TỔNG HỢP ÔN TẬP HÌNH HỌC LỚP Vấn đề: Hệ thức lượng tam giác vuông Tam giác vuông tam giác có góc vuông Trong tam giác vuông ta có định lí Pytago dùng để tính cạnh chứng minh đẳng thức có liên quan đến bình phương cạnh Tam giác ABC vuông A đó: BC2=AB2+AC2 Trong tam giác vuông A trung tuyến AM = BC/2 B A M A c C B h C’ H b b’ a Công thức tính diện tích tam giác ABC vuông A: S=1/2 AB.AC=1/2.a.h Từ công thức diện tích ta có ngay: a.h = b.c Công thức hình chiếu lên cạnh huyền: b’.c’= h2 Công thức cạnh góc vuông hình chiếu: b2= a.b’ Và c2=a.c’ 1 = 2+ 2 h b c Công thức nghịch đảo đường cao: Các cách để c/m tam giác tam giác vuông: 9.1 Chỉ tam giác có góc vuông 9.2 Chỉ tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức : BC2=AB2+AC2.thì tam giác vuông A 9.3 Chỉ trung tuyến AM = BC/2 Thì tam giác vuông A Vấn đề: tỉ số lượng giác góc nhọn Muốn có tỉ số lượng giác góc nhọn ta phải có tam giác vuông Trong tam giác vuông có góc nhọn α đó: a Sin α =đối/ huyến b Côsin α= kề/ huyền c Tan α= đối / kề = sin /cos d Cotan α = kề/ đối = cos/ sin = 1/tan Nếu hai góc α β phụ tức α + β = 90 đó: Sin α = cos β Cos α= sin β C Tan α = cot β Cot α = tan β Vấn đề: định nghĩa xác định đường tròn Tập hợp điểm cách O cho trước khoảng R không đổi gọi đường tròn tâm O bán kính R Kí hiệu: (O; R) Để xác định đường tròn ta có cách sau: 2.1 Biết tâm O bán kính R 2.2 Biết điểm không thẳng hàng nằm đường tròn Cho (O; R) điểm M Khi có khả sau: 3.1 Nếu MO > R M nằm đường tròn (O; R) 3.2 Nếu MO=R M nằm đường tròn (O;R) Kí hiệu: M ∈ (O; R) 3.3 Nếu MO < R M nằm đường tròn (O; R) Dây cung đoạn thẳng nối hai điểm đường tròn Đường kính dây cung qua tâm Vậy đường kính dây cung lớn đường tròn Muốn c/m điểm nằm (O; R) ta khoảng cách từ điểm đến O R Các cách khác sau xét sau Đường tròn qua hai điểm A B có tâm nằm trung trực AB đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm trung điểm cạnh huyền Bảng giá trị lượng giác thường dùng: 00; 300; 450; 600 900 2 Từ định lí Pytago tam giác vuông ta có ngay: sin α +cos α =1 Từ định nghĩa ta có: tan α.cot α = Từ tỉ số lượng giác ta thấy tam giác vuông cho goc cạnh yếu tố lại tính Có thể dùng tỉ số lượng giác để đo chiều cao thực tế Khi biết góc tính giá trị lượng giác cho giá trị lượng giác tính góc ta dùng máy tính bỏ túi Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn Đường tròn hình có tâm đối xứng tâm đường tròn Đường tròn có vô số trục đối xứng đường kính Đường kính vuông góc dây cung qua trung điểm ngược lại Hai dây cung chúng cách tâm Dây cung gần tâm dài ngược lại Vận dụng tính chất ta tính độ dài đoạn c/m tính chất so sánh đoạn thẳng dựa vào đường tròn Vấn đề: vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng độ dài đường vuông góc từ điểm đến đường thẳng Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d có trường hợp sau: 2.1 Nếu d(O;d) = OH > R đường thẳng đường tròn điểm chung Ta nói đường thẳng đường tròn không cắt 2.2 Nếu d(O; d) = OH = R đường thẳng đường tròn có điểm chung H Khi ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng gọi tiếp tuyến (O)) 2.3 Nếu d(O; d) = OH < R đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A B Đường thẳng gọi cát tuyến với (O; R) Vậy muốn xác định vị trí đường thẳng d đường tròn ta cần tìm bán kính R khoảng cách d(O; d) so sánh kết luận Vấn đề: tiếp tuyến đường tròn Cho (O; R) tiếp tuyến (O; R) đường thẳng tiếp xúc với (O; R) Vậy d tiếp tuyến (O; R) d ⊥ OA A A gọi tiếp điểm .O D A Nói cách khác : d tiếp tuyến (O; R) d(O; d) =R Ta có tính chất: từ điểm M nằm (O; R) ta kẽ hai tiếp tuyến đến (O; R) hai tiếp điểm A B MA=MB Từ điểm A (O; R) ta kẽ tiếp tuyến nhất, đường thẳng qua A vuông góc bán kính OA Từ hai điểm A B (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt M MA= MB A O M B Ngoài ta có : MO phân giác góc AOB OM phân giác góc AOB Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ điểm nằm (O) 8.1 Ta nối OM 8.2 Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) hai điểm A B 8.3 Nối MA MB hai tiếp tuyến Vấn đề: vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) dựa vào khoảng cách OO’ R; R’ ta có khả sau: Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ hai đường tròn tiếp xúc Nếu OO’ = R +R’ hai đường tròn có điểm chung điểm giao điểm OO’ hai đường tròn Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc Nếu OO’ < R+R’ hai đường tròn cắt hai điểm Hai điểm nhận OO’ làm trung trực Nếu OO’ > R+R’ hai đường tròn không cắt OO’ < R-R’ hai đường tròn đựng (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa (O; R) Hai đường tròn đồng tâm hai đường tròn có tâm Nếu có hai đường tròn tiếp tuyến chung chúng đường nối tâm OO’ đồng quy - Nếu đồng quy bên đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Nếu đồng quy bên đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Điếm đồng quy chia OO’ theo tỉ lệ tỉ lệ hai bán kính Vấn đề: đường tròn ngoại tiếp- nội tiếp bàng tiếp tam giác… đa giác Cho tam giác ABC, đường tròn qua đỉnh A; B C tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tâm đường tròn ngoại tiếp điểm cách đỉnh nên giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp điểm cách cạnh nên giao điểm ba đường phân giác Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài hai cạnh (AB AC) gọi đường tròn bàng tiếp góc A Vậy đường tròn bàng tiếẩmtong góc A có tâm giao điểm phân giác góc A hai phân giác B C Một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp Tam giác nội tiếp đường tròn đường tròn gọi ngoại tiếp tam giác Tam giác ngoại tiếp đường tròn đường tròn ngoại tiếp tam giác Vấn đề: Góc tâm- số đo độ cung—so sánh cung Góc tâm góc có đỉnh tâm đường tròn Góc cắt đường tròn A B cung AB cung bị chắn góc tâm AOB Ta có tính chất: số đo cung bị chắn số đo góc tâm chắn cung So sánh cung: cung lớn có số đo lớn ngược lại Cung có góc tâm lớn lớn ngược lại Vấn đề: Liên hệ cung dây Cho (O) cung AB đường cong chạy từ A đến B theo đường tròn Còn dây (dây cung) đoạn thẳng AB Ta ý với hai điểm A B (O) tạo hai cung lớn cung nhỏ Sau ta xét cung nhỏ Hai dây cung hai cung Dây lớn cung lớn Vấn đề: góc nội tiếp Góc nội tiếp (O) góc có đỉnh nằm đường tròn (O) hai cạnh cắt (O) hai điểm phân biệt Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm đương tròn Số đo góc nội tiếp chắn cung ½ số đo góc tâm chắn cung Chú ý cung Góc nội tiếp có số đo ½ số đo cung bị chắn Cùng cung có nhiều góc nội tiếp góc Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vuông 90 Các cung góc nội tiếp chắn cung ngược lại Cung lớn góc nội tiếp chắn cung lớn Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung Góc tạo bới tiếp tuyến tiếp điểm A dây cung AX gọi góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung Số đo góc ½ số đo góc tâm chắn cung AX Số đo góc ½ số đo cung AX Số đo góc số đo góc nội tiếp chắn cung Vấn đề: góc có đỉnh bên – bên đường tròn Cho (O) M (O) có hai đường thẳng qua M tạo thành góc Góc góc bên đường tròn Hai đường thẳng cắt đường tròn tạo thành cung Khi số đo góc đường tròn tổng số đo hai cung chia hai A B M C D » + sdCD » sd AB ·AMB = CMD · = Cho (O) M (O) góc mà cạnh tiếp xúc cắt (O) gọi góc đường tròn (O) M Khi góc cắt đường tròn tao thành hai cung; cung lớn cung nhỏ Số đo góc sđ cung lớn – cung nhỏ sau chia hai C A C A A M M n m M B » » ·AMB = sdCD − sd AB ¼ ¼ ·AMB = sd AmB − sd AnB Vấn đề: cung chứa góc D B » » ·AMB = sdCB − sd AB B ·AMB = Cho đoạn thẳng AB cố định quỹ tích điểm M cho: α cho trước cung Cung gọi cung chứa góc α độ nhận AB làm dây Cho dây AB α độ ta có hai cung chứa góc α độ nhận AB làm dây hai cung đối xứng qua AB Cách vẽ cung chứa góc α độ nhận AB làm dây sau: 3.1 Có AB: A vẽ tia At tạo AB góc α 3.2 Tại A vẽ tia Ax ⊥ At cắt trung trực AB O 3.3 Vẽ cung tròn (O; OA) phía chứa O 3.4 Khi cung cung chứa góc α nhận AB làm dây 3.5 Ta lấy O’ đối xứng O qua AB vẽ cung tròn (O’; O’A) ta đượ cung thứ hai Vấn đề: tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường tròn Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa điểm A; B; C D nằm đường tròn Tứ giác nội tiếp đường tròn đường tròn gọi ngoại tiếp tứ giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tứ giác Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) OA= OB= OC = OD =R Chú ý: O nằm tứ giác; nằm nằm cạnh lúc nằm Cho ABCD tứ giác nội tiếp A+C= B+D = 1800 Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 B+D=1800 ABCD nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: a Chỉ A+C =1800 b Chỉ B+D=1800 Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đường tròn cụ thể d Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc Vấn đề: đa giác ngoại tiếp nội tiếp đường tròn Đa giác đa giác có tất cạnh góc Đa giác nội tiếp (O) đa giác có đỉnh nằm (O) Khi đường tròn gọi ngoại tiếp đa giác Đa giác ngoại tiếp (O) đa giác có cạnh tiếp xúc (O) Khi (O) gọi ngoại tiếp đa giác Mỗi đa giác có đường tròn ngoại tiếp đường tròn nôị tiếp hai đường đồng tâm Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA= Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh Khoảng cách gọi trung đoạn đa giác Cho n giác cạnh a đó: 7.1 Chu vi đa giác: 2p= na với p nửa chu vi (tên thường dùng) c (n − 2).180 n 7.2 Mỗi góc có số đo: A=B=…= 7.3 Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R= giác) 7.4 7.5 7.6 a 1800 sin n a 1800 tan n Bán kính đường tròn nội tiếp r= Ta có: R2-r2 = a2/4 Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r .(dùng tỉ số lượng Vấn đề: độ dài đường tròn diện tích hình tròn Đường tròn đường biên hình tròn phần biên Cho (O; R) độ dài đường tròn chu vi đường tròn: C=∏ 2R l= ΠR.n 180 Nếu cho cung n0 (O; R) độ dài cung là: tròn 3600 dài 2∏ R nên 10 dài sau ta nhân lên Diện tích của(O; R) : S= ∏ R Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 hình quạt OAB có diện tích: 2Π R Π R = 360 180 ΠR Vì đường n0 360 Squạt OAB = = lab.R/2 Hình viên phân ta lấy phần quạt bỏ tam giác OAB viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB Hình xuyến hình tạo có hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Bằng cách lấy đường tròn lớn bỏ đường tròn nhỏ Phần hình xuyến Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ∏( R2-r2) ∏ =3.14… thường dùng ∏=3.14 Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Ta ba điểm tạo thành góc bẹt (1800) Vận dụng tính chất đường đồng quy C/m hai tia AB AC trùng theo tiên đề Ơclit(cùng song song đường) Chỉ điểm nằm đường Có thể AB+BC=AC Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng Dùng hai tam giác Dùng tính chất tam giác; hình thang cân; hình bình hành;… Sử dụng tính chất đường chéo hình Tính chất đường trung bình Sử dụng tính chất bắc cầu Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng vuông góc hai đường thẳng cắt góc tạo thành có góc vuông 900 Cho điểm O d có đường thẳng qua O ⊥ d Cho a//b c ⊥ a c ⊥ b Ngoài ta dùng tính chất khác xem hai đường thẳng hai cạnh tam giác vuông Xét tính chấtấtm giác cân; tam giác vuông; hình thoi, hình chữ nhật;… Để c/m hai đường thẳng vuông góc Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song Hai đường thẳng song song hai đường thẳng điểm chung( không làm gì) Hai đường thẳng song song có đường thẳng cắt qua tạo cặp: 2.1 So le 2.2 Đồng vị 2.3 Các góc phía đồng vị Hai đường thẳng vuông góc đường thứ ba song song Hai cạnh đối hình bình hành song song Tính chất dường trung bình tam giác hình thang Các tính chất hình khác hình hộp chữ nhật… Tính chất bắc cầu: a//b b//c a//c Vấn đề: c/m đường thẳng đồng quy Các đường thẳng đồng quy đường thẳng qua điểm Ta điểm O c/m đường thẳng qua Ta gọi O giao điểm hai đường thẳng đường lại qua Ta dùng tính chất đường chéo hình bình hành; hình chữ nhật để đường qua trung điểm cạnh Vận dụng tính chất đường đồng quy tam giác Ta vận dụng định lí Talet đảo đoạn song song Vấn đề: c/m hệ thức hình học Tức ta phải c/m đẳng thức từ kiện đề cho Ta thường dùng công thức tam giác vuông xuất góc vuông (xem phần trước) Ta dùng phương pháp hai tam giác đồng dạng để c/m tỉ số từ tỉ số ta suy đẳng thức cần c/m Chú ý sử dụng tính chất bắc cầu nhiều tam giác đồng dạng Vận dụng công thức diện tích phân tích hình thành nhiều tam giác cộng diện tích lại Sử dụng tam giác để chuyển cạnh cần thiết Dùng tính chất đường trung bình; hình bình hành; đoạn chắn bỡi đường thẳng //… Vấn đề: c/m tứ giác nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: Chỉ A+C =180 Chỉ B+D=180 Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đường tròn cụ thể Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc Vấn đề: tính góc Để tính góc ta dùng tính chất góc đối đỉnh; góc kề bù; góc phụ Các tính chất góc tam giác; góc góc Vận dụng tính chất tổng góc tam giác; tứ giác Vận dụng tính chất phân giác; phân giác phân giác vuông góc Vạn dụng tính chất góc nội tiếp Vận dụng tính chất tam giác đồng dạng Các tính chất góc hai đường thẳng song song Các tính chất hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi; … [...]... giác; góc trong và góc ngoài 3 Vận dụng tính chất tổng các góc tam giác; tứ giác 4 Vận dụng tính chất phân giác; phân giác trong và phân giác ngoài vuông góc 5 Vạn dụng tính chất của góc nội tiếp 6 Vận dụng tính chất các tam giác đồng dạng 7 Các tính chất về góc và hai đường thẳng song song 8 Các tính chất của hình thang; hình thang cân; hình bình hành; hình thoi; …