Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) TÍCH PHÂN HÀM L Nguyên hàm – tích phân NG GIÁC ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N BÁ TU N Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng Tích phân hàm l ng giác thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph s d ng hi u qu , B n c n h c tr ng) t i website Hocmai.vn c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u Tính tính phân sau  Bài I =  sin xdx   I   1  cos x  s inxdx= -  1  2cos x  cos x  d  cosx  0  2     cosx+ cos x  cos x     15  Bài I   sin x cos xdx     1  cos x cos x.s inxdx    cos6 x  cos4 x d  cosx  2 0  1    cos7 x  cos5 x   7  35  Bài I =  sin x dx     cos4x    cos2x  I    dx   1  2cos 2x   dx 0   0   1 3 3  3      cos2x+ cos4x  dx   x  sin 2x  sin 4x   8 32  8  16 0 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân  dx  cos x Bài    1 dx   =   1  tan x d  t anx    t anx+ tan x   2 cos x cos x     sin Bài x cos xdx H b c:   cos2x   cos2x  sin x cos x      1  cos2x  1  2cos x  cos x 2    2  1  2cos x  cos 2 x  cos2x-2cos 2 x  cos3 x   1 1+cos4x  1+cos4x    cos2x-cos 2 x  cos3 x  1  cos2x cos2x    8 2    1 cos6x+cos2x  1  cos2x-cos4x+cos4x.cos2x   1  cos2x-cos4x+  16 16     3cos x  cos6x-cos4x  32 V y   1 3    I     3cos x  cos6x-cos4x  dx   x  sin x  sin x  sin x   32 64 32.6 32.4  32  192  Bài 7: I =  (cos x  1)cos xdx Gi i I=    2 0  (cos x  1)cos xdx   cos xdx   cos xdx  I1  I    2 0 • V i I1   cos5 xdx   cos4 x.cos xdx   (1  sin x)2 d sin x 1 t s inx  t  I1   (1  t ) dt   (1  2t  t )dt 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân  t  t3  t5  15     1  12 • V i I   cos xdx   (1  cos2x)dx  x  sin x  20 4 0 • V y I  I1  I    15  4sin x 0  cos x dx Bài 8: I = Gi i: Ta có: 4sin x 4sin x(1  cos x)   4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin x  cos x sin x    I    4sin x  2sin x dx   cos2 x  cos x  0  cos x dx  sin x Bài 9: I   Gi i t t =  sin x  dt  cos xdx ic n x t 4 x0t 3 dt  ln t t I=    ln  ln Bài 10: Tính nguyên hàm I   s inx  sin 3x dx cos2 x Gi i: I   sinx  sin 3x 2sin x cos x 4sin xcos x dx   dx   dx 2cos x  cos2 x cos2 x 4cos xd (cos x) 4t dt dt        dt    2 dt 2 2  2cos x  2t   2t  t Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân 1  2t 1  cos x ln ln  2t  C   2cos x  C  2t  cos x   sin 2x cos x dx  cos x Bài 11 H, C Kh i B – 2005 I   KQ: ln  Gi i    2cos x  1 s inx dx sin x  sin x I  dx    3cos x  3cos x 0 1  t 1 osx= ;s inxdx=- tdt c  3 t : t   3cos x    x   t  2; x    t    t 1   1  2     tdt   2t  dt   t  t   34 Khi : I     1 9  t    27  sin x cos x dx  cos x Bài 12 I      2 2sin x cos x cos x dx   s inxdx  cos x cosx+1 1     t 1 dt=-sinxdx, x=0 t=2;x=   t : t   cosx    f ( x)dx   t  1 dt   t    dt    t t   1  1 Do : I   f ( x)dx  2  t    dt   t  2t  ln t t 2 2 2   2ln    cos2x dx  2sin 2x Bài 13 I    dt  cos xdx  cos2xdx= dt t : t   2sin x    x   t  1; x    t   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân  3 cos2x dt dx    ln t  ln  2sin 2x 41 t 4 V y: I   cos 2x(sin x  cos Bài 14 I = x)dx Vì : sin x  cos4 x   sin 2 x Cho nên :      12 1   I   1  sin x  cos2xdx=  cos2xdx-  sin x cos xdx  sin x  sin x  20  0 0 2  s inxcos3 x dx  c os x Bài 15 I     cos x (sin x)dx 0  cos x 1 dt  2sin x cos xdx   sin xdx  t : t   cos x    cos x  t  1; x   t  2; x   t    2 ln  1  t  1 1  V y: I    dt      1 dt   ln t  t   22 t 1t  2  Bài 16  cos x cos 2 xdx Ta có : f ( x)  cos x cos 2 x   cos2x  cos4x  1  cos2x+cos4x+cos4x.cos2x  2 1 1   1  cos2x+cos4x+  cos6x+cos2x     cos2x+ cos4x+ cos6x 4    1 1  1  1  V y : I     cos2x+ cos4x+ cos6x  dx   x  sin x  sin x  sin x   8 16 16 48  4  0 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân  Bài 17: J   sin x sin xdx  Gi i     2 1 2  sin x  sin x  cos xdx   cos xdx     18  45 10 2   2 J   Bài 18: K   cos x(sin x  cos x)dx Gi i:   Ta có cos x(sin x  cos4 x)  cos x  sin x  cos2 x  2sin x cos2 x        cos x 1  sin 2 x   cos x 1  1  cos x  cos x  cos x cos x         32 12 12 K   cos x(sin x  cos x)dx   cos xdx   cos xdx   co3xdx 40 80 80    1 1 11  sin x  sin x  sin 3x     40 24 40 24 15 0  4sin x dx  cos x Bài 19: M   Gi i 4sin x 4sin x sin x 4(1  cos x)sin x    4(1  cos x)sin x  cos x  cos x  cos x => M   sin x dx cos  x Bài 20: I=  Gi i  sin x(2 cos x  1) dx 0  cos x I= t t = cos2x  dt = -2sin2xdx Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) V i x = t = 1; V i x = I = 2 Do đó: Nguyên hàm – tích phân  t = 2t  (dt )  2 (2  )dt  2(2t  ln t  )  2(1  ln  ln 3) t 1 1 t 2  sin x dx sin x  cos x Bài 21: I=  Gi i: t t = sin2x + 2cos2x  dt = (2sinxcosx + 4cosx(-sinx))=-sin2xdx V i x= t = 2; V i x =  t = 2 dt   ln t  ln t 2 Do đó: I =    Bài 22: I=  tg xdx Gi i: t t = tgx  dt = (1 + tg2x)dx  dx =  dt V i x = => t = 0; V i x= => t = t 1 t3 t t2 1  ln 2       dt ( t ) dt ( ln( t ) Do đó: I =  2  2 1 t 0 1 t 1   sin x dx  sin x Bài 23: I=  Gi i:  I=   sin x cos x dx = 0  sin x 0  sin x dx t t = + sin2x  dt = 2cos2xdx V i x = => t = 1; V i x =  => t =2 2 1 dt Do đó: I =   ln t  ln 2 21 t Giáo viên: Nguy n Bá Tu n Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | -