BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HOÁ Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Để thực thành công luận văn xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô thuộc hai trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên nhiệt tình giảng dạy cho suốt khoá học, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực luận văn Tôi xin chân thành cám ơn PGS TS Lê Hoàn Hoá tận tình hướng dẫn suốt thời gian qua, cám ơn anh chị học viên lớp Giải tích K17 động viên giúp đỡ cho nhiều ý kiến quý báu giúp hoàn thiện luận văn Tác giả luận văn Nguyễn Thành Trung MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắc MỞ ĐẦU Chương : CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Chương : TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI 10 2.1 Định lý 2.1 10 2.2 Định lý 2.2 13 Chương : ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN 19 3.1 Nghiệm -bị chặn 19 3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận 22 Chương : ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN 30 4.1 Áp dụng vào phương trình Volterra tổng quát 30 4.2 Ví dụ 4.2 31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Trong luận văn này, kí hiệu - X, X  không gian Banach với chuẩn - Với J  X kí hiệu: + C ( J ; X ) không gian hàm liên tục J, nhận giá trị X + BC ( J ; X ) không gian C ( J ; X ) gồm hàm liên tục bị chặn J Khi BC ( J ; X ) không gian Banach với chuẩn sup J - L(X) không gian Banach ánh xạ tuyến tính bị chặn X với chuẩn ánh xạ tuyến tính - AP( ;X) không gian hàm f :  X hầu tuần hoàn 1 MỞ ĐẦU Trong luận văn này, xem xét phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính: t (E) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds, t  dt (E  ) dv(t )  Av (t )   B  t , s  v  s  ds, t  : (; ), dt  (P) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds  p (t ), t  dt (P ) dv(t )  Av(t )   B  t , s  v  s  ds  p (t ), t  , dt   : [0; ), t t  , t đó: - A phần tử sinh nửa nhóm compact C0 ánh xạ tuyến tính bị chặn không gian Banach X - B(t,s) ánh xạ tuyến tính bị chặn X thoả mãn hầu tuần hoàn theo t theo s - Trong trường hợp X hữu hạn chiều, tác giả [1], [2] đánh giá mối liên hệ tính ổn định phương trình Volterra vi tích phân phương trình giới hạn Trong đó, bật tính ổn định tiệm cận khả tích ánh xạ giải (resolvent operator), ứng dụng để tồn nghiệm bị chặn phương trình không - Trong khuôn khổ luận văn này, mở rộng nhiều kết [1], [2] cho trường hợp X vô hạn chiều Nếu theo đường [1], [2] X vô hạn chiều, gặp nhiều khó khăn, ví dụ đánh giá tính khả tích ánh xạ giải 2 - Để giải khó khăn trên, đưa tính chất yếu cho ánh xạ giải (định lý 2.1) Thật vậy, (E) phương trình chập, nghĩa B (t , s )  B(t  s ) , tính chất yếu cho ta tính khả tích ánh xạ giải, kết đánh giá tính ổn đinh tiệm cận (E) tính khả tích ánh xạ giải, tính khả nghịch ánh xạ đặc trưng (định lý 2.2) Do vậy, định lý 2.2 tổng quát hoá kết cho trường hợp X vô hạn chiều Cuối cùng, cách sử dụng tiêu chuẩn yếu ánh xạ giải, đến kết tồn nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận phương trình không với phần tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.4), kết phổ Borh phần hầu tuần hoàn nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.7) Các kết trình bày luận văn tham khảo chủ yếu từ báo, công trình nghiên cứu Hino, Y Murakami Luận văn chia làm chương sau: Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày định nghĩa, kết sơ bộ: mệnh đề định lý phục vụ cho chứng minh chương sau Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI Chương trình bày điều kiện cần đủ để nghiệm không (E) ổn định (định lý 2.1), liên hệ tính ổn định nghiệm không (E) tính khả tích ánh xạ giải R(t, s) (định lý 2.2) Chương 3: ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN Trong chương này, với giả thiết (E) ổn định tiệm cận đều, đến kết như: Tính nghiệm -bị chặn (P ) (định lý 3.1.1), công thức nghiệm -bị chặn (P ) (định lý 3.1.2) Ngoài ra, đưa khái niệm hầu tuần hoàn tiệm cận khái niệm phổ Borh, đến kết tồn nghiệm -bị chặn hầu tuần hoà tiệm cận quan hệ phổ Borh phần hầu tuần hoàn nghiệm (định lý 3.2.7) Chương 4: ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN Trong chương này, xét thêm phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính để thấy rõ kết có áp dụng vào phương trình Ngoài ra, nghiên cứu thêm ví dụ phương trình vi tích phân với điều kiện biên Neumann để thấy rỏ tính áp dụng lý thuyết vừa nêu 4 Chương CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Equation Chapter Section Xét phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính: t (E) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds, t  dt (E  ) dv(t )  Av (t )   B  t , s  v  s  ds, t  : (; ), dt  (P) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds  p (t ), t  dt (P ) dv(t )  Av(t )   B  t , s  v  s  ds  p (t ), t  , dt   : [0; ), t t  , t Với A phần tử sinh nửa nhóm C0 compact T (t )t  ánh xạ tuyến tính không gian Banach X, B(t,s) ánh xạ tuyến tính liên tục bị với   s  t   hầu tuần hoàn chặn, liên tục theo chuẩn ánh xạ 1.1 Định nghĩa 1.1 B(t, s) gọi hầu tuần hoàn biến t theo s với   tập compact J  khoảng mở  : (;0] , tồn số dương l ( , J ) cho độ dài l ( , J ) chứa  B(t , t  s )  B (t   , t    s )   , t  , s  J 1.2 Định nghĩa 1.2 Với ( , )  hàm u:  u ( )   ( ),   [0, ]   BC [0; ]; X  p  BC [ ; ); X  tồn X thoả mãn u liên tục [ , ) ,  s  u (t )  T (t   ) ( )   T (t  s )   B( s, )u ( )d  p ( s )  ds, t      t (1.1) Hàm u gọi nghiệm yếu (P) theo ( , ) [ ; ) kí hiệu u (, , , p ) Tương tự, với ( , )   BC  (-; ]; X  p  BC [ ; ); X  tồn  X thoả mãn v liên tục [ , ) , hàm v : v( )   ( ),   (, ]  s  v(t )  T (t   ) ( )   T (t  s )   B ( s, )v( )d  p ( s )  ds, t       t (1.2) Hàm v gọi nghiệm yếu (P ) theo ( , ) [ ; ) kí hiệu v(, , , p ) 1.3 Định nghĩa 1.3 Nghiệm không (E) gọi ổn định với   , tồn  ( )  thoả mãn p  BC [ ; ); X  với  ( , )  [0, ]   ( ) u (t , , , p ) X   với t   ,  [0, ]   BC ([0, ], X )   ( ) p [ , )  sup  ( x) X s[0; ] 1.4 Định nghĩa 1.4 Nghiệm không (E  ) gọi ổn định với   , tồn  ( )  thoả p  BC [ ; ); X  mãn với  (  , ] ( , )   BC ((, ], X )   ( ) v(t , , , p ) X   ) với t   ,  [- , ] p [ , )  sup  ( x ) X s[  ; ]   ( )