BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƯƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI Người thực hiện: Trần Ngọc Thắng Trường: THPT Chuyên Vĩnh Phúc NĂM HỌC: …………………… MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƯƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI Trần Ngọc Thắng – THPT Chuyên Vĩnh Phúc I LÝ THUYẾT Công thức tổng quát dãy ( un ) thỏa mãn un+ = aun +1 + bun + c Trường hợp 1: a + b = Ta có un + = aun +1 + bun + c ⇔ un + + ( − a ) un +1 = un +1 + ( − a ) un + c Đặt = un+1 + ( − a ) un ta +1 = + c Từ ta = v1 + ( n − 1) c, n = 1, 2, suy un +1 = ( a − 1) un + v1 + ( n − 1) c Do un +1 = ( a − 1) un + v1 + ( n − 1) c ( a − 1) un = ( a − 1) un−1 + v1 ( a − 1) + ( a − 1) ( n − ) c 2 ( a − 1) un−1 = ( a − 1) un−2 + v1 ( a − 1) + ( a − 1) ( n − 3) c … ( a − 1) n −1 u2 = ( a − 1) u1 + v1 ( a − 1) n n −1 + ( a − 1) n −1 ( n − 1) c Cộng vế đẳng thức ta được: n −1 n −1 un +1 = ( a − 1) u1 + v1.∑ ( a − 1) + c.∑ ( a − 1)  k =0 k =0 n k k ( n − k − 1)  Trường hợp 2: a + b ≠ Đặt un = xn + α , ta chọn α cho dãy số ( xn ) dãy tuyến tính cấp hai Ta có un + = aun +1 + bun + c ⇔ xn +2 + α = a ( xn +1 + α ) + b ( xn + α ) + c Để dãy số ( xn ) tuyến tính ta chọn α cho c 1− a − b = axn +1 + bxn , n = 1, 2, α = α a + αb + c ⇔ α = Khi ta xn+ Xét phương trình đặc trưng: t − at − b = (1) +) Nếu phương trình (1) có hai thực phân biệt t1 , t2 xn = A.t1n + B.t2n , A, B số tính theo số hạng x1 , x2 n +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép t1 = t2 = t0 xn = ( A + Bn ) t0 , A, B số tính theo số hạng x1 , x2 +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức x ± yi xn = r n ( A cos nϕ + B sin nϕ ) , A, B số tính theo số hạng x1 , x2 r = a + b , ϕ arcgument x + yi Tính chất dãy tuyến tính cấp hai Xét dãy số ( un ) xác định bởi: un + = aun +1 + bun , n = 1, 2, Ta có un + − bu n un +1 − bun −1 = ⇒ un ( un + − bun ) = un +1 ( un +1 − bun −1 ) un +1 un ⇒ unun + − un2+1 = −b ( un −1un +1 − un2 ) = = ( −b ) n −1 (uu − u22 ) Do dãy ( un ) thỏa mãn unun + − un2+1 = ( −b ) ( u1u3 − u22 ) Đây tính chất quan trọng dãy tuyến tính cấp hai, tính chất thường sử dụng chứng minh đẳng thức liên quan đến số hạng dãy tính chất số học dãy Phương pháp thường dùng để chứng minh f ( un ) số n −1 phương, ( un ) thỏa mãn un+ = aun+1 + bun + c Để chứng minh dãy số ( bn ) thỏa mãn bn số phương với số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: Hướng 1: Ta tồn dãy số nguyên ( cn ) thỏa mãn bn = cn2 , ∀n ∈ ¥ Dãy số ( cn ) thường dự đoán cách tính số giá trị đầu c1 , c2 , tìm quy luật dãy ( cn ) Hướng 2: Ta chứng minh bnbn+ số phương với số tự nhiên n , sau chứng minh quy nạp Hướng 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính bn = cn2 MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA II Bài Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 4an+1 − an , n ≥ Chứng minh rằng: a) an − b) số phương với n lẻ an − số phương với n chẵn Lời giải a) Cách 1: Ta dự đoán dãy số ( cn ) cho a2 n+1 − = cn2 , ta có a1 = 2, a3 = 26, a5 = 362, a7 = 5042 suy c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 Khi ta thử thiết lập quan hệ truy hồi dãy ( cn ) theo dãy tuyến tính cấp 2, giả sử cn+ = acn +1 + bcn từ c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 ta 5a + b = 19 a = ⇔ Do ta dự đoán dãy số ( cn ) là:  19a + 5b = 71 b = −1 c0 = 1, c1 = 5, cn + = 4cn +1 − cn , n = 0,1, 2, Ta chứng minh quy nạp a2n +1 − = cn ( 1) , ∀n = 0,1, 2, Thật (1) với n = , giả sử (1) đến n > , ta chứng minh (1) đến n + Ta có a2n +3 − = 4a2 n +2 − a2 n +1 − = ( 4a2 n +1 − a2 n ) − a2 n +1 − = 16a2 n +1 − 4a2 n − a2 n +1 − = 15a2 n +1 − ( a2 n +1 + a2 n −1 ) − = 14a2 n +1 − a2 n −1 − = 14 ( cn2 + 1) − cn2−1 − − = 12cn2 − cn2−1 − 12 (2) Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp ta được: cn +1cn −1 − cn2 = −6 ⇒ ( 4cn − cn −1 ) cn −1 − cn2 = −6 ⇒ cn2 + cn2−1 − 4cn cn −1 − = (3) Ta có cn2+1 = ( 4cn − cn −1 ) = 16cn2 − 8cn cn −1 + cn2−1 = 16cn2 − ( cn2 + cn2−1 − ) + cn2−1 = 14cn2 − cn2−1 − 12 ( ) Từ (2) (4) suy a2 n +3 − = cn2+1 Do ta chứng minh (1) đến n + suy (1) Cách 2: Ta có an + an − an2+1 = 3, ∀n ≥ Từ hệ thức ta được: ( an+ − 1) ( an − 1) = an+ 2an − an+ − an + = an2+1 + − 4an+1 + = ( an +1 − ) (5) Từ hệ thức (5) phương pháp quy nạp suy an − số phương với số nguyên dương lẻ n b) Ta chứng minh theo hướng sau: a − a − a a − a − a + a − 4an +1 +  an +1 −  = Ta có n + n = n+ n n+ n = n+1 ÷ 6 36 36   Từ đẳng thức phương pháp quy nạp suy phương an − số Bài Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 13, an+ = 14an+1 − an , n ≥ Chứng minh với số tự nhiên n , tồn số tự nhiên k , l cho an = k + ( k + 1) , an2 = ( l + 1) − l 3 Lời giải Nhận xét: Ta có an = k + ( k + 1) = 2k + 2k + ⇔ 2an − = ( 2k + 1) 2 an2 = ( l + 1) − l = 3l + 3l + ⇔ 12an2 − = ( 6l + 3) Như toán quy chứng minh 2an − 1, 12an2 − số phương Nếu ta chứng minh toán theo cách gặp phải tính toán lớn không sử dụng máy tính nhiều thời gian Ta chứng minh theo cách Trước hết ta có hệ thức sau : an+ an − an2+1 = 12, ∀n = 0,1, 2, Xét ( 2an+ − 1) ( 2an − 1) = 4an+2 an − ( an+ + an ) + = ( an2+1 + 12 ) − 28an+1 + = ( 2an+1 + ) ( 12an2+2 − 3) ( 12an2 − 3) = 144 ( an+2 an ) − 36 ( an2+2 + an2 ) + 2 2 = 144 ( an + an ) − 36 ( an + + an ) + 72an + an + = 144 ( an + an ) − 36 ( 14an +1 ) + 72an + an + = 144 ( an + an ) − 36.142 ( an + an − 12 ) + 72an + an + = 144 ( an + an ) − 36.194an + an + 2912 = ( 12an + an − 291) 2 Từ hệ thức phương pháp quy nạp ta 2an − 1, 12an2 − số phương Bài (TST VN 2012) Cho dãy số ( xn ) xác định sau: x1 = 1, x2 = 2011, xn + = 4022 xn +1 − xn , n = 1, 2, x +1 Chứng minh 2012 số phương 2012 Lời giải Ta giải toán tổng quát sau: Cho p số nguyên dương lẻ dãy số ( xn ) xác định sau: x1 = 1, x2 = p, xn + = pxn +1 − xn , n = 1, 2, Chứng minh x2 n + số p +1 phương với số nguyên dương n Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị x2 + x +1 x +1 = 1, = ( p − 1) , = ( p − p − 1) , p +1 p +1 p +1 x +1 2n Ta dự đoán p + = yn , dãy số ( yn ) xác định sau: y1 = 1, y2 = p − 1, , yn + = pyn +1 − yn , n = 1, 2, Ta chứng minh kết phương pháp quy nạp n −1 Ta có yn + yn − yn2+1 = ( 1) ( y3 y1 − y22 ) = p − ⇒ yn + yn = yn2+1 + p − ⇒ ( pyn +1 − yn ) yn = yn2+1 + p − ⇒ yn2+1 + yn2 + p − = pyn yn +1 Ta có yn2+ = ( pyn +1 − yn ) = p yn2+1 − pyn +1 yn + yn2 = p yn2+1 − ( yn2+1 + yn2 + p − ) + yn2 = ( p − ) yn2+1 − yn2 − p + 4 p − ) x2 n + − x2 n + x2 n + + ( x2 n + + x2 n + = ( p − 2) p + − p + − p + = p +1 p +1 x2 n + + Suy p + = yn + 2 Cách Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau: xn + xn − xn2+1 = ( 1) n −1 ( x x − x ) = 2p 2 − − p = p − ⇒ xn + xn = xn2+1 + p − Ta có  xn + +   xn +  xn + xn + xn + + xn + xn2+1 + p − + pxn +1 +  xn +1 + p  = =  ÷ ÷= ÷ 2 ( p + 1) ( p + 1)  p +1   p +1   p +1  x2 n + Từ đẳng thức phương pháp quy nạp ta p + số phương với số nguyên dương n x2 n − Nhận xét Bằng cách chứng minh tường tự ta p − số phương với số nguyên dương n Bài (China South East Mathematical 2011) Cho dãy số ( an ) xác định sau: a1 = a2 = 1, an+1 = 7an − an−1 , n = 2,3, Chứng minh với số nguyên dương n ta có an + an +1 + số phương Lời giải Cách Tính vài giá trị ta được: a1 + a2 + = 22 , a2 + a3 + = 32 , a3 + a4 + = , a4 + a5 + = 182 Từ ta dự đoán an + an +1 + = bn2 , dãy số ( bn ) xác định sau: b1 = 2, b2 = 3, bn +1 = 3bn − bn −1 , n = 2,3, Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp 2 2 Ta có bn +1bn −1 − bn = ⇒ ( 3bn − bn −1 ) bn −1 − bn = ⇒ 3bnbn −1 = bn −1 + bn + = an −1 + an + an + an +1 + = an+1 + 2an + an −1 + Theo công thức truy hồi dãy ( bn ) ta được: bn2+1 = ( 3bn − bn −1 ) = 9bn2 + bn2−1 − 6bn bn −1 = ( an + an +1 + ) + an −1 + an + 2 −2 ( an +1 + 2an + an −1 + ) = 7an +1 − an + 7an − an −1 + = an + + an +1 + Do bn2+1 = an +1 + an + + hay toán chứng minh Cách Ta có đẳng thức sau: an+ + an = 7an+1 , an+ an − an2+1 = Xét ( an + an+1 + ) ( an+1 + an+ + ) = an+1 ( an + an+ ) + an an+ + an2+1 + ( an + an+ ) + 4an+1 + = an2+1 + an2+1 + + an2+1 + 14an +1 + 4an +1 + = 9an2+1 + 18an +1 + = ( 3an +1 + 3) Từ đẳng thức phương pháp quy nạp ta suy an + an+1 + số phương với số nguyên dương n Bài Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 1, an+ = 3an+1 − an + 2, n ≥ Chứng minh rằng: an an + số phương với số tự nhiên n Lời giải Ta tìm x cho dãy số ( bn ) : an = bn + x dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi dãy ( an ) ta được: bn + + x = 3bn +1 + 3x − bn − x + = 3bn +1 − bn + x +2 Ta chọn x cho x = x + ⇔ x = −2 suy an = bn − Như toán cho tương đương với toán sau: Cho dãy ( bn ) : b1 = 2, b2 = 3, bn+ = 3bn+1 − bn Chứng minh ( bn − ) ( bn + − ) số phương với số nguyên dương n Ta có bn + 2bn − bn2+1 = ⇒ bn + 2bn = bn2+1 + bn + + bn = 3bn +1 Do ( bn − ) ( bn+ − ) = bn+ 2bn − ( bn+ + bn ) + = bn2+1 + − 6bn +1 + = ( bn+1 − 3) Vậy an an + số phương với số nguyên dương n Bài Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 1, an+ = 7an+1 − an − 2, n ≥ Chứng minh số hạng dãy số phương Lời giải Ta tìm x cho dãy số ( bn ) : an = bn + x dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi dãy ( an ) ta được: bn + + x = 7bn +1 + x − bn − x − = 3bn +1 − bn + x − 2 Ta chọn x cho x = x − ⇔ x = suy an = bn + 5 Như toán cho tương đương với toán sau: 5 Cho dãy ( bn ) : b1 = , b2 = , bn+ = 7bn +1 − bn Chứng minh bn + số phương với số nguyên dương n Cách Ta tính số giá trị bn + : b1 + 2 2 2 = , b2 + = 12 , b3 + = 22 , b4 + = 52 …Khi ta dự đoán bn + = cn2 , 5 5 ( cn ) xác định sau: c1 = c2 = 1, cn + = 3cn +1 − cn , n = 1, 2, Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp: 2 2 Ta có cn + 2cn − cn+1 = ⇒ ( 3cn+1 − cn ) cn − cn +1 = ⇒ 3cn cn +1 = cn+1 + cn + cn2+ = ( 3cn+1 − cn ) = 9cn2+1 − 6cncn +1 + cn2 = 9cn2+1 − ( cn2+1 + cn2 + 1) + cn2 2  2 2  = 7cn2+1 − cn2 − =  bn +1 + ÷−  bn + ÷− = 7bn +1 − bn + = bn + + 5  5 5  Suy cn2+ = bn + + Từ suy dự đoán hay toán chứng minh bn + + bn = 7bn +1 Khi  2 14  = bn2+1 + + bn +1 +  bn + ÷ bn + + ÷ = bn + 2bn + ( bn + bn + ) +  5 25 5 25  Cách Ta có bn+ 2bn − bn2+1 = = bn2+1 + 14 49  7 bn +1 + =  bn +1 + ÷ 25  5 2  2  7  Suy  bn + ÷ bn+ + ÷ =  bn +1 + ÷ Từ đẳng thức phương pháp  5  5  quy nạp suy bn + số phương với số nguyên dương n Bài Cho dãy số ( an ) xác định bởi:  a0 =   an +1 = 4an + 15an − 60, n = 0,1, 2, Chứng minh số bn = ( a2 n + ) biểu diễn thành tổng ba số nguyên duơng liên tiếp với n ≥ Lời giải Từ giả thiết suy dãy số ( an ) dãy số dương Ta có an +1 = 4an + 15an2 − 60 ⇒ ( an +1 − 4an ) = 15an2 − 60 ⇒ an2+1 − 8an an +1 + an2 + 60 = (1) Từ (1) ta được: an2+ − 8an+1an + + an2+1 + 60 = (2) Từ (1) (2) suy an , an + hai nghiệm phương trình: x − xan +1 + an2+1 + 60 = Do theo định lí Viet ta được: an + an + = 8an +1 ⇔ an + = 8an +1 − an Khi dãy số ( an ) xác định sau: a0 = 2, a1 = 8, an + = 8an+1 − an , n = 0,1, 2, 5 Nhận xét Giả sử ( a2 n + 8) = ( k − 1) + k + ( k + 1) ⇔ ( a2 n + ) = 3k + ⇔ a2 n − = k2 15 2 Như yêu cầu chứng minh toán quy chứng minh a2 n − 15 số phương với số nguyên dương n Cách Ta tính vài giá trị đầu tiên: a0 − a −2 a −2 a −2 = 02 , = 22 , = 162 , = 126 15 15 15 15 a −2 = bn2 , dãy số ( bn ) xác định Khi ta dự đoán n 15 sau: b0 = 0, b1 = 2, b2 = 16, b3 = 126, thử xác định dãy ( bn ) dạng dãy số tuyến tính sau: bn + = xbn+1 + ybn , n = 0,1, 2,  x = 16 x = ⇔ 16 x + y = 126  y = −1 a −2 = bn2 , ( bn ) Ta chứng minh phương pháp quy nạp n 15 Từ b0 = 0, b1 = 2, b2 = 16, b3 = 126 ta  dãy số thỏa mãn b0 = 0, b1 = 2, bn + = 8bn +1 − bn , n = 0,1, 2, 2 2 Ta có bn +1bn−1 − bn = −4 ⇒ ( 8bn − bn −1 ) bn −1 − bn = −4 ⇒ 8bnbn−1 = bn−1 + bn − b2 n −2 − b2 n − b + b − 64 + − = n−2 n 15 15 15 a2 n + = 8a2 n +1 − a2 n = ( 8a2 n − a2n −1 ) − a2 n = 63a2 n − ( a2 n + a2 n −2 ) = 62a2 n − a2 n− Theo công thức truy hồi dãy ( bn ) đẳng thức ta được: bn2+1 = ( 8bn − bn −1 ) = 64bn2 + bn2−1 − 16bnbn −1 = 64 a2 n − a2 n −2 −  a + a2 n −2 − 64  + −  2n ÷ 15 15 15   62a2 n − a2 n − − a2 n + − = 15 15 a −2 Do bn2+1 = n +2 hay toán chứng minh 15 = Cách Ta có a2 n + a2 n − a22n+1 = 60 ⇒ a2 n + a2 n = a22n+1 + 60  a2 n + −  a2 n −  a2 n +2 a2 n − ( a2 n+ + a2 n ) + a2 n +1 + 60 − 16a2 n +1 + = Ta xét  ÷ ÷= 225 225  15  15   a −8 =  n +1 ÷  15  Từ đẳng thức phương pháp quy nạp ta a2 n − 15 số phương với số nguyên dương n Bài (Balkan MO 2002) Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 20, u2 = 30, un + = 3un +1 − u n , n = 1, 2, Tìm tất số nguyên dương n cho + 5unun +1 số phương Lời giải Dễ thấy dãy ( un ) dãy số tăng suy với n ≥ ⇒ un + un +1 ≥ u4 + u5 > u3 + u4 = 250 (1) +) n ∈ { 1, 2} không thỏa mãn +) n = + 5u3u4 = 2512 suy n = thỏa mãn +) n ≥ , theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: un + 2un = un2+1 + ( 1) n −1 (u u − u22 ) = un2+1 + 500 ⇒ ( 3un +1 − un ) un = un2+1 + 500 ⇒ 3un +1un = un2+1 + un2 + 500 ⇒ 5un +1un + = ( un +1 + un ) + 501 Giả sử + 5unun+1 số phương, + 5unun +1 = a , a ∈ ¥ * Khi ta có: ( un+1 + un ) + 501 = a ⇔ ( a − un+1 − un ) ( a + un+1 + un ) = 501 = 1.501 = 3.167 Ta xét trường hợp sau: a + un + un +1 = 501 a = 251 ⇔ mẫu thuẫn với (1) un + un +1 = 250 a − un − un +1 = TH1   a + un + un +1 = 167  a = 85 ⇔ mâu thuẫn với (1) un + un +1 = 82  a − un − un +1 = TH2  Do với n ≥ + 5unun +1 số phương Vậy n = số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 13, an +2 = 14an +1 − an , n ≥ Chứng minh a) an2+1 − an an + + 12 = 0, ∀n ≥ b) 48an2 − 12 số phương với số tự nhiên n an + số phương với số tự nhiên n Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 11, an + = 10an +1 − an + 10, n ≥ Chứng minh c) 2an − 1, rằng: an + số phương với n chẵn Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 2an+1 − an + 1, n ≥ Chứng minh rằng: 4an an + + số phương Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 3an +1 − an + 2, n ≥ Chứng minh rằng: an an + số phương với số tự nhiên n Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 3an +1 − 2an , n ≥ Chứng minh rằng: an2 + 2n+ bình phương số nguyên lẻ Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 1, an+ = an +1 − an − 2, n ≥ Chứng minh số hạng dãy số phương (VMO1997) Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 45, an + = 45an+1 − 7an , n ≥ a) Tính số ước nguyên dương số an2+1 − an an+ theo n; b) Chứng minh 1997 an2 + 4.7 n +1 số phương với số tự nhiên n (Kiểm tra đội tuyển IMO 2013) Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 11, an+ = an+1 + 5an , n ≥ Chứng minh an không số phương với n > Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 3, an +2 = 6an +1 − an + 2, n ≥ Chứng minh an2 + ( an + 1) số phương với số tự nhiên n 10.Cho dãy số ( an ) : a0 = a, a1 = b, an+2 = 3an+1 − an , n ≥ 0; a, b ∈ ¢ Chứng minh tồn số nguyên k cho 5an2 + k số phương với số tự nhiên n 11.Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 6, an + = 6an +1 − an , n ≥ Chứng minh rằng: a) an2+1 − 6an an+1 + an2 = với số tự nhiên n; b) Với số tự nhiên n, tồn số nguyên dương k cho an2 = k ( k + 1) 12.Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 2, an + = an +1 − an , n ≥ Tìm n để an − số phương 13.Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = −1, an+ = −an+1 − 2an , n ≥ Chứng minh 22012 − 7a2010 số phương 14.Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+ = 4an+1 − an , n ≥ Tìm n để an − số phương 15.Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 2, an + = 4an +1 − an , n ≥ Chứng minh rằng: a) an2 + an2−1 − 4an an −1 = −3, ∀n ≥ an2 − b) số phương 16.Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 2, an + = 4an +1 + an , n ≥ Chứng minh an an + + ( −1) số phương với số nguyên dương n Chứng n minh phương trình x − xy − y = có vô số nghiệm nguyên dương 17.(TSTVN2012) Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 2011, an+ = 4022an+1 − an , n ≥ Chứng minh a2012 + số phương 2012 n n  3+   3−  18.Cho dãy số ( xn ) : xn =  ÷ ÷ +  ÷ ÷ − 2, n ≥ Chứng minh     x2 n+1 số phương với số tự nhiên n TÀI LIỆU THAM KHẢO Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Team Bikhauser, 2002 Titu Andreescu and Zuming Feng, A path to combinatorics for undergraduates counting strategies Bikhauser, 2004 Titu Andreescu, Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges Bikhauser, 2000 Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1998-1999 Problems and Solutions From Around the World Published and distributed by The Mathematical Association of America, 2000 Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1999-2000 Problems and Solutions From Around the World Published and distributed by The Mathematical Association of America, 2002 Arthur Engel, Problem - Solving Strategies Springer, 1998 Loren C Larson, Problem - Solving Through Problems Springer, 1983 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, 40 năm Olympiad Toán Học Quốc Tế, tập tập 2, NXB Giáo dục, 2001 9 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập toán từ thi Mĩ Canada, NXB Giáo dục, 2002 10 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc, NXB Giáo dục, 2002 11 Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, Tuyển tập toán dự tuyển IMO 1991-2001, NXB Giáo dục, 2003 12 Các toán thi Olympiad toán trung học phổ thông 1990-2006, NXB Giáo dục, 2007 13 Nguyễn Quý Dy - Nguyễn Văn Nho - Vũ Văn Thỏa, tuyển tập 200 thi vô địch toán, tập 3: Giải tích, NXB Giáo dục, 2001 14 Tạp chí AMM, Crux, Toán Học Tuổi trẻ, 15 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập toán từ thi số nước Đông Âu, NXB Giáo dục 16 Các trang Website toán: www.mathlinks.ro , www.diendantoanhoc.net , www.mathscope.org [...]... 2 là số chính phương với mọi số tự nhiên n 5 Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 3an +1 − 2an , n ≥ 0 Chứng minh rằng: an2 + 2n+ 2 là bình phương của một số nguyên lẻ 6 Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 1, an+ 2 = 7 an +1 − an − 2, n ≥ 0 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương 7 (VMO1997) Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 45, an + 2 = 45an+1 − 7an , n ≥ 0 a) Tính số các...b) 48an2 − 12 là số chính phương với mọi số tự nhiên n 2 an + 1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n 3 2 Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 11, an + 2 = 10an +1 − an + 10, n ≥ 0 Chứng minh c) 2an − 1, rằng: an + 1 là số chính phương với mọi n chẵn 3 Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an+1 − an + 1, n ≥ 0 Chứng minh rằng: 4an an + 2 + 1 là một số chính phương 4 Cho dãy số ( an ) : a0 =... là số chính phương 13.Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = −1, an+ 2 = −an+1 − 2an , n ≥ 1 Chứng minh rằng 2 22012 − 7a2010 là một số chính phương 14.Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+ 2 = 4an+1 − an , n ≥ 0 Tìm n để an − 1 là số chính phương 15.Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 4an +1 − an , n ≥ 1 Chứng minh rằng: a) an2 + an2−1 − 4an an −1 = −3, ∀n ≥ 2 an2 − 1 b) là một số chính phương. .. dương của số an2+1 − an an+ 2 theo n; b) Chứng minh rằng 1997 an2 + 4.7 n +1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n 8 (Kiểm tra đội tuyển IMO 2013) Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 11, an+ 2 = an+1 + 5an , n ≥ 1 Chứng minh rằng an không là số chính phương với mọi n > 3 9 Cho dãy số ( an ) : a0 = 0, a1 = 3, an +2 = 6an +1 − an + 2, n ≥ 0 Chứng minh rằng an2 + ( an + 1) là số chính phương với mọi số. .. 16.Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = 4an +1 + an , n ≥ 1 Chứng minh rằng an an + 2 + ( −1) 5 là số chính phương với mọi số nguyên dương n Chứng n minh phương trình x 2 − 4 xy − y 2 = 5 có vô số nghiệm nguyên dương 17.(TSTVN2012) Cho dãy số ( an ) : a1 = 1, a2 = 2011, an+ 2 = 4022an+1 − an , n ≥ 1 Chứng minh rằng a2012 + 1 là một số chính phương 2012 n n  3+ 5   3− 5  18.Cho dãy số (... 10.Cho dãy số ( an ) : a0 = a, a1 = b, an+2 = 3an+1 − an , n ≥ 0; a, b ∈ ¢ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho 5an2 + k là số chính phương với mọi số tự nhiên n 11.Cho dãy số ( an ) : a0 = 1, a1 = 6, an + 2 = 6an +1 − an , n ≥ 0 Chứng minh rằng: a) an2+1 − 6an an+1 + an2 = 1 với mọi số tự nhiên n; b) Với mọi số tự nhiên n, tồn tại số nguyên dương k sao cho an2 = k ( k + 1) 2 12.Cho dãy số (... Olympiad Toán Học Quốc Tế, tập 1 và tập 2, NXB Giáo dục, 2001 9 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Mĩ và Canada, NXB Giáo dục, 2002 10 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Trung Quốc, NXB Giáo dục, 2002 11 Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, Tuyển tập các bài toán dự tuyển IMO 1991-2001, NXB Giáo dục, 2003 12 Các bài toán. .. 2003 12 Các bài toán thi Olympiad toán trung học phổ thông 1990-2006, NXB Giáo dục, 2007 13 Nguyễn Quý Dy - Nguyễn Văn Nho - Vũ Văn Thỏa, tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, tập 3: Giải tích, NXB Giáo dục, 2001 14 Tạp chí AMM, Crux, Toán Học Tuổi trẻ, 15 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại một số nước Đông Âu, NXB Giáo dục 16 Các trang Website về toán: www.mathlinks.ro , www.diendantoanhoc.net... 4022an+1 − an , n ≥ 1 Chứng minh rằng a2012 + 1 là một số chính phương 2012 n n  3+ 5   3− 5  18.Cho dãy số ( xn ) : xn =  ÷ ÷ +  2 ÷ ÷ − 2, n ≥ 1 Chứng minh rằng 2     x2 n+1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Team Bikhauser, 2002 2 Titu Andreescu and Zuming Feng, A path