Chuyên đề dạy tự chọn nâng cao môn Toán trung học sở Nghiệm nguyên đa thức bậc hai biến Nguyễn Mạnh Sơn Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Thái Nguyên Tóm tắt lý thuyết Khái niệm : ax + by = c (1)(a,b,c Z) Điểm nguyên: M(x,y) ( x,y € Z) NghiƯm riªng: x = x0, y = y0 NghiƯm tỉng qu¸t: x = f(t),y = g(t) Tóm tắt lý thuyết ã Định lý 1: (1) có nghiệm nguyên (a,b) \ c Hệ : Nếu (a,b) = (1) có nghiệm nguyên Tóm tắt lý thuyết ã Định lý : Nếu (x0,y0) nghiệm nguyên (1) với (a,b) = (1) có vô số nghiệm nguyên cho bëi x = x0 + bt ; y = y0 – at (t € Z) HƯ qu¶ : NÕu (x0,y0) nghiệm riêng ax + by = (cx0,cy0) nghiệm riêng ax + by = c Tách Cách giải 1: phần nguyên Chọn a b hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ tách phần nguyên Lưu ý đến việc đặt điều kiện kỹ thuật chọn cách đặt Cách giải 2: Liên phân số i,Trước hết tìm nghiƯm riªng cđa ax + by = víi (a,b) = *)ViÕt thuËt to¸n Euclide cho hai sè a vµ b a = bq0 + r1, b = r1q1+r2 rk-1 = rkqk+1 Cách giải *)Tính m = q0 + q1 + = p/q q2 + 1 + qk Cách giải *)Nghiệm riêng cđa ax + by = tho¶ m·n:  x0 = p   y0 = q hc  x0 = q   y0 = p Thö tõng tr­êng hợp để xác định dấu x0 , y0 ii, Cuối (cx0,cy0) nghiệm (1) Định lý Euler ã Cho m số nguyên dư ơng gọi (m) số số dương nhỏ m nguyên tố với m Khi n(m) 1(mod m) với số nguyên n nguyên tố với m Cách giải 3: Đồng dư Cho phương trình ax b(mod m)(*) Nếu (a,m) = theo định lý Euler có a(m) 1(mod m) Do ®ã a(baφ(m)-1 ) ≡ b(mod m) VËy (*) có nghiệm x ba(m)-1 (mod m) Các ví dụ 3, Tìm số tự nhiên n cho : a n chia hÕt cho vµ n + chia hÕt cho 25 b n chia hÕt cho , n + chia hÕt cho 25 vµ n + chia hÕt cho C¸c vÝ dơ 4, Tìm số tự nhiên nhỏ chia hết cho vµ chia cho 2, 3, 4, 5, 6, d­ 5, Giải biện luận phương trình : 6x – 11y = m + ( m € Z) Một số mở rộng 6, Trên đường thẳng 8x 13y + = hÃy tìm điểm nguyên nằm hai đường thẳng x = - 10 x = 50 7, Chứng minh hình chữ nhật giới hạn đường thẳng x = 6, x = 42, y = 2, y = 17 kh«ng có điểmnguyên thuộc đường thẳng x + 5y = Một số mở rộng 8,Trên trục hoành hÃy tìm tất điểm nguyên mà ta dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt hai đường thẳng x = + 5y x = + 8y điểm nguyên Một số mở rộng 9, Có điểm có toạ độ nguyên nằm cạnh nằm tam giác tạo ba đường thẳng : x = 6, y = 0, y = 1,5x + 1,75 Mét sè më rộng Phương trình dạng a1x1 + a2x2 + a3x3 ++ anxn = c (2) (ai, c Z) Định lý: (2) Cã nghiƯm nguyªn  (a1,a2,…,an) \ c Mét số mở rộng Cách giải: *) Nếu có hệ số Giả sử a1=1, ®ã x1=- a2x2 - a3x3 -…- anxn + c, xi€ Z **)NÕu cã hai hƯ sè nguyªn tè cïng Giả sử (a1,a2)=1,khi a1x1 + a2x2 = - - a3x3 -…- anxn + c Mét sè më réng 10,Tìm nghiệm nguyên phương trình: 6x + 15y + 10z = 11, Tìm tất x y cho c¶ hai sè 3x – y + 2x + 3y chia hết cho Một số mở rộng 12, Trên trục hoành hÃy tìm tất điểm nguyên mà ta dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt ba đường thẳng x 2y = 3, x – 3y = 2, x – 5y = -7 t¹i điểm nguyên Một số mở rộng 13, HÃy tìm tất điểm nguyên mà ta dựng đường thẳng vuông góc với hai trục toạ độ cắt ba đường thẳng sau điểm nguyªn: 2x – 3y = 4, 5x – 7y = 2, 3x + 5y = Mét sè më réng 14, Tìm nghiệm nguyên hệ phư ơng trình 2x – 3y = 1, 3x – 2y + 3x = 15, Tìm nghiệm nguyên hệ phư ơng trình 3x – 5y – 3t = 1, 2x – 3y + 3t = -3 Mét sè më réng 16,Trong tÊt số tự nhiên từ 200 đến 500 sè nµo chia cho 4, 5, cã sè d­ 3, 4, Một số mở rộng 17,Với giá trị nguyên x số x x , số nguyên? đồng thời Một số mở rộng 19, Với giá trị nguyên x số x3 x x− , , ®ång thêi số nguyên? Tài liệu tham khảo Số häc Ngun Vị Thanh NXB Tỉng hỵp TiỊn Giang – 1992 2.Một số vấn đề phát triển Đại số Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục - 1997 ... (m) = m(1 − )(1 − ) (1 ) p1 p2 pn Các ví dụ 1, Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x + 5y = 2, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 3x 4y = Các ví dụ 3, Tìm sè tù nhiªn n cho : a n chia hÕt... víi m Khi ®ã nφ(m) ≡ 1(mod m) víi mäi sè nguyªn n nguyªn tè víi m Cách giải 3: Đồng dư Cho phương trình ax b(mod m)(*) Nếu (a,m) = theo định lý Euler cã aφ(m) ≡ 1(mod m) Do ®ã a(baφ(m)-1 )... cho Các ví dụ 4, Tìm số tự nhiên nhỏ chia hết cho chia cho 2, 3, 4, 5, 6, d­ 5, Gi¶i biện luận phương trình : 6x 11y = m + ( m € Z) Mét sè më rộng 6, Trên đường thẳng 8x 13y + = hÃy tìm điểm nguyên