thỡ (1) x = b a Nu a = thỡ (1) 0.x = b +Vi b 0: (1) vụ n0 +Vi b = 0: (1) vụ s n0 x R b/ vớ d hng dn: Gii cỏc phng trỡnh sau: 5x 3x +/ x 12x 2(5x+2)=(7 3x)312x 10x = 21 9x 12x 10x + 9x = 21 + 11x = 25 25 25 x= Vy: nghim ca phng trỡnh l S= 11 11 +/ x x iu kin: 2x x Khi ú: x x x x hoc x = - 2x * x = 2x x = -1 (khụng tha k ) * x = - 2x x (tho k : x ) Vy nghim l: S = +) 4x( 25 2x) = 8x2 + x 300 100x + 8x2 = 8x2 + x 300 101x = 303 x = Tp nghim S = { } x2 x x x( x 2) * KX: x v x +) *x(x+2)(x2) =2 x2 + x = x ( x + ) = x = ( khụng tha KX) x = -1 ( tha KX) Vy nghim S = { -1 } + Gii v bin lun phng trỡnh : m(x - m ) = x + m - (1) Gii Phng trỡnh (1) (m - 1)x = m2 + m (1a) Ta xột cỏc trng hp sau õy : + Khi (m-1) m nờn phng trỡnh (1a) cú nghim nht x= m2 m = m ;nờn pt(1) cú nghim nht m +) Khi (m 1) = m = phng trỡnh (1a) tr thnh 0x = 0; phng trỡnh nghim ỳng vi mi x R; nờn pt(1) ỳng vi mi x R Kt lun : m : nghim l x= m-2 (Tp nghim l S = {m - 2}) m = : ỳng x R (Tp nghim l S = R) +: Gii v bin lun phng trỡnh: m(x-1) = 2x+1 (2) Gii Ta cú (2) mx-m = 2x+1 (m-2)x = m+1 Bin lun: (2a) (cú dng ax+b =0) m m2 + nu m-2= m = thỡ (2a) tr thnh 0x=3; pt ny vụ nghim, nờn (2) vụ nghim Kt lun: m m thỡ (2) cú nghim x m2 m=2 thỡ (2) vụ nghim + nu m-2 m thỡ (2a) cú nghim nht x m2x+2 = 2m-2 (3) Gii 2 Ta cú: (3) m x-x = 2m-2 (m -1)x = 2(m-1) (3a) Bin lun: + Nu m2-1 m thỡ (3a) cú nghim nht 2(m 1) ; nờn (3) cú nghim nht x m m + Nu m2-1=0 m= - vi m=1 :(3a) cú dng 0x= 0, (3a) ỳng vi mi x R (phng trỡnh cú vụ s nghim), nờn (3) cú vụ s nghim - vi m=-1: (3a) cú dng 0x=-4; (3a)vụ nghim, nờn (3) vụ nghim Kt lun: + m1 v m -1 thỡ (3) cú nghim nht x m + m =1 thỡ (3) cú vụ s nghim + m= -1 thỡ (3) vụ nghim +: Gii v bin lun phng trỡnh 2/ễn luyn cỏc phng phỏp gii h phng trỡnh bc nht hai n A- Kin thc cn nm : 1- Gii h bng phng phỏp minh ho bng th : a c y x (d ) ax by c b b Cho h pt: a ' x.b' y c' y a' x c' (d ' ) b' b' * V d v d' trờn cựng mt mt phng to * Xỏc nh giao im chung : +Nu d ct d' ti im A (x 0; y0) H cú mt nghim nht (x0; y0) + d// d' H vụ nghim + d trựng vi d' H vụ s nghim v nghim tng quỏt l ( x R; y= a c x ) b b 2- Gii h bng phng phỏp th B1: Chn PT ca h ; biu th n ny qua n Ri th vo PT cũn li c PT bc nht n B2: Gii PT n va tỡm c ; thay giỏ tr tỡm c ca y (hoc x) vo biu thc tỡm c bc th nht tỡm giỏ tr ca n 3- Gii h bng phng phỏp cng i s B1: Nhõn cỏc v ca PT vi s thớch hp (nu cn ) cho cỏc h s ca x( hoc y) Trong PT ca h l bng hoc i B2: S dng qui tc cng i s c h PT mi ; ú cú PT m h s ca mt hai n bng B3: Gii h PT va tỡm c B- Bi dng : Bi 1: Gii h PT sau bng phng phỏp th; Phng phỏp cng ri minh ho li bng th : x y x y Gii: PP th : Hng dn HS chn PT(1) y= -x (1') Th vo PT (2) ta c : 2x + 3( -x ) = 2x +9 - 3x = -x = 7-9 =-2 x= Thay x = vo (1') y= -2 = Vy h PT cú nghim nht ( x= ; y =1) PP cng : Nhõn v ca PT(1) vi ta c h mi tng ng vi h ó cho : x y y y x y x y x PP minh ho bng th : Cho HS v ng thng y = -x + v y = -2/3 x +7/3 Sao cho dng thng ny ct ti im cú to ( ; ) chng t h cú nghim x=2 ; y =1 Bi 2: x y a; Gii h phng trỡnh : x y HD: Nhõn v ca PT (1) vi ta s cú h tng ng vi h ó cho : x y x y Dựng phng phỏp cng i s gii ta cú nghim ca h l : 3 x= ;y= 5 b; Gii h pt: 3( x 7) 6( x y 1) 4( x 1) 2( x y 7) HD: Cho HS nhõn khai trin ri thu gn ta s c h PT n gin ri gii c nghim ca h l : x = ; y = 5,5 c; Gii h PT sau bng cỏch t n ph : x 2y x 2y 20 x y x y HD: t 1/x+2y = a ; 1/x-2y = b 4a b H tr thnh : Gii h bng pp th hoc pp cng i s ta cú a= 1/8; 20a 3b 1 / x y / x y x b = -1/2 Suy : / x y / x y y 2,5 Bi 3: Cho h PT : mx y mx my m a; Tỡm m bit nghim ca h l x= -1/3 ; y =1 ? b; Gii h vi m =0 ? c; Tỡm m h ó cho vụ s nghim ? HD Gii: a; Vỡ nghim ca h l x= -1/3 ; y =1 Nờn Ta thay vo h ta cú : ( / 3).m 2.1 m m3 ( / 3)m m.1 m m Vy vi m= thỡ h trờn cú nghim l x= -1/3 ; y =1 b; Thay m = vo h PT ta c : x y y H PT vụ nghim x y c; h cú vụ s nghim thỡ ta phi cú : a/a' = b/b' = c/c' Tc l : m/ m.= 2/m= 1/m-1 m =2 Bi 4: Cho h phng trỡnh bc nht hai n x v y : (2 m n) x ( n m) y 5(2 m 3n) (4 m 11n) x (m n 9) y n 13m a; Gii h phng trỡnh m= -5 v n =3 b; Tỡm m v n h phng trỡnh cú nghim ( 5; -1) Gii : a; Thay m = -5 ; n = vo h PT v khai trin thu gn ta c h PT mi : 13x y 13 x 17 y 67 Bng phng phỏp cng i s gii ta c nghim nht ca h l: x = -16/13 ; y = -3 b; Nu HPT cú nghim ( ;-1) thỡ thay vo h ta c h vi m : (2 m n).5 (n m)(1) 5(2m 3n) (4 m 11n).5 (m n 9).( 1) n 13m m 19n gii h ny ta c nghim l : m= -80/207; n = 28/207 8m 55n Bi 5: tỡm a v b bit : a; ng thng y = ax + b i qua hai im A(- ; ), B ( ;1) ; b; ng thng ó + b i qua hai im M(9 ;-6) v i qua giano im ca hai ng thng(d 1) : 2x +5y = 17, 9d2) : 4x - 10y = 14 Gii : a; Vỡ ng thng y = ax + b i qua hai im A(- ; ), B ( ;1) nờn thay l phng trỡnh ng thng ta cú h: 5a b a b Gii ta c : a=- ; b = 13 13 b; Hng dn : x y 17 Trc ht ta gii h tỡm c giao iim ca(d 1) v (d2) l A(6;1) Mun cho ng x 10 y 14 9a 48 b thng ax-8y=b i qua hai im M v A thỡ a,b phi l nghim ca h phng trỡnh 6a b 56 ỏp s: a=- , b 120 3/ PHNG TRèNH Vễ T Phng trỡnh cha n di du cn (phng trỡnh vụ t) Cỏch gii: - Bỡnh phng hai v + t iu kin lm mt cn - t n ph Cỏc dng c bn Dng 1: f ( x) g ( x) , ta s dng phộp bin i tng ng f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) (cú th chn iu kin g(x)0) Vớ d: Dng 2: f ( x) g ( x) , ta s dng phộp bin i tng ng g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Vớ d: Gii phng trỡnh x x 2x x x x x x (loaùi) 2 x ( x 4) x 10 x x - vy nghim ca phng trỡnh l x = Dng 3: (c ) f ( x) c Nu c thỡ (6) x b Nu a < thỡ (6) x a b a Nu a = thỡ (6) 0.x b +Vi b thỡ (6) vsn0 x R +Vi b > thỡ (6) vn0 b/ bi vớ d : * -5x 17 -5x 15 x Vy: Nghim ca bt phng trỡnh l x Biu din nghim ca bt phng trỡnh trờn trc s * x 2x 5(2-x) < 3(3-2x) x < -1 Vy: Nghim ca bt phng trỡnh l x < -1 Biu din nghim ca bt phng trỡnh trờn trc s x6 x2 * 3(x 6) 5(x 2) 30 15 15 3x 18 5x 10 30 2x x 33 2/ Bt phng trỡnh bc nht n s: a/ pp gii: Bt phng trỡnh bc nht hai n nh ngha: l nhng bt phng trỡnh cú dng ax+by+c > ; ax+by+c < ,trong ú a,b,c R , a2+b Cỏch gii : gii bpt ax+by+c > ta v th ca ng thng ax+by+c = Khi ú: + Nu ng thng khụng i qua gc to thỡ ta thay gúc to (0;0) vo v trỏi bt phng trỡnh xỏc nh nghim + Nu ng thng i qua gúc to thỡ ta ly mt im bt kỡ mt phng thay vo v trỏi bt phng trỡnh xỏc nh nghim * Vớ d: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) x-3y < -3 x-3y+3 < (1) V ng thng x-3y+3= y x -3 y + 3= -3 x Thay O(0;0) vo (1) 3 v th ng th x-2y = , thay (0;1) vo v trỏi ta c VT= -2 > (!) => cha (0;1) khụng phi l nghim y 1/2 x III LNG GIC KIN THC CN NH I.CC CễNG THC BIN I LNG GIC 1.CễNG THC CNG 2.CễNG THC NHN ễI cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb cos2a = cos2a sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tana + tanb 2.tana tan(a + b) = - tana.tanb tan2a = - tan2a tana - tanb tan(a - b) = + tana.tanb 34 cos2a = 3.CễNG THC H BC sin2a = cos 2a - cos2a 4.CễNG THC BIN I TNG THNH TCH a+b a-b cosa + cosb = 2.cos cos a+b a-b cosa - cosb = -2.sin sin a+b a-b sina + sinb = 2.sin cos a+b a-b sina - sinb = 2.cos sin sin( a b) tan a tan b cosacosb tan a tan b sin(a b) cosacosb 5.CễNG THC BIN I TCH THNH TNG cosa.cosb = [cos(a b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a b) - cos(a + b)] sin(a b) sin(a b) cosasinb= sin(a b) sin(a b) sin acosb= 6.BNG GI TR LNG GIC CA CC CUNG C BIT rad - -6 -4 -3 -2 -3 -4 -6 2 3 -180o -150o -135o -120o -90 o -60o -45o -30o 30o 45o 60o 90 o 120o 135o sin -2 - - -1 - 2 - -2 2 3 2 cos -1 - 2 - -2 2 3 2 2 -2 - tan 3 || - -1 - 3 || - -1 cot || 1 - -1 - || 1 - -1 x 150 180 o o 3 35 -1 || II.CC PHNG TRèNH LNG GIC THNG GP 1.Phng trỡnh sinx=a.( -1 a 1) x arcsina+k2 ;kZ x arcsina+k2 sinx = a x +k2 ;kZ(a= x +k2 +sinx = sin sin) sinx = x = k; k Z sinx = x = + k2; k Z sinx = -1 x = -2 + k2; k Z 2.Phng trỡnh cosx=a.( -1 a 1) x arccosa+k2 ;kZ x arccosa+k2 cosx = a x +k2 ;kZ(a= x +k2 +cosx = cos cos) cosx = x = + k; k Z cosx = x = k2; k Z cosx = -1 x = + k2; k Z 3.Phng trỡnh tanx=a TX: \ k , k + t anx=a x=arctana+k ,k tanx=1 x= k , k tanx=-1 x=- k , k t anx=0 x=k , k + tanx=tan x= +k ,k 4.Phng trỡnh cotx=a TX: \ k , k + co t x=a x=arccota+k ,k + cotx=cot x= +k ,k k , k cotx=-1 x=- k , k co t x=0 x= k , k cotx=1 x= Phng trỡnh bc nht vi sin v cos: a.sinx+bcosx=c ( a b2 ) a a b2 s inx+ b a b2 cosx= c a2 b2 36 t: a cos = a b2 b sin a b2 phng trỡnh tr thnh: s inxcos cosx sin sin( x ) c a2 b2 c a b2 *Chỳ ý +Phng trỡnh cú nghim c a b +Nu a.b 0, c thỡ: a sin x b cos x tan x Cỏc vớ d: + Phng trỡnh LG c bn: 1/ cot(5 x ) x k 8 2 b) cos x cos x cos x x k ,k cos x x k c) sin x cos x x b a k k sin x cos x sin (3 x ) = x k x 2 6 d) sin x sin x cos x x k sin x sinx ( cosx sinx ) = tan x x arctan k Bi 2.Gii cỏc phng trỡnh: a) tan(3 x )0 3x k x k x k sin x b) 2sin x sin x x k , k sin x x k c) sin 5x cos 5x 1 sin x cos x sin (5 x ) = - 2 k x k x 20 d) 3sin x sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 2cos x(sin x cos x) 37 cos x x k tan x x k e cos x 3sin x 2sin x 3sin x 2sin x 3sin x x k sin x x k , k sin x x k f 3sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos cos x sin sin( x ) sin 6 x k x 12 k ,k x x k k 12 g 3sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos cos x sin sin( x ) sin 6 x k2 x 12 k ,k 11 x x k k 12 h 2cos x 3cos x 4cos x 3cos x x k cos x ,k 1 cos x x arccos( ) k 4 2 i 2sin x 3sin x cos x 5cos x 2ta n x 3ta n x x k tan x ,k tan x x arctan( ) k Cõu 3(3) : Gii cỏc phng trỡnh sau: 38 a 2sin x b cos x d sin x cos x x k a) sin x sin 6 x k b) cos x cos x k 6 c) 2sin x 3sin x sin x sin x 0.25*2 0.25*2 0.25 0.25 Cõu 4(3) : Gii cỏc phng trỡnh sau: a 2sin x b cos x d sin x cos x x k a) sin x sin 3 x k b) cos x cos x k 3 c) 2sin x 3sin x sin x sin x 0.25*2 0.25*2 0.25 0.25 c cos x 3sin x x k x l x l sin x cos x 2 x 12 k x 11 k 12 d) 0.25*2 0.25 0.25*3 c cos x 3sin x x k x k x k 0.25*2 sin x cos x 2 x 12 k x k 12 d) Cõu 5(3) : Gii cỏc phng trỡnh sau: a sin x b cos x c cos2x -3cosx +1 =0 x k a) sin x sin x k b) cos x cos x k 4 c) cos x 3cos x 0.25*2 0.25*3 d sin x cos x x k x arccos k d) 0.25 sin x cos x 2 0.25*2 0.25 0.25*2 0.25 39 cos x cos x 0.25 x 12 k x 11 k 12 0.25*3 Cõu 6(3) : Gii Phng trỡnh a sin x cos x b cos x 3sin x c cos x + sinx +1=0 a/ sin x cos x 2 2 b 2sin x 3sin x x 12 k sin x sin 11 x k 12 sin x sin x x k x l x l x k c x k x 84 k Bi cos7 x 3sin x x 11 k 84 Bi 3(sin x cos x ) 4(sin x cos5 x ) 3sin x 4cos5 x 4sin x 3cos x 4 sin x cos5 x sin x cos x 5 5 sin5 x cos cos5 x sin sin x sin cos x cos , ( cos , sin ) 5 sin(5 x ) cos( x ) sin(5 x ) sin( x ) x 12 k x x k x k x x k 40 Phng trỡnh bc mt hm s lng giỏc Vớ d: 1) Gii 2sin x 5sin x Gii: sinx=3 b loi x k ta cũn sin x sin x k 2) Gii cot 3x cot 3x Gii: * cot3x=1 x k 12 u * cot3x=2=cotu x k (u arc cot 2) 3 3) Gii cos x 2(1 2) cos x Gii: t=cosx,1t1 4t 2(1 2)t t 2 * cos x x k 2 * cos x x k 2 Bi tng t: 1) cos x cos x 2) tan x cot x t Phng trỡnh bc ca sinx v cosx Dng: a sin x b cos x c Chỳ ý: sin x cos x sin x cos x sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x Phng phỏp gii toỏn: a sin x b cos x c Chia v cho a b2 Tn ti gúc cho cos a a b ,sin b a b2 Ta c phng trỡnh: 41 sin x.cos cos x.sin sin( x ) c a b2 c a2 b2 Nu a2+b2[...]... tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1 Các định nghĩa: a n a.a a (n Z , n 1, a R) n thừa số 1 a a a a n m an a0 1 a a 0 1 a (n Z , n 1, a R / 0) n n am m n 1 m an ( a 0;m, n N ) 1 n m a 2 Các tính chất : am an am n am n a m n a (am )n (an )m am.n (a.b)n an b n a an ( )n n b b II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT... b) x-2y > 0 vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái ta được VT= -2 > 0 (!) => miền chứa (0;1) khơng phải là miền nghiệm y 1/2 x 0 1 III LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CƠNG THỨC CỘNG 2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2a... PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Dạng cơ bản: ax m (1) 17 m 0 : phương trình (1) vơ nghiệm m 0 : ax m x loga m Dạng cơ bản: loga x m m : loga x m x a m a Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N ; log a M log a N (Phương pháp đưa về cùng cơ số) Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.4 2x 3 2 8 x (1) Bài giải ♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được: x 52... tanb tan(a - b) = 1 + tana.tanb 34 cos2a = 3.CƠNG THỨC HẠ BẬC sin2a = 1 cos 2a 2 1 - cos2a 2 4.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a+b a-b cosa + cosb = 2.cos 2 cos 2 a+b a-b cosa - cosb = -2.sin 2 sin 2 a+b a-b sina + sinb = 2.sin 2 cos 2 a+b a-b sina - sinb = 2.cos 2 sin 2 sin( a b) tan a tan b cosacosb tan a tan b sin(a b) cosacosb 5.CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 cosa.cosb = 2... các hệ số và a 0 2 Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 (a 0) và biệt thức b 2 4 ac : b b ; x2 2a 2a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2 2a Nếu < 0 thì phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì > 0 Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt 3 Cơng thức nghiệm thu gọn ... log a ( log a N log a N log a a 1 N1 ) log a N1 log a N 2 N2 Đặc biệt : log a N 2 2 log a N 3 Cơng thức đổi cơ số : log a N loga b log b N log b N log a N log a b * Hệ quả: log a b 1 log b a và log ak N 1 log a N k PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LƠGARÍT 1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1 Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN 2 Định lý 2: Với 0 < a N (nghịch biến) 3 Định... 0 x 1 2 2 2 2 13 Vậy PT có 2 nghiệm x=1; x= 1/2 Câu d) giải tương tự Lời bình: Qua ví dụ trên cho ta thấy dạng biểu thức trong căn và tích biểu thức bên ngồi căn nếu biến đổi thì chúng có liên hệ mật thi t với nhau nên ta đặt t bằng lượng chứa căn thức rồi biểu thức bên ngồi biểu diễn theo t Ta được pt quen thuộc giải được Các bài tốn trên giúp ta thấy được sự đa dạng của việc đặt ẩn phụ... 1)(4 x) 1 ( x 1)(4 x ) 1 x 2 3 x 3 0 x 33 5 2 12 Vậy PT có 2nghiệm x 33 5 2 Lời bình: Qua ví dụ trên cho ta thấy dạng tổng căn thức và tích căn thức thì ta đặt t bằng tổng căn thức rồi biến đổi tích căn thức theo ẩn t để có pt ẩn t giải được Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ còn nhiều cách lựa chọn phù hợp khác nhau điều đó giúp ta tư duy linh hoạt hơn VD 3: Giải các PT... (1) ln có nghiệm với mọi m 3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt .Thi t lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m 1 2 HD: 1 Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = –1, x 2 = 2 = (2m – 3)2 0, m 3 3 m 2 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3)2 > 0 |2m – 3| > 0 m 3 2 Hệ thức: 2S + 4P = 1 2( x1 + x 2) + 4 x1x2 = 1 Bài tập 4 : Cho phương trình... với mọi m 3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt .Thi t lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m 4 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu HD: 1 Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 1, x2 = 7 2 = (m – 2)2 0, m 3 m 2 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > 0 |m – 2| > 0 m 2 Hệ thức: S – P = 1 x 1 + x2 – x1x2 = 1 4 Phương trình (1)