1 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO TR Ư Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M H À NỘI HÀ TH Ị TH U H IỀN N G U Y Ê N LÝ cực Đ ẠI Đ ố i VỚI PH Ư Ơ N G T R ÌN H ELLIPTIC T U Y Ế N TÍN H C A P H AI T ổ N G QUÁT LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC H N ộ i, 2016 BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI H À T H Ị T H U H IỀ N N G U Y Ê N LÝ cực Đ ẠI Đ ố i VỚI PH Ư Ơ N G T R ÌN H ELLIPTIC T U Y Ế N TÍN H C A P H AI T ổ N G QUÁT L U Ậ N V Ă N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC C h u yên ngành: T oán giải tích M ã số : 60 46 01 02 N gư i hư ớng dẫn kh oa h ọc P G S T S H T iến N g o n H À N Ộ I, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn th àn h trường Đại học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hồn th àn h luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, thầy, giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trìn h học tập hoàn th àn h luận văn tố t nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người th ân ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trìn h học tập hồn th àn h luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả H T h ị T h u H iền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn T hạc sỹ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài: " N g u y ê n lý c ự c đ i đ ố i v i p h n g t r ì n h E l l i p t i c t u y ế n t í n h cấp h a i t ổ n g q u t " hoàn th àn h nhận thức tìm hiểu th ân tác giả Trong trìn h nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừ a kết nhà khoa học với trâ n trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả H T h ị T h u H iền i M ục lục M đầu 1 C ác n g u y ên lý cực đại 1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát 1.2 Nguyên lý cực đại yếu 1.3 Nguyên lý cực đại m ạnh 1.4 T ính nghiệm toán Dirichlet toán Neum ann 12 1.4.1 T ính nghiệm toán Dirichlet 12 1.4.2 T ính nghiệm tốn Neum ann 13 ứ n g d ụ n g củ a n g u y ên lý cực đại 2.1 15 Đánh giá độ lớn ẩn hàm phương trình khơng n h ấ t 2.2 15 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp m ột nghiệm phương trình P o i s s o n 17 2.3 B ất đẳng thức Harnack trường hợp hai biến độc lập 22 2.4 Nguyên lý cực đại yếu nghiệm suy rộng phương trình dạng bảo tồn K ế t lu ận 27 29 Tài liệu th a m khảo 30 M đầu Lí chọn đề tài Nguyên lý cực đại m ột tính chất đặc biệt phương trình elliptic cấp hai Điều có nghĩa ngun lý khơng xảy phương trình elliptic với cấp khác hai phương trìn h cấp hai m khơng phải elliptic Trong giáo trình sách chuyên khảo phương trình đạo hàm riêng, nguyên lý thường trìn h bày cho phương trình Laplace, đồng thời ứng dụng đề cập Luận văn trình bày Nguyên lý cực đại m ạnh Nguyên lý cực đại yếu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát Từ nguyên lý dễ dàng suy tính nghiệm tốn Dirichlet tốn Neum ann Luận văn trình bày ứng dụng Nguyên lý cực đại vào việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm tốn Dirichlet phương trìn h elliptic tổng qt khơng nhất, đánh giá độ lớn ẩn hàm, độ lớn đạo hàm cấp m ột ẩn hàm chứng minh b ất đẳng thức Harnack nghiệm phương trình n h ất m ặt phẳng M ục đích nghiên cứu Luận văn nhằm mục đích trình bày m ột cách hệ thống Nguyên lý cực đại m ạnh Nguyên lý cực đại yếu phương trình elliptic tuyến tín h cấp hai tổng quát ứng dụng chúng vào việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm phương trình khơng N hiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phát biểu chứng minh Nguyên lý cực đại m ạnh yếu nghiệm phương trìn h elliptic tuyến tín h cấp hai tổng quát ứng dụng chúng vào việc nghiên cứu phương trình khơng Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đánh giá độ lớn nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng qt khơng Phương pháp nghiên cứu Luận văn dùng cơng cụ Giải tích tốn học hàm nhiều biến số Giải tích hàm tuyến tính D ự kiến đóng góp Luận văn m ột tài liệu tham khảo bổ sung lý thuyết định tín h Nguyên lý cực đại m ạnh yếu nghiệm phương trìn h elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát m ột số áp dụng nguyên lý Chương Các n guyên lý cực đại 1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng qt Xét tốn tử vi phân elliptic tuyến tính tổng qt dạng Lu = (a;) D ị j U + ứ1 (X) D ị U + c (a;) u, aĩ-i = (1.1) X = {xi]X2' i x n) nằm miền íỉ Kn, n > 2; u = u ( x ) £ c2( í ì ) có quy ước phép lấy tổng theo số lặp từ đến n L ln kí hiệu toán tử (1.1) Ta đưa định nghĩa sau: L elliptic điểm X £ Q m a trậ n hệ số [a^ (z)] xác định dương; từ đó, kí hiệu A ( x ) , A (x) giá trị riêng cực tiểu giá trị riêng cực đại [av (:r)] , < A (z) |£|2 < aij (x) với £ = (£i; ,^n) < A (x) I^Ị2 (1.2) \ {0} Nếu A(x) > íỉ, L elliptic Í2 elliptic ngặt Ằ(x) > A0 > với số Ao Nếu A ( x ) / X ( x ) bị chặn íĩ, ta gọi L elliptic Í2 Ví dụ: Tốn tử DII + X \ D 22 elliptic ngặt elliptic 15 Chương ứ n g dụng n guyên lý cực đại 2.1 Đánh giá độ lớn ẩn hàm phương trình khơng Ngun lý cực đại tạo m ột ước lượng theo điểm nghiệm phương trình khơng L u = / miền bị chặn Các đánh giá dùng đến giả thiết tính elliptic tính bị chặn hệ số Điều dẫn tới áp dụng tốn phi tuyến tính Đ ịn h lý 1 Cho L u > / ( = / ) miền bị chặn íỉ, L elỉiptic, c ( x ) < 0, u G c2(íỉ) n cữ(ĨT) , ( 2.1) c số phụ thuộc vào đường kính íỉ Ị,3 = sup ( Ị6(rc)Ị / X ( x ) ) Đặc biệt, Í2 nằm hai mặt phẳng song song cách khoảng d, Chứng minh Cho (2.1) thỏa mãn với c= nằm miền < Xi < d, tập Lo = a ÍJDý- + ỮDị e ^ +1)d — Cho OL > /3 + ta có L ữeaXl = (a 2a n + CK&1) eaXl > \ { a - OL0) eaXl > A Cho V = s u p u + + (ead - eaXl) sup ỠÍ1 n A Thì, từ L v = L 0V + cv < —X ( sup ^ L (v — u) < —A ^sup V — u > dLt Từ đó, với c = ^ ^ , < fỉ, ead — a > ị3 + 1, ta thu kết cần có cho trường hợp L u > / , sup u < sup íì Í1 V < sup u + + díì c sup íì LTI ^ Thế u -u, ta thu (2.1) cho trường hợp L u = / □ Khi điều kiện c ( x ) < không thỏa m ãn, th ì đưa đánh giá tiên nghiệm tương tự với (2.1) giả thiết miền íì nằm hai m ặt phẳng song song gần H ệ qu ả 1 Cho L u — f nằm miền bị chặn íỉ, L elliptic u G c (íỉ) C\Cữ (ỉĩ) Cho c số Định lí 2.1.1 giả sử „ Ci = — c+ c sup -— > n A (2.2) Khi , í i/ i ) sup \u\ < — sup \u\ + c sup ^ n Cị \ an n A / 16 (2.3) C h ú ý T c= e ^ +1)d — m ột giá trị số (2.1), d m ột miền rộng miền chứa Í2, điều kiện (2.2) thỏa m ãn miền đủ hẹp đại lượng |6(a:)| / X ị x ) c ( x ) / \ ( x ) bị chặn Nếu c+ = (với c(x) < 0), Cị = (2.3) rút gọn (2.1) Chứng minh (Hệ 2.1.1) Viết lại L u = (L ữ + c) u = / dạng (L + c~) u = f ' = / + (c~ - c) u = f - c+u Từ (2.1) ta thu sup |w| < sup |w| + íĩ ỡíí c sup < sup \u\ + c an íĩ A p y- + sup |lí| sup yn n B ất đẳng thức (2.2) dẫn đến (2.3) □ Một kết trực tiếp Hệ 2.1.1 tính nghiệm toán Dirichlet miền đủ nhỏ (nếu cận đại lượng Ị&(z)Ị / Ằ ( x ) c (x ) / X ( x ) cố định) 2.2 Đánh giá độ lớn đạo hàm cấp m ột nghiệm phương trình Poisson Nguyên lý cực đại dùng ước lượng đạo hàm nghiệm ta thêm điều kiện áp đ ặt lên phương trình Để minh họa phương pháp ta ước lượng phương trìn h Poisson Cho A u = / hình lập phương Q = { x = (x 1, , x n) e Kn \ \xi\ < d , i = ĩ , , n } , 17 với u ẽ c2(Q) n c° ( ) / bị chặn Q Ta dẫn ước lượng Ti ăd \DiU(ũ)\ < ^ s u p | u | + ^ s u p | / | , « dộ * i = , ,71 (2.4) Q Trong nửa lập phương Q' = { { x u - , x n) 1\xi\ < d , i = 1, n — 1,0 < x n < } , xét hàm d Q ', từ dẫn tới \d2x |/(x )|") n / Kết hợp kết đó, ta thu dl J DU^ \x < c \( s uũ p ỊuỊ + z D ,u ^ yI s u p dị \f( x ) \ f2 + c m ột số phụ thuộc vào n Các kết trước tạo định lý sau Đ ịn h lý 2.2 (Về đánh giá độ lớn đạo hàm cấp m ột phương trìn h Poisson) Cho u E c2(fĩ) thỏa mãn phương trình Poisson, A u = / íỉ, su p c^ \Du{x)\ < f2 c í sup |m| + V n sup d2x \ f ( x ) \ ) , n / với x,y Q , x ^ y, \D u( x) - Du{ y) I x’y \x - y\ D, Nguyên lý cực đại m ạnh (Định lý 1.3.2) dẫn đến m ột hai khả u = u > D, thỏa m ãn với gải thiết sau Xét tập G D u > cho th àn h phần chứa o Thấy từ Nguyên lý cực đại d n d D tập khác rỗng, từ khơng m ất tính tổng quát giả thiết điểm Q = (0,1) nằm d Ta xác định hàm v+ V- k số dương P arabol r ± : v± = 0, có đỉnh ( t |) | ) D trục chung y = v± > có Nếu k đủ lớn (k > ), miền p± D mà tương giao D |_ n -D- bị chặn cung r_|_, r _ nằm hoàn toàn nửa D Trong p± , hàm v± hiển nhiên thỏa m ãn bất phương trình 0< v± < Ị Có E ± = exp^U-i-), OL số dương chọn, ta tìm 23 tính tốn trực tiếp L E ± = E ± ị a a T 46A; > E± ( q;2A — a k A ) > D, a > 2kịẲ Suy luận ra, với lựa chọn a , hàm ( 11) w± = ( E ± - 1) / (e 7- / - l ) CĨ tính chất: L w ± > D, w± = r ±; < w ± < Giả sử cho £ m ột điểm p + n p _ Khi có m ột ba khẳng định (i) u > u (0) /2 z £ G\ (ii) z nằm th àn h phần (iii) 2: nằm th àn h phần c r + u dG\ ôt/_ c r_ u dG u + P+\G cho d u + u P _ \G cho Trong trường hợp (ii) (iii) ta có u — u — (0) w± = \ u (0) (1 — w±) >0 dG n dư ±, (0) w± = u > r± n du ± Vì u — ị u (0) w± > du ± T L (u — ị u (0) w± < 0) , ta kết luận u (z) > - u (0) m in (w+ ( z ) , W - (2 )) \/z £ p + n p z Nói riêng, vùng y = | , |x| < | , ta có ( 12) 24 K x = - ( e a/4 - l ) / ( e 7a/4 - ì ) = - inf V ) ' \ ) \X\ 0, y < ỉ j p bị chặn miền, y = | , |a;| < | , cung r parabol V = 0, với đỉnh tọa độ (0,1) qua điểm ( ± | , | ) Như trước đó, với lựa chọn phù hợp /3 > phụ thuộc vào /i, hàm w = (e*” - 1) / (e 3« - 1) CĨ tính chất: L w > D\ w = T; < w < p T (2.12) ta có u — KịU (0) w > d P , từ L ịu — KịU (0) w ) < 0, dẫn tới Nguyên lý cực đại u (z ) > K\U (0) w (z ) Chú ý D i ị c p , có / í = Di/S G p W1 u {z) > K ị K 2u (0) = K u (0) \/z E D ị / (2.13) Rõ ràng K phụ thuộc vào ¡1 Nếu z & D ị / ị hình trịn -D3/4 (z) chứa D bất đẳng thức (2.13) áp dụng hình trịn D 1/4 (z) dẫn tới u (0) > K u (z) \/z £ D i /a Kết hợp bất phương trình với (2.13) ta thu K u (0) < u (z) < K ~ l u (0) Vz G D 1/4 □ 25 Á p d ụ n g k ế t q u ả từ (2 ) t a có sup u < K inf u, D r /ì (2-14) D r /4 K = 1/ K Bằng argum ent m xích ta thu bất đẳng thức Harnack sau với miền tùy ý K2 H ệ q u ả Cho Í2 c K2, u nghiệm c2 không âm L u = a ( x , y ) u xx + 2b(xì y ) u Xy + c(x, y ) u yy = hình trịn D r , giả sử L elliptic D r Khi với miền bị chặn rV cc fi, có số K phụ thuộc vào íỉ, íì' pL cho s u p w < /íin f w n' n' (2.15) Nếu ta xét phương trìn h elliptic dạng tổng quát L u = aijDịjU + ỪDịU + cu = 0, c < 0, i , j = 1,2, (2.16) hệ số tốn tử L bị chặn A > Ao > 0, chứng minh Định lý 2.3.1 hình trịn đơn vị D có cịn (với biến đổi yếu); kết luận tương tự, số K phụ thuộc vào giới hạn với hệ số D ịi Trong trìn h bày kết tương tự với m ột hình trịn bán kính R, số K v ì phụ thuộc vào R thêm vào đại lượng khác B ất đẳng thức Harnack (2.10) dẫn tới Định lý Liouville sau H ệ q u ả (Định lý Liouville) Nếu phương trình L u = a ( x , y ) u xx + 2b(x, y ) u Xy + c(x, y ) u yy = elliptic M2 , u nghiệm bị chặn (hoặc bị chặn trên) xác định mặt phẳng, u số 26 Chứng minh Ta giả sử inf u = 0, từ đó, với £ > b ất kì, u ( zq) < £ với m ột vài Zq Trong hình trịn D 2R (Zq) , ta có từ (2.10) u ( z ) < K £ với z G D r ( zq) T K số độc lập R , u (z) < K £ với z G M2 kết luận đưa trực tiếp cho £ —> 2.4 □ N guyên lý cực đại yếu nghiệm suy rộng phương trình dạng bảo tồn Ta tổng kết chương việc xét toán tử dạng bảo toàn Trong nhiều hoàn cảnh m ột cách tự nhiên để xét rộng toán tử có dạng (1.1) Như trường hợp đơn giản L u = D ■{a^Dịù) (2-17) cần xét nhiều toán tử chung m phần có dạng phân kì L gọi elliptic Í2 m a trận hệ số [ữij (:r)] dương với X G fỉ Hiển nhiên kết liên quan Nguyên lý cực đại áp dụng cho toán tử (2.17) hệ số alJ(x) đủ trơn Tuy nhiên, hệ số aịJ(x) khơng trơn, tốn phi tuyến, khơng thích hợp để tạo giả thiết đại lượng liên quan tính trơn các hệ số (ví dụ cận , đạo hàm chúng), phương pháp bên khơng cịn áp dụng Các quan hệ L u = (> 0, < 0) thỏa m ãn nghiệm (các nghiệm dưới, nghiệm trên) L u = xác định với lớp rộng hệ số hàm u (2.17) Vì hệ số aỈJ( x ) bị chặn đo u G c1(Í2 ), thì, m ột ý nghĩa tổng quát, 27 u gọi nghiệm suy rộng thỏa m ãn L u = (> 0, < 0) ÍỈ, / (x)DiuD-ipdx = (< 0, > 0) (2.18) n với hàm không âm (fi & C q (Í2) Bằng việc áp dụng Định lý phân kì dễ dàng thấy để tương đương với L u — (> 0, < 0) theo nghĩa thơng thường cần phải giả thiết a ^ { x ) e c (íỉ) u e 2(ri) Đ ịn h lý (Nguyên lý cực đại yếu cho phương trìn h dạng bảo toàn) Cho L elliptic miền bị chặn íỉ Giả sử L u > (< 0) Í2, với u ẽ Ơ 1(Í2) n Ơ°(Í2), cực đại (cực tiểu) u Í2 đạt ỡ íỉ, là, sup u = sup u ( inf u = inf u ) n an Vn díì / Chứng minh Cho u thỏa m ãn : J ữiJ (x ) D iu D j (fdx < G C q (í ỉ ) , > 0; (2-19) n giả sử, ngược lại với khẳng định chúng ta, su p > su p = u ữ n an Khi với số c > 0, có m ột miền íỉ' c c íỉ, v = M - M o - c > O v ỉ ; = dCl' B ất đẳng thức (2.19) với u thay V
