ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ LIỄU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN HÀ NỘI, 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian H¨older 1.1.2 Không gian Sobolev 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.3 Toán tử quạt không gian L2 1.2.4 Toán tử quạt không gian tích 1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 6 9 12 16 20 20 Mô hình chất bán dẫn 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Tính không âm nghiệm địa 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Nghiệm toàn cục 2.3 Tập hút mũ Kết Luận Tài liệu tham khảo 30 31 31 34 40 40 42 43 50 51 phương Mở đầu Trong luận văn này, nghiên cứu mô hình chất bán dẫn nhà Vật lý Shockley đưa vào năm 1950 để mô tả dòng electron lỗ trống chất bán dẫn (xem [10]) Ý nghĩa Vật lý chi tiết mô hình xem thêm tài liệu [6] Cụ thể, mô hình Shockley có dạng sau:  ∂u  = a∆u − µ∇.[u∇χ] + f (1 − uv) + g(x) Ω × (0, ∞),    ∂t ∂v (1) = b∆v + ν∇.[v∇χ] + f (1 − uv) + g(x) Ω × (0, ∞),  ∂t   0 = c∆χ − u + v + h(x), Ω × (0, ∞) Trong đó, hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) mật độ electron mật độ lỗ trống thiết bị chất bán dẫn Ω, thời điểm t ≥ Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu tự khuếch tán electron lỗ trống, a b hệ số khuếch tán dương Hàm χ đặc trưng cho điện tĩnh điện xác định phương trình Poisson, c > số điện môi Số hạng −µ∇.{u∇χ} ν∇.{v∇χ} ký hiệu khuếch tán electron lỗ trống phụ thuộc vào điện χ, µ ν hệ số khuếch tán electron lỗ trống Với điều kiện thích hợp electron lỗ trống hình thành với tốc độ f ≥ kết hợp với tốc độ f uv Các hàm g ≥ h hàm ngoại lực biết Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương gồm khái niệm kết Giải tích hàm liên quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt Cuối cùng, trình bày chi tiết định lý tồn nghiệm toán tiến hóa nửa tuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu chương Chương nội dung luận văn, chương nghiên cứu toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp Cụ thể, Mục 2.1 chứng minh tồn tại, tính không âm nghiệm địa phương Sự tồn nghiệm toàn cục trình bày Mục 2.2 dựa đánh giá tiên nghiệm Cuối cùng, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Cụ thể, Mục 2.3 xây dựng tập hút mũ cho hệ động lực xác định phương trình (2.1) Tập hút mũ khái niệm đưa nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - Mở Đầu tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn hút quỹ đạo với tốc độ mũ Những nghiên cứu chi tiết tập hút mũ xem [2] Các nội dung luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [11], [5] Trong luận văn chắn tránh khỏi hạn chế sai sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cô bạn đọc Qua tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Lê Huy Chuẩn, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Liễu Bảng ký hiệu { } Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n { } Rn+ = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > C([a, b]) := {f : [a, b] → R liên tục [a, b]} { C m ([a, b]) = f : [a, b] → R : Dα f ∈ C (Ω), ∀α : |α| ≤ m } C0m ([a, b]) := {f ∈ C m ([a, b]) : giá f compact [a, b]} C m,1 (Ω) := không gian hàm khả vi liên tục m lần đạo hàm cấp m liên tục Lipschitz Ω { } L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục { Lp (Ω) = f :Ω→C: { L∞ (Ω) = } ∫ |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ } Ω f đo Ω : ess sup|f | < +∞ Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω Ω { } ′ ′ p Lloc (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết liên quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường sử dụng nghiên cứu toán phương trình vi phân đạo hàm riêng Chứng minh chi tiết kết xem [11, 9] Và trình bày số kết liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính sử dụng chương sau luận văn Chúng ta đưa định lý tồn nghiệm hệ phương trính tiến hóa nửa tuyến tính trình bày chi tiết chứng minh định lý Những vấn đề khác liên quan đến phương trình nửa tuyến tính xem [11, Chương 4] 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian H¨ older Cho Ω ⊂ Rn tập mở < γ ≤ Định nghĩa 1.1 a) Hàm số u : Ω → R gọi liên tục H¨older bậc γ tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz b) Cho u : Ω → R bị chặn liên tục Ta định nghĩa ∥u∥C(Ω) := sup |u(x)| x∈Ω c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ u : Ω → R [u]C 0,γ (Ω) := sup x̸=y x,y∈Ω |u(x) − u(y)| |x − y|γ Chương Kiến thức chuẩn bị chuẩn H¨older bậc γ ∥u∥C 0,γ (Ω) := ∥u∥C(Ω) + [u]C 0,γ (Ω) Định nghĩa 1.2 Không gian H¨older C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn ∑ ∑ ∥u∥C k,γ (Ω) := ∥Dα u∥C(Ω) + |α|≤k [Dα u]C 0,γ (Ω) |α|=k hữu hạn Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u cho đạo hàm riêng cấp k bị chặn liên tục H¨older bậc γ Nhận xét: Không gian H¨older C k,γ (Ω) không gian Banach với chuẩn ∥.∥C k,γ (Ω) Không gian hàm liên tục H¨ older có trọng F β,σ ((a, b]; X) Cho (X, ∥.∥) không gian Banach, với hai số mũ < σ < β < Không gian β,σ F ((a, b]; X) gồm hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau: (1) (t − a)1−β F (t) có giới hạn t → a (2) F hàm liên tục H¨older với số mũ σ trọng (s − a)1−β+σ , nghĩa (s − a)1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥ (t − s)σ a≤s