Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề lượng giác lớp 11
PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC Bài Tìm tập xác định hàm số a y=f(x)=x.cos3x 1+cosx 1+cosx 1+cos x b y=f(x)= c y=f(x)= d y=f(x)= cosx 1-cosx 1+cosx Bài :Tìm tập xác đònh hàm số sau : π 2π 1/ y = cot(2 x − ) / y = tan(3 x + ) sin x + cos x + cot x cos x − 1 x −1 π 2π / y = − cos x 8/ y = / y = cot( x − ) + tan(2 x + ) 2 sin x − cos x 3 1 sin x 10 / y = 11/ y = 12 / y = − 5cos x − 2sin x 2sin x − cot x − Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 4/ y = / y = tan x 3/ y = / y = sin - Số M gọi giá trị lớn hàm số y=f(x) D - Số m dược gọi giá trị nhỏ hàm số y=f(x) D ∀x ∈ D, f ( x) ≤ M ⇔ ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m ⇔ ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m a y=f(x)=2+3Cosx b y=f(x)=3-4Sin2x.Cos2x c y=f(x)=2.Sin2x-2Cos2x Bài : Tìm giá trò lớn nhỏ hàm số sau : + cos x 2 1/ y = + 3cos x / y = − 4sin x cos x 3/ y = / y = sin x − cos x / y = − | sin x | / y = + sin x − Bài T×m GTLN vµ GTNN cđa c¸c hµm sè sau: a y = 2sinx + 3cosx + b y = − cosx sinx + cosx + c y = + cosx sinx + cosx − PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN * Dạng x=α +k2π - Sinx=Sinα ⇔ x=π-α +k2π x=α +k2π - Cosx=Cosα ⇔ x=-α +k2π - Tanx=Tanα ⇔ x=α+kπ - Cotx=Cotα ⇔ x=α +kπ Bài Giải phương trình a Sinx=- sin B sinα=a=OK cos O b Sin2x = -1 2 c Sin x= Bài Giải phương trình: a Sinx =0 Cosx-1 b Cos3x-Sin2x=0 Bài Giải phương trình a Sin 3x + Sin5x =0 M K b.tanx.tan2x=-1 1 H A Bài : Giải phương trình : 2 > 2sin x − = π > 2sin( x + ) − = π > 2sin(2 x + ) + = π > 3sin(3 x − ) + = π > 2sin( − 3x) + = > sin x = Bài 5: > sin x − sin x = > sinx + sin x = > sin x − cos x = 10 > sin x + cos x = π π 11 > sin(2 x + ) + sin( x − ) = π π 12 > sin(3 x − ) − cos(2 x + ) = π 2π 13 > sin(2 x + ) + cos( x + )=0 3 Giải phương trình : 2 > cos x − = > cos x = > cos( x + π > cos(2 x + > cos x − cos x = > cos x + cos x = )− =0 π > cos x − sin x = ) +1 = 10 > cos x + sin x = π > 3cos(3 x − ) + = 11 > cos(2 x + > cos( 12 > cos(3 x − π − 3x) + = π π ) + cos( x − ) = π π ) − sin(2 x + ) = π 2π 13 > cos(2 x + ) + sin( x + ) =0 3 Bài 6: Giải phương trình : > tan x = > cot x + = 2π ) +1 = π 3π > tan(3 x + ) − = > 3cot(2 x + ) + = π 2π > tan(2 x − ) + = > 4cot(2 x − ) + = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−− π π π > tan(3 x − ) − tan x = 13 > cot(2 x + ) − cot( x + ) = 4 2π π 3π π 10 > tan(2 x + ) + tan( x − ) = 14 > cot( − x) + cot( x − ) = 3 5π π 5π π 11 > tan( x − ) + cot(2 x − ) = 15 > cot( − x) − tan(2 x + ) = 3 3 4π π 5π π 12 > tan(3 x + ) + cot( − x) = 16 > cot(2 x + ) + tan( x + ) = 3 6 > tan x − = > cot(3 x − Bài 7: Giải phương trình lượng giác : > 2sin x + sin x = > sin x + cos x − = 4π 2π ) + cos( x + ) = 3 π 2π > 2sin( − x) + sin( − x) = 3 3π x > cos( + ) + sin(3π + x) = 2 2π x > sin (5 x + ) − cos ( + π ) = 2π π > cot(3 x + ).tan( x − ) = 3 2 > tan x.tan x = > sin(2 x + Bài 8: > cos x + cos x + = π π 10 > sin( + x) + cos( + x) = 2π π 11 > cos( + x) + cos( + x) + = 3 12 > tan x.tan x = π 13 > tan x.tan(2 x − ) + = Giải phương trình lượng giác sau : 1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> cos x + = 4>3cosx+5=0 5> tan x + = 6> 3cot x + = Lo¹i Dùng Cơng thức hạ bậc 4cos2(2x - 1) = 2sin2 (x + 1) = cos2 3x + sin2 4x = sin(1 - x) = 2cosx + = π tan2 (2x – ) = π 4π cos2 (x – ) = sin2(2x + ) 5 Lo¹i Dùng Cơng thức cộng, biến đổi sin2x + cos2x = cos( sin3x cos3x – sinx = π − 3x) + sin x + cos x = 2 sin3x = (cosx –sin3x ) cos(x – π /5) + cos3x sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = cos7x 3π π π Tìm tất nghiệm x ∈ (− ; π ) pt: sinxcos + cosxsin = 8 Lo¹i Bài tốn biện luận theo m Giải biện luận 2sin(1-2x) = m 2 3cos 3x = m sin3x + cos3x = m m.sin2 2x + cos4x = m Giải biện luận sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x Giải biện luận (3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m Giải biện luận cos3x + m – = (3- 2m)cos3x Cho pt sin4x + cos4x = m a) Xác định m để pt có nghiệm b) Giải pt với m = ¾ Lo¹i Tổng hợp 17π + 10 x ) 2 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x cos22x – sin28x = sin( sin x = −2 cos x + sin x Giải pt: 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 cos4x = sin( x − π π π ) cos( x − ) + cos ( x − ) 8 1 + = cos x sin x sin x = π Tìm tất nghiệm x ∈ ( ;3π ) pt: sin(2x + + 4(sin x + cos( π π - x)cos( + x)) 3 4sin32x + 6sin2x = Tìm nghiệm ngun pt: π cos (3 x − x + 160 x + 800 ) = 8 5π 7π ) − cos( x − ) = + 2sinx 2 PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Bài Giải phương trình sau: a b 4.Sinx= Sinx+Cos2x=1 Sinx Bài giải x = kπ Sinx=0 ⇔ a Sinx+Cos x = ⇔ Sinx ( 1-Sinx ) = ⇔ π Sinx=1 x = + k π b Điều kiện Sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ π x = + kπ S inx= 1 2 4.Sinx= ⇔ Sin x= ⇔ ⇔ Sinx x = 5π + kπ Sinx=- Bài Giải phương trình sau: a 2.Sin2x-5Sinx+3=0 Bài 3: b 2.Sin2x-3Cosx=0 Giải phương trình sau : 1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 4/ 6-4cos2x-9sinx=0 7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 5/ 4sin x − 2( + 1) sin x + = 6/ sin23x-2sin3x-3=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 9/ cos2x+sinx+1=0 π π 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12> sin + x ÷− cos + x ÷+ = 6 3 10/ cos2x+5sinx+2=0 3/ 2sin x − (2 + 3)sin x + = Bài 4: Giải phương trình sau : 1/ 3cos2x+2cosx-1=0 4/cos2+cosx-2=0 2 x 7/ − 4sin x − 8cos = −4 2/2sin2x+5cosx+1=0 5/16-15sin2x-8cosx=0 3>cos2-4cosx+5/2=0 6/4sin22x+8cos2x-8=0 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin2x-2cos2x+cos2x=0 π 2π 11> cos( x + ) + cos(2 x + ) − = 3 2 12>(1+tan x)(cosx+2)-sin x=cos x 10>sin2x+cos2x+cosx=0 Bài 5: Giải phương trình sau : 1>tan x-tanx-2=0 3> cot x − cot x + = 2> cot x − (1 − 3) cot x + = − tan x − = 4> cos x D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè lỵng gi¸c 2cos2x - 4cosx =1 1/ sinx ≥ 2/ 4sin3x + sin2x = 8sinx 1-5sinx + 2cosx = 4/ cosx ≥ 5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2) 3/ 4cosx.cos2x + = T×m n0 cđa (1) ®ång thêi lµ n0 cđa (2) ( nghiƯm chung sinx = 6/ sin3x + 2cos2x - = 7/ tanx + + tanx = cos2 x 5π 7π 8/ sin( 2x + ) - 3cos( x − ) = + 2sinx 2 9/ sin x - 2sinx + = 2sinx -1 10/ cos2x + 5sinx + = 11/ tanx + cotx = 12/ sin 2x + 4cos 2x -1 =0 2sinxcosx sin x + + cos x = 14/ cos2x + 3cosx + = 4sin 2 x + 6sin x − − 3cos x =0 cos x 17 sin x + cos4 x = π 4 19 sin x + sin x + ÷ = 15/ 4 21 sin6 x + cos6 x = -2=0 cotx c / sin6x + cos4x = cos2x b/ 13/ 1) 16/ 2cosx - 18 sin x + cos4 x = cos2x 2π 2π 2 2 = 20 sin x + sin x − ÷+ sin x + ÷ 22 sin6 x + cos6 x + sin x cosx = sin x + cos4 x ) ( 23 sin x + cos4 x = sin 4x + cos4 4x 25 cos3xcos3x + sin3 xsin3x= sinx = 24 sin x + cos4 x = sin xcos2 x + sinxcosx ( ) 25 cos3 4x = cos3xcos3x + sin xsin3x * Dạng: Phương trình bậc sin cos - Cách giải: a.sinx+bcosx=c ⇔ Đặt a a + b2 = Cosα ; a a + b2 b sinx+ a + b2 b a2 + b2 cosx= c a + b2 - Ví dụ: Giải phương trình sau: a 3.Sin2x-Cos2x=1 b Cos2x- 3Sin2x= e a + b2 = Sinα Ta có phương trình sinx.cosα +cosx.sinα = d Cos2x- 3Sin2x=1 Bài giải a c 3Cosx+3Sinx=3 ⇔ Sin ( x+α ) = c a2 + b2 c Cos2x-Sin2x= a= 3;b=1;c=1 π x= +kπ π π Sin 2x- ÷= =Sin ÷ ⇔ π 6 6 x= +kπ a +b =2 b 1 Sin2x- Cos2x= 2 a=1;b= 3;c= π x=-kπ π π 24 Sin -2x ÷= =Sin ÷ ⇔ 6 4 x=- 7π -kπ 24 a +b =2 c 3 Cos2x- Sin2x= 2 a=1;-b=1;c= a +b = 1 Cos2xSin2x=1 2 π π π Sin -2x ÷=1=Sin ÷ ⇔ x= +kπ 4 2 d a=1;b= 3;c=1 a +b =2 Cos2x- Sin2x= 2 e x=kπ π π Sin -2x ÷= =Sin ÷ ⇔ π x=- + kπ 6 6 Đưa dạng Cosx+ 3Sinx= a=1;b= 3;c= a +b =2 3 Cos2x+ Sin2x= 2 π x= +k2π π π Sin +x ÷= =Sin ÷ ⇔ 6 3 x= π + k2π D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx NhËn d¹ng: Ph¬ng ph¸p: §¨c biƯt : a.sin x + b.cosx = c C¸ch 1: asinx + bcosx = c a b 2 ; sinx= 2 ⇒ a + b sin(x +α) = c a +b a +b b C¸ch 2: a sinx + cosx = c a c b §Ỉt = tanα ⇒ a sinx + cosx.tanα = c ⇔ sin(x +α) = cosα a a x C¸ch 3: §Ỉt t = tan ta cã sinx = 2t ; cosx = 1- t ⇒ (b + c)t - 2at - b + c = 1+ t 1+ t §Ỉt cosx= Chó ý: §iỊu kiƯn PT6cã nghiƯm: a + b2 ≥ c2 π π sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - ) π π sin x ± cos x = sin( x ± ) = cos( x m ) 4 π π sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + ) gi¶i ph¬ng tr×nh: , cosx − sin x = −1 3sin3x − cos9x = + 4sin 3x , 4 sin x + cos (x + ) = cosx − sin x = π 3(1 − cos x) = cos x , 2sin x 3sinx + cosx = cosx cos7x - 3sin7x + 11 sinx + 3cosx + 13 ( cos2x - sin x + sin x = tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) 2π 6π = ; x ∈( ; ) 10 2sin15x + =6 4sinx + 3cosx +1 sin2x) - 1+ cosx + cos2x + cos3x = (3- 3sinx) 2cos2 x + cosx -1 3sinx + cosx = 3+ 12 sinx – cosx + = cos5x + sin5x = (4) 14 3sinx + cosx +1 cosx - 2sinx.cosx = 2cos x + sinx -1 16 cos7x − sin 5x = 15 3(cos5x − sin 7x) Bài 9: Giải phương trình : 1/ sin x − cos x = 2 / cos x + sin x = / sin x + cos x = / 5cos x − 12sin x = 13 / cos x + sin x = / 2sin x − 5cos x = / 3sin x + 5cos x = PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁCTỔNG HỢP Chú ý Các phương trình sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng hạ bậc cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc • • • • • • • • • Áp dụng cơng thức giải phương trình sau đây: a pt ( ) b pt c Tới biết giải chứ? cos6x = d gép cos3x + cos7x sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích Đặt nhân tử chung sau xuất nhân tử e Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng f Đây tốn mà số hạng bậc hai nên ta hạ bậc lưu ý: pt ( bỏ mẫu) pt ( biến tổng thành tích) BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO Giải phương trình: Phương trình Giải phương trình lượng giác Đáp số: Giải phương trình: Phương trình cho tương đương với * * Giải khác Giải phương trình lượng giác sau: Giải phương trình: Từ phương trình cho ta có : Giải phương trình : Giải phương trình : Phương trình cho Giải phương trình: Giải phương trình : 10 sin 3x − sin 2x − s in x = − cos 6x − cos 2x − − sin 2x = ⇔ (cos 2x − cos 6x) − sin 2x = 2 2 ⇔ sin 4x sin 2x − sin 2x = ⇔ 2sin 2x cos 2x − sin 2x = ⇔ sin 2x(2 cos 2x − 1) = kπ π ⇔ sin 2x = ∨ cos 2x = ⇔ x = ∨ x = ± + 2kπ 2 76 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998 2(cot g2x − cot g3x) = tg2x + cot g3x Điều kiện : sin 2x ≠ ; sin 3x ≠ ; cos 2x ≠ cos 2x cos3x sin 2x cos3x 2(cot g2x − cot g3x) = tg2x + cot g3x ⇔ − + = sin 2x sin 3x cos 2x sin 3x 2sin x cos x 2sin x(cos 2x − cos x) ⇔ = ⇔ = ⇔ sin3 x = (loại) đk sin 2x ≠ sin 2x sin 3x sin 3x cos 2x sin 2x sin 3x cos 2x Vậy phương trình vô nghiệm 77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997 ⇔ sin x sin 2x + sin 3x = cos3 x ⇔ 2sin x cos x + 3sin x − sin x = cos3 x ⇔ tg3 x − 2tg2 x − 3tgx + = ⇔ (tgx − 2)(tg2 x − 3) = ⇔ tgx = = tgβ ∨ tgx = ± π ⇔ x = β + kπ ∨ x = ± + kπ 78 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1998 Xác đònh a để hai phương trình sau tương đương cos x cos 2x = + cos 2x + cos3x cos2 x − cos3x = a cos x + (4 − a)(1 + cos 2x) Giải • cos x cos 2x = + cos 2x + cos3x ⇔ cos3x + cos x = 2c os x + cos3x ⇔ cos x = 2cos2 x ⇔ cos x = ∨ cos x = 1/ 2 • cos x − cos3x = a cos x + (4 − a)(1 + cos 2x) ⇔ cos2 x − (4 cos3 x − 3cos x) = a cos x + 2(4 − a) cos2 x ⇔ cos3 x + (4 − 2a) cos2 x + (a − 3) cos x = ⇔ cos x(2 cos x − 1)(2 cos x − a + 3) = a−3 ⇔ cos x = ∨ cos x = ∨ cos x = 2 Hai phương trình sau tương đương a−3 a−3 a−3 a−3 ⇔ > 1∨ < −1 ∨ = 0∨ = ⇔ a > ∨ a < 1∨ a = ∨ a = 2 2 79 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001 Xác đònh a để phương trình sau có nghiệm : sin x + cos6 x = a sin 2x Giải sin x + cos6 x = a sin 2x ⇔ − sin 2x = a sin 2x ⇔ − 3sin 2x = 4a sin 2x (*) Đặt : t = sin 2x ⇒ ≤ t ≤ (*) ⇔ 3t + 4at − = Với t = ta có f(0) = −4 < ⇒ phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện t1 < < t Như , phương trình cho có hai nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn t1 < < t ≤ ⇔ f(1) ≥ ⇔ 4a − ≥ ⇔ a ≥ 1/ 80 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B 28 sin 3x − cos2 4x = sin 5x − cos 6x − cos 6x + cos 6x − cos10x + cos12x − = − 2 2 ⇔ (cos12x + cos10x) − (cos8x + cos 6x) = ⇔ cos x(cos11x − cos 7x) = ⇔ cos x sin 9x sin 2x = kπ kπ ⇔ sin 2x = ∨ cos 9x = ⇔ x = ∨x= 81 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình : cos3x − cos2x + 3cos x − = Giải cos3x − cos 2x + 3cos x − = ⇔ 4cos x − 3cos x − 4(2 cos x − 1) + 3cos x − = π ⇔ 4cos3 x − 8cos2 x = ⇔ cos2 x(cos2 x − 2) = ⇔ cos x = ∨ cos x = (loại) ⇔ x = + kπ Vì x ∈ [ 0;14] ⇒ k = ∨ k = ∨ k = ∨ k = ⇔ π 3π 5π 7π ∨x= ∨x= ∨x= 2 2 82 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A Tìm x thuộc đoạn x ∈ [ 0;2π] nghiệm phương trình : Vậy nghiệm phương trình là: x = cos3x + sin 3x sin x + = cos2x + (*) + 2sin 2x Giải + 2sin 2x ≠ ⇔ sin 2x ≠ − 1/ (a) Điều kiện : (*) ⇔ ( sin x + 2sin x sin 2x + cos3x + sin 3x ) = (cos 2x + 3)(1 + 2sin 2x) ⇔ ( sin x + cos x − cos3x + cos3x + sin 3x ) = (cos 2x + 3)(1 + 2sin 2x) ⇔ ( sin x + sin 3x + cos x ) = (cos 2x + 3)(1 + 2sin 2x) ⇔ 5cos x ( + 2sin 2x ) = (cos 2x + 3)(1 + 2sin 2x) ⇔ 5cos x = cos 2x + ⇔ cos x = cos2 x + ⇔ cos2 x − 5cos x + = ⇔ cos x = (loại) ∨ cos x = 1/ (thỏa đk (a)) π π 5π ⇔ x = ± + 2kπ Vì x ∈ [ 0;2π] ⇒ nghiệm phương trình là: x = ∨ x = 3 83 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối D x x π sin − tg x − cos2 = (*) 2 4 Điều kiện : cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ π π − cos x − − cos − x + cos x 2 2 × sin x − + cos x = (*) ⇔ × tg2 x − =0⇔ 2 2 cos2 x 2 − sin x sin x + cos x sin x + cos x ⇔ − =0⇔ − = ⇔ sin x − (1 + cos x)(1 + sin x) = 2 2(1 + sin x) − sin x ⇔ (1 − cos x)(1 + cos x) − (1 + cos x)(1 + sin x) = ⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x) = π ⇔ cos x = −1 ∨ tgx = −1 ⇔ x = π + 2kπ ∨ x = − + kπ 84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B cotgx − tgx + 4sin 2x = (*) sin 2x 29 Điều kiện : sin 2x ≠ ⇔ x ≠ kπ cos x sin x 2 cos 2x − + 4sin 2x = ⇔ + 4sin 2x = sin x cos x sin 2x sin 2x sin 2x 2 ⇔ cos 2x + 4sin 2x = ⇔ cos 2x + 2(1 − cos 2x) = ⇔ cos 2x − cos 2x − = cos 2x = (loại) ⇒ sin 2x = sin2x ≠ π ⇔ ⇔ x = ± + kπ cos 2x = −1/ (*) ⇔ 84 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối B 5sin x − = 3(1 − sin x)tg x (*) π + kπ sin x sin x (*) ⇔ 5sin x − = 3(1 − sin x) ⇔ 5sin x − = 3(1 − sin x) cos2 x − sin x 3sin x ⇔ 5sin x − = ⇔ (5sin x − 2)(1 + sin x) = 3sin x ⇔ 2sin x + 3sin x − = + sin x π 5π ⇔ sin x = −2 (loại) ∨ s inx = ⇔ x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ (thỏa mãn đk) 6 85 Đề thi chung Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D Điều kiện : cos x ≠ ⇔ x ≠ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x ⇔ (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x cos x − sin x cos x − = cos x = 1/ ⇔ (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x(2 cos x − 1) ⇔ ⇔ sin x + cos x = tgx = −1 π π ⇔ x = ± + 2kπ ∨ x = − + kπ 86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D 3cos x + cos 2x − cos3x + = 2sin x sin 2x ⇔ 3t + 2t − − 4t + 3t + = 4(4 − t )t (t = cos x) t = cos x = π ⇔ 2t + 2t = ⇔ ⇔ ⇔ x = + kπ ∨ x = π + 2kπ t = −1 cos x = −1 87 Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A cos4 x x − sin = sin 2x 2 x x − sin = sin 2x ⇔ cos x = sin x cos x 2 cos x = π π 5π ⇔ ⇔ x = + kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ 6 s inx = 1/ ⇔ cos2 88 Trung Học Kỹ Thuật Y Tế năm 1997 (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) = − cos x ⇔ 2sin x sin 2x + 2sin x − 2sin 2x − = − 4(1 − sin x) ⇔ 8sin x cos x + 2sin x − sin x cos x = 4sin x ⇔ sin x = ∨ sin x cos x + − cos x = 2sin x x = kπ sin x = ⇔ ⇔ x = π + 2kπ ∨ x = π + 2kπ ∨ x = 5π + 2kπ ∨ x = 5π + 2kπ 4sin x cos x − 2(sin x + cos x) + = 6 π π 5π 5π ⇔ x = kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ 6 30 89 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A 5 Cho phương trình : cos x sin x − sin x cos x = sin 4x + m (*) Biết x = π nghiệm (*) Hãy giải phương trình (*) trường hợp Giải 4 4sin x cos x(cos x − sin x) = sin 4x + m ⇔ 2sin 2x cos 2x = sin 4x + m ⇔ sin 4x − sin 4x + m = (1) Vì x = π nghiệm phương trình (*) nên x = π nghiệm phương trình (1) Nghóa : sin 4x = sin 4π = từ (1) ⇒ m = sin 4x = kπ π kπ ⇔x= ∨x= + Vậy phương trình trở thành : sin 4x − sin 4x = ⇔ sin 4x = 90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D Tìm giá trò m để phương trình sau có nghiệm 4 6 Cho phương trình : 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin 4x = m Giải 4(sin x + cos4 x) − 4(sin x + cos6 x) − sin 4x = m ⇔ 1 − sin 2x − 1 − sin 2x − sin 2x = m 2 ⇔ 4t − 3t = m (t = sin 2x ⇒ ≤ t ≤ 1) Đặt : f(t) = 4t − 3t ⇒ f / (t) = 8t − 3; f / (t) = ⇔ t = 3/ ⇒ f(3/ 8) = −9 / 16 Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn [ 0;1] ta có : f(0) = ; f(1) = ≤ m ≤1 16 91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A Cho phương trình : cos 4x = cos2 3x + asin x a) Giải phương trình a = Vậy phương trình có nghiệm : − π b) Xác đònh tham số a để phương trình cho có nghiệm x khoảng 0; 12 Giải + cos 6x + cos 2x 2 + a a) cos 4x = c os 3x + asin x ⇔ cos 2x − = 2 ⇔ cos 2x − = + cos 2x − 3cos 2x + a(1 − cos 2x) ⇔ a(t − 1) = 4t − 4t − 3t + (t = cos 2x) ⇔ a(t − 1) = (t − 1)(4t − 3) Khi a = phương trình trở thành : kπ (t − 1) = (t − 1)(4t − 3) ⇔ t = ±1 ⇔ cos 2x = ±1 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = 2 2 b) cos 4x = c os 3x + asin x ⇔ a(t − 1) = (t − 1)(4t − 3) (*) (t = cos 2x) π π 3 π x ∈ 0; ⇔ < x < ⇔ < 2x < ⇔ < cos 2x < ⇔ < t với ∀t ∈ ;1 f = ; f ( 1) = ;1 ta thấy phương trình có nghiệm < a < Lập bảng xét dấu đạo hàm khoảng 92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D 2tgx + cot gx = + sin 2x 31 2sin x cos x + = 3+ (1) cos x sin x sin x cos x sin x ≠ Điều kiện : sin x cos x ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ ⇔ 2sin x + cos2 x = sin x cos x + ⇔ + sin x = sin x cos x + ⇔ sin x = sin x cos x sin x = (loại) π ⇔ ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ sin x = cos x 93 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994 sin 2x + 6sin x − − cos 2x = (*) cos x Điều kiện : cos x ≠ (*) ⇔ 4(1 − cos2 2x) + 3(1 − cos 2x) − − cos 2x = ⇔ cos 2x + cos 2x + = cos2 x = cos 2x = −1 1 + cos 2x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos 2x = −1/ cos 2x = −1/ cos 2x = −1/ 94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996 Tìm nghiệm phương trình : sin thỏa mãn bất phương trình : cos x = (loại) π cos 2x = −1/ ⇔ x = ± + kπ x + cos4 x = cos 2x (1) + log (2 + x − x ) ≥ (2) Giải 4 2 • sin x + cos x = cos 2x ⇔ − sin 2x = cos 2x ⇔ cos 2x − cos 2x + = ⇔ cos 2x = ⇔ x = kπ −1 < x < 2 + x − x > 2 + x − x > ⇔ x ≥ ⇔ • + log (2 + x − x ) ≥ ⇔ log (2 + x − x ) ≥ −1 ⇔ 2 x − x ≤ 12 x ≤ 1 ≤ kπ < ⇔ k = Vậy x = • Nghiệm (1) thỏa (2) −1 < k π ≤ 95 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1994 cos3x = − sin 3x 1 − sin 3x ≥ sin 3x ≤ / ⇔ ⇔ 2 cos 3x = − sin 3x + 3sin 3x 4sin 3x − sin 3x = kπ ⇔ sin 3x = ⇔ 3x = kπ ⇔ x = 96 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1995 sin x cos x − cos3 x sin x = 1 1 ⇔ − sin 2x cos 2x = ⇔ − sin 4x = 4 4 π π kπ ⇔ sin 4x = −1 ⇔ 4x = − + 2kπ ⇔ x = − + 97 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1998 ⇔ sin x cos x(sin x − cos2 x) = cos4 x − cos x sin x + sin x = 32 1 ≤ x < −1 < x ≤ ⇔ tg4 x − 4tg2 x + = ⇔ tg2 x = ∨ tg x = ⇔ tgx = ±1 ∨ tgx = ± ⇔ x = ± 98 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1998 π π + kπ ∨ x = ± + kπ π sin3 x − = sin x 4 ⇔ (sin x − cos x) = sin x ⇔ (sin x − cos x)3 = 4sin x 4sin x sin x − cos x ⇔ ⇔ (tgx − 1)3 = 4tgx(1 + tg x) ⇔ tg3 x − 3tg x + 3tgx − = 4tgx + 4tg x = cos x cos x ⇔ 3tg x + 3tg x + tgx + = ⇔ tg3 x − 3tg x + 3tgx − = 4tgx + 4tg x π π ⇔ tgx = ±1 ∨ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ 99 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh năm 1998 2 tg x − + =0 cos x ⇔ 1 − 1 − + =0⇔ − +4=0 2 cos x cos x cos x cos x π ⇔ − = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + 2kπ cos x 100 Đại Học Y Dược Hà Nội năm 1996 x x log0,25 sin − sin x + log sin + cos 2x = 2 x x ⇔ log4 sin − sin x = log4 sin + cos 2x 2 2sin x − sin x − = cos 2x = − sin x sin x = ∨ sin x = −1/ sin x = 1(loại) ∨ sin x = −1/ ⇔ x ⇔ x ⇔ x ⇔ x sin − sin x > sin − sin x > sin − sin x > sin > sin x = π 7π ⇔ s inx = − ⇔ x = − + 2kπ ∨ x = + 2kπ 6 101 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995 tg2x + cot gx = 8cos x ⇔ cos 2x ≠ sin 2x cos x + = 8cos2 x (*) Điều kiện : cos 2x sin x sin x ≠ cos x = sin 2x sin x + cos 2x cos x = 8cos2 x ⇔ cos x = cos x cos 2x sin x ⇔ cos 2x sin x 8cos x cos 2x sin x = cos x = cos x = cos x = ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện ) cos 2x sin 2x = 2sin 4x = sin 4x = 1/ π π kπ 5π kπ ⇔ x = + kπ ∨ x = + ∨x= + 24 24 102 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 (*) ⇔ π (sin 2x + cos 2x)2 − = cos 2x − 2 33 π ⇔ 4( sin 2x + cos 2x)2 − cos 2x − − = Điều kiện 2 2 π π π π ⇔ cos2 2x − − cos 2x − − = ⇔ cos 2x − = 5/ (loại) ∨ cos 2x − = −1 2 2 2 2 π 7π ⇔ 2x − = π + 2kπ ⇔ x = + kπ 12 103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 a) 3(cot gx − cos x) + 2(tgx − sin x) = −5 b) 3(cot gx − cos x) − 5(tgx − sin x) = (*) cos x ≠ Điều kiện sin x ≠ cos x sin x (*) ⇔ 3(cot gx − cos x + 1) − 5(tgx − sin x + 1) = ⇔ − cos x + − − sin x + = sin x cos x cos x − sin x cos x + sin x sin x − sin x cos x + cos x ⇔ 3 − 5 =0 sin x sin x cos x − sin x cos x + sin x = (1) ⇔ (cos x − sin x cos x + sin x) − =0⇔ = (2) sin x cos x sin x cos x t = − π (1) ⇔ t − 2t − = ⇔ (t = sin x + cos x = sin x + ⇒ t ≤ 2) 4 t = + (loại) π 1− π 3π ⇔ sin x + = = sin α ⇔ x = − + α + 2kπ ∨ x = − α + 2kπ 4 4 (2) ⇔ = ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + kπ sin x cos x 104 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998 tgx + cot gx = 2(sin 2x + cos2x) cos x ≠ ⇔ sin 2x ≠ Điều kiện : sin x ≠ tgx + cot gx = 2(sin 2x + cos 2x) ⇔ sin x cos x + = 2(sin 2x + cos 2x) ⇔ = 2(sin 2x + cos 2x) cos x sin x sin x cos x = 2(sin 2x + cos 2x) ⇔ = sin 2x(sin 2x + cos 2x) ⇔ = sin 2x + sin 2x cos 2x sin 2x cos2x = π kπ π kπ ⇔ cos2 2x = sin 2x cos 2x ⇔ (thỏa mãn điều kiện) ⇔ x = + ∨x= + tg2x = ⇔ 105 Học Viện Quan Hệ Quốc Tế năm 1995 khối D sin x + sin x + sin x − cos x = (*) Điều kiện : sin x ≥ 1 = cos x + cos x + 4 = cos x + ⇔ sin x = cos x − cos x = sin x + = − cos x − (*) ⇔ sin x + sin x = cos2 x + cos x ⇔ sin x + sin x + sin x + 1 1 ⇔ sin x + = cos x + ⇔ 2 2 sin x + 2 34 cos x ≥ sin x + sin x − = ⇔ sin x = cos x = −1 cos x ≥ cos x ≥ ⇔ sin x = cos x ⇔ sin x = − sin x ⇔ − cos x = sin x + − cos x = sin x + cos x ≥ sin x = −1 + (vì sin x ≥ 0) x = π + 2kπ ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π + 2kπ 106 Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A 1 + = cos x sin 2x sin 4x Điều kiện : sin 4x ≠ 1 1 1 + = ⇔ + = cos x sin 2x sin 4x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x cos 2x ⇔ 2sin x cos 2x + cos 2x − = ⇔ sin x cos 2x = − cos 2x ⇔ 2sin x cos 2x = sin x sin x = (loại) π 2kπ π ⇔ ⇔x= + ∨ x = − + 2kπ π cos 2x = sin x = cos − x 2 107 Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A cos x cos 2x cos 4x cos8x = (*) 16 Xét sinx = phương trình không thỏa Vậy (*) ⇔ sin x cos x cos 2x cos 4x cos8x = 2kπ π 2kπ ∨x= + 15 17 17 108 Đại Học Kinh Tế năm 1994 sin x 16 ⇔ sin16x = sin x ⇔ x = cos6 x + sin x Cho phương trình : = 2mtg2x cos2 x − sin x a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Giải phương trình m = Giải cos x + sin x cos x + sin x 2m sin 2x = 2mtg2x ⇔ = (*) Điều kiện : cos 2x ≠ 2 cos 2x cos 2x cos x − sin x ⇔ cos6 x + sin x = 2m sin 2x ⇔ − sin 2x = 2m sin 2x ⇔ sin 2x + 8m sin 2x − = (1) −3t + −3t + = f(t) ⇒ f / (t) = m > 1/ b) Vậy m = phương trình vô nghiệm 108 Đại Học Kinh Tế năm 1995 π cos x(2 sin x + 2) − cos x − = (*) Điều kiện : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + kπ + sin 2x 6 6 35 (*) ⇔ sin 2x + cos x − cos2 x − = + sin 2x ⇔ cos2 x − cos x + = cos x = (loại) π π π ⇔ ⇔ x = + kπ ∨ x = − + 2kπ (loại) ⇔ x = + kπ 4 cos x = / 109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995 sin 2x − cos2x = 3(4sin x − 1) ⇔ 8sin x cos x − 3(1 − 2sin x) = 12sin x − sin x = ⇔ sin x(4 cos x + 3sin x − 6) = ⇔ 2 cos x + 3sin x = (vô ngghiệm a + b = 25 < c = 36) ⇔ x = kπ 110 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 tg2 x − tgx.tg3x = cos x ≠ Điều kiện : cos3x ≠ − sin x sin 2x −2 sin x cos x tg x − tgx.tg3x = ⇔ tgx(tgx − tg3x) = ⇔ =2⇔ =2 cos x cos x cos3x cos x cos x cos3x ⇔ − sin x = cos x cos3x ⇔ cos2 x − = cos x − 3cos x ⇔ cos x − cos x + = π π kπ ⇔ (2 cos2 x − 1)2 = ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + (thỏa mãn điều kiện) 111 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 tgx = cot gx + cot g3 2x cos x ≠ ∧ sin x ≠ kπ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ x ≠ Điều kiện : sin 2x ≠ sin x cos x cos 2x tgx = cot gx + cot g3 2x ⇔ − = cot g3 2x ⇔ − = cot g 2x ⇔ − cot g2x = cot g 2x cos x sin x sin 2x π π kπ ⇔ cot g2x = ∨ cot g2 2x = −1 (loại) ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + (thỏa mãn điều kiện) 112 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 4 6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin 4x = m Giải 1 4 6 Ta có : sin x + cos x = (3 + cos 4x) ; sin x + cos x = (5 + 3cos 4x) Khi phương trình có dạng : + cos 4x − (5 + 3cos 4x) − sin 4x = m ⇔ cos2 4x − cos 4x − = 2m Đặt : t = cos 4x ⇒ t ≤ 2 / Phương trình có dạng : f(t) = 2t − t − = 2m ⇒ f (t) = 4t − = ⇔ t = 1 Lập bảng xét dấu đạo hàm đoạn t ≤ ta có : f(−1) = ; f(1) = ; f = − 4 9 Dựa vào ta suy phương trình có nghiệm ⇔ − ≤ 2m ≤ ⇔ − ≤ 2m ≤ 16 113 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1997 π 1 2 sin x + = + (*) sin x cos x 36 cos x ≠ kπ ⇔ sin 2x ≠ ⇔ x ≠ Điều kiện : sin x ≠ sin x + cos x = tgx = −1 sin x + cos x (*) ⇔ 2(sin x + cos x) = ⇔ ⇔ sin x cos x sin 2x = sin 2x = π π π π π nπ ⇔ x = − + kπ ∧ 2x = + 2mπ ⇔ x = − + kπ ∧ x = + mπ ⇔ x = + 4 4 114 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1998 2tgx + cot g2x = 2sin 2x + sin 2x cos x ≠ ⇔ sin 2x ≠ Điều kiện : sin 2x ≠ sin x cos 2x sin x sin 2x + = 2sin 2x + ⇔2 + cos 2x − 2sin 2x − = cos x sin 2x sin 2x cos x 2 ⇔ sin x + cos 2x − 2(1 − cos 2x) − = ⇔ 2(1 − cos 2x) + cos 2x − + cos 2x = cos 2x = (loại) (vì sin 2x = 0) ⇔ cos2 2x − cos 2x − = ⇔ ⇔ cos 2x = − cos 2x = −1/ 2π π ⇔ 2x = ± + 2kπ ⇔ x = ± + kπ 3 115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1998 cos 4x + sin x cos x = sin 2x = π ⇔ − sin 2x + 3sin 2x − = ⇔ ⇔ sin 2x = ⇔ x = k sin 2x = 3/ (loại) 116 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1998 sin x = cos2 2x + cos2 3x − cos 2x + cos 4x + cos 6x = + ⇔ cos 2x + cos 4x + + cos 6x = 2 ⇔ cos3x cos x + cos2 3x = ⇔ cos3x(cos x + cos3x) = ⇔ cos3x cos 2x cos x = π π π π π ⇔ x = + k ∧ x = + k ∧ x = + kπ 2 117 Đại Học Luật Hà Nội năm 1995 ⇔ π c os4 x + sin x + = 4 π − cos 2x + 2 + cos 2x ⇔ =1 + 2 π ⇔ (1 + cos 2x)2 + (1 + sin 2x)2 = ⇔ cos 2x + sin 2x = −1 ⇔ cos 2x − = −1 2 π π π ⇔ cos 2x − = − ⇔ x = + kπ ∨ x = − + kπ 2 118 Đại Học Mỏ Đòa Chất năm 1995 3sin 3x − cos9x = + 4sin 3x ⇔ 3sin 3x − 4sin3 3x − cos 9x = ⇔ sin 9x − cos 9x = 37 ⇔ π π 2π 7π 2π sin 9x − cos 9x = ⇔ sin 9x − = ⇔ x = +k ∨x= +k 2 3 18 54 119 Đại Học Mỏ Đòa Chất năm 1995: sin 5x =1 5sin x ⇔ sin 5x = 5sin x (sinx ≠ 0) ⇔ sin 5x = 5sin x ⇔ sin 5x − sin x = sin x ⇔ cos3x sin 2x = 4sin x ⇔ cos3x sin x cos x = sin x ⇔ cos3x cos x = ⇔ cos 4x + cos 2x = ⇔ cos2 2x + cos 2x − = ⇔ cos x = −3/ (loại) ∨ cos 2x = ⇔ − cos 2x = ⇔ 2sin x = ⇔ sin x = (loại) Vậy phương trình cho vô nghiệm 120 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995 cos x − cos 2x − cos 4x = ⇔ cos x = cos 2x + + cos 4x ⇔ cos x = cos 2x + cos 2x cos x = ⇔ cos x = cos 2x(1 + cos 2x) ⇔ cos x = cos 2x cos x ⇔ cos 2x cos x = π • cos x = ⇔ x = + kπ cos x = cos x = cos 2x = 2 cos x − = ⇔ ⇔ cos x = ⇔ x = 2kπ • cos 2x cos x = ⇔ cos x = −1 cos x = −1 (vô nghiệm ) cos 2x = − cos 2x = −1 121 Đại Học Ngoại Thương năm 1995 sin8 x + cos8 x = 17 cos2 2x 16 ⇔ (sin x + cos4 x)2 − 2sin x cos4 x = 17 cos2 2x 16 2 17 ⇔ − sin 2x − sin 2x = cos2 2x (*) Đặt : t = sin 2x ⇒ ≤ t ≤ 16 16 t = −1 (loại) t 17 (*) ⇔ − − t = (1 − t) ⇔ 2t + t − = ⇔ ⇔ sin 2x = 16 16 t = 1/ π π π ⇔ − sin 2x = ⇔ cos 4x = ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + k 122 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995 cos3 x + cos 2x + sin x = ⇔ cos3 x + cos2 x − + sin x = ⇔ cos2 x(1 + c os x) − (1 − sin x) = ⇔ (1 − sin x)(cos x + sin x)(cos x + sin x + 2) = ⇔ (1 − sin x)(cos x + sin x) = sin x = π π ⇔ ⇔ x = + k2π ∨ x = − + kπ tgx = −1 123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997 sin x + cos x − 3sin 2x + cos 2x = ⇔ 9sin x + cos x − 6sin x cos x + − 2sin x = ⇔ 2sin x − 9sin x + + cos x(sin x − 1) = ⇔ (sin x − 1)(2sin x − 7) + cos x(sin x − 1) = sin x = π ⇔ (sin x − 1)(2sin x + cos x − 7) = ⇔ ⇔ x = + 2kπ 2sin x + cos x = (vô nghiệm) 124 Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 1997 38 cos x − cos 2x + sin x = sin x ≤ ⇔ 5cos x − cos 2x = −2sin x ⇔ 2 5cos x − (2 cos − 1) = 4sin x sin x ≤ sin x ≤ sin x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ 2 cos x = −3 (loại) ∨ cos x = 1/ 5cos x − (2 cos − 1) = 4(1 − cos x) 2 cos x + cos x − = sin x = − / sin x ≤ π ⇔ ⇔ ⇔ tgx = − ⇔ x = − + kπ cos x = 1/ cos x = 1/ 125 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D (3 + 2sin x) cos x − (1 + cos2 x) = (*) + sin 2x Điều kiện :sin 2x ≠ −1 (*) ⇔ cos x + sin 2x − − cos2 x = + sin 2x ⇔ cos x − 3cos x + = ⇔ cos x = ∨ cos x = (loại) ⇔ cos x = (thỏa đk) ⇔ x = 2kπ 126 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1994 −16(sin x + cos6 x − 1) = 3sin 6x ⇔ −16 − sin 2x − 1 = 3(3sin 2x − 4sin 2x) ⇔ sin 2x + 4sin 2x − 3sin 2x = ⇔ sin 2x(4sin 2x + 4sin 2x − 3) = ⇔ sin 2x(4sin 2x + 4sin 2x − 3) = ⇔ sin 2x = ∨ sin 2x = 1/ ∨ sin 2x = −3/ (loại) kπ π 5π ⇔x= ∨x= + kπ ∨ x = + kπ 12 12 127 Đại Học Tài Chính – Kế toán năm 1997 (1 − tgx)(1 + sin 2x) = + tgx (*) Điều kiện :cosx ≠ (cos x − sin x)(cos x + sin x)2 cos x + sin x (*) ⇔ = ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x)2 = cos x + sin x cos x cos x cos x + sin x = tgx = −1 π ⇔ ⇔ ⇔ x = − + kπ ∨ x = kπ cos 2x = cos x − sin x = 128 Đại Học Xây Dựng Hà Nội năm 1994 sin x + cos6 x = sin 2x ⇔ − sin 2x = sin 2x ⇔ 3sin 2x + 4sin 2x − = sin 2x = −2 (loại) ⇔ ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ sin 2x = / = sin α 129 Trung Học Kinh Tế năm 2002 cos 4x − sin x = sin 7x − cos 2x ⇔ cos 4x + cos 2x = sin 7x + sin x ⇔ cos3x cos x = 2sin 4x cos3x π ⇔ cos3x = ∨ sin 4x = cos x = sin − x 2 130 2(sin x + cos x) cos x = + cos 2x ⇔ sin 2x + 2cos2 x = + cos 2x ⇔ sin 2x + ( − 1)cos 2x = − phương trình vô nhgiệm a2 + b2 < c2 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC 39 Bài Giải phương trình sau: a) 2sin x + 3sinx − = c) 2cos x − cos x = Bài Giải phương trình sau: a) 6cos x + 5sinx − = b) 6cos x − cox − = d) cot 2 x + 3cot x + = b) tanx + cotx = c) cos x + cosx + = d) cos x − 3cosx = 4cos x Bài Giải phương trình sau: a) cos x + sin x − 2cosx + = b) cos 2 x + cos x = c) sin x + cos x = cos x d) 2tan x + = −3 cosx Bài Giải phương trình sau: = 3cotx + sin x sin 2 x + 6sin x − − 3cos x =0 c) cosx b) 4cos x + 2sinx = 8cosx a) d) 2cos x − 8cosx + = cosx Bài Giải phương trình lượng giác sau: 3(cos2x+cot2x) = 2(1 + sin x) cot x − cos2x c) | sinx | +2cos x = a) b) + =0 sin x.cos x sinx.cosx − d) − sinx − 7cos x + sinx = Bài Chứng minh phương trình: cosx + mcos x = ln có nghiệm với m Bài Cho phương trình: cos x − (2m + 1)cosx + m + = a) Giải pt m = π 3π b) Tìm m để phương trình có nghiệm ( ; ) 2 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS Bài Giải phương trình sau: a) 4sinx – 3cosx = c) sin3x + cos3x = Bài Giải phương trình sau: a) 3sinx + 4cosx = c) cos3x + sin x = b) sinx - cosx = d) sin4x + cos4x = b) cos7 x − sin x = − d) 5cos2x – 12cos2x = 13 Bài 10 Giải phương trình sau: a) 3cos3 x + 4sin3x + 2 =3 3cos3 x + 4sin3x - b) 2sin12x + cos5x + sin5x = c) cos5x – sin3x = (cos3x – sin5x) 40 Bài 11 Giải phương trình sau: a) cosx + sinx = - cosx + 3sinx + b) 3sin3x - cos9x = + 4sin33x c) 4sin3x - = 3sinx - cos3x Bài 12 Giải phương trình sau: a) cos5x –sin5x = sin7x – cos7x b) sinx + 3cosx + sinx + 3cosx = c) cos2x - sin2x = + sin2x Bài 13 Giải phương trình: a) 2sin x + sinxcosx − 3cos x = c) cos x + sin x + = b) 3sin x − 4sinxcosx + 5cos x = d) 2cos x − 3sin x − 4sin x = −4 Bài 14 Giải phương trình sau: x x x x d) sin + 3cos = −2 2 a) sin3x − cos3x + = b) 3cos − sin + = c) 3sin x + 4cos x − = Bài 15 Giải phương trình sau: b) 4sinxcosx + 5sin x − = a) 2cos x − 3sin x − = c) 2cos x + sinxcosx − 3sin x = d) 3cos x − sin2 x + = Bài 16 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau: y= cosx + 2sinx + khoảng ( -π ; π) 2cosx - sinx + Bài 17 Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = có nghiệm Bài 18 Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – vơ nghiệm Các phương trình đưa pt lượng giác Bài 1: Giải phương trình: a/ ( 2cosx-1) ( 2sinx+cosx ) = sin 2x-sinx ; b/ cosx + cos2x + cos3x + cos4x = c/ sin xcos3x + cos x sin3x = sin 4x ; d/ ( sinx+ sin3x ) + sin 2x = ( cosx+cos3x ) + cos2x e/ sinx + cosx + + sin2x +cos2x = ; f/ ( 2sinx + 1) ( 3cos4x+ 2sinx - ) + 4cos x = Bài 2: Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho: a/ sin 2x = - với < x < π ; b/ cos ( x-5 ) = với −π < x < π 2 Bài 3: Tìm x thuộc [ 0;14] nghiệm phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - = Một số tập thuộc dạng pt bậc hàm lượng giác Giải phương trình: 41 b/ 5sinx - = ( 1-sinx ) t an x a/ cos 3x.cos2x - cos x = ; c/ ( ) cosx 2sinx +3 − 2cosx -1 =1 ; d/ 4cos3 x +3 sin 2x = 8cosx + sin 2x 17 4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x cox 2x =0 ; f/ sin x + cos8 x = e/ 16 cosx Một số tập thuộc dạng : Asinx + Bcosx = C Giải phương trình: a/ 3sin 3x − 3cos9x = 1+4sin 3x ; b/ 8sinx = / + cosx sinx 9s inx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = ; d/ sin 2x + 2cos2x = 1+ sinx - 4cosx 42 [...]... 10 Giải phương trình 11 Giải phương trình lượng giác sau: 12 Giải phương trình : 13 Giải phương trình lượng giác: Phương trình đã cho tương đương với Đáp số : 14 Giải phương trình : 11 Các nghiệm số là 1 NhËn d¹ng: 2 P.Ph¸p: D¹ng 4: Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx a.sinx + b.cosx = 0... < t 2 ≤ 1 ⇔ f(1) ≥ 0 ⇔ 4a − 1 ≥ 0 ⇔ a ≥ 1/ 4 80 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối B 28 sin 2 3x − cos2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x 1 − cos 6x 1 + cos 6x 1 − cos10x 1 + cos12x − = − 2 2 2 2 ⇔ (cos12x + cos10x) − (cos8x + cos 6x) = 0 ⇔ cos x(cos11x − cos 7x) = 0 ⇔ cos x sin 9x sin 2x = 0 kπ kπ ⇔ sin 2x = 0 ∨ cos 9x = 0 ⇔ x = ∨x= 2 9 81 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối... kπ 110 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 tg2 x − tgx.tg3x = 2 cos x ≠ 0 Điều kiện : cos3x ≠ 0 − sin x sin 2x −2 sin 2 x cos x tg x − tgx.tg3x = 2 ⇔ tgx(tgx − tg3x) = 2 ⇔ =2⇔ =2 cos x cos x cos3x cos x cos x cos3x ⇔ − sin 2 x = cos x cos3x ⇔ cos2 x − 1 = 4 cos 4 x − 3cos 2 x ⇔ 4 cos 4 x − 4 cos 2 x + 1 = 0 π π kπ ⇔ (2 cos2 x − 1)2 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + (thỏa mãn điều kiện) 2 4 2 111 ... 84 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2003 khối B cotgx − tgx + 4sin 2x = 2 (*) sin 2x 29 Điều kiện : sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ 2 cos x sin x 2 2 cos 2x 2 − + 4sin 2x = ⇔ + 4sin 2x = sin x cos x sin 2x sin 2x sin 2x 2 2 ⇔ 2 cos 2x + 4sin 2x = 2 ⇔ cos 2x + 2(1 − cos 2x) = 1 ⇔ 2 cos 2 2x − cos 2x − 1 = 0 cos 2x = 1 (loại) ⇒ sin 2x = 0 vì sin2x ≠ 0 π ⇔ ⇔ x = ± + kπ 3 cos 2x = −1/ 2 (*) ⇔ 84 Đề. .. sin x= cos2x 5 cos6x - sin6x = 13 2 cos 2x 8 7 cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8 cos3x + sin3x = cosx – sinx 6 6 9 cos x + sin x = cos4x 10 sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 11 cos8x + sin8x = 1 8 12 (sinx + 3)sin4 x x - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 2 2 D¹ng 8: Ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c biÕn ®ỉi vỊ tÝch b»ng 0 1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 2/ sinx... + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3 sin2x + 2 2 cos2x + 6 cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 8/ sin 3x sin 5 x = 3 5 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 5 cos2x 4 1 cosx 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 14/ 2sin3x - 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1 1 = 2cos3x + cosx sinx... x − 2sin8 x 8 8 6 6 ⇔ cos6 x(2 cos2 x − 1) = sin 6 x(1 − 2sin 2 x) ⇔ cos 6 x cos 2x = sin 6 x cos 2x π π x = + m cos 2x = 0 cos 2x = 0 cos 2x = 0 4 2 ⇔ x = ± π + m π (m ∈ Z) ⇔ 6 ⇔ 6 ⇔ ⇔ 11 6 4 2 tgx = ±1 x = ± π + kπ sin x = cos x tg x = 1 4 s in 8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + 5 cos 2x 4 5 ⇔ 2 cos10 x − cos8 x + 2sin 8 x − sin 8 x + cos 2x = 0 4 5 5 ⇔ cos8 x(2 cos2 x... x = 1 ⇔ sin13 x + sin14 x = sin 2 x + sin 2 x Vì cos x ≤ 1 ⇒ cos13 x ≤ cos2 x ; sin x ≤ 1 ⇒ sin14 x ≤ sin 2 x Vậy sin13 x + sin14 x ≤ 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi: π cos13 x = cos2 x cos2 x(cos11 x − 1) = 0 x = + kπ cos x = 0 cos x = 1 mπ ⇔ 2 ⇔ ∨ ⇔ ⇔x= 2 14 2 12 2 sin x = ±1 sin x = 0 sin x = sin x sin x(sin x − 1) = 0 x = k2π 46 sin x + cos x = 2 (2 − sin 3x ) (1) π VT... + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0 6 (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7 sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 8 tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 10 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11 2cos3x = sin3x 3 3 12 cos x - sin x = cosx + sinx 13 sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 14 sin3(x - π /4) = 2 sinx 2 2 D¹ng 5: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx 1 NhËn d¹ng: a ( sinx + cosx ) + b.sin... 1) + 3cos x − 4 = 0 π ⇔ 4cos3 x − 8cos2 x = 0 ⇔ 4 cos2 x(cos2 x − 2) = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 2 (loại) ⇔ x = + kπ 2 Vì x ∈ [ 0;14] ⇒ k = 0 ∨ k = 1 ∨ k = 2 ∨ k = 3 ⇔ π 3π 5π 7π ∨x= ∨x= ∨x= 2 2 2 2 82 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A Tìm x thuộc đoạn x ∈ [ 0;2π] nghiệm đúng phương trình : Vậy nghiệm của phương trình là: x = cos3x + sin 3x 5 sin x + = cos2x + 3 (*) 1 + 2sin