BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ NGOAN TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ NGOAN TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp nhiều cách tiếp cận vần đề Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tôi trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Trần Thị Ngoan ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả luận văn Trần Thị Ngoan iii Danh mục kí hiệu thường dùng R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực không âm 2R Tập hợp tất tập R Rn Không gian Euclid n chiều H Không gian Hilbert 2H Tập hợp tất tập không gian H , Tích vô hướng Chuẩn |x| Giá trị tuyệt đối x NC Nón pháp tuyến (ngoài) tập C điểm x epif Trên đồ thị hàm f domf Miền hữu dụng hàm f ∂f (x) Dưới vi phân hàm f điểm x gphT Đồ thị ánh xạ T ri(C) Tập hợp điểm tương đối C iv Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh mục kí hiệu thường dùng iii Mục lục i Mở đầu 1 Hàm đơn điệu biến đơn điệu bậc cao 1.1 1.2 Hàm đơn điệu tính chất liên quan 1.1.1 Hàm đơn điệu 1.1.2 Các tính chất hàm đơn điệu Hàm đơn điệu bậc cao 14 Toán tử đơn điệu đơn điệu cực đại 19 2.1 Không gian Hilbert 19 2.2 Toán tử đơn điệu đơn điệu cực đai 24 2.2.1 Tập lồi hàm lồi 24 2.2.2 Dưới vi phân 26 2.2.3 Toán tử đa trị đơn điệu 28 Tổng toán tử đơn điệu cực đại 43 2.3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại 45 3.1 Giới thiệu toán trường hợp riêng quan trọng 45 3.2 Thuật toán hội tụ 48 3.2.1 Thuật toán điểm gần kề 48 3.2.2 Sự hội tụ 49 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực quan trọng giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến E F Browder, T R Rockfellar, J G Minty Bên cạnh kết đạt có ý nghĩa quan trọng mặt lí thuyết, toán tử đơn điệu công cụ sử dụng nhiều hiệu lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa Nó giúp ích cho việc chứng minh tồn nghiệm cho nhiều lớp toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân toán cân Nội dung luận văn trình bày kiến thức hàm số đơn điệu biến thực đến toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại không gian Hilbert Xét ứng dụng toán tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề để giải bao hàm thức Mục đích luận văn bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hàm đơn điệu biến thực, toán tử đơn điệu không gian Hilbert phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức với toán tử đơn điệu Qua thấy phát triển lí thuyết toán tử đơn điệu ứng dụng quan trọng việc giải bao hàm thức, cụ thể là: Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho hàm đơn điệu biến thực với tính chất chúng Tiếp đến mở rộng cho toán tử đơn điệu không gian Hilbert Sau nghiên cứu tính đơn điệu cực đại tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Phần cuối luận văn dành để giới thiệu phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức với toán tử đơn điệu cực đại Những nội dung tổng hợp từ nguồn tài liệu khác hàm đơn điệu biến thực toán tử đơn điệu không gian Hilbert Với nội dung này, hi vọng luận văn: “Từ hàm đơn điệu biến thực đến toán tử đơn điệu không gian Hilbert” tài liệu tham khảo cho quan tâm đến đề tài Chương Hàm đơn điệu biến đơn điệu bậc cao Nội dung chương trình bày kiến thức hàm đơn điệu biến thực, hàm đơn điệu bậc cao như: Khái niệm, tính chất điều kiện liên quan đến đạo hàm cấp cấp Các khái niệm kết tham khảo từ tài liệu [2], [3] 1.1 1.1.1 Hàm đơn điệu tính chất liên quan Hàm đơn điệu Ta thường kí hiệu I(a, b) ⊂ R nhằm ngầm định bốn tập hợp (a, b), [a, b), (a, b] [a, b] với a < b Định nghĩa 1.1 Khi hàm số f (x) xác định tập I(a, b) ⊂ R thỏa mãn điều kiện: Với x1 , x2 ∈ I(a, b) x1 < x2 , ta có f (x1 ) ≤ f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng I(a, b) Đặc biệt, ứng với cặp x1 , x2 ∈ I(a, b) x1 < x2 , ta có f (x1 ) < f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng thực I(a, b) Ngược lại, với x1 , x2 ∈ I(a, b) x1 < x2 , ta có f (x1 ) ≥ f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm I(a, b) 44 hình cầu đóng Uα có tâm O, bán kính α H Khi Bα toán tử chuẩn tắc cho Uα , nghĩa là:   x < α  0 Bα (x) := ∅ x = α    {λJ(x) : λ ≥ 0} x > α Mệnh đề 2.8 Cho H không gian Hilbert T : H −→ 2H toán tử đơn điệu cho ∈ domT Giả sử α0 > tồn cho toán tử đơn điệu T + Bα cực đại với Khi T toán tử đơn điệu cực đại Sau phát biểu chứng minh kết vấn đề nêu Định lý 2.9 Trong không gian Hilbert H cho T1 , T2 toán tử đơn điệu cực đại từ H vào 2H Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn: i) domT1 ∩ intdomT2 = ∅ ii) Tồn x ∈ cldomT1 ∩ cldomT2 cho T2 bị chặn địa phương x Khi T1 + T2 toán tử đơn điệu cực đại Ví dụ 2.20 Một ví dụ tổng hai toán tử T (x) = T1 (x) + NC (x), T1 toán tử đa trị từ H vào H NC nón pháp tuyến tập C Khi T toán tử đơn điệu cực đại 45 Chương Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực đại Nội dung chương giới thiệu toán bao hàm thức đơn điệu cực đại số trường hợp riêng quan trọng, Đồng thời xây dựng phương pháp điểm gần kề giải toán Các kiến thức chương lấy từ tài liệu [12] 3.1 Giới thiệu toán trường hợp riêng quan trọng Cho H không gian Hilbert thực, toán tử T : H −→ 2H đơn điệu cực đại, toán bao hàm thức đơn điệu cực đại phát biểu sau: Tìm z ∈ H : ∈ T (z) Nếu toán tử T đơn trị toán giải phương trình T (z) = Về mặt hình thức toán đơn giản, nhiên bao hàm nhiều lớp toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực toán cực tiểu hàm lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán điểm bất động Dưới trình bày hai trường 46 hợp riêng điển hình toán bao hàm thức đơn điệu cực đại Bài toán cực tiểu hàm lồi Trong phần đầu Chương ta biết, T vi phân hàm lồi, thường nửa liên tục f : H −→ R ∪ {+∞} (tức T = ∂f ) T toán tử đơn điệu cực đại toán tìm z ∈ H cho ∈ T (z) trở thành toán Tìm z ∈ H cho f (z) = f (x) x∈H gọi toán cực tiểu hàm lồi Thật vậy, ta có ∈ T (z) ∈ ∂f (z) , theo định nghĩa vi phân hàm lồi 0, u − z ≤ f (u) − f (z) , ∀u ∈ H ⇔ f (z) ≤ f (u) , ∀u ∈ H Điều cho thấy việc tìm không điểm toán tử đơn điệu cực đại T = ∂f tương đương với việc tìm cực tiểu hàm lồi, nửa liên tục f Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert H T0 : C → H toán tử đơn điệu đơn trị, bán liên tục NC (z) nón pháp tuyến C z ∈ C, đặt: T (z) := T0 (z) + NC (z) z ∈ C ∅ z ∈ / C 47 Khi T toán tử đơn điệu cực đại toán tìm không điểm toán tử T quy toán bất đẳng thức sau: (V I) Tìm z ∈ C cho T0 (z) , u − z ≥ 0, ∀u ∈ C gọi toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Thật vậy, ta có ∈ T (z) khi: ∈ T0 (z) + NC (z) Tương đương với −T0 (z) ∈ NC (z) Theo định nghĩa nón pháp tuyến tập C z ∈ C ta có: T0 (z) , u − z ≥ Như toán tìm z ∈ C cho ∈ T (z) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (V I) Nếu C nón toán trở thành toán Tìm z ∈ C cho − T0 (z) ∈ C T0 (z) , z = Điều z không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T z nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Như ta thay việc giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu việc tìm không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T 48 3.2 Thuật toán hội tụ 3.2.1 Thuật toán điểm gần kề Trong chương này, trình bày thuật toán điểm gần kề để tìm nghiệm toán ∈ T (z) trường hợp T toán tử đơn điệu cực đại Theo Định lí Minty, với z ∈ H ck > 0, tồn u ∈ H cho: z ∈ (I + ck T ) (u) Khi đó, toán tử Pk = (I + ck T )−1 đơn trị, xác định toàn H Pk toán tử không giãn, tức là: Pk (z) − Pk (z ) ≤ z − z (3.1) Ta có: z ∈ (I + ck T ) (z) = z + ck T (z) hay ∈ ck T (z) Do z không điểm ánh xạ T Như thay tìm không điểm ánh xạ đa trị T ta tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Pk với ck > Pk gọi ánh xạ gần kề T Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại, thuật toán điểm gần kề trình bày sau: • Bước1: Chọn dãy số dương {ck } ⊂ R thỏa mãn ck > c > (∀k = 1, 2, ) điểm bắt đầu z ∈ H • Bước k: Xây dựng dãy điểm {zk } ⊂ H cách: bước lặp thứ k ta tính z k+1 công thức z k+1 = Pk z k = (I + ck T )−1 z k (3.2) 49 Chẳng hạn trường hợp T = ∂f ta có z k+1 = (I + ck ∂f )−1 z k k z − z k+1 ∈ ∂f z k+1 ck Theo định nghĩa vi phân hàm lồi ta có k (z − z k+1 ), z − z k+1 ck ⇔ f (z k+1 ) ≤ f (z) + ≤ f (z) − f (z k+1 ), ∀z ∈ H k z − z k+1 , z − z k+1 , ∀z ∈ H ck Vì với z, z k , z k+1 ∈ H ta có z k − z k+1 , z k+1 − z = z k − z nên f z k+1 ≤ f (z) + 2ck − z k − z k+1 z − zk 2 − z k+1 − z , ∀z ∈ H nghĩa z k+1 = arg ∅k (z) (3.3) z∈H với ∅k (z) = f (z) + 3.2.2 z − zk 2ck (3.4) Sự hội tụ Ta cần đến hai mệnh đề sau để chứng minh hội tụ thuật toán Mệnh đề 3.1 Cho H không gian Hilbert thực ánh xạ Pk xác định Qk = I − Pk , đó: 1) z = Pk (z) + Qk (z) c−1 k Qk (z) ∈ T (Pk (z)) , ∀z ∈ H 2) Pk (z) − Pk (z ) , Qk (z) − Qk (z ) ≥ 0, ∀z, z ∈ H 50 3) Pk (z) − P(k) (z ) + Qk (z) − Qk (z ) ≤ z−z , ∀z, z ∈ H Mệnh đề 3.2 Giả sử với z˜ ∈ H ρ ≥ 0, ta có z − z˜, ω , ∀z, ω với ω ∈ T (z) · z − z˜ ≥ ρ (3.5) Khi đó, tồn phần tử z thỏa mãn ∈ T (x) Định lý 3.1 Cho z k dãy tạo thuật toán điểm gần kề với zk dãy bị chặn không dần tới (tức ck > c > 0, ∀k) Giả sử z k bị chặn (điều tương đương với việc tồn nghiệm z để ∈ T (z)) Khi dãy z k hội tụ yếu đến điểm thỏa mãn = lim Qk z k k→∞ = lim z k+1 − z k k→∞ (3.6) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh điều kiện đủ để z k bị chặn (Điều kiện cần suy từ phần cuối việc việc chứng minh định lí) Giả sử z điểm thỏa mãn ∈ T (z) , ta có z k+1 − z = Pk z k − z = Pk z k − Pk (z) ≤ zk − z∞ suy l−1 l εk ≤ z − z + α, ∀l z −z ≤ z −z + (3.7) k=0 Do z k bị chặn Trong phần lại chứng minh, ta giả sử z k dãy bị chặn Lấy s > cho z k ≤ s εk < s, ∀k Khi z k có điểm tụ yếu z ∞ , z ∞ ≤ s (3.8) 51 Mục tiêu chứng minh ∈ T (z ∞ ) , trước tiên ta lí luận cho trường hợp T −1 (0) = ∅ Xét toán tử đa trị T định nghĩa T (z) = T (z) + ∂h (z) , ∀z ∈ H với h (z) = z ≤ 2s +∞ z > 2s Suy ∂h (z) :=     {0} z < 2s {λz : λ ≥ 0} z = 2s   ∅ z > 2s Nhận thấy ∂h toán tử đơn điệu cực đại h hàm lồi thường, nửa liên tục ∂h có miền hữu hiệu dom (∂h) = {z : z ≤ 2s} Hơn T (z) = T (z) z ≤ 2s Vì Pk z k (3.9) < 2s, ∀k, theo Mệnh đề 3.1 c−1 z k − Pk z k k ∈ T Pk z k nên ta có Pk z k ∈ domT ∩ intdom (∂h) , ∀k −1 Pk z k ∈ (I + ck T ) z k , ∀k (3.10) (3.11) 52 Theo (3.10) ta thấy domT ∩ intdom (∂h) = ∅ T tồng toán tử đơn điệu cực đại T ∂h nên đơn điệu cực đại Vì Pk = (I + ck T )−1 đơn trị (3.11) tương đương với Pk z k = Pk z k với k đủ lớn nên {zk } coi dãy tạo thuật toán điểm gần kề T’ , ta có domT bị chặn nên (T )−1 (0) = ∅ (theo Mệnh đề 3.2) Vì T (z ∞ ) = T (z ∞ ) (theo (3.9)) nên ta thay T T mà không tính tổng quát việc chứng minh ∈ T (z ∞ ) Do chắn tồn phần tử z¯ cho ∈ T (¯ z ) Áp dụng Mệnh đề 3.1 cho z = z k z = z¯z ta Pk z k − z¯ 2 + Qk z k ≤ z k − z¯ , ∀k (3.12) Vì Qk z k − z k − z¯ + z k+1 − z¯ ≤ z k+1 − z¯ − Pk z k − z¯ = z k+1 − Pk z k , z k+1 − z¯ + Pk z k − z¯ ≤ z k+1 − Pk z k · z k+1 − z¯ + z k − z¯ nên Qk z k ≤ z k − z¯ − z k+1 − z + 2εk (s + z¯ ) Lại có z k+1 − z k ≤ Pk z k − z¯ + εk ≤ z k − z¯ + εk (3.13) 53 ∞ εk < ∞ tương đương với tồn giới hạn k=0 lim z k − z¯ = µ < ∞ (3.14) k→∞ Lấy giới hạn hai vế (3.13) ta (3.6) Qk z k − z k − z k+1 + z k+1 − Pk z k ≥ z k+1 − z k − εk Điều có nghĩa k c−1 −→ k Qk z (3.15) hội tụ mạnh với ck số dương không dần tới Theo Mệnh đề (3.1) (a) ta có k ≤ z − Pk z k , ω − c−1 k Qk z , ∀k nếu, ω ∈ T (z) (3.16) Vì z ∞ điểm hội tụ yếu z k z k+1 − Pk z k nên điểm tụ yếu Pk z k −→ −→ Khi (3.15) (3.16) trở thành ≤ z − z ∞ , ω , ∀z, ω thỏa mãn ω ∈ T (z) Điều cực đại T nên ∈ T (z ∞ ) Tiếp theo ta chứng minh tồn z ∞ Giả sử có hai điểm z1∞ = z2∞ cho ∈ T (zi∞ ) (∀i = 1, 2) Ta thấy, để zi∞ thỏa mãn (3.14) phải có tồn giới hạn lim z k − zi∞ = µ < ∞, ∀i = 1, k→∞ (3.17) Ta có z k − z2∞ = z k − z1∞ + z k − z1∞ , z1∞ − z2∞ + z1∞ − z2∞ , 54 thấy giới hạn z k − z1∞ , z1∞ − z2∞ phải tồn lim z k − z1∞ , z1∞ − z2∞ = µ22 − µ21 − z1∞ − z2∞ k→∞ Nhưng giới hạn hội tụ tới z1∞ điểm tụ yếu z k , µ22 − µ21 = z1∞ − z2∞ >0 Đổi vai trò z1∞ z2∞ lí luận tương tự ta có µ21 − µ21 > 0, điều mâu thuẫn với tính chất z∞ Định lí chứng minh Ví dụ 3.1 Tìm {f (x) : x ∈ C} f (x) = 21 x21 − x2 + x1 C hình cầu cho bởi: C = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1} Bài toán tương đương với bao hàm thức Tìm x∗ ∈ R2 : ∈ f (x∗ ) + NC (x∗ ) = T (x∗ ) Chọn z = (0, 0)T Tính Chọn ck = với k z = (z11 , z21 ) = (I + ∇f −1 )(z0 ) Điều tương đương với: z − z )} z∈C 1 2 = arg { z12 − z2 + z1 + z , z } z∈C 2 z = arg {f (z + ∇φ0 (z) = ⇒ z1 = z1 + + z1 −1 + z2 = −1 ; z2 = thuộc C 55 Tiếp tục vậy: 1 z = arg { z12 − z2 + z1 + z − z1 } z∈C 2 1 = arg { z12 − z2 + z1 + (z1 + )2 + (z2 − 1)2 } z∈C 2 56 Kết luận Luận văn trình bày cách tổng quan kiến thức từ hàm đơn điệu đến toán tử đơn điệu không gian Hilbert Cụ thể : Chương 1: Trình bày kiến thức hàm đơn điệu biến thực, hàm đơn điệu bậc cao như: khái niệm, tính chất điều kiện liên quan đến đạo hàm Chương 2: Mục 2.1 trình bày kiến thức không gian Hilbert Mục 2.2 giới thiệu ánh xạ đa trị đơn điệu đồng thời trình số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân đưa số ví dụ minh họa Mục 2.3 Nghiên cứu toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, tính đơn điệu cực đại tổng hai toán tử đơn điệu không gian Hilbert Chương 3: Nêu ứng dụng toán tử đơn điệu việc xây dựng thuật toán điểm gần kề để tìm nghiệm toán bao hàm thức đơn điệu cực đại hai toán liên quan toán cực tiểu hàm lồi toán bất đẳng thức biến phân Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo người quan tâm để luận văn hoàn thiên Tác giả xin chân thành cảm ơn! 57 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình Giải tích lồi ứng dụng , NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2002), Giải tích lồi, NXB Kỹ thuật, Hà Nội [5] Nguyễn Đông Yên (2002), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [6] J M Borwein and Q J Zhu (2005), Techniques of variational analysis: an introduction, CMS Books, Springer-Verlag [7] H H Bauschke, L P Combettes (2011), Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces, Sringer [8] J G Minty (1962), Monotone nonlinear operators in Hilber space, Duke Math J , 29, 341–346 [9] J G Minty (1964), On the monotonicity of the gradient of a convex function, Pacific Math J , 14, 243–247 58 [10] T R Rockerafellar (1970), Convex analysis, Princeton University Press, Princeton [11] T R Rockerafellar (1965), Multivalued monotone nonlinear mappings in Banach spaces, Trans Amer Math 118 , 338-351 [12] T R Rockerafellar (1976), Monotone operators and the proximal point algorithm , SIAM J Control and Optimization 14, pp 877898 [...]... 19 Chương 2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại Trong chương này chúng ta sẽ trình bày kiến thức cơ bản về không gian Hilbert Sau đó giới thiệu ánh xạ đa trị đơn điệu đồng thời trình bài một số kiến thức về giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân cũng như đưa ra một số ví dụ minh họa Phần cuối chương chúng ta dành để nghiên cứu về toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, tính đơn điệu cực đại... )g(xk ) k=1 14 1.2 Hàm đơn điệu bậc cao Định nghĩa 1.3 Hàm số f (x) có đạo hàm cấp n, (n ∈ N∗ ) không đổi dấu trong khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu ngặt (thực sự bậc n) Nếu f (n) (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu tăng bậc n trong khoảng đó Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) có đạo hàm cấp n, (n ∈ N∗ ) không đổi dấu trong khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu ngặt (thực sự bậc n) Nếu... ta nói hàm số f (x) đơn điệu giảm bậc n trong khoảng đó Định nghĩa 1.5 Nếu hàm số f (x) đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai dương trong I(a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu tăng liên tiếp bậc (1, 2) trong I(a, b) Định nghĩa 1.6 Nếu hàm số f (x) đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai âm trong I(a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu giảm liên tiếp bậc (1, 2) trong I(a, b) Ví dụ 1.2 Hàm f (x)... ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) Ví dụ 1.1 Hàm y = f (x) = x2 là hàm đơn điệu giảm thực sự trên (−∞, 0] và là hàm đơn điệu tăng thực sự trên [0, +∞) Định nghĩa 1.2 Giả sử f (x), g(x) là các hàm trên [a, b] và khả vi trên (a, b) Khi đó: i) f (x), g(x) và được gọi là cùng tính đơn điệu nếu f (x)·g (x) > 0 ii) f (x), g(x) và được gọi là khác tính đơn điệu nếu f (x)·g (x)... về toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, tính đơn điệu cực đại của tổng hai toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert Các kiến thức trong chương được tham khảo từ các tài [1], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12] 2.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 2.1 Cho H là không gian vectơ trên R, tích vô hướng xác định trong H là một ánh xạ , : H × H −→ R thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1) x, y = y, x... điều kiện cần và đủ là hàm g (x) := f (x) x đơn điệu giảm trên R+ Nhận xét rằng, trong số các hàm sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính f (x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết về tính đơn điệu tăng (khi a > 0) và tính đơn điệu giảm (khi a < 0) trong mỗi khoảng tùy ý cho trước Các định lí tiếp theo sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) của hàm tuyến tính Định... Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = x4 là hàm đơn điệu tăng bậc 2 trên (0, +∞) và là hàm đơn điệu giảm bậc 2 trên (−∞, 0) Định lý 1.13 Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n+1, n ∈ N∗ và f 2n+1 (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P2n (x) bậc không quá 2n sao cho hàm số h(x) := f (x) − P2n (x) đơn điệu trong khoảng (a,b) Định lý 1.14 Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n, n ∈... đẳng thức (2.5) Hệ quả 2.1 Giả sử H là không gian Hilbert và x, y, z ∈ H Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius 2 x+y 2 + x−z 2 y+z =4 x− 2 2 + y−z 2 24 2.2 2.2.1 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đai Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 2.3 Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 2.5 a) Các nửa không gian đóng hay các nửa không gian mở đều là các tập lồi b) Các hình... chất của hàm đơn điệu Định lý 1.1 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) a) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b) ⇔ hàm số y = f (x) đơn điệu tăng trên khoảng đó b) Nếu f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, b) ⇔ hàm số y = f (x) đơn điệu giảm trên khoảng đó Chứng minh Lấy hai điểm x1 , x2 (x1 < x2 ) trên khoảng (a, b) Vì f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) nên f (x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trong khoảng... bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn Mặt khác từ (2.2), (2.3) và (2.4 ) ta suy ra ngay x > 0 nếu x = 0, x = 0 nếu x = 0 và λ = |λ| · x Do đó x đúng là một chuẩn Định lý 2.3 Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (2.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực 22 Ví dụ 2.2 Rk là không gian Hilbert với tích vô hướng của hai vectơ x = (ξ1