ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HIỀN MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép tính số học 1.1 Hàm số chuyển đổi từ phép cộng đối số 1.2 Hàm số chuyển đổi từ phép nhân đối số 21 1.3 Hàm số chuyển đổi phép biến đổi hình học đối số 25 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi trung bình đối số 40 2.1 Hàm số chuyển đổi từ trung bình cộng đối số 40 2.2 Hàm số chuyển đổi từ trung bình nhân đối số 42 2.3 Hàm số chuyển đổi từ trung bình điều hòa đối số 43 Bất đẳng thức lớp hàm lồi, lõm tựa lồi, lõm 48 3.1 Hàm lồi, lõm 48 3.2 Hàm tựa lồi tựa lõm 55 3.3 Hàm tựa lồi, lõm dạng hàm sin cosin 63 Một số dạng toán liên quan 71 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tôi muốn gửi tới toàn thể thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy hai khóa Cao học 2010 - 2012 2011 - 2013, đặc biệt thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm Phương pháp Toán sơ cấp 2010 - 2012 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Toán 2010-2012, đặc biệt anh chị em nhóm Phương pháp Toán sơ cấp quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Mở đầu Chuyên đề bất đẳng thức hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích toán học Ngay từ Trung học phổ thông biết đến số lớp bất đẳng thức hàm quen biết hàm đồng biến, nghịch biến hàm lồi, lõm, Tức lớp hàm số mô tả tính chất qua bất đẳng thức Jensen x+y f (x) + f (y) f ≤ 2 Trong năm gần đây, nhà toán học quan tâm đến bất đẳng thức hàm, mở rộng bất đẳng thức tổng quát cho lớp hàm xét (ví dụ bất đẳng thức dạng Karamata cho hàm lồi) Trong đề thi Olympic Toán quốc tế, đề thi chọn học sinh giỏi năm gần có xuất nhiều dạng toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, toán giải bất phương trình hàm, chứng minh tính chất lớp bất đẳng thức hàm Nói chung dạng toán mẻ, rời rạc khó Luận văn trình bày số lớp bất đẳng thức hàm số toán liên quan, với hi vọng bước đầu trình bày cách có hệ thống số đặc điểm, số dạng toán thiết lập số lớp bất đẳng thức hàm Luận văn chủ yếu tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn sách, báo, báo cáo khoa học viết chuyên đề bất đẳng thức hàm, bất phương trình hàm, đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi Olympic Toán quốc tế, tài liệu Internet Qua trình bày lần lượt, hệ thống lại đưa số kĩ thuật đề, giải các toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, giúp bạn đọc tiếp cận gần gũi với khái niệm bất đẳng thức hàm Ngoài phần mở đầu danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương: Trong hai chương đầu luận văn trình bày lớp bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép tính đại lượng trung bình Chương trình bày riêng lớp hàm quen thuộc hàm lồi, lõm Ngoài ra, xây dựng phương pháp mô tả hàm tựa lồi, tựa lõm từ lớp hàm lồi lõm khoảng, từ áp dụng vào số toán giải bất phương trình hàm lượng giác Một số toán liên quan tập đề nghị trình bày chương Do thời gian gấp rút kiến thức hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận đóng góp thầy cô bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hiền Chương Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép tính số học Nói đến bất đẳng thức hàm, người ta nhớ đến bất đẳng thức hàm Cauchy cổ điển f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Vì cách tự nhiên xét đến lớp bất đẳng thức hàm là: Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép tính số học Trong có hai phép tính thường thấy lý thuyết phương trình - bất phương trình hàm phép cộng phép nhân 1.1 Hàm số chuyển đổi từ phép cộng đối số 1.1.1 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép cộng thành phép cộng Dưới ta xét số toán nghiên cứu hàm số thỏa mãn bất đẳng thức hàm f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1a) Hàm số thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) gọi hàm cộng tính (Subadditive), ngược lại hàm số thỏa mãn (1.1a) gọi hàm cộng tính (Superadditive) Bài toán 1.1 Cho hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1): f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, f không âm với x ∈ R mà |x| ≥ k , k số dương Chứng minh f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Lời giải Do f thỏa mãn (1.1) với x, y ∈ R nên ta dễ dàng chứng minh f (nx) ≤ nf (x), ∀n ∈ Z∗+ , ∀x ∈ R Giả sử f (x) ≥ với x mà |x| ≥ k Khi với x mà |x| < k có số nguyên dương n cho n|x| > k hay |nx| > k Do ≤ f (nx) Mà f (nx) ≤ nf (x), suy ≤ nf (x) Vậy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Bài toán 1.2 Chứng minh hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1) với ∀x, y ∈ R , liên tục với f (0) = f liên tục với x ∈ R Lời giải Thật vậy, với x ∈ R, f (x) = f (x + h − h) ≤ f (x + h) + f (−h) Suy f (x) − f (−h) ≤ f (x + h) ≤ f (x) + f (h) với h Cho h → 0, f liên tục f (0) = suy f liên tục x Bài toán 1.3 Cho hàm f khả vi I = (a, +∞), (a ≥ 0) Chứng minh f (x) f hàm cộng tính f (x) < , ∀x ∈ I f hàm cộng tính x f (x) f (x) > , ∀x ∈ I x f (x) Lời giải Thật vậy, f (x) tồn I = (a, ∞), a ≥ 0, f (x) < x ∀x ∈ I Ta có f (x) , ∀x ∈ I x ⇔ x.f (x) − f (x) < 0, ∀x ∈ I d f (x) x.f (x) − f (x) ⇒ = < 0, ∀x ∈ I dx x x2 f (x) < Như f (x) đơn điệu giảm I x Với x, y ∈ I , ta có f (x + y) f (x + y) + y x+y x+y f (x) f (y) ≤ x + y x y = f (x) + f (y) f (x + y) = x Suy f (x) hàm cộng tính I Điều ngược lại chứng minh tương tự Bài toán 1.4 Cho f hàm cộng tính R f khả vi (a, +∞), (a ≥ 0) Chứng minh f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) f (x) hàm đơn điệu không tăng (a, +∞) Lời giải f hàm cộng tính R, f (x) tồn I = (a; ∞), a ≥ 0, f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ I Khi lấy x1 ∈ I , t > số thực dương Do f (x1 + t) tồn nên f (x1 + t + h) − f (x1 + t) = f (x1 + t) h→0 h lim Suy ra, với ε > 0, tồn h > đủ nhỏ cho f (x1 + t) − ε < f (x1 + t + h) − f (x1 + t) h Do [f (x1 + t + x1 + h − x1 ) − f (x1 + t)] h ≤ [f (x1 + t) + f (x1 + h) + f (−x1 ) − f (x1 + t)] h = [f (x1 + h) + f (−x1 )] h ≤ [f (x1 + h) − f (x1 )] h f (x1 + t) − ε < Suy f (x1 + t) ≤ f (x1 ), ∀t > Do f (x) hàm đơn điệu không tăng I Bài toán 1.5 Cho hàm f (x) : R → R thỏa mãn (1.1) với x, y ∈ R Chứng minh f hàm số chẵn f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Lời giải Thật vậy, cho x = 0, từ (1.1) ta có f (y) ≤ f (0) + f (y) suy f (0) ≥ Do f chẵn nên 2f (x) = f (x) + f (−x) ≥ f (x − x) = f (0) ≥ 0, ∀x ∈ R Như qua toán ta có số nhận xét hàm số cộng tính: Nhận xét 1.1 (i) Hàm f : R → R hàm cộng tính không âm với x ∈ R mà |x| ≥ k , k > f (x) không âm R (ii) Hàm f : R → R hàm cộng tính, liên tục với f (0) = f liên tục với x ∈ R (iii) Hàm f khả vi I = (a, +∞), (a ≥ 0) hàm cộng tính f (x) < f (x) f (x) , ∀x ∈ I hàm cộng tính f (x) > , ∀x ∈ I x x (iv) Hàm f hàm cộng tính R khả vi (a, +∞), (a ≥ 0), f (x) + f (−x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, ∞) f (x) hàm đơn điệu không tăng (a, +∞) (v) Hàm cộng tính f (x) : R → R hàm số chẵn không âm Ta xét số toán giải bất phương trình hàm liên quan Bài toán 1.6 Xác định hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R; (ii) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Lời giải Thay x = 0, y = vào điều kiện đề ta f (0) ≥ 2f (0), f (0) ≥ ⇒ f (0) = Vậy nên ∀x ∈ R, ta có = f (0) = f (x + (−x)) ≥ f (x) + f (−x) Mà f (x) ≥ 0, f (−x) ≥ nên f (x) = 0, ∀x ∈ R Hay f (x) ≡ Thử lại ta thấy hàm số f (x) ≡ thỏa mãn điều kiện đề Bài toán 1.7 Cho trước a ∈ R Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (ii) f (x) ≥ ax, ∀x ∈ R Lời giải Xét hàm số g(x) = f (x) − ax Thay vào điều kiện đề ta (i) g(x + y) ≥ g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R, (ii) g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R Theo Bài toán 1.6, ta có g(x) ≡ 0, hay f (x) = ax Thử lại ta thấy hàm số f (x) = ax thỏa mãn điều kiện đề Bài toán 1.8 Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (ii) f (1) = 1, (iii) f (g(|x|)) ≥ g(|f (x)|), ∀x ∈ R, g : R+ → R+ hàm liên tục, tăng với g(0) = 0, g(1) = Lời giải • Đầu tiên ta f (x) ≥ với x ∈ R+ Với x ∈ R+ , x = ny với n ∈ Z+ ≤ y ≤ Hơn nữa, y = g(t) với ≤ t ≤ (g hàm liên tục, tăng với g(0) = 0, g(1) = 1) Từ (i) (iii) ta có f (x) = f (ny) ≥ nf (y) = nf (g(t)) ≥ ng(|f (t)|) ≥ 0, ∀x ∈ R+ • Như vậy, với x, y ∈ R, x > y ta có x = y + x∗ , x∗ ∈ R+ , từ (i) ta có f (x) = f (y + x∗ ) ≥ f (y) + f (x∗ ) ≥ f (y) Nói cách khác, f hàm đơn điệu không giảm R Tài liệu tham khảo [1] Pl Kannappan, Functional Equation and Inequalities with Applications, Springer Monographs in Mathematics, 2003 [2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức Định lý Áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006 phổ thông, Hà Nội - Nam Định, 2010 [3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận 2004, Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo Dục [4] Th M Rassias, Functional equations, inequalities and applications, 73 -89, Kluwer Academic Publishers, 2003 83 [...]... Equation and Inequalities with Applications, Springer Monographs in Mathematics, 2003 [2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức Định lý và Áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006 phổ thông, Hà Nội - Nam Định, 2010 [3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận 2004, Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo Dục [4] Th M Rassias, Functional equations, inequalities