BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LUẬN XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VỚI CÁC HÀM SPLINES LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LUẬN XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VỚI CÁC HÀM SPLINES Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Luận Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “xấp xỉ ổn định số lớp phương trình với hàm splines” ăược hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Luận Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian tuyến tính 1.1.1 Khái niệm không gian tuyến tính 1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian 10 Không gian định chuẩn 12 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 12 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 14 1.3 Không gian Hilbert 14 1.4 Sự ổn định hệ phương trình sai phân 16 1.4.1 Khái niệm mở đầu phương pháp 1.4.2 Sự ổn định toán sai phân .22 1.4.3 Phân tích ổn định Von-Neumann 25 Hàm spline phương pháp kết hợp 2.1 2.2 sai phân 16 29 Spline B-spline 29 2.1.1 Không gian hàm spline B-spline .29 2.1.2 Hàm spline bậc 34 Phương pháp kết hợp (Collocation Method) 35 2.2.1 Định nghĩa 35 2.2.2 2.3 Ví dụ 36 Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình 40 2.3.1 Phương pháp kết hợp với sở B-spline bậc giải phương trình truyềnnhiệt chiều 40 2.3.2 Phương pháp kết hợp với sỏ B-spline bậc giải phương trình Burgers 50 ứng dụng 58 3.1 dụng với phương trình truyền nhiệt chiều .58 ứng 3.2 ứng dụng với phương trình Burgers 69 Kết luận 77 BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên M* Tập số M Tập số thực c Tập số phức tự nhiên khác không C[a Ö] Tập tất hàm số thực liên tục [a, bị Ss( 7ĩ) Tập tất hàm spline đa thức bậc II • II Chuẩn Mở đầu Lí chọn đề tài Trong thực tế, để giải nhiều toán cần phải tính giá trị hàm số điểm để tính giá trị hàm số điểm số hàm gặp nhiều khó khăn Bởi vậy, người ta sử dụng nhiều phương pháp gần để giải vấn đề Hàm spline đa thức đoạn có nhiều ưu điểm tính toán Do vậy, sử dụng tính toán gần Tính xấp xỉ giá trị hàm số điểm phương pháp hàm spline thuận lợi Đặc biệt, nghiên cứu để giải số lớp phương trình hàm splines nhà toán học nước quan tâm Cụ thể, phương trình đạo hàm riêng phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers mô tả dòng nhiệt, dòng chảy chất lỏng khí nghiên cứu giải gần phương pháp kết hợp (Colocation method) với sở hàm spline ([5], [6], [8]) Vậy để giải phương trình đạo hàm riêng tính ổn định hệ sai phân quan trọng nên nghiên cứu luận văn: "Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình với hàm splines" Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ổn định số phương trình sai phân tương ứng với phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng phương trình truyền nhiệt, Burgers - Giải xấp xỉ phương trình Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm hàm spline, tính chất hàm spline để giải gần phương trình truyền nhiệt phương trình Burgers Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các hàm splines, lý thuyết xấp xỉ, tính ổn định hệ sai phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers - Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu lớp phương trình không gian chiều Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Đóng góp luận văn - Trình bày kiến thức để giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng sở hàm splines - Nghiên cứu giải phương trình truyền nhiệt chiều hệ sở spline bậc - Làm rõ giải xấp xỉ phương trình Burgers 58 57 Để giải hệ phương trình (2.59) (2.58 )trước tiên ta phải giải hệ phương trình sau: Chương U{xi,Q) = f{xi),i = ứng dụng < u x {x 0,0) = 0, (2.60) [ U x (x N , 0) = Khử ẩn + I hệ phương trình (2.60) ta hệ phương trìnhứng (2.61) sau: với phương trình truyền nhiệt chiều 3.1 dụng Bỗ ũ = G, (2.61) 1, (3.1) Xét phương trình truyền nhiệt: với B ma trận đường chéo U x x - U ị = 0, < X < 0 0 u(x, 0) = sin(7r:r), Ị với điều kiện đầu: điều kiện biên: ^ 0 (3.2) B = u( 0, t ) = u( 1, t) = 0, t > 0, = 7T 2í}, u x (Q,t) exp{—7T < < ° = ( with(plots a[l] : alpha[l] [> with(LinearAlgebra) : := 6[1] : beta[l] [> with(ArrayTools) : beta[2] := simplify(—alpha[l] • g[2] + d[ 2]) : [> withiyectorCalculus) : • bb[ 1] + b[ 2]) : alpha[2] := simplify(—g[2] h’ > ifNbeta[2] := 80; A : Bbeta[2] := : := h := = 0:=then x ; fi(B : — A)/N ; m := —»• A + r := for1i :from to N /AT := 80 aa[i — 2] • alphafi — 2] \ a[i — 1J h -= ề beta[i — 2] -:= simplify m := —>• g[i\ A + ¿(5 + VectorCalculus : — ' (A))4beta[? — 1] \£2 := - ^ • AỦ : 7/2 := 26 - ^ • At / > M := 10000; At := ¿ 20 t2 b? = 1■+bb[i ^ • At—: 7/1 alphafi] := simplify (6[i] — g[i\ 1]) ::= 26 + ' • Ai : 92 := 66 + 60Tr ^-At:£l / aa[i — 2] • bb[i — 2] /I2 := simplify I dh I : -alphau — II • gh\ 15 91betakl = 66 - 4^ • Ai : £3 \ beta[? — 2J +l if beta[i] = then beta[«] := x\ fi : end do•=-l.£l : 7/3 = —5 ■ £1 + ! ■ 7/1 : 93 Ç ^ 47/1 £4 = -f -£1 + 77I : 7/4 l-^l +-ớl—: N ~ ^ ’ alpha^ “ y \ •=( a [N] 94 •£! + Tjl £5 := g[N +=1]Ì := simplify •^1 + 7/1 : beta[iV — 1] beta[iV] = Hi + Ỡ105 := = — I-^1 + 7/1: L V / £6 = -1 £1 + ^■ := -5 - ei + 17/1 - 1] • bb[N - 1] ~ 4• 7/1 : 7/6 aa[N beta [TV=+15 1] := £1-simplify 7/1 +yd[N + 1] — beta[7V — 1] 06 01 Ç4 >—alpha[iV] for j from•0g[N to M+do 1]^ : ỏ[j] :=[TV array(l TV + 1,1 1) if beta[iV + 1] = then beta + 1] := X] fi : od : 7/5 >z[ 1]u :=:=y[ (rr,1]t): z[2\ —> :=exp(—T T 2• z[ ■ 1] t) :■i :sin(Pi y[ 2] - g[-72] = ' :• x)\ for i from to N + -'(r 7r i) sin(7ra;) « z[i] := simplify [ y [ i ] ^ r. g[i\ • z[i - 1] > f := X sin(Pi • X ) beta[i — 2] f := X ^ sin(7T • x ) 2 [> uend:=do:t Pi • exp(—r • 7T • t) : t \= i —»• i • At : z[N + 1] [> X[7V + 1] := : i :=' i' beta[iV + 1] b :: Vector, d :: Vector, a :: Vector, aa :: > penta := proc (bb :: Vector, rn /rn Vector,!/ :: Vector) local Z; global 7, k, Nj, — TV, alpha, := array (1 TV) : beta := array(l TV + for i from by — 1beta, to g,z,X]Q¿ z[i\ • X[i++1)1] — bb[i\ • X[i + 2] 1) : g := array(l TV + 1) : z— :=alpha[i] array(l TV X [ i ] := simplify beta[i] 61 end : eval(X) : end : > a a : = Vector(N-l) : a : = Vector(N) : d : = Vector(./V + 1) : _ b := Vector(iV + 1) : b b := Vector(7V + 1) : > d[l] := 54 : d [ \ := ^ : d[JV] := ^ : d[AT + 1] := 54 : for i from to N — d [ i \ := 66 : od : > 6[1] := 60 : ¡>[2] := ^ : b [ N ] := : b [ N + 1] := : for i from to N — b [ i \ := 26 : od : >a[l] : = H : 0[JV-1] :=^:a[JV] := 60 : for i from to N — a [ i \ : = 26 : od : > 66[1] := : b b [ N ] := : b b [ N + 1] := : for i from to N — bb[i\ := : od : for i from to N — a a [ i \ := : od : a a [ N — 1] := [> y \ = Vector (TV + 1) : 3-7T • h \ r , /Pi • h , - - - - : y [ 2] := evalf —— + sin(/(m(l))) 40 for p from to N — > y [ 1] := evalf y \ p ] ■ = evalf(/( m ( p — 2))); , \\\ 62 od : y [ N + 1] := evalf ^ ^ : y [ N ] := evalf + sin{ f { m ( N - 1))) [> X := penta(66, b , d , a , aa, y) : [> [> el := X : > for k to iV + 5[0\[k, 1] := el [A;]; od : [> > z := array(l iV + 1,1 M) : X := array(1 7V + 1,1 M) : y := array(l iV + 1,1 M) : for i to N — a a [ i \ := £2; od : r*, 11 £2 , aa[7V — 1] : = - y + —: > for i from to N — d[i] := 92 : od : d[l] := y ■ i2 - J • ) + 62 : d[2] := | • £2 + : _ d[JV] := + | • £2 : d [ N + 1] := y ■ £2 - j • fj2 + 62 : > fe[l] := -5 ■ ( + | ■ 1/2 : 6[2] := \ ■ ( + 7)2 : b [ N ] := • £2 + 772 : b [ N + 1] := : for i from to N — b[i\ := r}2 : od : b b [ l ] := -y + y : b b [ N ] := : b b [ N + 1] := : for i from to N — 66[z] := £2 : 63 od : a[l] := —- • £2 + T ] : a [ N — 1] := - ■ £2 + T/2 : a [ N ] := —5 ■ £2 + for i from to N — a [ i \ := r ] : od : [> H : = array(l iV + 1,1 1) : > beta[l] := d [ 1] : if beta[l] = then beta[l] := x ; d [ 1] := x; fi : m ■■= : alpha[l] := 6[1] : beta[2] := simplify(—alpha[l] • > for n from to M + for n from to M íl[n][JV + 5,1] := — • ổ[n][iV + 1,1] - ■ í[n][JV, 1]-3 -?.«»][*-1,1 Ổ1H[JV + 4,1] := - f ■ ỉ[n][JV + 1,1] + 20 I ■ í[n][JV, 1] + íl[n][l, 1] := y • ÍN[1,1] - • í[n][2,1]_ L JL ’ J 20 -5.í[n][3,l] + ỈÂ^: for j from — to N + ộ := ( x , j ) — ỳ ’ ■ piecewise ( m ( j — 3) < X < m ( j — 2), ( x - m ( j - 3))5, m ( j — 2) < X < m ( j — 1), ( x — m ( j — 3))5 — ( x — m ( j — 2))5, m ( j — 1) < X < ra(j), ( x — m ( j — 3))5 — 6(rr — m ( j — 2))5+ +15(x — m ( j — l))5, m ( j ) < X < m ( j + 1), ( x — m ( j — 3))5 — ( x — m ( j — 2))5+ +15(2; — m ( j — l))5 — 20(2; — m ( j ))5 6867 70 66 69 Bảng 3.2 (3.5), So sánh kết số0.7 vớinghiệm t = 0.5;0.00084 At = 0.0001, N = 0.00081 20, 40, 6, 80 0.00003 Bài m toán có ( j + 1) < X(3.6), < m(3.7) ( j + 2), ( x — mđúng: ( j — 3))5 — 6(2; — m ( j — 2))5+ Bảng 3.3 Sai số với t=0.5; At5 = 0.00001, N = 20,40, 6, 80 X xấp xỉ Nghiệm + 15(2; — m0.8 ( j — Nghiệm l)) — 20(2; —: r + 15(2? — m ( j +đúng l))5 0.00033 0.00030 0.00003 m(j u(x,t) +X2) số6(x — m ( j — 2))5+ +15(2: — < X < m ( j + 3), (2: — m ( j — 3))Sai — eX h=0.0125 h = 0.05 h = h = 0.1667 0.90.025 0.00014 0.00011 0.00003 m ( j — l))5 — 20(2: — m ( j ) ) + 15(x — m ( j + l))5— Ta sử dụng phần mềmhMaple giá trị phép lặp Ta phải lập h=0.0125 = 0.05để htính = 0.025 h= 0.1667 0.1 0.00230 0.00228 —6(2: 0.00226 0.00222 — m ( j + 2))50.35446 ,0.00226 0) : 0.1 0.35725 0.00279 (3.8) í+Vỉ PÍS> trình sau: od : 0.00008 0.00006 0.00004 0.00004 0.00430 0.00429 0.13302 0.00428 0.00428 0.00423 0.2 0.13211 0.00091 [> restart > w :; = Vector( N + 5) : for j to N + 0.2 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 [> ), j: - 3); 0.04958 0.3with{LinearAỉgebra 0.00589 w [ j ] := ệ { 0.3 x0.00589 0.00589 0.00588 0.00582 0.04924 0.00034 0.2 0.1 >odd-Const b-Const := 10.00007 : nu := : : 0.3 := : 0.00007 0.00007 0.00006 0.4F := array(l M 0.00691 0.00692 0.00691 0.00691 0.4 0.01849 0.01835 [> + 1, N + 5) : t_zero := exp( ) : T_p := : Deltat := 0.0001 : h := 0.010.00014 : 0.00684 80.00007 • nu 0.4 0.00008 0.00007 0.00007 0.00726 [> 0.5pl := 0.6 0.00727 0.00727 0.00726 0.00719 0.5 0.00619 0.00684 0.00065 h — • nu • Deltat : ql := • h + • Deltat • nu : > := forh0.5 j2 from to •M0.00007 + do: q2 :=0.00008 p2 + • 1nu Deltat ■ h2 — ■0.00008 nu ■ Deltat : 0.00007 0.6 0.00691 T_p 0.6 0.00692 0.00691 0.00691 0.00684 0.00259 0.00255 0.00004 for j to N + -5 1do > M := 0.6round(— -); 0.00007 0.00007 F [Deltat i , j0.7 ]0.00589 := ỏ l0.00008 [0.00098 ỉ — l][j,0.00007 1] 0.00095 : 0.7 0.00589 0.00589 0.00588 0.00582 0.00003 od : 0.7 M := 10000 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.8 0.00038 0.00035 0.00003 0.8 od : 0.00430 b_Const 0.00429 0.00428 0.00428 0.00423 — a_Const\ > N := round 0.8 0.00007 0.00006 h J 0.00005 0.00005 [> w: 0.9 0.00014 0.00002 0.9G := F ■ 0.00230 0.00288 0.00227 0.00226 0.00223 —» d - C o n s0.00016 t + •h: x_Knot := —>• d-Const + • h -»■ Deltat : Kết số0.9 cho theo bảng sau: + n • 0.00065 0.00007 0.00004 0.00003 í_Knot := n —> 10.1+ n • Deltat : X 0.11628 0.11519 0.00109 Bảngu 3.1 So, tsánh số với A t = 0.0001, h = 0.0125, N = 80 := (X ) kết íquả • (l + sqrt(ị-i^) ■ exp(ĩ£ĩ)) ' 0.2 0.04293 0.00029 X0.04322 3.2 ứng/ dụng với phương trình Burgers := X + tsqrt(-^—) exp(^-) 0.3 Nghiệm•0.01612 xấp xỉ 0.01600 Nghiệm 0.00012 Sai số Xét phương trình Burgers: N0.4 := 100 0.00602 0.1 0.30302 0.00596 0.30153 0.00006 0.00149 > ỡ :=t-y 0.9 ; t •(! + 0.000003727 -sqrtí) 0.5 0.00226 Uị + uux — uxx = 0, ' ± ^\4-nu'/ 0.2 0,11315 0.6 0.3 0.00083 t-0.00086 (1 + 0.000003727 VM) 0.04218 0.04186 (3.5) 0.00003 0.00032 Chương trình giải 0.7 0.00033 j ệ - -—, 0.00031 0.00002 0.4 0.01561 0.00013 u ( x , 0) =0.01574 -tritrans := proc (d :: vetor, b :: vector,! /+vi :: exvertor, N :: posint) local i\ p{f} global X 0.3 ,T]X (3.6) 0.8 0.00014 0.00012 0.00002 0.5 0.00582 := vector (N + 1) :0.00588 if d[N + 1] = then d[N + 1] 0.00006 := s; cácif điều end : kiện biên 0.9 0.00007 0.00004 Hình 3.1: Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ 0.00217 0.6 0.00221 u ( , t ) = u ( l , t ) = , t > 0.00003 0.00004 (3.7) 71 : f[N + 1] := simplify 6[iV + 1] := simplify for i from N by — to d [ i \ := simplify(—a [ i \ ■ b [ i + 1] + d[«]) : if d [ i ] — then d[l] := s : end if : b [ i \ := simplify (6[i]/d[i]) : /[*] := simplify((—a[*] • f [ i + 1] + f [ i ] ) / d [ i ] ) : end : d[l] := simplify(—a[l] • 6[2] + d [ l ] ) : if £ ¿[1] = then d[l] := s : end if: /[1] := simplify((—a[l] • /[2] + /[l])/d[l]) : T := simplify(subs(s = 0, simplify (product (d[r], r = N + 1)))) : if T — then error "Singular Matrix" else a:[l] := simplify(/[l]) for i from to N + x [ i \ : = simplify(—x [ i — 1] • b [ i \ + f [ i ] ) : end : eval(x) : end if; end proc : a : = vector(iV + 1) : d := vector(7V + 1) : b : = vector( N + 1) : / := vector(7V + 1) : a [ N + 1] := : o[l] := : for i from to TV a [ i ] := end : 6[1] := : for j from to N + b [ i ] := end : d [ N + 1] := : 72 for j from to N d \ j \ := : end : /[1] := (A/3)-S(1):/[JV + 1] := : for m from to N — f [ m + 1] := e v a l i ( f l ( x _ K n o t ( m ) ) ) end : x : = tritrans(d, a , 6, /, N ) : delta := Matrix(7V + 1, M + 1, fill = 0) : for i from to N + delta[«, 1] := x [ i \ : od : unassign(,x,,/ a ' , ' b ' , ' d !/ /', T) : x := vector(7V + 1) : a l := Matrix(1 7V — 1,1 M, fill = 0) : a : = Matrix(1 7V — 1,1 M, fill = 0) : d l := Matrix(l N , M, fill = 0) : d vector(iV + 1) : e := vector(M) : delta_nua := Matrix(7V + 1, M , fill = 0) : a : = Matrix(7V+l, M ) : b : = Matrix(7V+l, M ) : f : = Matrix(7V+l, M ) a_P := vector(iV + 1) : b _ P := vector(7V + 1) : f _ P := vector(7V + 1) d [ N + 1] := : for i from to TV d [ i \ := 16 • h : od : for j from to M 73 d l [ l , j ] := evalm(4 • delta[l, j ] + • delta[2, j ] + ( h / 3) • g ( t _ K n o t ( j — 1))) : e \ j \ := d l [ l , j ] • Deltat • h ( g ( t _ K n o t ( j - 1/2)) + g ( t _ K n o t ( j - 1))) : for i from to N — d l [ i + , j \ := evalm(delta[z, j ] + • delta[i + , j ] + delta[i + , j ] ) ' ■ a l [ i , j ] : = evalm(4 • h — • d l [ i - \ - , j ] • D e l t a t ) : a [ i , j ] : = evalm(4 • h + • d l [ i + 1, j ] • D e l t a t ) : od : f [ l , j \ := evalm(16 • h • delta[l, j] + ■ h ■ delta[2,,7'] + (4/3) • h • (g ( t _ K n o t ( j - 1/2)) + g { t _ K n o t { j - 1))) - ■ e \ j ] ) : f [ N + , j ] := evalm(delta[ N , j ] + ■ delta[7V + , j ] ) : for i from to N — f [ i + , j ] := evalm(a2[i, j ] ■ delta^j] + 16 • h • delta[i + 1, j ] + a l [ i : j ] ■ delta[« + 2, j ] ) : od : a [ i , j ] := ■ h : a [ N + l , j ] := : 6[1, j ] := : b [ N + , j ] := : for i from to N — a [ i + , j ] := a [ i , j ] : b [ i + l , j ] := a l [ i , j ] : od : if d [ N + 1] = then d [ N + 1] := s : end if 6[JV+l,j] = simplify ^ rf[JV + 1] j f [ N + l , j ] = simplify + ^ for i from TV by — to d[i] := simplify(—a[i, j ] ■ b [ i + l , j ] + d[i]) : if d [ i \ = then d [ i ] : = s : end if: 74 b [ i , j ] : = simplify( b [ i , j ] / d [ ỉ ị ) : f í h j ] ’ ■ = simplify((—a[¿, j ] • /[¿+ 1,i] + f [ i , j ] ) / d \ i ] ) : end : d [ ] := simplify(-a[l,j] • 6[2, j ] + d[l]) : if d [ 1] = then d[l] := s : end if : f [ l , j ] := simplify((—a[l, j] • f [ , j ] + f [ l , j ] ) / d [ l ] ) : T : = simplify(subs(s = o, simplify (product (d[r], r = N + 1)))) : if T = then error "Singular Matrix" else rr[l] := simplify (y [1, j]) : for i from to TV + x [ i ] := simplify(—x [ i — 1] • b [ i , j ] + f [ h j ] ) ■ end : eval(a;) : end if for i from to TV + delta_nua[¿, j ] := x \ i \ : od : unassign( ' T ' j ' d ' ) : d vector(TV + 1) : e_p := vector(M) : e _ p [ j ] := simplify((/i3/3) • ( p i g ( t - K n o t ( j ) ) - p • ^(¿_Knot(j - 1/2)))) : for Ỉ from to TV + d [ i ] : = q l : od : a_P[l] := • p i : a _ P [ N + 1] := : &_p[l] := : 6_P[TV + 1] := • p i for i from to TV a_P[T] := p i : b - P [ i ] : = p i : od : 75 f - P [ 1] := evalm ( q -delta_nua[l, j ] + (2 • p ) • delta_nua[2, j ] + e_P[j]) /_P[TV + 1] := evalm (2 • p • delta_nua[TV, j ] + - q • delta_nua[TV + 1, j ] ) for i from to TV — f - P [ i + 1] := evalm (p • delta_nua[T, j ] + •q • delta_nua[i + , j ] + p delta_nua[i + 2, j ] ) : od : if d [ N + 1] = then d [ N + 1] := s : end if : b P { N + 1] := simplify (^^1) = f - P [ N + 1] := simplify ; for i from TV by — to d [ i ] := simplify(—o_P[i] • 6_P[i + 1] + d[i]) : if d [ i \ = then d [ i ] : = s : end if: 6_P[i] := simplify(6_P[i]/d[i]) : f - P [ i \ := simplify((-a_P[i] • ( f - P [ i + 1] + f - P [ i ] ) / d [ i \ ) : end : d[l] := simplify(—a_P[l] • 6_P[2] + d[l]) : if £¿[1] = then d [ 1] := s : end if: S - P [ 1] := simplify((—a_P[l] ■ ( f _ P [ 2] + /_P[l])/d[l]) : T := simplify(subs(s = 0, simplify (product (d[r], r = TV + 1)))) : if T = then error "Singular Matrix" else rr[l] := simplify(/_P[l]) : for i from to TV + x [ i \ : = simplify(—x [ i — 1] • b _ P [ i \ + f _ P [ i \ ) end : eval(x) : end if; for i from to TV + 77 76 delta[í, j + 1] := x [ i ] : od : od : unassign(V/ a V • c ữ ! d ! • f - P '/ V Ị e',' a_P',' 6_p;) : unassign(V/ , /'/ e_P'/ delta_nua'/ dl') : Kết số cho bảng sau: Kết Bảngluận 3.4 So sánh kết số với t = 1, At = 0.0001, N = 20, 40,100 Nghiệm X Nghiệm xấp xỉ Luận văn "Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình với hàm splines" đạt h = 0.05 h = 0.025 h = 0.01 kết sau: 0.1 0.02662 0.03366 0.04636 0.05150 0.2 bày khái niệm 0.07717 0.09754 Trình không gian0.08990 hàm splines B-spline 0.10262 0.3 0.12793 0.14050 0.14800 0.15300 (ii) Trình bày khái niệm phương pháp sai phân, ổn định toán sai phân 0.4 0.17779 0.18975 0.19725 0.20225 Trên sở kết luận tiếp tục nghiên cứu để: 0.5 0.22634 0.23781 0.24500 0.25000 0.6xấp xỉ phương0.27320 0.29138 (i) Giải trình truyền 0.28378 nhiệt chiều, phương trình0.29588 Burg- ers chứng (i) 0.7sự ổn định của0.31799 0.33520 0.33950 minh phương trình0.32823 truyền nhiệt chiều 0.8 0.36027 0.36985 0.37652 0.38052 (ii) Tính giá trị nghiệm xấp xỉ cho số lớp phương trình lập trình 0.9 0.39788 0.40855 0.41455 0.41855 Do thời Bảng gian có hạn chế, luận chắn tránh khỏi 3.5 Saivàsốkiến với thức t = 1,còn At hạn = 0.0001, N =văn 20,40,100 thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp Sai ýsốcủa Quý thầy cô bạn để luận X — o1 ò II ¿3 văn hoàn thiện Tôi xin chân ơn.0.025 h =thành 0.05 cảm h = 0.1 0.02488 0.2 0.02545 0.01272 0.00508 Tác giả 0.3 0.4 0.02507 0.02446 0.01250 0.01250 0.00500 0.00500 0.5 0.02366 0.01219 0.6 0.7 0.02268 0.02151 0.01180 0.01127 0.00500 0.00450 0.00430 0.8 0.02025 0.01067 0.00400 0.9 0.02057 0.01000 Nguyễn 0.00400Thị Luận 0.00514 H à0.01284 N ộ i , n gà y 10 tháng năm 78 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996 ), G i ả i T í c h s ố , NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Phạm Huy Điển (2002), T í n h t o n , l ậ p t r ì n h v g i ả n g d y t o n h ọ c t r ê n M a p l e , Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội [3] Tạ Văn Đĩnh (2011), P h n g p h p t í n h , Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Hoàng Tụy, H m t h ự c v g i ả i t í c h h m , Viện toán học, Viện khoa học công nghệ Việt Nam [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] Duygu Donmer Demiz, Necdet Bildik (2012), "The numerical solution of Heat problem using cubic B-spline", Applined Mathematics, 2(4), 131 - 135 [6] Joan God, Ahmad Abd Majid, and Ahmad Jzani Md Ismail (2012), "Cubic B-spline collocation method for one-dimensional Heat and advection-diffusion equation", J of Applied Mathematics, Vol.Article IO 458710 [7] P.M.Prenter (2008), Interscience, New York Splines and Variational Methods, Wiley-