Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) PP Nguyên hàm – tích phân A VÀO D U VI PHÂN + PP TÍCH PHÂN T NG PH N ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N BÁ TU N Các t p tài li u đ c biên so n kèm theo gi ng PP đ a vào d u vi phân + tích phân t ng ph n thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph s d ng hi u qu , B n c n h c tr website Hocmai.vn ng) t i c Bài gi ng sau làm đ y đ t p tài li u a vào d u vi phân Bài  xdx 1 Bài x  1dx    x  1 d  x  1   1 x2   d Bài  x x  9dx    x  9 d 1  13   x2   x2   34  3 t anx 2 d  t anx   24  dx  t anx t anx      3 cos x    3   t anx-cotx  dx         Bài   1  x2    x2 Bài   2  x  1 21  3  2 3   2cos2x dx  sin x d  sin x   sin x    ln sin x 3 0  6 d  e x  e x  e2  e x  e x x x e e     ln ln dx 0 e x  e x 0 e x  e x 2e Bài ln Bài  Bài  e Bài  ex dx  ex  e x x e 1 x  ln e x     e  x x ln  ln  ln   e2  e  2  ln x e dx   1  ln x d  ln x  1  1  ln x 21  2  3 x  e  e ln x e 1 x dx  1 ln xd  ln x   ln x1   Bài 11  d  e x  1 dx   2d e e Bài 10 ln   cosx cosx cosx  e s inxdx =- e d  cosx     e   e  2 0 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân 1  ex  ex    ex  x1       1  ln dx dx x ln e dx   0 1 e x 0  ex 0   ex  0 1 e Bài 12 Tích phân t ng ph n D ng 1:  P  x e dx  P  x e   e dP  x Bài \ I1   x.e x dx x x x u  x  du  dx t:  x x dv  e dx  v  e V y : I1   x.e dx  x.e x x1 0   e xdx  e  e x  e  e  1  0 Bài I   x3e x dx Ta có I   x3e x dx  1 x2 x e d ( x2 )   tet dt (1)  20 20 t u  t  du  dt ; dv   et dt  v  et V y  tet dt  tet 1   et dt  e  et 0  e  (e  1)  1 V y thay vào (1) ta có I  Bài I   (4 x2  x  1)e2 xdx 1 Ta có I   (2 x)2  x  1e2 xd (2 x)   (t  t  1)et dt (1) 20 20 t u  t  t   du  (2t  1)dt ; dv  et dt  v   et dt  et V y  (t  t  1)e dt  (t  t  1)e t t 2   (2t 1)e dt  e 1  (2t 1)e tdt (2) t 0 L i đ t u  2t   du  2dt ; dv  et dt  v   et dt  et Do  (2t  1)e dt  (2t  1)e t Hocmai.vn – Ngôi tr t 2  2 et dt  3e2   2(e2  1)  e2  (3) ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân Thay (3) vào (2) có  (t  t  1)et dt  2 (4) Thay (4) vào (1) có I = -1 Bài I =  (4 x2  x  1).e2 xdx (8 x  2)dx  du  4 x  x   u  t  2 x  1 v  e-2x  e dx dv      1 -2x  I  (4 x  x  1)  e    (4 x  1).e 2 xdx 1 = - +J  0 2e J 4dx  du 4 x   u  t  2 x  1 2 x e dx  dv v  e  1 1 2 x 3 (4 1) e x   e2 xdx =  I=  0 2e 1 2 1   J =     1 2e 2e 2e 2e V yI=  Bài I1   e x sin xdx u  e x  du  e xdx t:  dv  sin xdx  v   cos x    V y : I1   e x sin xdx   e x cos x   e x cos xdx  e   J 0 1 u  e x  du  e x dx t:  dv  cos xdx  v  sin x    V y : J   e cos xdx  e sin x   e x sin xdx   I x x 0 Th vào (1) ta đ c : I  e   I  e   Bài I   e3 x sin xdx Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân t u  e3 x  du  3e3 xdx ; dv  sin xdx  v   sin xdx   cos5 x   32 Ta có I   e3 xcos5 x   e3 xcos5 xdx 50  32 I    e3 xcos5 xdx (1) 50 t u  e3 x  du  3e3 xdx ; dv  cos5xdx  v   cos5xdx  sin 5x    3x 3x 32 V y I   e cos5 xdx  e sin x   e sin xdx  e  I (2) 50 5 0 3x  32  Thay (2) vào (1) ta có I    e  I  55  3 34 3 3  3e  I   e2 I   e2  25 25 34 34 34 Bài I = x.e x 0 (1  x)2 dx 1 1  ex x.e x x.e x  e x  e x ex  ex ex    dx dx dx dx  dx I = =  2      x  x  x  x  x  x (1 ) (1 ) (1 ) (1 )  0 0 0 1 e x  u e x dx  du    t  1  (1  x)2 dx  dv v   1 x  x e dx (1  x) Tính J=  1 x e ex x 1  dx e  e dx  J=  x 0  x 1 x I= 1  e  e ex ex dx dx      0  x  0  x    1  (1  sin x)e x 0  cosx dx Bài I =    x (1  sin x)e e e sin x I=  dx   dx   dx  cosx  cosx  cosx 0 Hocmai.vn – Ngôi tr x x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân  ex 0  cosxdx Tính J = e x  u e x dx  du   t  dx  x dx  dv   1  cosx 2cos x v  tan     x x x 2.sin cos  x x dx  e  e x 2 dx J = e x tan   e x tan dx  e   e x  x x 2 0 cos 2cos 0 2    sin   e x sin x dx  cos x = e2       e sin x e x sin x V yI= e  dx   dx  e   cos cos x x 0 x 1  sin x u  t 1  cosx e x dx  dv  Cách khác: D NG 2:  P  x sin xdx;  P  x cosxdx  Bài I   x cos xdx u  x2  du  xdx t:  dv  cos xdx  v  sin x   V y : I   x 2.cos xdxx sin x   22 00   x sin xdx   Ta tính tích phân  x sin xdx 2  x sin xdx 1   V y: 2 u  x  du  dx t:  dv  sin xdx  v   cos x      x sin xdx   x cos x 02   cos xdx   x cos x 02  sin 02  0 Th vào (1) ta đ c : I1   x.e x dx   8 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)  Nguyên hàm – tích phân u  x  du  dx  t:  dv  dx  v  tan x  cos x  x I dx cos x    x    tan xdx        ln tan ln cos dx x x x  0 cos x 4 0  V y : I2    Bài I   xcos xdx   du  dx  14 x u  x  t    I1  sin x   sin xdx v  cos xdx v  sin x 20        1   cos x   8  Bài I   x sin xdx    u  x  du  dx  1 1  x xdx xc c x sin os2x os2xdx= sin     t:     dv  sin xdx  v   cos2x 2 4 0  2  x cosxdx Bài I  2 2  x cosxdx   0   2 2   x sin xdx   xd  cosx    x cos x   cosxdx  x d  sinx   x s inx 0 0   2 2 2  2    2  s inx    2  0  4 0  2 Bài I   xcos x dx t : t  x  dt  V y: x dx  2tdt  dx.x   t  0; x  2   2  2  t    2  2 sin  J  xcos x dx   2t 2costdt=  2t d  sin t   2t sin t   4t sin tdt   J (1) 2 0 0 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân     2          Tính : J   4t sin tdt  4   td  cost    4 t cos t   costdt   4  sin t   4     0          2 V y thay vào (1) ta có :  xcos x dx  D NG 3: 2 4  P  x lnxdx e Bài I   ln xdx 1  u  ln x  du  dx t:  x  dv  dx  v  x e e V y : I   ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  e e e e Bài I   x2 ln xdx 2ln xdx x3 2 t u  ln x  du  ; dv  x dx  v   x dx  x e e 2e 1 V y I  x3 ln x   ln x.x2 dx  e3   x2 ln xdx (1) 31 3 31 t u  ln x  du  dx x3 ; dv  x2 dx  v   x2 dx  x e e 1e V y  x ln xdx  x ln x   x dx 31 1 x3 e 3  e3   e  e   e  (2) 3 3 9 9 Thay (2), (3) vào (1) ta có: 22 1 I  e3   e3    e3  e   e   (5e3  2) 39 9 27 27 27 27 27 e Bài x ln xdx Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân ln x  e u  ln x  du  x dx e e4 t:   I  x ln x   x ln xdx   J (1) 21 4  dv  x3dx  v  x4  dx     u x du ' ln '  e 1e e4 1 e e4 1 3e4  x t:   J  x4 ln x   x3dx   x4    e  1  41 4 4 16 16  dv '  x3dx  v '  x4  Thay k t qu vào (1) ta có : I  e4  3e4   e4      16  32 e Bài ln x dx x I  e dx  e e e u  ln x  du  x 1 1  t:   I   ln x    dx     e     x x e e  x  dv  dx  v   1 e e  x x e Bài I   cos  ln x  dx 1  u  cosln x  du   sin ln xdx t:  x  dv  dx  v  x e e   V y : I   cosln xdx  x cosln x1   sin ln xdx   e   J e 1  u  sin ln x  du  cosln xdx t:  x  dv  dx  v  x e e V y : I   sin ln xdx  x sin ln x   cosln xdx   I e Th vào (1) ta đ c : I  e  1  I   e  Bài I   x.ln  x2  x  1 dx 1 x2  x  1 31 1 dx 0 x.ln  x  x  1 dx  x ln  x  x  1  0 x2  x  dx  ln   x  x  0 x2  x  1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân dx dx  ;J   2 x  x 1  1  3   x   2    3  ln  J 4  33  3     V y : I  ln   tan t , t   ;   J  dt   2  12 6 3 t : x e 1 I Bài  e 1 I  x.ln( x  1) dx x 1 e 1 =  e 1 x.ln( x  1) dx  x 1 e 1 ln( x  1) dx     x   1.ln( x  1) dx  e1 ln( x  1)  ln( x  1)  dx   x 1 0 x   ln( x  1) dx  I1  I x 1  dx  du ln( x  1)  u  t    x 1 dx  dv  v  x Tính I1 : I1 = x.ln(x+1) e 1 e 1   = e   [x  ln( x  1)] e 1 x dx  e   x 1  ln( x  1) d ln( x  1)  V y I = I1-I2= 1-  x  1 dx  e   x 1 e 1    1  x   dx 1 e 1 Tính I2 : I2 = e 1 ln ( x  1) e  1  2 1  2 x2  I  ln xdx x e Bài e e ln xdx (1) x Ta có I   x ln xdx   e Ta th y e ln xdx e  1 x 1 ln xd (ln x)  ln x  (2) t u  ln x  du  Hocmai.vn – Ngôi tr dx x2 ; dv  xdx  v   xdx  x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n) Nguyên hàm – tích phân e e 1e 1 e 1 1 Do v y  x ln xdx  x ln x   xdx  e2  x2  e2  e2   e2  21 2 4 4 Thay vào (1) ta có I  e2   I  Bài x cos x 1  sin x dx    14   dx x dx      0 1  sin x2    sin x   sin x x cos x    16  14 1 dx   20 2 cos  x-   4     1     tan  x        1   16 2 4 16 2 16  Giáo viên: Nguy n Bá Tu n Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 10 -