BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN QUANG HUY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN QUANG HUY TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH ANH HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, Thầy trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Nguyễn Quang Huy ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh Trong trình hoàn thành luận văn, kế thừa thành khoa học nhà toán học với trân trọng biết ơn sâu sắc Luận văn không trùng lặp với luận văn, luận án khác Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Nguyễn Quang Huy iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị 1.2 Bất đẳng thức biến phân 10 1.3 Bao hàm thức vi phân 12 1.4 Một số khái niệm kết khác 13 Chương Tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân 15 2.1 Phát biểu toán 15 2.2 Tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân 17 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Bất đẳng thức vi biến phân (DVIs) mô hình tổng quát nhiều toán lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hóa khoa học kĩ thuật Đến bất đẳng thức vi biến phân nhiều nhà toán học nghiên cứu đạt nhiều kết phong phú bao gồm kết tồn nghiệm, tính nghiệm, cấu trúc dáng điệu tập nghiệm v.v Tuy nhiên đề tài nghiên cứu tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân Với mong muốn tìm hiểu thêm tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, chọn đề tài "Tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân" Cụ thể xét toán sau: Giả sử (Z1 , d1 ) (Z2 , d2 ) hai không gian metric Giả sử L ⊂ Rn tập lồi đóng bị nhiễu tham số u thay đổi (Z1 , d1 ) Điều có nghĩa: L : Z1 ⇒ Rn ánh xạ đa trị với giá trị lồi đóng khác rỗng Giả sử H : Rn ⇒ Rn ánh xạ đa trị bị nhiễu tham số v thay đổi (Z2 , d2 ) Điều có nghĩa H : Rn × Z2 ⇒ Rn Chúng xét bất đẳng thức vi biến phân DM V I(H(·, v), L(u)):    x(t) ˙ = a(t, x(t)) + b(t, x(t))w(t),   w(t) ∈ S(L(u), c(t, x(t)) + H(·, v), ϕ), ∀t ∈ [0, T ],     x(0) = x (1) Tập nghiệm yếu Caratheodory toán kí hiệu S(DM V I(u, v)) Các nghiên cứu chủ dựa sườn tài liệu tham khảo số [5] 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân (1) Cụ thể nghiên cứu tính nửa liên tục tính liên tục S(DM V I(u, v)) L H bị nhiễu hai tham số khác Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory số điều kiện Thiết lập kết tính liên tục nửa liên tục liên quan đến ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu hai tham số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức vi biến phân có nhiễu dạng (1) Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân (1) Phương pháp nghiên cứu Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề cần nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích đa trị, phương pháp biến phân, Giả thuyết khoa học Có thể đưa số điều kiện đảm bào tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày số kiến thức sở ánh xạ đa trị, bao hàm thức vi phân số khái niệm kết khác 1.1 Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị Nội dung trình bày mục chủ yếu lấy từ tài liệu (xem [1][5]) Cho X, Y tập P (Y ) tập tất tập khác rỗng nằm Y Định nghĩa 1.1 Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng mà x ∈ X cho ta tập khác rỗng F(x) ⊆ Y , F(x) gọi giá trị x Vì ánh xạ đa trị F viết sau F : X → P (Y ) Nếu A ⊆ X F(A) = F(x) x∈A gọi ảnh A qua F Tập ΓF ⊆ X × Y định nghĩa ΓF = {(x, y) : (x, y) ∈ X × Y, x ∈ X, y ∈ F(x)} đồ thị ánh xạ đa trị F Cho V ⊆ Y , F+−1 (V ) định nghĩa F+−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V } F−−1 (V ) định nghĩa F−−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ∩ V = ∅} Cho X, Y không gian tôpô Định nghĩa 1.2 Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) nửa liên tục điểm x ∈ X với tập mở V ⊂ Y cho F(x) ⊂ V tồn lân cận U (x) x cho F(U (x)) ⊂ V Một ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục nửa liên tục điểm x ∈ X Mệnh đề 1.1 Các điều kiện sau tương đương : (i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) nửa liên tục trên; (ii) tập F+−1 (V ) mở với tập mở V ⊂ Y ; (iii) tập F−−1 (Q) đóng với tập đóng Q ⊂ Y Định nghĩa 1.3 Ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) gọi nửa liên tục điểm x ∈ X với tập mở V ⊆ Y cho F(x) ∩ V = ∅ tồn lân cận U (x) x cho F(x ) ∩ V = ∅ với x ∈ V (x) Một ánh xạ đa trị F gọi nửa liên tục nửa liên tục điểm x ∈ X Định lý 1.1 Các điều kiện sau tương đương: (i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) nửa liên tục dưới; (ii) tập F−−1 (V ) mở với tập mở V ⊂ Y ; (iii) tập F+−1 (Q) đóng với tập đóng Q ⊂ Y Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ đa trị F vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục gọi liên tục Ta xét lớp ánh xạ đa trị quan trọng Định nghĩa 1.5 Một ánh xạ đa trị F gọi đóng đồ thị ΓF = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F(x)} tập đóng không gian X × Y Mệnh đề 1.2 Các điều kiện sau tương đương: (i) ánh xạ đa trị F đóng; 18 Bổ đề 2.1 Giả thiết H : Rn ⇒ Rn ϕ− giả đơn điệu nửa liên tục với giá trị khác rỗng compact, S(L, q + H, ϕ) = ∅ với q ∈ c(Ω) Khi S(L, q + H, ϕ) đóng lồi với q ∈ c(Ω) Chứng minh Đầu tiên ta S(L, q + H, ϕ) đóng với q ∈ c(Ω) Giả thiết ωn ⊂ S(L, q + H, ϕ) với ωn → ω0 Khi tồn ωn∗ ∈ H(ωn ) cho với tất ω ∈ L, q + ωn∗ , ω − ωn + ϕ (ω) − ϕ(ωn ) ≥ (2.3) Vì H nửa liên tục với giá trị khác rỗng compact, tồn dãy ωn∗ , ký hiệu ωn∗ , cho ωn∗ → ω0∗ với ω0∗ ∈ H(ω0 ) Tính nửa liên tục ϕ ϕ(ω0 ) ≤ lim inf ϕ(ωn ) ωn →ω0 Ta suy từ (2.3) với ω ∈ L, q + ω0∗ , ω − ω0 + ϕ(ω) − ϕ(ω0 ) ≥ Do ω0 ∈ S(L, q + H, ϕ) nên S(L, q + H, ϕ) đóng Để hoàn thành chứng minh ta phải S(L, q + H, ϕ) lồi Giả thiết ω1 , ω2 ∈ S(L, q + H, ϕ) Ta cần chứng minh λω1 + (1 − λ)ω2 ∈ S(L, q + H, ϕ) với λ ∈ [0, 1] Thật vậy, tồn ω1∗ ∈ H(ω1 ) ω2∗ ∈ H(ω2 ) cho với ω ∈ L q + ω1∗ , ω − ω1 + ϕ(ω) − ϕ(ω1 ) ≥ 19 q + ω2∗ , ω − ω2 + ϕ(ω) − ϕ(ω2 ) ≥ Tính ϕ− giả đơn điệu H kéo theo rằng, với ω ∗ ∈ H(ω), q + ω ∗ , ω − ω1 + ϕ(ω) − ϕ(ω1 ) ≥ q + ω ∗ , ω − ω2 + ϕ(ω) − ϕ(ω2 ) ≥ Do q + ω ∗ , ω − (λω1 + (1 − λ)ω2 ) + ϕ(ω) − (λϕ(ω1 ) + (1 − λ)ϕ(ω2 )) ≥ 0, với ω ∈ L Tính lồi ϕ kéo theo ϕ(λω1 + (1 − λ)ω2 ) ≤ λϕ(ω1 ) + (1 − λ)ϕ(ω2 ) q + ω ∗ , ω − (λω2 + (1 − λ)ω2 ) + ϕ(ω) − ϕ(λω1 + (1 − λ)ω2 ) ≥ 0, (2.4) với ω ∈ L Giả thiết ω ˜ = λω1 + (1 − λ)ω2 cho ω = ω ˜ + µ(v − ω ˜ ), với v ∈ L µ ∈ (0, 1] Lấy ω ˜ µ∗ ∈ H(˜ ω + µ(v − ω ˜ ) Khi (2.4) kéo theo q+ω ˜ µ∗ , µ(v − ω ˜ ) + ϕ(˜ ω + µ(v − ω ˜ )) − ϕ(˜ ω ) ≥ (2.5) Tính lồi ϕ kéo theo ϕ(¯ ω + µ(v − ω ¯ )) ≤ µϕ(v) + (1 − µ)ϕ(¯ ω ) Bây (2.5) suy q+ω ¯ µ∗ , v − ω ¯ + ϕ(ω) − ϕ(¯ ω ) ≥ (2.6) 20 Cho µ → Vì H nửa liên tục với giá trị không rỗng compact, tồn ¯ ∗ với ω ¯ ∗ ∈ H(¯ ω ) Hơn dãy ωµ∗ , ký hiệu ω ∗µ cho ωµ∗ → ω (2.6) q + ω ∗µ , v − ω ¯ + ϕ(ω) − ϕ(¯ ω) ≤ ω ¯ ∈ S(L, q + H, ϕ) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2 Giả thiết (a, b, c) thỏa mãn điều kiện (A) (B), H : Rn ⇒ Rn ϕ−giả đơn điệu nửa liên tục với giá trị khác rỗng compact, L tập lồi, đóng, bị chặn Rn Giả sử S(L, q + H, ϕ) = ∅ với q ∈ c(Ω) Khi toán DM V I(2.1) có nghiệm yếu Chứng minh Giả sử F(t, x) ≡ a(t, x) + b(t, x)ω : ω ∈ S(L, c(t, x) + H, ϕ) Vì L bị chặn, tồn số M > cho ω ≤ M với ω ∈ S(L, q + H, ϕ) Ta suy từ giả thiết (A) rằng, với (t, x) ∈ Ω, tồn ρa > ρb > cho sup y : y ∈ F(t, x) ≤ (ρa + M ρb )(1 + x ) Do F có độ tăng trưởng tuyến tính Để chứng minh tính nửa liên tục F Ω ta cần F đóng Giả thiết (tk , xk ) ⊂ Ω dãy hội tụ tới (t0 , x0 ) ∈ Ω a(tk , xk ) + b(tk , xk )ωk hội tụ tới z0 ∈ Rm k → ∞, ωk ∈ S(L, c(tk , xk ) + H, ϕ) với k = 1, 2, Ta suy tồn 21 ωk∗ ∈ H(ωk ) cho với ω ∈ L c(tk , xk ) + ωk∗ , ω − ωk + ϕ(ω) − ϕ(ωk ) ≥ 0, k = 1, 2, Qua việc ωk bị chặn, ta biết tồn dãy hội tụ ωk với giới hạn ω0 Vì H nửa liên tục với giá trị khác rỗng compact nên tồn dãy hội tụ ωk∗ , ký hiệu lại ωk∗ cho ωk∗ → ω0∗ ∈ H(ω0 ) Tính nửa liên tục yếu ϕ suy ϕ(ω0 ) ≤ lim inf ϕ(ωk ) ωk →ω0 Do c(t0 , x0 ) + ω0∗ , ω − ω0 + ϕ(ω) − ϕ(ω0 ) ≥ 0, ∀ω ∈ L Ta suy z0 = a(t0 , x0 ) + b(t0 , x0 )ω0 ∈ F(t0 , x0 ) F đóng Theo Định lý 1.1 1.4 ta kết luận giá trị ban đầu DM V I(2.1) có nghiệm yếu Điều hoàn thành việc chứng minh Bổ đề 2.3 (Xem [6]) Cho (Z1 , d1 ) (Z2 , d2 ) hai không gian mêtric, u0 ∈ Z1 v0 ∈ Z2 điểm cho trước Cho X không gian xạ ảnh Banach, L : Z1 ⇒ X hàm đa trị với giá trị khác rỗng, đóng, lồi Int(L(u0 )) = ∅ Giả sử tồn lân cận U × X (u0 , v0 cho M = L(u), u∈U H : M × V ⇒ X ∗ hàm đa trị nửa liên tục với giá trị không rỗng, lồi, compact yếu Giả sử (i) với v ∈ V , ánh xạ x → H(x, v) nửa liên tục ϕ−giả đơn điệu M (ii) S(L(u0 ), H(., v0 ), ϕ) khác rỗng bị chặn Khi tồn lân cận U × V (u0 , v0 ) với U × V ⊂ U × V cho, với (u, v) ∈ U × V , S(L(u), H(., v), ϕ) khác rỗng bị chặn 22 Trong phần chương này, tính compact compact xác định không gian định chuẩn với chuẩn x = sup x(t) t∈[0,T ] Định lý 2.1 Giả thiết (a, b, c) thỏa mãn điều kiện (A) (B), u0 ∈ Z1 , v0 ∈ Z2 cho trước giả thiết (i) H : Rn × Z2 ⇒ Rn hàm đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng tập H(L2 [0, T ] × Z2 ) compact (ii) L : Z1 ⇒ Rn hàm đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, bị chặn (iii) H(·, v) ϕ−giả đơn điệu Rn với v ∈ Z2 (iv)S(L(u0 ), q + H(·, v0 ), ϕ) khác rỗng với q ∈ c(Ω) Khi S(DM V I(u, v)) đóng (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Chứng minh Qua giả thiết (ii), (iii) (iv) Bổ đề 2.3, ta suy tồn lân cận U × V (u0 , v0 ) cho với (u, v) ∈ U × V, S(L(u), q + H(·, v), ϕ) = ∅ bị chặn với q ∈ c(Ω) Từ Bổ đề 2.2 ta suy S(DM V I(u, v)) khác rỗng Với dãy cho trước (un , ) ⊂ U × V với (un , ) → (u0 , v0 ), lấy (un , ) ∈ S(DM V I(un , ) Ta có (i) Tồn ωn∗ ∈ H(ωn , ) cho với t ∈ [0, T ] ω ¯ n ∈ L(un ), c(t, xn (t)) + ωn∗ (t), ω ¯ n − ωn (t) + ϕ(¯ ωn ) − ϕ(ωn (t)) ≥ 0; (2.7) (ii) Với ≤ s ≤ t ≤ T t xn (t) − xn (s) = [a(µ, xn (µ)) + b(µ, xn (µ))ωn (µ)]dµ; s (2.8) 23 (iii) Điều kiện ban đầu xn (0) = x0 (2.9) Cho (xn , ωn ) → (x0 , ω0 ) Ta phải chứng minh (x0 , ω0 ) ∈ S(DM V I(u0 , v0 )) Tính compact H(L2 [0, T ] × Z2 ) tồn dãy ωn∗ , kí hiệu ωn∗ cho ωn∗ → ωn0 Do (ωn , ) → (ω0 , v0 ) H nửa liên tục trên, ta biết ω0∗ ∈ H(ω0∗ (t), v0 ) từ tính nửa liên tục L ta suy ω0 (t) ∈ L(u0 ) từ tính nửa liên tục L ta suy với ω ¯ ∈ L(u0 ), tồn dãy ω ¯ n ω ¯ n ∈ L(un ) cho ω ¯n → ω ¯ Qua (2.7), (2.8) (2.9) ta có (i) Tồn ω0∗ ∈ H(ω0 , v0 ) cho với t ∈ [0, T ] ω ¯ n ∈ L(u0 ) c(t, x0 (t)) + ω0∗ (t), ω ¯ − ωn (t) + ϕ(¯ ω0 ) − ϕ(ω0 (t)) ≥ (2.10) (ii) Với ≤ s ≤ t ≤ T , ta có t x0 (t) − x0 (s) = [a(µ, x0 (µ)) + b(µ, x0 (µ))ω0 (µ)]dµ (2.11) s (iii) Điều kiện ban đầu x0 (0) = x0 (2.12) Do vậy, (u0 , v0 ) ∈ S(DM V I(u0 , v0 )) S(DM V I(u, v)) đóng (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Định lý chứng minh Định lý 2.2 Giả sử (a, b, c) thỏa mãn điều kiện (A), (B) (C), u0 ∈ Z1 , v0 ∈ Z2 điểm cho trước giả thiết sau 24 (i) H : Rn × Z2 ⇒ Rn ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng tập hợp H(L2 [0, T ] × Z2 ) compact (ii) L : Z1 ⇒ Rn hàm đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, bị chặn (iii) H(·, v) ϕ− giả đơn điệu Rn với v ∈ Z2 (iv) S(L(u0 ), q+H(·, v0 ), ϕ) khác rỗng với q ∈ c(Ω) S(L(u), (q+ H(·, v)), ϕ) compact (u0 , v0 ) Khi đó, S(DM V I(u, v)) nửa liên tục (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Chứng minh Giả sử S(DM V I(u, v)) không nửa liên tục (u0 , v0 ) ∈ U × V Khi đó, tồn dãy (uk , vk ) ⊂ Z1 × Z2 với (uk , vk ) → (u0 , v0 ), (xk , ωk ) ∈ S(DM V I(uk , vk )) tập mở θ với S(DM V I(u0 , v0 )) ⊂ θ, cho (xk , vk ) ∈ / θ với k = 1, 2, Thực chất, với ≤ s ≤ t ≤ T t xk (t) − xk (s) = [a(µ, xk (µ)) + b(µ, xk (µ))ω(µ)]dµ (2.13) s Do ω(t) bị chặn [0, T ], a b bị chặn Ω nên từ (2.13) ta suy {xk } bị chặn x = sup x(t) đồng liên tục Từ Định lý Arzela- t∈[0,T ] Ascoli ta suy tồn dãy {xk } ký hiệu {xk } hội tụ x0 Do S(L(u0 ), q + H(·, v0 ), ϕ) compact (u0 , v0 ) nên tồn dãy {ωk }, ký hiệu {ωk } cho ωk → ω0 Từ Định lý 2.1 ta suy S(DM V I(u, v)) đóng (u0 , v0 ) (x0 , ω0 ) ∈ S(DM V I(u0 , v0 )) ⊂ θ Hơn nữa, (xk , ωk ) ∈ / θ, k = 1, 2, suy (x0 , ω0 ) ∈ / θ Ta thu điều ngược lại hay định lý chứng minh 25 Trong Định lý 2.3 đây, ta thiết lập tính liên tục ánh xạ tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Định lý 2.3 Giả sử (a, b, c) thỏa mãn điều kiện (A), (B) (C), u0 ∈ Z1 , v0 ∈ Z2 điểm cho trước giả thiết (i) H : Rn × Z2 ⇒ Rn ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng, H(·, v) đơn điệu ngặt Rn với v ∈ Z2 tập hợp H(L2 [0, T ] × Z2 ) compact (ii) L : Z1 ⇒ Rn hàm đa trị liên tục với giá trị lồi, đóng, bị chặn (iii) c khả vi Frechet Ω Jx c(t, x) = b(t, x)T , Jx c(t, x) biểu thị ma trận Jacobian c(t, x) (iv) S(L(u0 ), q + H(·, v0 ), ϕ) khác rỗng với q ∈ c(Ω) S(L(u), (q + H(·, v)), ϕ) compact (u0 , v0 ) Khi S(DM V I(u, v)) liên tục (u0 , v0 ) ∈ Z1 × Z2 Chứng minh Đầu tiên ta S(DM V I(u, v)) tập điểm với (u, v) ∈ Z1 ×Z2 Giả sử (¯ y , z¯), (y, z) ∈ S(DM V I(u, v)) Ta cần (¯ y , z¯) = (y, z) Giả sử m(I) độ đo Lebegues I Khi đó, tồn tập I1 ⊂ [0, t] với m(I1 ) = tập I2 ⊂ [0, T ] với m(I2 ) = cho với t ∈ [0, T ] \ I1 , y¯˙ (t) = a(t, y¯(t)) + b(t, y¯(t))¯ z (t) (2.14) với t ∈ [0, T ] \ I2 , y(t) ˙ = a(t, y(t)) + b(t, y(t))z(t) (2.15) 26 Giả sử I3 = I1 ∪ I2 , biết m(I3 ) = Khi từ (2.14) (2.15) với t ∈ [0, T ] \ I3 ta có y˜(t) − y(t), y˜˙ (t) − y(t) ˙ = y˜(t) − y(t), a(t, y˜(t)) − a(t, y(t)) + b(t, y˜(t))˜ z (t) − b(t, y(t))z(t) (2.16) Do tính liên tục Lipschitz a, có y˜(t) − y(t), a(t, y˜(t)) − a(t, y(t)) ≤ La y˜(t) − y(t) (2.17) Vì z˜(t) ∈ S(L(u), c(t, y˜(t))+H(·, v), ϕ), z(t) ∈ S(L(u), c(t, y(t))+H(·, v), ϕ) z˜(t) ∈ L(u) với z(t) ∈ L(u) ta có c(t, y˜(t)) + H(z(t), v), z(t) − z˜(t) + ϕ(z(t)) − ϕ(˜ z (t)) ≥ c(t, y(t)) + H(˜ z (t), v), z˜(t) − z(t) + ϕ(˜ z (t)) − ϕ(z(t)) ≥ Thêm c(t, y˜(t)) − c(t, y(t)) + H(˜ z (t), v) − H(z(t), v), z˜(t) − z(t) ≤ (2.18) Do H(·, v) đơn điệu chặt Rn với z ∈ Z2 , ta có H(˜ z (t), v) − H(z(t), v), z˜(t) − z(t) ≥ (2.19) Từ (2.18) (2.19) ta suy c(t, y˜(t)) − c(t, y(t)), z˜(t) − z(t) ≤ (2.20) 27 Hơn nữa, c(t, y˜(t)) − c(t, y(t)) = Jy c(t, y˜(t))(˜ y (t) − y(t) + f, f ≤ M y˜ − y (2.21) M > Tính bị chặn L có nghĩa tồn số L > cho z˜ ≤ L z ≤ L Theo (2.21) ta viết lại (2.20) sau Jy c(t, y˜(t))(˜ y (t) − y(t) + f, z˜(t) − z(t) ≤ (2.22) Từ giả thiết (iii) (2.22) ta có b(t, y˜)T (˜ y (t) − y(t), z˜(t) − z(t) ≤ 2L M y˜ − y y˜(t) − y(t), b(t, y˜)(˜ z (t) − z(t)) ≤ 2L M y˜ − y (2.23) Bây ta viết lại (2.23) sau y˜(t) − y(t), b(t, y˜(t))˜ z (t) − b(t, y(t))z(t) + b(t, y(t))z(t) − b(t, y˜(t))˜ z (t) ≤ 2L M y˜ − y Do đó, ta có y˜(t) − y(t), b(t, y˜(t))˜ z (t) − b(t, y(t))z(t) ≤ 2L M y˜ − y + L b(t, y(t)) − b(t, y˜(t)) y˜ − y (2.24) Từ (2.24) giả thiết (A), ta có y˜(t) − y(t), b(t, y˜(t))˜ z (t) − b(t, y(t))z(t) ≤ (2L M + L Lb ) y˜ − y (2.25) 28 Đặt h(t) = La + 2L M + L Lb Ta biết h(t) hàm liên tục h(t) ≥ Từ (2.16), (2.17) (2.25) với t ∈ [0, T ] \ I3 ta suy y˜(t) − y(t), y˜˙ (t) − y(t) ˙ ≤ h(t) y˜(t) − y(t) (2.26) Do y˜(t) − y(t) liên tục tuyệt đối nên tồn tập I4 ⊂ [0, T ] với m(I4 ) = cho với t ∈ [0, T ] \ I4 , y˜(t) − y(t) khả vi (xem, ví dụ, [5]) Hơn với t ∈ [0, T ] \ I4 , y˜(t) − y(t), y˜˙ (t) − y(t) ˙ = y˜(t) − y(t), lim t ↓t (˜ y (t ) − y(t )) − (˜ y (t) − y(t)) t −t y˜(t) − y(t), (˜ y (t ) − y(t )) − (˜ y (t) − y(t)) t ↓t t − t = lim y˜9t) − y(t), y˜(t ) − y(t ) − y˜(t) − y(t) t ↓t t − t ≤ lim y˜(t) − y(t) y˜(t ) − y(t ) − y˜(t) − y(t) t ↓t t − t y˜(t ) − y(t ) − y˜(t) − y(t) = y˜(t) − y(t) lim t ↓t t −t d y˜(t) − y(t) = y˜(t) − y(t) dt = lim (2.27) Tương tự, ta chứng minh d y˜(t) − y(t) y˜(t) − y(t), y˜˙ (t) − y(t) ˙ ≥ y˜(t) − y(t) dt d y˜(t) − y(t), y˜˙ (t) − y(t) ˙ = y˜(t) − y(t) y˜(t) − y(t) dt (2.28) Giả sử I = I3 ∪ I4 m(I) = Khi đó, từ (2.26) (2.28) với t ∈ [0, T ] \ I ta có y˜(t) − y(t) d y˜(t) − y(t) ≤ h(t) y˜(t) − y(t) dt 29 Giả sử I = {t ∈ [0, T ] \ I : y˜(y) − y(t) = 0} Nếu t ∈ ([0, T ] \ I) \ I y˜(t) − y(t) > d y˜(t) − y(t) ≤ h(t) y˜(t) − y(t) dt Nếu t ∈ I, y˜(t) − y(t) ≥ y˜(t) − y(t) khả vi t ∈ I, ta suy d dt y˜(t) − y(t) = Do đó, với t ∈ [0, T ] \ I có d y˜(t) − y(t) ≤ h(t) y˜(t) − y(t) dt Hơn nữa, với t ∈ [0, T ], t h(η) y˜(η) − y(η) dη h(η) y˜(η) − y(η) dη + = [0,t]\[0,t]∩I h(η) y˜(η) − y(η) dη [0,t]∩I h(η) y˜(η) − y(η) dη = [0,t]\[0,t]∩I t d y˜(η) − y(η) dη = dη d y˜(η) − y(η) dη dη [0,t]\[0,t]∩I Do [0, t] \ [0, t] ∩ I ⊂ [0, T ] \ I, nên với t ∈ [0, T ] ta suy t d y˜(η) − y(η) dη ≤ dη t h(η) y˜(η) − y(η) dη Với t ∈ [0, T ], có t d y˜(η) − y(η) dη dη y˜(t) − y(t) = y˜(0) − y(0) + 30 t d y˜(η) − y(η) dη dη = t y˜(t) − y(t) ≤ h(η) y˜(η) − y(η) dη với t ∈ [0, T ] Theo Bổ đề 1.1 với t ∈ [0, T ], ta suy y˜(t) − y(t) = y˜(t) = y(t) Còn phải chứng tỏ z˜(t) = z(t) Với t ∈ [0, T ] có c(t, y(t)) + H(˜ z (t), v), z(t) − z˜(t) + ϕ(z(t)) − ϕ(˜ z (t)) ≥ c(t, y(t)) + H(z(t), v), z˜(t) − z(t) + ϕ(˜ z (t)) − ϕ(z(t)) ≥ Hơn H(˜ z (t), v) − H(z(t), v), z˜(t) − z(t) ≤ (2.29) Tuy nhiên, z˜(t) = z(t), tính đơn điệu ngặt H(·, v) cho ta H(˜ z (t), v) − H(z(t), v), z˜(t) − z(t) > (2.30) điều mâu thuẫn Do đó, z˜(t) = z(t) (y, z) = (˜ y , z˜) Tương tự chứng minh Định lý 2.2, ta thấy S(DMVI (u, v)) liên tục (u0 , v0 ) Định lý chứng minh 31 Kết Luận Nội dung luận văn nghiên cứu tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân (1) Cụ thể nghiên cứu tính nửa liên tục tính liên tục S(DM V I(u, v)) L H bị nhiễu hai tham số khác Khuôn khổ luận văn dành cho việc trình bày Trình bày cách tổng quát kiến thức giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân số bất đẳng thức liên quan Định lý tồn nghiệm yếu Caratheodory bất đẳng thức vi biến phân trình bày từ xây dựng kết tính liên tục nửa liên tục liên quan đến ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory ánh xạ tập ràng buộc bị nhiễu loạn hai tham số Do thời gian trình độ có hạn nên chắn luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết, tác giả mong nhận góp ý quý báu Quý Thầy Cô bạn để thân tác luận văn hoàn thiện hơn! 32 Tài liệu tham khảo [1] J.P Aubin, A Cellina (1984), Differential inclusions, Springer, New York [2] Kinderlehrer, David (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [3] X.S Li, N.J Huang, D O’Regan (2010), Differential mixed variational inqualities in finite dimemsional spaces, Nonlinear Anal 72, 3875-3886 [4] J.S Pang, D Stewart (2008), Differential variational inqualities, Math Program Ser.A 113, 345-424 [5] Xing Wang, Wei Li, Xue-song Li, Nan-jing Huang (2014), Stability for differential mixed variational inequalities, Optim Lett 8, 1873-1887 [6] R.Y Zhong, N.J Huang (2010), Stability analysis for minty mixed variational inequality in reflexive Banach spaces, J Optim Theory Appl 147, 454-472 [...]... Giả sử rằng w(t) là một nghiệm của bất đẳng thức sau t w(t) ≤ v(t) + u(s)w(s)ds, a ≤ t ≤ b a khi đó, với mọi t ∈ [a, b] t w(t) ≤ v(a)ea u(s)ds t + t es a u(η)dη dv ds ds 15 Chương 2 Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân Trong chương này một định lý tồn tại nghiệm yếu Caratheodory của bất đẳng thức vi biến phân được trình bày và từ đó thiết lập những kết quả về tính liên tục và nửa liên tục liên... thể chúng tôi nghiên cứu tính nửa liên tục trên và cả tính liên tục của S(DM V I(u, v)) khi cả L và H bị nhiễu bởi hai tham số khác nhau Khuôn khổ luận văn dành cho vi c trình bày về 1 Trình bày một cách tổng quát các kiến thức về giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức liên quan 2 Định lý tồn tại nghiệm yếu Caratheodory của bất đẳng thức vi biến phân được trình bày và từ... ra tính nửa liên tục trên của (DM V I(u, v)) khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi hai tham số khác nhau Hơn nữa, ta còn chỉ ra tính liên tục của S(DM V I(u, v)) khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi hai tham số khác nhau 2.2 Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân Trong phần tiếp theo, tính nửa liên tục trên của ánh xạ tập nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến. .. z˜(t) = z(t), thì tính đơn điệu ngặt của H(·, v) cho ta H(˜ z (t), v) − H(z(t), v), z˜(t) − z(t) > 0 (2.30) điều này là mâu thuẫn Do đó, z˜(t) = z(t) và vì vậy (y, z) = (˜ y , z˜) Tương tự như chứng minh của Định lý 2.2, ta thấy rằng S(DMVI (u, v)) là liên tục tại (u0 , v0 ) Định lý được chứng minh 31 Kết Luận Nội dung của luận văn là nghiên cứu tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (1) Cụ thể... con đóng, lồi, khác rỗng của Rn và ϕ : Rn → (−∞, +∞] là một hàm lồi nửa liên tục dưới thực sự, bài toán bất đẳng thức vi biến phân là phải tìm ra u ∈ L và u∗ ∈ H(u) sao cho với mọi u ∈ L u∗ , u − u + ϕ(u ) − ϕ(u) ≥ 0 Ký hiệu S(L, H, ϕ) là tập nghiệm của bài toán này Ta vi t x˙ ≡ dx dt là đạo hàm thời gian của hàm x(t) Trong chương này, ta xét bài toán bất đẳng thức vi biến phân với giá trị 16 ban đầu:... dưới) thì bao lồi của nó coF : X → Kv(Y ), (coF)(x) = co(F(x)) là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới) 1.2 Bất đẳng thức biến phân Cho K là một tập lồi đóng trong Rn và F : K → Rn là liên tục Xét bài toán Tìm u ∈ K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau v − u, F (u) ≥ 0, ∀v ∈ K (1.1) 11 Ở đây n v, w = vi wi với v, w ∈ Rn i=1 Ta có một số kết quả sau đây Định lý 1.2 (xem [2, Định lý 3.1, trang... (x0 , ω0 ) ∈ S(DM V I(u0 , v0 )) ⊂ θ Hơn nữa, (xk , ωk ) ∈ / θ, k = 1, 2, suy ra (x0 , ω0 ) ∈ / θ Ta thu được điều ngược lại hay định lý được chứng minh 25 Trong Định lý 2.3 dưới đây, ta sẽ thiết lập tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm của các bất đẳng thức biến phân Định lý 2.3 Giả sử rằng (a, b, c) thỏa mãn các điều kiện (A), (B) và (C), u0 ∈ Z1 , v0 ∈ Z2 là các điểm cho trước và các giả thiết... thay đổi trên (Z2 , d2 )) tức là H : Rn × Z2 ⇒ Rn Ta xét bất đẳng thức vi biến phân hỗn tạp tham số DM V I(H(., v), L(u)) :    x(t) ˙ = a(t, x(t)) + b(t, x(t))ω(t),   ω(t) ∈ S(L(u), c(t, x(t)) + H(., v), ϕ), ∀t ∈ [0, T ],     x(0) = x , 0 (2.2) 17 Tập nghiệm yếu Carathéodory của DM V I(H(., v), L(u)) được kí hiệu là S(DM V I(u, v) Định nghĩa 2.2 Một hàm số a : Ω → Rm (tương ứng b : Ω → Rm×n... phải chứng minh rằng (x0 , ω0 ) ∈ S(DM V I(u0 , v0 )) Tính compact của H(L2 [0, T ] × Z2 ) chỉ ra rằng tồn tại một dãy con của ωn∗ , cũng kí hiệu là ωn∗ sao cho ωn∗ → ωn0 Do (ωn , vn ) → (ω0 , v0 ) và H là nửa liên tục trên, ta biết rằng ω0∗ ∈ H(ω0∗ (t), v0 ) từ tính nửa liên tục trên của L ta suy ra ω0 (t) ∈ L(u0 ) và từ tính nửa liên tục dưới của L ta suy ra với mọi ω ¯ ∈ L(u0 ), tồn tại một dãy... nghiệm của bài toán (1.1) Thật vậy, |uR | < R, cho v ∈ K, w = uR + (v − uR ) ∈ KR với ≥ 0 đủ nhỏ Suy ra uR ∈ KR ⊂ K: 0 ≤ F (uR ), w − uR = F (uR ), v − uR tức là uR là nghiệm của bài toán (1.1) với v ∈ K, 12 1.3 Bao hàm thức vi phân Định nghĩa 1.10 Giả sử I là một khoảng trên đường thẳng thực R Một hàm số f : I → R là liên tục tuyệt đối trên I nếu với mỗi số dương ε, có một số dương δ sao cho bất cứ