Đang tải... (xem toàn văn)
Cho là hàm liên tục khi đó: a Phương trình có nghiệm có nghiệm. b Gọi ; lần lượt là các mút trái, mút phải của biết và cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất. Trong đó .
B GIO DC V O TO CHUYấN HI THO TRI Hẩ HNG VNG CC TRNG THPT CHUYấN MễN TON THPT Tờn ti: S DNG TNH N IU CA HM S TèM GII HN Ngi thc hin: Trng: THPT CHUYấN HONG VN TH HềA BèNH NM HC: S DNG TNH N IU CA HM S TèM GII HN Ký hiu: l mt cỏc tp: [a; b] ; (a; b) ; (a; b]; [ a; b ); (; a) ; ( ;a ]; ( b; + ); [ b; + ); Ă nh lý 1: Cho f : l hm liờn tc ú: a- Phng trỡnh f ( x) = x cú nghim f n ( x) = x cú nghim [ f ( x) x] v b- Gi ; ln lt l cỏc mỳt trỏi, mỳt phi ca bit xlim + lim [ f ( x) x ] cựng dng hoc cựng õm x Khi ú f ( x) = x cú nghim nht f n ( x) = x cú nghim nht Trong ú f n ( x) = f ( f ( f ( x) )) 4 43 n lần Chng minh a Nu phng trỡnh f ( x) = x cú nghim l x0 thỡ x0 cng l nghim ca phng trỡnh f n ( x) = x Nu phng trỡnh f ( x) = x vụ nghim thỡ f ( x) x > hoc f ( x) x < vi mi x , ú f n ( x) > x hoc f n ( x) < x vi mi x , dn n phng trỡnh f n ( x) = x cng vụ nghim b Gi s phng trỡnh f ( x) = x cú nghim nht l x0 thỡ rừ rng õy cng l nghim ca phng trỡnh f n ( x) = x t F ( x) = f ( x) x , F ( x) l hm liờn tc nờn trờn cỏc khong ( x0 ; ) v ( ; x0 ) F ( x) gi nguyờn mt du [ f ( x) x] v lim [ f ( x) x ] cựng dng thỡ F ( x) > + Nu xlim x + ( x0 ; ) v ( ; x0 ) f ( x) > x, x / { x0 } Xột x1 \ { x0 } f ( x1 ) > x1 f ( f ( x1 )) > f ( x1 ) > x1 f n ( x1 ) > x1 x1 khụng l nghim ca phng trỡnh f n ( x) = x f n ( x) = x cú nghim nht: x = x0 [ f ( x) x] v lim [ f ( x) x ] cựng õm chng minh tng t + Nu xlim x + Ta thy mi nghim ca phng trỡnh f ( x) = x u l nghim ca phng trỡnh f n ( x) = x ú nu phng trỡnh f n ( x) = x cú nghim nht thỡ phng trỡnh f ( x) = x cú nghim nht nh lý 2: Cho f : l hm ng bin, dóy ( xn ) tho món: xn+1 = f ( xn ), n Ơ * Khi ú: a- Nu x1 < x2 thỡ ( xn ) dóy tng b- Nu x1 > x2 thỡ ( xn ) dóy gim Chng minh a Ta chng minh xn < xn +1 , n Ơ * bng phng phỏp quy np Tht vy: - Vi n = , ta cú x1 < x2 , mnh ỳng - Gi s mnh ỳng vi n = k , k Ơ * , tc l uk < uk +1 , ta chng minh mnh ỳng vi n = k + , cú f (uk ) < f (uk +1 ) (do f l hm ng bin) uk +1 < uk +2 (pcm) b Chng minh tng t Cú th m rng nh lý nh sau: Cho k Ơ * v f : l hm ng bin Dóy ( xn ) tho món: xn+1 = f ( xn ), n k , xk Khi ú: a Nu tn ti s nguyờn dng k xk < xk +1 thỡ xn < xn +1 , n k b Nu tn ti s nguyờn dng k xk > xk +1 thỡ xn > xn+1 , n k nh lý 3: Cho f : l hm nghch bin Dóy ( xn ) tho món: xn+1 = f ( xn ) , n Ơ * Khi ú: a Cỏc dóy ( x2n ) v ( x2 n+1 ) n iu ú mt dóy tng v mt dóy gim b Nu ( xn ) b chn thỡ = lim x2 n v = lim x2 n+1 c Nu f liờn tc thỡ , l nghim ca phng trỡnh: f ( f ( x)) = x (1) Vỡ vy nu (1) cú nghim nht thỡ = V: lim xn = = Chng minh a Vỡ f l hm gim nờn hm f ( f ( x)) ng bin, ỏp dng nh lý ta cú iu phi chng minh b Suy trc tip t phn a c Ta cú f ( f ( x2 n )) = f ( x2 n+1 ) = x2 n+ , v lim f ( f ( x2 n )) = lim x2 n+ = = f ( f ( )) lim x2 n = Chng minh tng t ta cng cú: = f ( f ( )) Vy ; l nghim ca phng trỡnh f ( f ( x)) = x Cỏc vớ d u1 = 2,7 VD1 Cho dóy (un ) nh sau: * un+1 3un+1 (un+1 1) = un + 1, n Ơ Chng minh rng dóy (un ) cú gii hn hu hn Gii Ta cú: Do un3+1 3un +1 (un +1 1) = un + 1, n Ơ * (un+1 1)3 = un , n Ơ * un+1 = un + 1, n Ơ * u1 = 2,7 > nờn bng quy np ta chng minh c un > 1, n Ơ , n Xột hm f ( x) = x + , vi x > , cú (1; +) f '( x) = 3 x2 > vi mi x > Do ú f ( x) l hm ng bin Li cú un+1 = f (un ), n Ơ * , v u1 = 2,7 > u2 = 2,7 + nờn ta suy c (un ) l dóy gim m li b chn di ti nờn dóy (un ) cú gii hn hu hn u1 = 2,9 VD2 Cho dóy s (un ) tha u = + un , n Ơ * n+1 un2 Chng minh rng dóy (un ) cú gii hn hu hn Gii Xột hm f ( x) = + x x , x > , cú : f '( x) = ( x 1) , x > f ( x) l hm nghch bin trờn Ta chng minh Tht vy: < un < + , n Ơ * - Bi toỏn ỳng vi n = - Gi s bi toỏn ỳng vi n = k, k Ơ * ta chng minh bi toỏn ỳng n = k + vi Ta cú: uk +1 = f (uk ) , m: uk > f (uk ) < f ( 3) (Do f(x) l hm gim) uk +1 < + Li cú uk > > uk +1 = + Vy < un < + uk uk > 3 Do un+1 = f (un ) v f ( x) l hm nghch bin nờn (un ) tỏch hm lm dóy: ( u2 k +1 ) v ( u2k ) ú cú mt dóy tng v mt dóy gim, li cú dóy ( un ) b chn lim(u2 k +1 ); lim(u2 k ) t lim u2 k +1 = a ; lim u2 k = b thỡ a v b l nghim ca phng trỡnh f ( f ( x)) = x Xột hm F ( x) = f ( f ( x)) x, f ( x) > vi mi 3 nờn < f '( f ( x)) < 8 F '( x) < phng trỡnh F ( x) = cú nghim nht l a lim u2 k +1 = lim u2 n = lim un = a Vy dóy (un ) cú gii hn hu hn n + VD3 Cho s thc a v dóy s (un ) xỏc nh nh sau: u1 = a * un+1 = un + sin un , n Ơ , n Tỡm lim un Gii Xột hm f ( x) = x + sin x, x Ă , ta cú f '( x) = + cos x 0, x Ă , ú vi x1; x2 ( x1 < x2 ) ta cú: [ x1; x2 ] cú hu hn im m ti ú f '( x) = , vỡ vy f ( x) ng bin trờn [ x1; x2 ] f ( x1 ) < f ( x2 ) Vy f(x) ng bin trờn Ă Nu a = k , (k  ) , d dng chng minh c bng qui np un = a, n Ơ * Nu k < a < k + sin a > Cú un+1 = f (un ) v f ( x) l hm ng bin trờn Ă , m u1 = a < u2 = a + sin a nờn bng qui np ta chng minh c (un ) l dóy tng v (un ) b chn khong (k ; k + ) tc l un < un +1 , n Ơ * v k < un < k + , n Ơ * (1) lim un t lim un = b; b l nghim ca phng trỡnh: b = b + sin b sin b = Kt hp vi (1) b = k + Vy lim un = k + Nu k + < a < (k + 1)2 sin a < Cú un+1 = f (un ) v f ( x) l hm ng bin Ă m u1 = a > u2 = a + sin a nờn bng qui np chng minh c (un ) l dóy gim v (un ) b chn khong (k + ;( k + 1)2 ) tc l un < un +1 , n Ơ * v k < un < k + , n Ơ * (2) lim un t limU n = b; b l nghim ca phng trỡnh: b = b + sin b sin b = Kt hp vi (2) ta cú b = k + Vy lim un = 2k + x1 = a , a > VD4 Cho dóy s ( xn ) nh sau: * xn+1 = a a + xn , n Ơ Chng minh rng dóy s ( xn ) cú gii hn hu hn Gii Bng quy np ta chng minh c xn a , n Ơ * Xột hm f ( x) = a a + x , x [0; a ] cú xn+1 = f ( xn ) x2 n+1 v F ( x) = a a + a a + x x f '( x) = a a + x a + x f ( x) l hm nghch bin < 0, x [0; a ] Do ú dóy ( xn ) c tỏch thnh dóy ( x2n ) v () Trong ú dóy ( x2n ) tng, dóy ( x2 n+1 ) gim Mt khỏc dóy ( x2n ) v ( x2 n+1 ) u b chn suy lim x2 n v lim x2 n+1 t lim x2 n = ; lim x2 n+1 = Khi ú , l nghim ca phng trỡnh: f ( f ( x)) = x a a + a a + x = x Xột hm , vi x 0; a cú F '( x) = 16 a a + a a + x a + a a + x a a + x a + x Vi x 0; a ta cú a a+x a+x a a+ a a > a a+ a + a 1 = a a a = ( a )2 a 2 > ( ) > 0,12 > 0,3 Thay vai trũ ca x bi minh tng t cú a a+ a a+x a + a a + x > 0,3 F '( x) < 0,9 < F ( x) l hm ng bin Phng trỡnh F ( x) x = cú nghim nht = lim x2 n = lim x2 n+1 = lim xn Vy cú lim xn = T vi T tho f ( f (T)) = T VD6 Cho dóy s ( an ) a1 = an xỏc nh nh sau: * an+1 = ữ , n Ơ Hóy xột tớnh hi t ca dóy a a + x chng Gii D thy an > 0, n x t f ( x ) = ữ , ta cú f(x) l hm s nghch bin nờn f ( f ( x ) ) l hm s ng bin x ữ +x Xột F ( x ) = f ( f ( x ) ) x , ta cú F ' ( x ) = ữ ln Ta chng minh F ' ( x ) < 0, x > x x 1 Xột hm s g ( x ) = ữ + x , cú g ' ( x ) = ữ ln + , lp bng bin thiờn ta thy 4 g(x) t giỏ tr ln nht x = F '( x ) ln ln ln t giỏ tr ln nht bng e.ln x= ln ln T ú cú ln F ' ( x ) < 0, x > , suy F(x) l hm s nghch bin trờn ( 0;+ ) Hn na 1 F ữ = , ú cú F ( x ) > 0, < x < v F ( x ) < 0, x > Ta thu c: 2 = Do a2 = > f f ữữ < f ( f ( x ) ) < x, x > , dn n a4 = f ( f ( a2 ) ) < a2 v bng phng phỏp quy np ta chng minh c ( a2n ) l dóy gim v b chn di bi Do ú ( a2n ) cú gii hn hu hn lim a2 n = Chng minh tng t cú ( a2 n+1 ) l dóy s tng v b chn trờn bi nờn cú gii hn hu hn lim a2 n +1 = Vi , l nghim ca phng trỡnh f ( f ( x ) ) = x T chng minh trờn thu c = = Vy dóy ( an ) cú gii hn hu hn lim an = x1 = a VD7 (VMO 2005) Cho dóy s ( xn ) xỏc nh bi: Tỡm tt x = x x + x n n n n+1 c cỏc giỏ tr ca a dóy s cú gii hn hu hn Gii Kho sỏt hm s f ( x ) = 3x x + x v xột s tng giao ca nú vi hm s y = x , ta c th sau Kt hp vi bng bin thiờn ca hm s y = f ( x ) v th bờn ta thy: + f ( x ) tng trờn ; ữ, ( 1;+ ) v gim trờn ;1ữ + f ữ< x = + f ( x) = x x = x =1 + Vi x ; + ữ ( 0;1) thỡ f ( x ) > x v f ( x ) < x, x ( ;0 ) 1; ữ x +1 x +1 Xột hm s u ( x ) = x trờn ( 1;+ ) Ta cú u ' ( x ) = ln > 0, x > Do ú u ( x ) l hm s ng bin suy u ( ak ) > u ( 1) > Dn n (*) ỳng + Vỡ an 1, n nờn an +1 = an + < 3, n an ( 1;3) , n an + Ta chng minh ( an ) l dóy s tng Xột hm s f ( x ) = 2+ x ln + x.ln , x 1;3 f ' x = > 0, x ( 1;3) nờn , cú ( ) ( ) 2x 2x f(x) ng bin trờn (1; 3) Li cú a2 = > a1 = nờn ( an ) l dóy s tng + Dóy ( an ) tng v b chn suy tn ti gii hn hu hn lim an = L , vi L l nghim ca phng trỡnh L = Xột hm s g ( x ) = L+2 trờn (1; 3) 2L x+2 x, x ( 1;3) , ta cú 2x ln + x ln ln + x ln x g '( x ) = = 2x 2x x Ta xột tip hm s h ( x ) = ln + x ln , x ( 1;3) cú h ' ( x ) = ln ( x ) < 0, x ( 1;3) Nờn h(x) l hm s nghch bin trờn (1; 3), suy h ( x ) < h ( 1) = ln + ln < , dn n g ' ( x ) < 0, x ( 1;3) Vy g(x) l hm s nghch bin trờn (1; 3) v phng trỡnh g ( x ) = cú khụng quỏ mt nghim Li cú g ( ) = nờn x = l nghim nht ca phng trỡnh g ( x ) = Vy hm s ó cho cú gii hn lim an = L = Bi Bi Cho dóy ( xn ) x = xỏc nh nh sau: x = x2 n+1 n Chng minh rng dóy ( xn ) cú gii hn v tỡm gii hn ú Hng dn - Bng phng phỏp quy np, ta chng minh c < xn < 0, n - Xột hm s f ( x) = x trờn on [ 1;0] Ta cú xn+1 = f ( xn ), n N * Hm s f ( x) gim trờn on [ 1;0] , ú cỏc dóy ( x2 n ),( x2 n+1 ) n iu (bt u t x2 ) - Suy tn ti cỏc gii hn lim x2 n = a , lim x2 n+1 = b , v a , b thuc on [ 1;0] , a , b l nghim ca phng trỡnh x = f ( x) Ta thy, on [ 1;0] , phng trỡnh x = f ( x) cú nghim nht x = - Vy lim xn = Bi Cho dóy ( un ) u1 = xỏc nh nh sau: u = n+1 + u n Tỡm lim un Hng dn - Bng phng phỏp quy np, ta chng minh c < un < 1, n - Xột hm s f ( x) = trờn on [ 0;1] Ta cú un+1 = f (un ), n N * v x +1 f '( x) = ( x + 1) Hm s f ( x) gim trờn on [ 1;0] , ú cỏc dóy (u2 n ),(u2 n+1 ) n iu - Suy tn ti cỏc gii hn lim u2 n = a , lim u2 n+1 = b , v a , b thuc on [ 1;0] , a , b l nghim ca phng trỡnh x = f ( f ( x )) Ta thy, on [ 0;1] , phng trỡnh x = f ( f ( x)) cú nghim nht x= + - Vy lim un = + Bi Cho dóy ( un ) u1 = a xỏc nh nh sau: * un+1 = cos un , n N Chng minh rng dóy ( un ) hi t Hng dn - D thy un (0;1), n - Xột hm s f ( x) = cos x trờn khong (0;1) , ta cú un+1 = f (un ), n Ta cú f '( x ) = sin x < trờn khong (0;1) , ú cỏc dóy (u2 n ),(u2 n +1 ) n iu, bt u t u3 M ( un ) b chn Do ú tn ti cỏc gii hn lim x2 n = a , lim x2 n+1 = b , v a , b thuc on [ 0;1] , a , b l nghim ca phng trỡnh x = f ( x) Ta thy, on [ 0;1] , phng trỡnh x = f ( x) cú nghim nht - Vy dóy ( un ) hi t a1 = a Bi Cho s a > v xột dóy ( an ) xỏc nh nh sau: an * an+1 = , n Ơ Xột tớnh hi t ca dóy s ( an ) Hng dn - Chỳ ý < an < 2, n Nu an > thỡ an +1 < v ngc li x - t f ( x ) = v F ( x ) = f ( f ( x ) ) x Ta chng minh c F ' ( x ) < 0, < x < Do vy F ( x ) < F ( 1) = 0,1 < x < v F ( x ) > F ( 1) = 0,0 < x < - T ú xột trng hp nu a1 = a < thỡ dóy s ( a2n ) l dóy tng ( a2 n+1 ) l dóy gim v c hai cựng tin ti Nu a1 = a > thỡ ngc li dóy s ( a2n ) l dóy gim ( a2 n+1 ) l dóy tng v c hai cựng tin ti Nu a1 = thỡ dóy ( an ) l dóy hng an = 1, n nờn cng cú gii hn l - Vy mi trng hp dóy s ( an ) u hi t v a1 = xỏc nh nh sau: an an+1 = 2 , n Ơ * Bi Cho dóy s ( an ) Tỡm lim an Hng dn - Chỳ ý < an < , n x - Xột hm s F ( x ) = 2 x,1 < x < , õy l hm gim nờn F ( x ) > F ( ) = 0, x ( 1;2 ) T ú suy dóy s ( an ) tng v cú gii hn hu hn lim an = , vi l nghim x ca phng trỡnh x = x lim an = = CHUYấN : S DNG LNG GIC GII MT S BI TON V DY S Dóy s v cỏc dóy s l mt phn quan trng ca i s v gii tớch toỏn hc Cú rt nhiu bi toỏn v dóy s mi bi toỏn cú nhng cỏch tip cn riờng Trong bi vit ny tụi mun gii thiu v mt cỏch tip cn v gii quyt cỏc bi toỏn v dóy s I.MT S BI TON V XC NH S HNG TNG QUT DY S Bi 1( ngh thi HSG khu vc DHBBB 2014): x1 = Cho dóy s xỏc nh nh sau: x = xn + n+1 + x n ( ) ( nƠ ) * Tớnh u2014 Li gii: tan = = Ta cú: tan = tan ữ = 12 + tan tan + 3 tan 12 Nờn t gi thit ta cú: xn+1 = xn tan 12 xn + tan 12 = tan + t = tan x1 = tan , suy x2 = ữ 12 tan tan 12 tan + tan * Theo quy np ta d dng suy ra: xn = tan + ( n 1) ữ, n Ơ 12 Vy x2014 = tan + 2013 ữ = tan + 168 ữ 12 =1 = tan ữ = + tan tan tan tan Bi 2: Cho dóy s thc ( xn ) x1 = xỏc nh nh sau: xn+1 = + xn n = 1,2, Tỡm s hng tng quỏt xn Li gii: Ta cú x1 = = 2cos 22 x2 = + = 2(1 + Ta chng minh xn = 2cos ) = 2cos 2 (1) 2n +1 Vi n = mnh (1) ỳng Gi s mnh ỳng n n = k tc l xk = 2cos 2k +1 Ta chng minh mnh (1) ỳng n n = k + Tht vy : xk +1 = + xk = 2(1 + cos Vy xn = 2cos ) = 2cos k + k +1 2 2n +1 Bi 3: ( thi OLYPIC 30/04/2003) Cho dóy s ( xn ) xỏc nh bi : x1 = xn + xn+1 = + (1 2)un Tỡm x2003 n = 1,2, Li gii: Ta cú tan = + 8 tan = tan = + tan = tan 8 tan = (L) 8 tan xn + tan Suy xn+1 = Do ú x1 = = tan + tan xn n = 1,2, , + tan = tan( + ) x2 = tan tan tan + ) + tan 8 = tan( + ) x3 = tan( + ) tan 8 tan( Bng phng phỏp quy np ta chng minh c xn == tan( Vy x2003 == tan( + ( n 1) ), n = 1,2, + 2002 ) = tan + (250 + ) = tan( + ) = (2 + 3) Bi 4: Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s ( xn ) cho bi x = + xn +1 = xn xn + 2, Li gii: t xn = yn Khi ú n = 1,2, yn +1 = 16 yn4 16 yn2 + n = 1,2, yn+1 = yn4 yn2 + n = 1,2, Ta cú y1 = 2+ = + cos = cos = 2 12 1+ p dng cụng thc lng giỏc cos = 8cos 8cos + Ta suy y2 = 8cos 8cos + = cos(4 ) 12 12 12 y3 = 8cos (4 ) 8cos (4 ) + = cos(4 ) 12 12 12 Bng phng phỏp quy np ta chng minh c yn = cos(4n Vy xn = 2cos(4 n1 ), 12 ), 12 n = 1,2, n = 1,2, Bi 5: ( ngh Olympic 30/4/2012) Cho dóy s ( xn ) nh bi: x = 25 x x + 15 x + 15 x + 10 = 25 x + 30 x + 10 n +1 n n +1 n n n Xỏc nh s hng tng quỏt xn Li gii: Ta cú 25 xn+1 xn + 15 xn +1 + 15 xn + 10 = 25 xn2 + 30 xn + 10 (5 xn+1 + 3)(5 xn + 3) = (5 xn + 3) + Xột dóy s yn = xn + Vy ta cú n = 1,2, y1 = y1 = x1 + = yn+1 yn = yn + yn+1 = Ta chng minh yn = tan 2n+1 yn2 + yn n = 1,2, Vi n = mnh trờn ỳng Gi s mnh ỳng vi n = k , tc l yk = tan 2k +1 Ta chng minh mnh ỳng vi n = k + Tht vy yk +1 = Vy x = n tan y +1 n yn +1 2k +1 = tan k + tan k +1 tan = 2k +1 Bi ngh Bi 1: Cho dóy s ( xn ) xỏc nh bi x1 = x = xn + n+1 + ( 2)un n = 1,2, Tỡm s hng tng quỏt xn Bi 2: Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s xn cho trc nh sau x0 = + xn xn+1 = 3u n n = 1,2, Bi 3: Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s ( xn ) cho bi x1 = xn +1 = 16 xn5 20 xn3 + xn , n = 1,2, Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s ó cho Bi 4: ( nghi Olympic 30/4/2012) Cho dóy ( xn ) xỏc nh bi x1 = a xn +1 = xn (1 xn ) n = 1,2, Tỡm cỏc giỏ tr a x2012 = II.MT S BI TON V TèM GII HN CA DY S Bi 1: ( VMO 2014) Cho hai dóy s thc dng ( xn ) , ( yn ) , ú x1 = , y1 = ; ngoi vi mi s nguyờn dng n thỡ xn+1 yn+1 xn = xn2+1 + yn = Chng minh rng hai dóy s núi trờn hi t v tỡm gii hn ca chỳng Gii: T gi thit x1 = = 2sin , y1 = = 2cos 6 Suy x2 = y1 = 2cos x1 = 2sin v y2 = = 2cos x2 12 12 Bng chng minh quy np ta chng minh c xn = 2sin ; 3.2n y n = 2cos * n vi mi n N 3.2 Ta tớnh lim xn = lim 2sin = lim y = lim 2cos =2 v n 3.2n 3.2n Bi 2: Tớnh gii hn ca dóy s thc ( xn ) c xỏc nh bi xn = 2n + + + vi n = 1,2, 4 44 4 43 n +1 Li gii: t un = + + + vi n = 1,2, Ta chng minh un = 2cos Tht vy ta cú u1 = = 2cos (*) 2n +1 22 Khi n = mnh (*) ỳng Gi s mnh (*) ỳng n = k tc l uk = 2cos uk +1 = + uk = 2(1 + cos Khi ú ta cú 2k +1 ) = 2.2cos = 2cos 2k +1 2k + 2k + Do ú theo nguyờn lý quy np (*) ỳng vi mi n thuc N* Ta cú xn = 2n 2cos = 2n 2(1 cos = 2n 2.sin = 2n +1 sin Vy lim xn = lim 2n+1 ) 2n+1 2n+ 2n+ 2n + = n+2 sin Bi 3: Cho a l s thc dng tựy ý Xột dóy s ( xn ) ( n = 1, 2, ) xỏc nh bi: x1 = a ; xn +1 = xn + + + ( cú n s trờn t) xn + Chng minh rng dóy s ( xn ) cú gii hn hu hn v tớnh gii hn ú Gii t yn = + + + ta ó cú kt qu bi yn = 2cos xn +1 = 2n +1 , n N * xn + xn cos D thy xn > t an = Khi ú t (1) ta cú xn 1 = + xn+1 2cos xn cos n +1 n +1 2 an +1 = t bn = , n = 1,2, 2n+1 an 2cos n +1 + 2cos n+1 n = 1,2, n = 1,2, (2) 4an T (2) ta c sin n sin b sin n bn n +1 n +1 2 = + , n = 1,2, 4.2.cos n+1 2cos n +1 2 bn +1 = bn + bn +1 4cot bn+1 4cot sin n n = 1,2, = bn 4cot n n = 1,2, n +1 2 = b 4cot =b 4cot = = b 4cot = b1 n n 1 2n +1 2n 2n1 21 Do ú bn = = b1 + 4cot Bi vy 2n an = sin bn sin n b1 sin n n 2 (b + 4cot ) = + cos = n 4 2n Suy lim an = lim( 2n + cos ) = lim x = = n 2n lim an b1 sin Bi 4: ( ngh thi HSG khu vc DHBBB nm 2012) + xn2 n Cho dóy s (xn) xỏc nh bi x1 = 1, xn+1 = n N * Tỡm lim ( xn ) xn Li gii: Ta cú nhn xột : Vi mi 0; ữ ta luụn cú: 2 2sin + tan cos cos = = = = tan sin tan sin 2sin cos cos 2 p dng nhn xột trờn d thy x1 = tan x2 = tan Bng phng phỏp quy np ta chng minh c: xn = tan n 2n+1 Do ú: 2n+1 = lim ( 2n.xn ) = lim n.tan n+1 ữ = lim cos n+1 2 n +1 2 sin Nhn xột: Mt du hiu ta suy ngh n s dng lng giỏc ú l cỏch cho s hng u v cụng thc truy hi Bi 5: ( Olympic Toỏn Sinh viờn Ton Quc nm 2009 ) Cho hai dóy s ( xn ) , ( yn ) nh sau: x1 = y1 = , xn+1 = xn + + xn , yn +1 = Chng minh rng xn yn (2;3) yn + + yn2 n = 2,3,4, v lim yn = Li gii: t a = a , b = Ta cú x1 = = cot = cot a = cot 6 x2 = cot a + + cot a = cot a + 1 + cos a a = = cot sin a sin a 21 Bng phng phỏp quy np ta chng minh c xn = cot a , n = 1,2, 2n Ta li cú y1 = = cot y2 = b = cot a = cot tan b + + tan b = tan b b = tan 1 1+ cos b Bng phng phỏp quy np ta chng minh c yn = tan Do ú xn yn = cot Vỡ < tan b , n = 1,2, 2n1 a b tan = cot tan = 2n1 2n1 3.2n 3.2n1 tan 3.2n n = 1,2, < tan = , n v hm s f ( x) = ng bin trờn n 3.2 x khong (0; +) nờn 2< b tan 3.2n [...]... ∀n = 1,2, Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( xn ) cho bởi 1 x1 = 2 xn +1 = 16 xn5 − 20 xn3 + 5 xn , ∀n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho Bài 4: ( Đề nghi Olympic 30/4/2012) Cho dãy ( xn ) xác định bởi x1 = a xn +1 = 4 xn (1 − xn ) ∀n = 1,2, Tìm các giá trị a để x2012 = 0 II.MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1: ( VMO 2014) Cho hai dãy số thực dương (... Xét hàm số F ( x ) = 2 2 − x,1 < x < 2 , đây là hàm giảm nên F ( x ) > F ( 2 ) = 0, ∀x ∈ ( 1;2 ) Từ đó suy ra dãy số ( an ) tăng và có giới hạn hữu hạn lim an = α , với α là nghiệm x của phương trình x = x 2 ⇒ lim an = α = 2 CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Dãy số và các vấn đề dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học Có rất nhiều bài toán về dãy số. .. 0, x ∈ ( 1;3) Vậy g(x) là hàm số nghịch biến trên (1; 3) và phương trình g ( x ) = 0 có không quá một nghiệm Lại có g ( 2 ) = 0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình g ( x ) = 0 Vậy hàm số đã cho có giới hạn lim an = L = 2 6 Bài tập Bài 1 Cho dãy ( xn ) 1 x = 1 3 xác định như sau: x = 1 x2 − 1 n+1 2 n Chứng minh rằng dãy ( xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó Hướng dẫn - Bằng phương... ) ) = ( −∞;0 ) , mà trong các khoảng này f ( x ) là hàm số tăng, nên nếu a thuộc vào một trong các khoảng này thì ( xn ) là dãy số đơn điệu 4 - Với a ∈ ; +∞ ÷ thì x2 = f ( x1 ) = f ( a ) > a mà f lại là hàm số tăng trên miền này 3 nên ( xn ) là dãy tăng Nếu ( xn ) bị chặn trên thì ( xn ) có giới hạn hữu hạn 4 α = lim xn , với α là nghiệm của phương trình f ( x ) = x ⇒ α ∈ 0;1; điều này... giới hạn là 1 VD8 (VMO 2008) Cho dãy số thực ( an ) a1 = 1 xác định bởi an + 2 an+1 = 3 − 2an , ∀n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy ( an ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn đó Giải + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh an > 1, ∀n ≥ 2 Với n = 2 ta có u2 = 3 nên (*) đúng 2 Giả sử (*) đúng với k ≥ 2 tức là ak > 1 , ta đi chứng minh ak +1 = 3 − ak + 2 > 1 ⇔ 2ak +1 > ak + 2 ak 2 (*) x +1 x +1 Xét hàm. .. dãy số tăng 2 + Dãy ( an ) tăng và bị chặn suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim an = L , với L là nghiệm của phương trình L = 3 − Xét hàm số g ( x ) = 3 − L+2 trên (1; 3) 2L x+2 − x, x ∈ ( 1;3) , ta có 2x ln 4 + x ln 2 − 1 ln 4 + x ln 2 − 1 − 2 x g '( x ) = −1 = 2x 2x x Ta xét tiếp hàm số h ( x ) = ln 4 + x ln 2 − 1 − 2 , x ∈ ( 1;3) có h ' ( x ) = ln 2 ( 1 − 2 x ) < 0, x ∈ ( 1;3) Nên h(x) là hàm số nghịch... > Vậy ( xn ) không bị chặn trên, do 3 3 đó ( xn ) không có giới hạn hữu hạn - Với a ∈ ( −∞;0 ) , chứng minh tương tự trường hợp trên suy ra ( xn ) giảm và không bị chặn dưới, do đó cũng không có giới hạn hữu hạn 4 - Với a ∈ 1; ÷ thì dãy ( xn ) giảm và bị chặn dưới bởi 1, nên nó có giới hạn hữu 3 4 hạn α = lim xn với α là nghiệm của phương trình f ( x ) = x ⇒ α ∈ 0;1; , vì 3 1≤ α ≤... đúng Giả sử mệnh đề đúng với n = k , tức là yk = tan π 2k +1 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 Thật vậy yk +1 = Vậy x = n tan y +1 −1 2 n yn π +1 −1 π 2k +1 = tan k + 2 π 2 tan k +1 2 tan 2 = π −3 2k +1 5 Bài tập đề nghị Bài 1: Cho dãy số ( xn ) xác định bởi 3 x1 = 3 x = xn + 2 − 3 n+1 1 + ( 3 − 2)un ∀n = 1,2, Tìm số hạng tổng quát xn Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số xn cho... + u n Tìm lim un Hướng dẫn - Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được 0 < un < 1, ∀n ≥ 2 - Xét hàm số f ( x) = 1 trên đoạn [ 0;1] Ta có un+1 = f (un ), ∀n ∈ N * và x +1 f '( x) = − 1 ( x + 1) 2 Hàm số f ( x) giảm trên đoạn [ −1;0] , do đó các dãy con (u2 n ),(u2 n+1 ) đơn điệu - Suy ra tồn tại các giới hạn lim u2 n = a , lim u2 n+1 = b , và a , b thuộc đoạn [ −1;0] , a , b là nghiệm của phương... 2n +1 sin Vậy lim xn = π lim 2 π 2n+1 π ) 2n+1 π 2n+ 2 π 2n+ 2 π 2n + 2 = π π 2 n+2 sin 2 Bài 3: Cho a là số thực dương tùy ý Xét dãy số ( xn ) ( n = 1, 2, ) xác định bởi: x1 = a ; xn +1 = xn 2 + 2 + + 2 ( có n số 2 ở trên tử) xn + 1 Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó Giải Đặt yn = 2 + 2 + + 2 ta đã có kết quả ở bài 2 yn = 2cos xn +1 = π 2n +1 , ∀n ∈ N * xn + 1 2