BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN-TIN HOC NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Định lí Farkas mở rộng cho hệ có chứa ràng buộc lồi đảo ứng dụng Mã số: CS.2005.23.77 Người thực hiện: PGS.TS Nguyễn Định Tp Hồ Chí Minh, 2/2006 TĨM T•T K˜T QUƒ NGHIÊN CÙU CÕA Đ— TÀI Đành lí Farkas mð rëng cho hằ cú chựa rng buởc lỗi Êo v ựng dửng Mã sè: CS.2005.23.77 BÁO CÁO TÊNG QUAN Bê đ· Farkas đóng mët vai trị b£n lí thuy¸t tèi ưu tuy¸n tính tèi ưu phi tuy¸n Trong nhúng thªp niên vøa qua, Bê đ· Farkas đưđc mð rëng phát triºn cho h» tuy¸n tớnh (vụ hÔn chiÃu), cỏc hằ phi tuyán cng nh cỏc hằ a tr, dợi cỏc dÔng khỏc Cựng vỵi mð rëng áp dưng cõa vo lớ thuyát quy hoÔch lỗi nỷa vụ hÔn, quy hoach lỗi tờng quỏt, cỏc bi toỏn quy hoÔch lỗi nûa đành (convex semi-definite programs (SDP)), toán tèi ưu đa mưc tiêu K¸t qu£ nghiên cùu cõa đ· tài đưđc vi¸t thành báo ú cú bi ng TÔp Khoa hồc cừa Trớng Ôi hồc S phÔm Tp Hỗ Chớ Minh v bi s gỷi ng trờn mởt tÔp tốn qc t¸ Các k¸t qu£ s³ đưđc trình bày chương sau toàn văn báo s³ đưđc đính kèm ð ph¦n sau tªp báo cáo nghi»m thu Chương trình bày tờng quan sỹ phỏt trin cừa cỏc dÔng m rởng cừa Bờ à Farkas cỏc thêp niờn gƯn õy, bao gỗm cỏc dÔng khụng gian hỳu hÔn chiÃu v khụng gian vụ hÔn chiÃu; cÊ cỏc dÔng tiằm cên v khụng tiằm cên mợi ủc thiát lêp nhúng năm cuèi cõa th¸ k¿ 20 nhúng năm Ưu cừa thá k 21, cựng vợi nhỳng ỏp dửng a dÔng cừa cỏc dÔng m rởng ny lý thuyát tối u Chng l cỏc kát quÊ mợi cõa đ· tài, mð rëng Bê đ· Farkas cho hằ cú chựa cỏc bĐt ng thực lỗi v cỏc b§t đ¯ng thùc DC Chương 3, trình bày áp dửng cừa cỏc dÔng m rởng cừa Bờ à Farkas vo cỏc bi toỏn quy hoÔch DC vợi rng buởc lỗi theo nún v rng buởc têp Chng I CÁC K˜T QUƒ D„NG FARKAS MÐ RËNG VÀ ÁP DÖNG VÀO LÍ THUY˜T CÁC BÀI TỐN TÈI ƯU LÇI Giỵi thi»u Bê đ· Farkas cê điºn đưđc phát biºu sau: n Bê đ· 1.1 Gi£ sû a1, a2 , , am, c Khi m»nh đ· sau tương đương: T T ∈ R , a x ,i , , m (x) 0, =1 (i) i ≥ =⇒ c m ≥ (ii) (∃λi ≥ 0, i = 1, 2, , m) c = P a i=1 i i DÔng cờ in v n giÊn đưđc áp dưng mët cách hi»u qu£ đº nghiờn cựu nhiÃu lợp cỏc bi toỏn tối u tuyán tính phi tuy¸n Đi·u đëng lüc cỏc nh toỏn hồc tỡm kiám cỏc dÔng tờng quỏt hn nhơm m rụng phÔm vi ỏp dửng cừa nú, chng hÔn vo cỏc bi toỏn iÃu khin tối u, cỏc bi toỏn quy hoÔch vụ hÔn hoc ỏp dưng vào lỵp tốn nûa xác đành phát triºn có r§t nhi·u ùng dưng nhúng năm g¦n Đº có thº trình bày mð rởng cừa Bờ à Farkas, trợc hát ta nờu mởt số khỏi niằm c bÊn cừa giÊi tớch lỗi mà s³ sû dưng thưíng xun chương chương sau Cho f : X → R ∪ {+∞} Mi·n húu hi»u cõa f tªp dom f = {x ∈ X | f(x) < +∞} Hàm f đưđc gåi chân n¸u domf 6= ∅ Gi£ sû f : X → R ∪ {+∞} l mởt hm lỗi chõn chớnh v nỷa liờn tửc dợi (l.s.c.) Hm ối ngău cừa f, f : X → R ∪ {+∞}, đưñc đành nghĩa bði f∗(v) = sup{v(x) − f(x) | x ∈ dom f} Epigraph cõa f, kí hi»u epif, tªp epi f = {(x, r) ∈ X × R | x ∈ dom f, f(x) ≤ r} Vỵi ε ≥ 0, ε-dưỵi vi phõn cừa f tÔi a domf ủc nh ngha l têp lỗi úng yáu f(a) := {v X | f(x) − f(a) ≥ v(x − a) − ε, ∀x ∈ dom f} Đº ý r¬ng ∂εf(a) 6= ∅ n¸u > Khi = ta quay trð lÔi khỏi niằm dợi vi phõn cừa hm f tÔi a theo ngha thụng thớng cừa giÊi tớch lỗi Trong trưíng hđp ta s³ kí hi»u ∂f(a) (thay vỡ 0f(a)) Dợi vi phõn cừa mởt hm lỗi luụn l têp lỗi, compact yáu (cú th l têp rộng) 2 Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rởng Sü thành cơng cõa vi»c vªn dưng Bê đ· Farkas tốn tèi ưu tuy¸n tính sü húu ích cõa vi»c nghiên cùu bi toỏn tối u phi tuyán ă dăn án nhu cƯu m rởng bờ à ny cho cỏc hằ tuyán tớnh vụ hÔn chiÃu, cỏc hằ phi tuyán, cỏc hằ liờn quan án cỏc ỏnh xÔ a tr, Chỳng ta s à cêp õy mởt số dÔng m rëng tiêu biºu Tuy nhiên, ch¿ có mët sè k¸t qu£ quan tråmg mỵi s³ đưđc trình bày chi tiát ã Bờ à Farkas cho hằ tuyán tớnh vụ hÔn chiÃu ã Bờ à Farkas cho hằ khụng trn ã Cỏc kát qừa m rởng dÔng Farkas cho cỏc hằ lỗi theo nún Trong mửc ny chỳng ta s điºm qua mët sè k¸t qõa mð rëng Bê đ· Farkas đưđc cơng bè nhúng năm vøa qua, chõ y¸u cõa tác gi£ V Jeyakumar, G.M Lee, M.A Goberna, M.A Lopez v Nguyạn nh (xem chi tiát [1]) Cho X, Z hai khơng gian đành chu©n, C l mởt têp lỗi úng cừa X, S l mởt nún lỗi úng Z cũn g : X Z l mởt ỏnh xÔ S-lỗi, liờn tửc v f : X R l mởt hm lỗi lờn tửc nh lớ 2.1 (Bờ à Farkas dÔng tiằm cên) Gi£ sû h» x ∈ C, g(x) ∈ −S tương thích Khi vỵi måi α ∈ R,các phát biºu sau tương đương: (i) inf{f(x) : g(x) ∈ −S, x ∈ C} ≥ α, (ii) (0, −α) ∈ epif∗ + cl (∪λ∈S+epi(λg)∗ + epi(δC∗)) , + (iii) (∃(λn)n ⊂ S ) (∀x ∈ C) f(x) + lim inf ng(x) n DÔng tiằm cên ny cừa Bờ à Farkas ó ủc sỷ dửng thiát lêp cỏc đành lí v· điºm yên ngüa, đành lí đèi ngău mÔnh cho bi toỏn tối u lỗi tờng quỏt vợi rng buởc lỗi theo nún dÔng g(x) S, cho toán nûa xác đành (SDP) Đành nghĩa 2.1 H» x ∈ C, g(x) ∈ −S đưñc gồi l thọa iÃu kiằn chớnh quy dÔng nún úng (CCCQ) náu têp hủp [ epi(g) + epi C ∗ đóng y¸u + λ∈S Ngưíi ta chùng minh ủc rơng (xem [JDL]) iÃu kiằn (CCCQ) yáu hn cỏc iÃu kiằn dÔng m rởng cừa cỏc iÃu kiằn dÔng Slater m rởng (cng thớng gồi l cỏc iÃu ki»n điºm trong, thưíng đưđc sû dưng toỏn tối u lỗi) nh lớ 2.2 (Bờ à Farkas dÔng khụng tiằm cên) GiÊ sỷ têp C ∩ g (−S) không réng α ∈ R N¸u đi·u ki»n (CCCQ) thäa mãn thi phát biºu sau tương đương: (i) g(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f(x) ≥ α, (ii) (0, −α) ∈ epi f∗ + ∪λ∈S+epi (λg)∗ + epi δC∗, + (iii) (∃λ ∈ S )(∀x ∈ C) f(x) + λg(x) ≥ α • Các mð rëng cõa Bê đ· Farkas cho h» lỗi vụ hÔn Trong mửc ny chỳng ta chừ yáu nghiờn cựu hằ (gỗm mởt số vụ hÔn cỏc bĐt ng thực lỗi v mởt rng buởc têp) sau := {ft(x) ≤ 0, t ∈ T ; x ∈ C}, T mët tªp ch¿ sè tùy ý (cú th vụ hÔn), C X l mởt têp lỗi úng, X l mởt khụng gian vect tụpụ lỗi a phng Hausdorff v f t : X → R ∪ {+∞} vỵi måi t ∈ T GiÊ sỷ rơng ft l cỏc hm lỗi chõn chớnh, nûa liên tưc dưỵi (l.s.c.), måi t ∈ T Gåi [ ∗ K := cone{ ∗ epift } + epiδC t∈T Đành nghĩa 2.2 Chúng ta nói r¬ng hằ is Farkas-Minkowski (ng-n gồn FM) náu têp K đóng y¸u∗ Liên quan đ¸n hàm f h» σ, ta s³ sû döng đi·u ki»n sau: (CC) : ∗ ∗ The set epif + clK is weak -closed Bõy giớ chỳng ta nờu Bờ à Farkas dÔng m rởng v khụng tiằm cên nh lớ 2.3 Náu σ FM, (CC) thäa mãn α ∈ R, m»nh đ· sau tương đương (i) f (x) ≥ α h» qu£ cõa σ; (ii) (0, ) epif + K; ( T) (iii) tỗn tÔi λ ∈ R + cho X λtft(x) ≥ α, ∀x ∈ C f(x) + t∈T Mët sè áp dửng vo bi toỏn tối u Bi toỏn lỗi vợi rng buởc lỗi theo nún Xột bi toỏn tối u lỗi tờng quỏt (P) Minimize f(x) vợi rng buởc x ∈ C, −g(x) ∈ S, X, Y khơng gian đành chu©n thüc, f : X → R l mởt hm lỗi, g : X l mởt ỏnh xÔ S-lỗi, liờn tửc vợi S l mởt nún lỗi úng Y (khụng nhĐt thiát cú phƯn khỏc rộng) v C l mởt têp lỗi úng X −1 Đành lí 3.1 (Đi·u ki»n tèi ưu) [JDL] Xét toán (P) cho a ∈ C ∩ g (−S) Gi£ sû r¬ng đi·u ki»n (CCCQ) thäa mãn Khi a mët nghi»m cõa (P) náu v + ch náu tỗn tÔi S cho ∈ ∂f(a) + ∂(λg)(a) + NC (a) λg(a) = 0, NC (a) nón phỏp tuyán vợi têp C tÔi a nh lớ 3.2 (Đi·u ki»n tèi ưu theo dãy I) Xét toán (P) Gi£ sû r¬ng a ∈ C ∩ −1 g (−S) Khi đi·u ki»n sau tương đương: (i) f(a) = inf{f(x) : x ∈ C, −g(x) ∈ S} (a ngi»m cõa (P)), + (ii) (∃ u ∈ ∂f(a) )( {λn} ⊂ S )( { n},{γn} ⊂ IR+) ( {vn}, {wn} ⊂ X ) cho ∈ ∂ n (λng)(a), wn ∈ ∂γn δC (a), u + + wn →∗ 0, n → 0, γn → λng(a) → n → ∞ Đành lí 3.3 (Minimax Lagrange theo dãy) Đèi vỵi Bi toỏn (P), giÊ sỷ rơng têp cỏc im + cho chĐp nhên ủc l khụng rộng Khi ú tỗn tÔi mởt dóy ( n) S inf sup lim inf L(x, λn) = x∈C (λn)⊂S+ n→∞ sup inf lim inf L(x, λn) (λn)⊂S+ x∈C n→∞ = inf lim inf L(x, λn) = inf(P ) ¯ x∈C n→∞ Bi toỏn lỗi vụ hÔn Xột bi toỏn lỗi vụ hÔn (PI) Minimize f(x) vợi rng buởc ft(x) 0, ∀t ∈ T, x ∈ C, X mởt khụng gian vect tụpụ lỗi a phng Hausdorff, C X l mởt têp lỗi úng v f, ft : X R {+} l cỏc hm lỗi chân chính, l.s.c., måi t ∈ T Gåi A := {x ∈ X | ft(x) ≤ 0, ∀t ∈ T, x ∈ C} Đành lí 3.4 [DGLS] (Đi·u ki»n tối u) ối vợi bi toỏn (PI), giÊ sỷ rơng đi·u ki»n (CC) thäa mãn, a ∈ A N¸u thêm σ FM a mët nghi»m cõa (PI) náu v + ch náu tỗn tÔi (t)t cho X ∈ ∂f(a) + λt∂ft(a) + NC (a), λtft(a) = 0, t ∈ T (1) t∈T Sû dưng Bê đ· Farkas mð rëng thi¸t lêp ủc cỏc nh lớ ối ngău mÔnh, cỏc iÃu ki»n điºm yên ngüa cho toán (P1) Chương II BÊ Đ— FARKAS CHO H› B‡T Đ¯NG THÙC GÇM CÁC HÀM LÇI VÀ HÀM DC Gi£ sû Z mët không gian Banach, X mët không gian Banach phÊn xÔ, f, g : X R {+} l cỏc hm lsc, lỗi, chõn chớnh, v h : X Z l ỏnh xÔ S-lỗi liờn tửc ú S l mởt nún lỗi úng trongZ Trong suèt báo ta gi£ sû C −1 ∩ h (S) domg HÔn chá và tớnh phÊn xÔ cõa khơng gian X ch¿ đº tránh vi»c sû dưng lợi (net) Cỏc kát quÊ bi ny văn cũn không gian vectơ tôpô têng quát Gåi K l nún lỗi xỏc nh bi K := S+epi(h) + epiδC∗ Chúng ta s³ sû döng đi·u ki»n sau đây, liên quan đ¸n h» h(x) ∈ −S, x ∈ C v hm lsc, lỗi, chõn chớnh f: (CC1) epif + clK đóng y¸u∗ (CC2) epif∗ + K úng yáu ý rơng iÃu kiằn (CC1) s ủc thoÊ náu f liờn tửc tÔi mởt im no −1 C ∩ h (−S) Các k¸t qu£ chương s³ đưđc nêu lên sau nh lớ (Bờ à Farkas dÔng tiằm cên) Cho α ∈ R N¸u đi·u ki»n (CC1) tho£ mãn m»nh đ· sau tương đương (i) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f(x) − g(x) ≥ α, (ii) (0, −α) + epi g∗ ⊂ epi f∗ + clK, ∗ ∗ + (iii) (∀x ∈ domg )(∃(λn)n ⊂ S )(∀x ∈ C) f(x) + lim inf λnh(x) ≥ (x∗, x) − g∗(x∗) + α, n→∞ + (iv) (∀ > 0) (∀x ∈ C ∩ domg) (∃(λn)n ⊂ S ) f(x) + lim inf λnh(x) − g(x) ≥ α − n nh lớ (Bờ à Farkas dÔng khụng tiằm cên) Cho R Náu iÃu kiằn (CC2) tho£ mãn m»nh đ· sau tương đương (i) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f(x) − g(x) ≥ α, (ii) (0, −α) + epi g∗ ⊂ epi f∗ + K, (iii) (∀x∗ ∈ domg∗)(∃λ ∈ S )(∀x ∈ C) + f(x) + λh(x) ≥ (x∗, x) − g∗(x∗) + α + (iv) (∀ > 0) (∀x ∈ C ∩ domg) (∃λ ∈ S ) f(x) + λh(x) − g(x) ≥ α − Đº ý rơng trớng hủp g kát quÊ trờn suy bián thnh cỏc kát quÊ cho cac hằ lỗi vứa ủc thiát lêp mợi õy (Chng I) Hằ qu£ Gi£ sû C ∩ h (−S) khác réng v R Náu f liờn tửc tÔi mởt điºm −1 C ∩ h (−S) m»nh đ· sau tương đương (i’) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f(x) ≥ α, (ii’) (0, −α) ∈ epi f∗ + cl (∪λ∈S+epi (λh)∗ + epi δC∗), (iii’) (∃(λn)n ⊂ S+)(∀x ∈ C) f(x) + lim inf λh(x) ≥ α n→∞ −1 H» qu£ Gi£ sû C ∩ h (−S) khác réng α ∈ R Náu f liờn tửc tÔi mởt im no ú ∗ C ∩ h (−S) đi·u ki»n K đóng y¸u m»nh đ· sau tương đương: (i”) h(x) ∈ −S, x ∈ C =⇒ f(x) ≥ α, (ii”) (0, −α) ∈ epi f∗ + ∪λ∈S+epi (λh)∗ + epi + δC∗, (iii”) (∃λ ∈ S )(∀x ∈ C) f(x) + λh(x) ≥ α K˜T LUŠN Đ· tài nêu lên mët bùc tranh v· sü phát triºn cõa Bê đ· Farkas vài thªp niên qua Qua nêu lên đưđc t¦m quan trång cõa kát quÊ dÔng ny lớ thuyát tối u hiằn Ôi Thụng qua viằc phỏt trin, m rởng cừa kát qu£ quan trång này, đi·u ki»n quy (mà nhớ cú nú cỏc iÃu kiằn cƯn tối u dÔng KarushKuhn-Tucker mợi cú th ủc thiát lêp) cng ủc lm y¸u mët cách đáng kº Đ· tài lƯn Ưu tiờn à xuĐt cỏc dÔng m rởng cừa Bê đ· Farkas cho h» có chùa ràng buởc dÔng DC Cỏc kát quÊ ny cú giỏ tr mởt cỏch ởc lêp Nú cú th dựng thiát lªp đ°c trưng cho bao hàm thùc cõa mởt têp lỗi chựa mởt têp DC Cỏc kát quÊ ny m rởng cỏc kát quÊ mợi cụng bố gƯn õy cừa chừ nhiằm à ti vợi cỏc ỗng nghi»p V jeyakumar, M.A Boberna, G.M Lee (2005, 2006) Vỵi nhỳng kát quÊ dÔng Farkas m rởng trờn, à ti cng à xuĐt mởt cỏch tiáp cên mợi ối vợi lợp cỏc bi toỏn quy hoÔch DC, lợp bi tốn khó mà cho tỵi hi»n nay, theo sü hiºu bi¸t cõa chúng tơi, k¸t qu£ nghiên cùu đành tớnh ang cũn khỏ tha thợt Kát quÊ Ôt ủc cõa đ· tài có thº xem nhúng khði đ¦u cho mởt cỏch tiáp cên nghiờn cựu cỏc bi toỏn quy hoÔch DC RĐt nhiÃu iÃu cƯn phÊi ủc tiáp tửc nghiờn cựu theo hợng ny, chng hÔn, cỏc kát quÊ và ối ngău, ờn nh vợi nhiạu, cừa lợp toỏn ny Ti liằu [1] Nguyạn nh, Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rởng v ỏp dửng vo lý thuyát cỏc bi toỏn tối u lỗi, TÔp khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp Hỗ Chớ Minh - Khoa håc tü nhiên, 6(40), 2005, - 25 [2] Nguyạn nh v TrƯn Thỏi An Ngha, Bờ à Farkas cho cỏc hằ bĐt ng thực gỗm cỏc hm lỗi v hm DC, TÔp khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp Hỗ Chớ Minh - Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, 41 - 52 [3] N Dinh, Guy Vallet, and T.T.A Nghia, A new approach to DC-programs with cone convex constraints (bÊn thÊo, 2006) Tp Hỗ Chớ Minh, ngy 26 thàng 2, năm 2006 Chõ nhi»m đ· tài CS.2005.23.77 PGS.TS Nguy¹n Đành PH†N PHƯ LƯC CÁC CƠNG TRÌNH Thüc hi»n khn khê cõa đ· tài: CS.2005.23.77 [1 ] Nguyạn nh, Cỏc kát quÊ dÔng Farkas m rëng áp dưng vào lý thuy¸t tốn tối u lỗi, TÔp khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp Hỗ Chớ Minh - Khoa hồc tỹ nhiờn, 6(40), 2005, - 25 [2 ] Nguy¹n Đành Tr¦n Thái An Nghĩa, Bê đ· Farkas cho h» bĐt ng thực gỗm cỏc hm lỗi v hm DC, TÔp khoa hồc Ôi hồc S phÔm Tp Hỗ Chí Minh - Khoa håc tü nhiên, 6(40), 2005, 41 - 52 [3 ] N Dinh, Guy Vallet, and T.T.A Nghia, A new approach to DC-programs with cone convex constraints (b£n th£o, 2006)