Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Chun đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết I KIẾN THỨC CƠ BẢN Bài toán tổng quát (C1 ) : y  f(x) Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số :  y y (C1 ) M y2 y1 x O (C1 ) M2 (C2 ) : y  g(x) y (C ) (C1 ) M0 x x1 O x x2 O (C ) (C ) (C1) (C2) khơng có điểm chung (C2) tiếp xúc (C 1) (C2) cắt (C1) Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1) * Tùy theo số nghiệm phương trình (1) mà ta kết luận số điểm chung hai đồ thị (C1) (C2) Lưu ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C 1) (C2) Chú ý : * (1) vô nghiệm  (C1) (C2) điểm điểm chung * (1) có n nghiệm  (C1) (C2) có n điểm chung Chú ý : * Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chungylà y0 = f(x0) y0 = g(x0) y0 x0 O NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 B Phương pháp giải tốn Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị (C1 ) : y f ( x) (C2 ) : y g ( x) PHƯƠNG PHÁP B1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x) B2 Giải phương trình (1) tìm x (1) g ( x) y B3 Kết luận VÍ DỤ Ví dụ Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y  2x  2x  đường thẳng y  x  Bài giải ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x 2x x (1) Điều kiện: x ♦ Khi đó: (1) 2x (2 x 1)( x 2) x 2x ♣ Với x ♣ Với x x 3 x y y ♦ Vậy tọa độ giao điểm cần tìm Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị ; 1;3  2 (C1 ) : y f ( x) (C2 ) : y g ( x) cắt 2( 3, 4) điểm phân biệt PHƯƠNG PHÁP B1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x) g ( x) (1) B2 Lập luận Lưu ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y  2x  x 1 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng (d): y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Bài giải 2x x ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: x (1) m Điều kiện: x ♦ Khi đó: (1) 2x ( x x2 m)( x 1) ♦ (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (m 1) x m (2) (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác m m m 1 m m2 6m m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m m  Ví dụ Cho hàm số y mx3 x 2 x 8m có đồ thị Cm Tìm m đồ thị Cm cắt trục hồnh điểm phân biệt Bài giải ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: mx3 x 2 x 8m mx x x (1) (2m 1) x 4m mx (2m 1) x 4m (2) ♦ Cm cắt trục hoành điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt m m 12m 12m (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 4m 1 m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 m m m 6 m  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ Cho hàm số y x (3m 4) x m có đồ thị Cm Tìm m đồ thị Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Bài giải ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: x (3m 4) x m Đặt t x2 t (1) , phương trình (1) trở thành: t2 (3m m2 4)t ♦ Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt (2) (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt 5m P m S 3m m m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị 0 m m 4 m  m m 24m 16 (C1 ) : y f ( x) (C2 ) : y g ( x) cắt 2( 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP B1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x) g ( x) (1) B2 Lập luận Lưu ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ điểm chung (C1) (C2) Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CÁC VÍ DỤ mx x Ví dụ Cho hàm số y có đồ thị Cm Tìm m để đường thẳng (d): y x cắt đồ thị Cm hai điểm phân biệt A, B cho AB 10 Bài giải ♦ Phương trình hoành độ giao điểm: Điều kiện: x mx x (1) 2x ♦ Khi đó: (1) mx x2 (2 x 1)( x (m 3) x 2) (2) ♦ (d) cắt Cm hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác m 2m 0 m (*) Đặt A x1; x1 ; B x2 ; x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình (2) x1 Theo định lý Viet ta có: m 2 x2 x1 x2 Khi đó: AB x1 x2 x1 x2 10 x1 x2 x1 x2 m m 10 2 [thỏa mãn (*)] ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Ví dụ Cho hàm số y x3 đường thẳng (d ) : y ba điểm A 0;1 , B, C cho BC x 3x (m 1) x có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm cắt 10 Bài giải ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 3x (m 1) x x x x2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3x m (1) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x x 3x m ♦ Cm cắt trục hoành điểm phân biệt (2) (1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác 4(m 2) m 17 m m (*) Đặt B x1; x1 ;C x2 ; x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình (2) x1 Theo định lý Viet ta có: Khi đó: BC x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 m 2 10 x1 x2 m m x1 x2 10 [thỏa mãn (*)] ♦ Vậy giá trị m cần tìm m  Ví dụ Cho hàm số y x4 (3m 4) x m2 có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài giải ♦ Phương trình hồnh độ giao điểm: x (3m 4) x m Đặt t x2 t (1) , phương trình (1) trở thành: t2 (3m ♦ (C) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt m2 4)t (2) (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt 5m P m2 S 3m m m m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 24m 16 m 0 5 m m (*) SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi phương trình (2) có hai nghiệm t t2 Suy phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt x1 t2 x2 t1 x3 t1 x4 ♦ Bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng t2 x2 x1 x3 x2 t2 t1 t1 t2 t1 t2 t1 Theo định lý Viet ta có: t1t2 Từ (3) (4) ta suy t2 3m m t1 t2 x4 9t1 x3 (3) (4) (5) 3m 10 9(3m 4) 10 (6) Thay (6) vào (5) ta được: 3m 100 m m ♦ Vậy giá trị m cần tìm m NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 3m 3m 10m 10m m m 12 12 19 [thỏa mãn (*)] 12 12  19 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN x2 có đồ thị kí hiệu (C ) x 1 Câu Cho hàm số y  a) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b) Tìm m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB  2 Tìm m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB  2 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: y=-x+m là: x  x  x2  x  m    2 x 1  x    x  mx  x  m  x  mx  m   (1) d cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1  m  m     m2  4m   0(*) m  4( m  2)   Khi d cắt (C) A( x1 ;  x1  m), B( x2 ;  x2  m) , với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Theo Viet, ta có AB   x2  x1 2   x1  x2 2  ( x1  x2 )2  4x1.x2    m2  4m  8 Yêu cầu toán tương đương với :  m  2 (thỏa mãn (*))  m2  4m  8  2  m2  4m  12    m  Vậy m  2 m  Câu Tìm m để đường thẳng  d  : y  x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  x 1 hai x 1 điểm A, B cho AB  Pt hoành độ giao điểm  x2   m  2 x  m   x 1  x  m  x    x  m  x  1 (vì x  không nghiệm pt) x 1 (1) Pt (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2    m2    m   x1  x2  m   x1 x2  m  Khi A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  Theo hệ thức Viet ta có  AB   AB  18   x1  x2   18   x1  x2    2   x1  x2   x1 x2    m     m  1   m  1 2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  x x 1 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm m để đường thẳng y  x  m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích , với I giao điểm hai tiệm cận Gọi d : y  x  m Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C) là:  x   x  1 x  m   x2   m  2 x  m  (Vì x 1 x  xm x 1 khơng phải nghiệm phương trình) (1) Ta có   m   0, m nên đường thẳng d cắt đồ thị ( C) hai điểm phân biệt A, B với m Khi đó, A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  , với x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Ta có: I 1;1  d  I , AB   m AB   x2  x1 2   x2  x1 2   x1  x2 2  8x1x2   m2  4 Ta có: S IAB  AB.d  I , AB   S IAB   m m2  m m2  Theo giả thiết, ta có:  3m Câu Cho hàm số y=x4-2x2-3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số b).Tìm tham số m đề đồ thị hàm số y=mx2-3 cắt đồ thị ( C) điểm phân biệt tạo thành hình phẳng có diện tích 128 15 Ta có f1(x)=f2(x) x4-(2+m)x2=0 Điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt 2+m>0 =>m>-2 Lúc ta có nghiệm x=0; x=   m diê ̣n tích S= 2 m  x  (2  m) x dx   2 m  2 m x  (2  m) x dx   ( x  (2  m) x )dx x (2  m) x  m 2m (  m )5 )  2 4 =2 (  15 15 Suy (  m )5 128   (  m )5  32   m   m  2(tm) 15 15 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số: y  2x  C  x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Định m để đường thẳng (d): y = mx + cắt đồ thị (C) điểm A, B cho tam giác OMN vuông O Định m để đường thẳng d: y = mx + cắt đồ thị (C) điểm M, N cho  OMN vuông O 2x   mx  x 1  mx  (1  m)x   (*) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d:  2x   (mx  3)(x  1) (C) cắt d hai điểm phân biệt  m   m    m  7     m  14m    m  7  m 1   x1  x  m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (*)    x x  4  m Khi OM  (x1;mx1  3) , ON  (x ;mx  3) OMN vuông O nên OM.ON   (1  m2 )x1x  3m(x1  x )   4(1  m2 ) 3m(m  1)   9  m m Câu Cho hàm số  m  6m   y  x3  3mx  3(m2  1) x  m3  m  m   (n)   m   (n) (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Ta có y  3x  6mx  3(m2  1) Hàm số (1) có cực trị PT y  có nghiệm phân biệt  x2  2mx  m2   có nhiệm phân biệt     0, m Khi đó, điểm cực đại A(m  1;2  2m) điểm cực tiểu B(m  1; 2  2m)  m  3  2 Ta có OA  2OB  m2  6m      m  3  2 Câu Cho hàm số y  x3  3x2   C  Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x – 3x2 + = kx + k  x3 – 3x2 – kx + – k =  (x + 1)( x2 – 4x + – k ) =  x  1 có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + – k = có hai   g ( x)  x  x   k   '  k  nghiệm phân biệt khác -      k  (*)  g (1)  9  k  Với điều kiện: (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), B,C có hồnh độ hai nghiệm phương trình g(x) = Gọi B  x1; y1  ; C  x2 ; y2  với x1; x2 hai nghiệm phương trình: x2  x   k  Còn y1  kx1  k ; y2  kx2  k Ta có: BC   x2  x1; k  x2  x1    BC   x2  x1  1  k   x2  x1 Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h  1  k  k 1 k2 Vậy theo giả thiết: S 1 k 1 h.BC  k 1 k  k3   k3   k3   k  2 1 k2 4 Câu Cho hàm số y  2x   C  Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ x 1 thị hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Xét phương trình hoành độ giao điể m d (C): 2x   2 x  m ( x  1)  g ( x)  x  (m  4) x   m  (1) x 1 D cắt (C) điể m phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác   (m  4)  8(1  m)  m      m2    m  R   g (1)   g (1)  1  Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi A  x1; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m  Với: x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1)   Ta có AB  x2  x1 ;2  x  x2   AB   x2  x1    x2  x1   x2  x1 2 Gọi H hình chiếu vng góc O d, khoảng cách từ O đến d h: h NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 m 22   m SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Theo giả thiết: S  AB.h  Vậy: x2  x1  5  m2   2 m2   42.3  m2   42.3  m2  40  m  10 (*) Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán Câu Cho hàm số y  x3  2mx   m  3 x  (1) Tìm m để đường thẳng d: y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác MBC có diện tích (Điểm B, C có hồnh độ khác khơng ; M(1;3) ) Đồ thị (1) cắt d ba điểm A, B, C có hồnh độ nghiệm phương trình: x   x3  2mx   m  3 x   x  4;  x  x  2mx  m       x  2mx  m     '  m  m    m  1  m  (*) Với m thỏa mãn (*) d cắt (1) ba điểm A(0; 4), cịn hai điểm B,C có hồnh độ hai nghiệm phương trình:  '  m2  m    x  2mx  m      m  1  m  2; m  2 m   - Ta có B  x1; x1   ; C  x2 ; x2    BC   x2  x1; x2  x1   BC   x2  x1    x2  x1  2  x2  x1 -Gọi H hình chiếu vng góc M d h khoảng cách từ M đến d thì: h 1   2S  1 BC.h  x2  x1 2  x2  x1 2 - Theo giả thiết: S =  x2  x1  4;   '  4;  m2  m    m2  m   Kết luận: với m thỏa mãn: m  2  m   m  (chọn) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ