Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : T h p – Xác su t NH TH C NEWTON ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG 17    x3  , x  Bài Tìm s h ng không ch a x khai tri n c a bi u th c sau:   x  Gi i 17  k 17 17 k 12 17 17     34  k  k     x    C17  x   x    C17  x  Ta có:  k 0       k 0  x  17 34 S h ng không ch a x th a mãn k 0k 8 12 k 34  k  ,  k  17  V y s h ng c n tìm c a khai tri n C178 n 28   Bài Trong khai tri n nh th c  x x  x15    Hãy tìm s h ng không ph thu c vào x , bi t r ng Cnn  Cnn1  Cnn2  79 Gi i: Xác đ nh n , ta có: Cnn  Cnn1  Cnn2  79   n  12  k k 12 28 12        28  Ta có:  x x  x 15    C12k  x   x 15  k 0       S h ng không ph thu c x  n(n  1)  79  n  12 n  13 (lo i) 12 48   C12k x15 k 112 k 0 48 112 k   k  15 V y s h ng c n tìm là: C127  792 40   Bài Tìm h s c a x31 khai tri n c a f ( x)   x   x   Gi i: 40 40     Ta có  x     C40k x k   x   x  k 0 40  k 40 k   C40 x 3k 80 k 0 k v i k th a mãn u ki n: 3k  80  31  k  37 H s c a x31 C40 37 V y h s c a x31 C40  C40  40.39.38  40.13.19  9880 1.2.3   Bài ( A – 2006) Tìm h s c a s h ng ch a x khai tri n nh th c Newton c a   x7  x  n 20 Bi t r ng: C2n1  C2 n1   C2 n1   n 26 Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : T h p – Xác su t Gi i: T gi thi t suy ra: C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  220 (1) Vì C2kn1  C22nn11k , k, ≤ k ≤ 2n+1 nên: C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  (C20n1  C21n1  C22n1   C22nn11 ) T khai tri n nh th c Newton c a (1+1)2n+1 suy ra: C20n1  C21n1  C22n1   C22nn11  (1  1)2 n1  22 n1 T (1); (2); (3) suy ra: 22n = 220  n = 10 (2) (3) 10 10 10   Ta có :   x7    C10k ( x4 )10k ( x7 )k   C10k x11k 40 x  k 0 k 0 26 k H s c a x C10 v i k th a mãn : 11k – 40 = 26  k = V y h s c a x26 C106  210 Bài Khai tri n bi u th c (1  x) n ta đ c đa th c có d ng: a0  a1 x  a x2   a n xn Tìm h s c a x5 , bi t a0  a1  a  71 Gi i: S h ng th k  khai tri n (1  x)n là: Tk 1 = Cnk (2)k xk T ta có: a0  a1  a  71  Cn0  2Cn1  4Cn2  71 n  N , n  n  N , n      n=7 n(n  1)  n  2n   1  2n   71 V i n = 7, ta có h s c a x5 khai tri n (1 – 2x)n : a5  C75 (2)5  672 n 1  Bài Tìm s h ng không ch a x khai tri n nh th c  x2   x   Bi t r ng : Cn  Cn  13n (n s t nhiên l n h n 2, x s th c khác 0) Gi i  n  10  n  7( L)  k 10 k 3 k S h ng t ng quát c a khai tri n nh th c là: Tk 1  C10 ( x ) ( x )  C10k x205k Ta có: Cn1  Cn3  13n  n  n(n  1)(n  2)  13n  n2 – 3n – 70 =  Tk 1 không ch a x  20 – 5k =  k = V y s h ng không ch a x là: T5  C104  210 Bài Tìm h s không ch a x khai tri n khai tri n nh th c Niu – t n: n 1 n n  2  n n 1  2  n 1  2  n  2  x    Cn  x   Cn  x      Cn  x     Cn   ( n s nguyên d x   x  x  x Bi t r ng khai tri n t ng h s c a ba s h ng đ u b ng 161 Gi i Ta có h s c a s h ng th k khai tri n là: Cnk 1.(2)k 1 Suy h s c a s h ng đ u l n l Hocmai – Ngôi tr ng ) t là: Cn0 ; 2Cn1 (2)2 Cn2 ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : T h p – Xác su t Do t ng h s ba s h ng đ u b ng 161 nên ta có: Cn0  2Cn1  (2)2 Cn2  161   2n  n(n  1)  161  n2  2n  80   n  10 ho c n  8 (lo i) 40 5 k 10 10   2    10  k  k k k     x C x  C  x ( 2) V i n  10 , ta có :  x2     10       10 x  x x  k 0 k 0   40  5k Khi h s không ch a x khai tri n th a mãn: 0 k 8 V y h s không ch a x khai tri n là: C10 (2)8  11520 10 n k Bài Tìm s h ng h u t khai tri n Newton c a  243  100 Gi i: Ta có  243  100  k 100 100 k     C100   k 0   k k 100   k  3    C100 (1) k 250.2   k 0 k 0  k  100 k  ;  k  100 0  4n  100 0  n  25     k  4n   Các s h ng h u t th a mãn:  k n  n     n  Suy n 0;1;2;3; ;24;25 , s có 26 giá tr c a k t Bài Tìm k ng ng v i 26 s h ng h u t k {0; 1; 2; …; 2005} cho C2005 đ t giá tr l n nh t Gi i: k k 1  C  C2005 k l n nh t   2005 (k N) C2005 k k 1 C C   2005  2005 2005! 2005!   k !(2005  k )!  (k  1)!(2004  k )! k   2005  k     2005! 2005! 2006  k  k     k !(2005  k )! (k  1)!(2006  k )! k  1002    1002 ≤ k 1003, k N k  1003  k = 1002 ho c k = 1003 V y k  1002 ho c k  1003 giá tr c n tìm Bài 10 (B – 2006) Cho t p A g m n ph n t (n ≥ 4) Bi t r ng s t p g m ph n t c a A b ng 20 l n s t p g m ph n t c a A Tìm k {1; 2; ; n} cho s t p g m k ph n t c a A l n nh t Gi i:  S t p k ph n t c a t p h p A b ng Cnk T gi thi t suy ra: Cn4  20Cn2  n2  5n  234   n = 18 (vì n ≥ 4)   C18k 1 18  k >  k < 9, nên: C181 < C182  C189  C189 < C1810  C1818 Do k  C18 k 1 V y s t p g m k ph n t c a A l n nh t ch k = Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : T h p – Xác su t 15 1  Bài 11 Tìm h s l n nh t c a đa th c khai tri n nh th c Newton c a:   x  3  Gi i: 15 k 15 k 15 1  1 Ta có   x    C15k   3   3 k 0 k 15 2  k  x    C15 15 xk   k 0 G i a k h s c a xk khai tri n : a k  15 C15k 2k Gi s a k h s l n nh t, : 15!  2.15! 2       C C 2    k k k k !.(15 )! ( 1)!.(16 )! a k  a k 1    k 16  k  k k    k 1 k 1 15! 2.15!  a k  a k 1    C15  C15    15  k k   k !.(15  k)! (k  1)!.(14  k)! k 15 k k 1 15 k 1  32  2k  k 29 32 k  ,k th pv i  , suy k    k 3 k 1;14   k   30  2k  C159 29 315 V y h s l n nh t c a đa th c a9  1 1     2!.2015! 4!.2013! 2014!.3! 2016! Gi i: 2017! 2017! 2017! 2017! Ta có 2017!.S      2!.2015! 4!.2013! 2014!.3! 2016! 2014 2016  C2017  C2017   C2017  C2017 Bài 12 Tính t ng S  2014 2016 Suy 2017!.S   C2017  C2017  C2017   C2017  C2017 2016 2016 2017 2017 Xét nh th c: (1  x)2017  C2017  C2017 x  C2017 x2  C2017 x3   C2017 x  C2017 x Ch n x  1 , ta đ c: 2016 2017 2016 2017 (1)  C2017  C2017  C2017  C2017   C2017  C2017  C2017  C2017   C2017  C2017  C2017   C2017 Ch n x  , ta đ 2016 2017 c: C2017  C2017  C2017  C2017   C2017  C2017  22017 (2) T (1) (2), suy 2017!.S   C 2017 S C 2017 C 2017   C 2014 2017 C 2016 2017 22017   22016 Khi 22016  2017! Bài 13 Ch ng minh đ ng th c sau: 1) Cn1  2Cn2  3Cn3   (n  1)Cnn1  nCnn  n.2n1 2) 1.2C  2.3.C  3.4.C   (n  1)nC  (n  1)n.2 n n n n n n 2 3) Cn1  22 Cn2  32 Cn3   (n  1)2 Cnn1  n2Cnn  n(n  1).2n2 4) 1 2n1  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n 1 n 1 Gi i: n 1 1) Cn  2Cn  3Cn   (n  1)Cn  nCnn  n.2n1 Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : T h p – Xác su t (n  1)! n! k.n(n  1)!   n  nCnk11 (n  k)!.k ! (n  k)!.k.(k  1)! (n  k)!.(k  1)! k k 1 V y kCn  nCn1 (*) Áp d ng (*) , ta đ c: Ta có kCnk  k VT  1.Cn1  2Cn2  3Cn3   (n  1)Cnn1  nCnn  n.Cn01  nCn11  nCn21   nCnn11  n  Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11   n 1  1 n 1  n.2n1  VP (đpcm) 2) 1.2Cn2  2.3.Cn3  3.4.Cn4   (n  1)nCnn  (n  1)n.2n2 Áp d ng liên ti p (*) , ta đ c: (k  1).kCnk  (k 1)nCnk11  n(k 1)Cnk11  n(n 1)Cnk22 V y (k 1).kCnk  ( n 1) nCnk22 (2*) Áp d ng (2*), ta đ c: 1.2Cn2  2.3.Cn3  3.4.Cn4   (n  1)nCnn  (n  1)n.Cn02  (n  1)n.Cn12  (n  1)n.Cn22   (n  1)n.Cnn23  (n  1)n.Cnn22  (n  1)n  Cn02  Cn12  Cn22   Cnn23  Cnn22   (n  1)n.(1  1)n2  (n 1)n.2n2 (đpcm) 3) Cn1  22 Cn2  32 Cn3   (n  1)2 Cnn1  n2Cnn  n(n  1).2n2 Áp d ng (*) (2*) ta đ c: k 2Cnk  kCnk  k(k  1)Cnk  nCnk11  (n  1)nCnk22 V y k 2Cnk  nCnk11  (n  1)nCnk22 (3*) Áp d ng (3*) ta đ c: Cn1  22 Cn2  32 Cn3   (n  1)2 Cnn1  n2Cnn  n(n  1).2n2  n  Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11   (n  1)n  Cn02  Cn12  Cn22   Cnn23  Cnn22   n(1  1)n1  (n  1)n.(1  1)n2  n.2n1  (n 1)n.2n2  n(n  1).2n2 (đpcm) 1 2n1  Cnn  4) Cn0  Cn1  Cn2   n 1 n 1 n! 1 (n  1)! Cách 1: Ta có   Cnk  kCnk  Cnk11 k 1 k  (n  k)!.k ! n  (n  k)!(k  1)! n  1 V y Cnk11 (4*) Cnk  k 1 n 1 Áp d ng (4*) v i k  0; n , ta đ c: 1 1 Cn0  Cn1  Cn2   Cnn   Cn11  Cn21  Cn31   Cnn11  n 1 n 1 Cn01  Cn11  Cn21  Cn31   Cnn11   2n 1     (đpcm) n 1 n 1 Cách 2: Tham kh o Hocmai – Ngôi tr Bài 20 Bài gi ng s (BÀI CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ) ng chung c a h c trò Vi t !! Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : T ng đài t v n: 1900 69-33 Hocmai.vn - Trang | -