ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Lí thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THU NGÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Lí thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội- 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người thầy đáng kính trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt thời gian qua Em xin phép gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Nguyễn Thanh Diệu giúp đỡ em suốt trình làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy, cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2015 Học viên Trần Thu Ngà Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Vi phân Itô công thức Itô 1.1.1 Vi phân Itô 1.1.2 Công thức Itô tổng quát Lý thuyết ổn định 1.2.1 Hàm Lyapunov 1.2.2 Một số kết tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên 12 Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp vector bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 19 2.1 Giới thiệu 19 2.2 Mô hình 19 2.3 Phân tích tính ổn định mô hình ngẫu nhiên 23 2.4 Phân tích tính ổn định mô hình ngẫu nhiên có trễ 28 2.5 Mô số liệu 33 Tính ổn định toàn cục mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn ngẫu nhiên 39 3.1 Giới thiệu 39 3.2 Mô hình dịch ngẫu nhiên 39 3.3 Tính ổn định ngẫu nhiên điểm cân địa phương 43 3.4 Mô số liệu 49 Kết luận 53 Phụ lục 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Dịch tễ học khoa học nghiên cứu tình trạng sức khỏe yếu tố liên quan ảnh hưởng đến tình trạng sức khỏe, giúp xác định yếu tố nguy bệnh, phát triển tối ưu hóa phương thức điều trị Dịch tễ học nghiên cứu nhiều lĩnh vực từ thực hành: thời kỳ có bệnh dịch bộc phát, ảnh hưởng môi trường sinh sống, , đến lý thuyết: thống kê, tạo mô hình toán học dự đoán sức khỏe cộng đồng tương lai, phát triển bệnh dịch, triết học y tế, sinh học tâm lý học Nghiên cứu dịch tễ học dựa quan sát thí nghiệm, mục đích để tìm liên hệ bệnh yếu tố không thay đổi bẩm sinh, di truyền yếu tố "sửa chữa" thực phẩm, môi trường, giáo dục, vi sinh học, tâm lý học, v.v Ngày với biến đổi khí hậu, tình trạng ô nhiễm môi trường nguyên nhân chủ yếu dẫn đến phát triển loại bệnh gây ảnh hưởng tới sức khỏe người Vậy nên việc nghiên cứu mô hình dịch tễ ngày phát triển, giúp tìm nguyên nhân yếu tố góp phần tạo nên bệnh dịch Từ định nghĩa bệnh, liên hệ từ nguyên nhân đến triệu chứng tạo kế hoạch điều trị hay phòng ngừa Tuy nhiên việc biến đổi khí hậu hay tình trạng ô nhiễm môi trường, tác động khách quan chủ quan gây biến động Do việc nghiên cứu tính ổn định mô hình dịch tễ môi trường ngẫu nhiên không phần quan trọng Ở luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định số mô hình dịch tễ môi trường ngẫu nhiên thông qua mô hình toán học, từ tìm điều kiện thích hợp giúp để kiểm soát bệnh dịch Nội dung luận văn trình bày làm rõ kết hai báo [11, 12] Cấu trúc luận văn bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại số khái niệm vi phân Itô, công thức Itô tổng quát, hai định lý Lyapunov tính ổn định số kết ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên ⋄ Chương 2: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp vector bị nhiễu ngẫu nhiên Bệnh dịch lây truyền vector (vector-borne disease) bệnh gây loại vi khuẩn truyền nhiễm, lây truyền động vật chân đốt hút máu động vật có xương sống bị nhiễm bệnh lây truyền sang cá thể dễ bị nhiễm bệnh Từ góc nhìn bệnh truyền nhiễm, vector cá thể truyền dẫn sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh từ vật chủ khác Các vector thường gặp động vật không xương sống thường động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ cáo, gấu trúc, chồn hôi), tất truyền virus cho người Sức khỏe người bị ảnh hưởng trực tiếp qua vết cắn, đốt, phá hoại mô) gián tiếp thông qua lây nhiễm bệnh Đặc biệt mô hình bệnh sốt rét, nghiên cứu qua mô hình xác định nhiều tài liệu ([4, 7-10]) Trong chương ta tập chung nghiên cứu mô hình dịch tễ ngẫu nhiên bệnh sinh vật sinh với cách thức truyền trực tiếp điều chỉnh cản trở Chính xác hơn, ta mở rộng mô hình dịch tễ xác định cách đưa nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân địa phương ⋄ Chương 3: Tính ổn định toàn cục mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu ngẫu nhiên Ở chương này, ta nghiên cứu tính ổn định toàn cục điểm cân địa phương mô hình SIR hai nhóm, bị nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân địa phương Và chứng minh điểm cân địa phương mô hình bị nhiễu ngẫu nhiên ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên Ngoài ra, ta thu điều kiện ổn định cách xây dựng hàm Lyapunov Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày số kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết luận văn Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T |f (t, ω)|dt E < ∞, N (0, T ) không gian Banach với chuẩn T ||f || = E |f (t, ω)| dt Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T E |f (t, ω)|dt < ∞, N (0, T ) không gian Banach với chuẩn T ||f ||2 = E 1.1 f (t, ω) dt Vi phân Itô công thức Itô Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown tiêu chuẩn Định nghĩa 1.1 Quá trình W = (Wt , t ∈ [0, T ]) xác định không gian xác suất (Ω, F , P) gọi trình Weiner tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn) nếu: W0 = (Wt ) trình có số gia độc t1 < t2 < t3 < t4 biến ngẫu nhiên Wt4 − Wt3 Wt2 − Wt1 độc lập Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn N(0, t − s) Với hầu hết ω quỹ đạo Wt (ω) liên tục 1.1.1 Vi phân Itô Giả sử rẳng X = (Xt , t ∈ [0, T ]) có dạng t Xt = X(r) + t f (s, ω)ds + r g(s, ω)dW (s) r f ∈ N (0, T ); g ∈ N (0, T ) với (s, t) : ≤ r < t ≤ T Khi ta nói X có vi phân Itô dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt viết gọn dX = f dt + gdW 1.1.2 Công thức Itô tổng quát Công thức Itô thực chất công thức đổi biến giải tích ngẫu nhiên Định lý 1.1 Cho u(t, x1 , x2 , , xd ) hàm liên tục xác định [0; T ] × Rd với đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với i, j ≤ d Đặt X(t) = Tài liệu tham khảo [1] A Bahar, X Mao, Stochastic delay Lotka–Volterra model, J Math Anal Appl 292 (2004) 364–380 [2] Đặng Hùng Thắng(2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] J.C Beier, Malaria parasite development in mosquitoes, Annu Rev Entomol 43 (1998) 519–543 [4] H.-M Wei, X.-Z Li, M Martcheva, An epidemic model of a vector-borne disease with direct transmission and time delay, J Math Anal Appl 342 (2008) 895–908 [5] H.B Guo, M.Y Li, Z Shuai, Global stability of the endemic equilibrium of multigroup SIR epidemic models, Can Appl Math Q 14 (2006) 259–284 [6] H.M Wei, X.Z Li, M Martcheva, An epidemic model of a vector-borne disease with direct transmission and time delay, J Math Anal Appl 342 (2008) 895–908 55 [7] L Shaikhet, Some new aspects of Lyapunov type theorems for stochastic differential equations of neutral type, SIAM J Control Optim 48 (7) (2010) 4481–4499 [8] L Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic systems with delay, Math Notes 57 (1–2) (1995) 103–106 [9] L Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic hereditary systems, Dynam Syst Appl (2) (1995) 199–204 [10] L Shaikhet, Stability of predator-prey model with aftereffect by stochastic perturbation, SACTA (1) (1998) 3–13 [11] Miljana Jovanovic, Marija Krstic, Stochastically perturbed vector - borne disease models with direct transmission.Appl.360 (2009) 235 - 244 [12] Ningzhong, Jiajia Yu, Daqing Jiang, Global stability of two - group SIR model with random perturbation.Appl.36 (2012) 5214 - 5228 [13] N Chitnis, J.M Cushing, J.M Hyman, Bifurcation analysis of a mathematical model for malaria transmission, SIAM J Appl Math 67 (1) (2006) 24–45 [14] P Borne, V Kolmanovskii, L Shaikhet, Stabilization of inverted pendulum by control with delay, Dynam Syst Appl (2000) 501–514 [15] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 56