LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em nhận hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Hoàng Ngọc Anh, giảng viên khoa Toán-Lý-Tin, trường Đại học Tây Bắc Em xin bày tỏ cảm ơn chân thành tới thầy Ngoài ra, trình thực khóa luận em nhận giúp đỡ nhiệt tình của: Ban giám hiệu Trường Đại Học Tây Bắc, thầy cô khoa Toán-Lý-Tin, bạn sinh viên K53-ĐHSP Toán gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Trong trình thực hiện, khóa luận không tránh khỏi thiếu xót, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chúc thầy cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc bạn sinh viên mạnh khỏe thành công học tập Sơn La, tháng 05 năm 2016 Người thực khóa luận Nguyễn Lệ Quyên Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý chọn khóa luận Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp khóa luận Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG KHÓA LUẬN Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Phương trình Định nghĩa 1.2 Các phép biến đổi tương đương phương trình 1.1 Phương trình vô tỷ Định nghĩa Định lý số 2.2 Các định lý tương đương 2.3 Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) 2.1 9 10 11 Chương 2.CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 12 Các dạng phương trình vô tỉ cách giải 12 Dạng 1.2 Dạng 1.3 Dạng 1.4 Dạng 1.5 Dạng 1.6 Một số 1.1 f (x) = g(x) f (x) + h(x) = g(x) f (x) + h(x) = g(x) f (x) + h(x) = g(x) + k(x) f (x) + h(x) + n f (x).h(x) = g(x) tập tự luyện 12 13 14 15 16 17 Phương pháp giải phương trình vô tỷ Phương pháp hữu tỷ hóa 2.2 Phương pháp đưa hệ đối xứng 2.3 Phương trình giải phương pháp so sánh 2.4 Phương pháp ứng dụng tính chất hàm số 2.5 Một số tập tự luyện 2.1 19 19 31 36 40 42 Một số phương pháp để giải phương trình vô tỷ chứa tham số Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 3.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 3.3 Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ 3.4 Sử dụng phương pháp hàm số 3.5 Một số tập tự luyện 3.1 44 44 45 47 48 51 KẾT LUẬN CHUNG 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Lý chọn khóa luận Toán học môn khoa học mang tính trừu tượng, mô hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống Tuy nhiên, môn học khó, khô khan đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức Phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình Toán phổ thông Giải phương trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh khá, giỏi nhiều lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vô tỷ Phương trình vô tỷ lớp toán có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình toán học bậc phổ thông Trong năm gần đây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất nhiều kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán phương trình vô tỷ mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Nó trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ngỡ ngàng bối rối giải loại phương trình Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng quan trọng Như biết, phương trình vô tỷ có nhiều dạng phương pháp giải khác Việc tìm phương pháp giải phương trình vô tỷ niềm say mê không người, đặc biệt người trực tiếp dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập mong muốn tìm hiểu, nghiên cứu sâu vấn đề này, chọn đề tài khóa luận: "Phương trình vô tỷ cách giải số dang toán phương trình vô tỷ" Mục đích nghiên cứu - Xây dựng tài liệu tham khảo chuyên để phương trình vô tỷ - Giúp học sinh có hướng tiếp cận dễ dàng hơn, nắm bắt nhanh hiểu sâu gặp dạng toán phương trình vô tỷ - Nâng cao hiểu biết hiệu học tập thân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số kiến thức phương trình vô tỷ - Hệ thống phương pháp giải lớp phương trình vô tỷ - Trình bày phương pháp giải biện luận phương trình vô tỷ có chứa tham số Đối tượng nghiên cứu Phương trình vô tỷ cách giải số dạng phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp khóa luận Khóa luận sau hoàn thành làm tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên Toán Trường Đại học Tây Bắc bạn yêu thích môn Toán Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Nội dung chương nhắc lại kiến thức phương trình, phương trình vô tỷ Chương 2: Cách giải số dạng toán phương trình vô tỷ Đây nội dung khóa luận Trong chương này, trình bày thuật toán phương pháp dạng toán cụ thể, đưa ví dụ minh họa tập áp dụng Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Phương trình 1.1 Định nghĩa Cho hai hàm số n biến thực x1 , , xn f (x1 , , xn ) g(x1 , , xn ) Ta gọi n số thực x = (x1 , , xn ) ∈ Rn điểm không gian thực n chiều Rn Khi đó, hàm số f (x1 , , xn ) g(x1 , , xn ) xem hàm biến f (x), g(x) Rn Ta định nghĩa phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến dạng f (x) = g(x) (1) đó, f (x) g(x) biểu thức chứa x Ta gọi f (x) vế trái, g(x) vế phải phương trình (1) Nếu coi f g hàm n biến không gian thực R (1) phương trình n ẩn x1 , , xn • Giả sử f (x), g(x) có tập xác định D1 , D2 D = D1 ∩ D2 gọi tập (miền) xác định phương trình (1) • Nếu x0 ∈ D cho f (x0 ) = g(x0 ) mệnh đề đúng, x0 gọi nghiệm phương trình (1) • Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm nó, tập hợp nghiệm phương trình kí hiệu S S = {x0 ∈ D : f (x0 ) = g(x0 }) Khi đó, ta nói phương trình (1) là: a) Phương trình vô nghiệm tập nghiệm S phương trình (1) tập rỗng, tức S = ∅; b) Phương trình có nghiệm có giá trị x0 ∈ D thỏa mãn phương trình (1), tức S gồm phần tử; c) Phương trình có vô số nghiệm giá trị x0 ∈ D thỏa mãn phương trình (1), tức S = D (có vô số phần tử) Giải phương trình tìm tập hơp nghiệm S Nếu S biểu thị hay nhiều công thức chúng gọi nghiệm tổng quát phương trình S tập hữu hạn hay vô hạn Trong tất định nghĩa trên, thay cho trường R, ta lấy trường số K (có thể Q, C) làm trường sở Khi cần ý tập hợp nghiệm phương trình phụ thuộc vào trường sở Ví dụ 1.1 Phương trình (x2 − 3)(x2 + 4) = • Vô nghiệm Q √ √ • Có tập nghiệm R { 3, − 3} √ √ • Có tập nghiệm C { 3, − 3, 2i, −2i} Chú ý: 1) Trong phương trình (một nhiều ẩn), chữ đóng vai trò ẩn số, có chữ khác xem số gọi tham số 2) Giải biện luận phương trình chứa tham số, nghĩa xem xét với giá trị tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm tìm nghiệm Chẳng hạn, (m2 + 1)x + = x2 + (m + 1)x + = phương trình ẩn x, chứa tham số m 1.2 Các phép biến đổi tương đương phương trình 1.2.1 Các định nghĩa a) Phương trình tương đương Định nghĩa 1.1 Hai phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Khi hai phương trình f (x) = g(x) f1 (x) = g1 (x) tương đương với ta dùng kí hiệu f (x) = g(x) ⇔ f1 (x) = g1 (x) Ví dụ 1.2 Hai phương trình x − = √ − x = x − tương đương với có nghiệm x = Chú ý 1.1 Nếu theo định nghĩa hai phương trình vô nghiệm coi tương đương với có tập hợp nghiệm tập hợp rỗng Sự tương đương hai phương trình có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu, nghĩa thỏa mãn tính chất quan hệ tương đương tập tất phương trình Sự tương đương phương trình phụ thuộc vào trường sở b) Phương trình hệ Định nghĩa 1.2 Nếu nghiệm phương trình f (x) = g(x) nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) phương trình f1 (x) = g1 (x) gọi phương trình hệ phương trình f (x) = g(x) Khi phương trình f1 (x) = g1 (x) hệ phương trình f (x) = g(x) ta dùng kí hiệu f (x) = g(x) ⇒ f1 (x) = g1 (x) Ví dụ 1.3 Phương trình (x2 − 1)(x − 2) = phương trình hệ phương trình x2 − = 1.2.2 Các định lý phương trình tương đương Định lý 1.1 Cho phương trình f (x) = g(x) Nếu biểu thức h(x) có nghĩa tập xác định phương trình cho f (x) = g(x) ⇔ f (x) + h(x) = g(x) + h(x) (1.1) Chứng minh Trong (1.1) thay x giá trị a thuộc tập xác định phương trình f (x) = g(x) ta có f (a) = g(a) ⇔ f (a) + h(a) = g(a) + h(a) mệnh đề luôn đúng, tính chất đẳng thức Vậy (1.1) đẳng Hệ 1.1 Có thể chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình, phải đổi dấu nó, tức là: f (x) + h(x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) − h(x) Nói cách khác, chuyển vế đổi dấu biểu thức phương trình ta phương trình tương đương Hệ 1.2 Mọi phương trình đưa dạng mà vế phải không Vì vậy, ta ký hiệu phương trình F (x) = Chú ý 1.2 Điều kiện h(x) có nghĩa tập xác định phương trình f (x) = g(x) điều kiện đủ không cần Nói khác đi, có điều kiện phương trình (1.1) phép biến đổi tương đương, điều kiện hai phương trình tương đương không 2.4 Phương pháp ứng dụng tính chất hàm số Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu thực sự, liên tục tập D phương trình f (x) = k với k số, có nghiệm x = x0 nghiệm phương trình Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu tập D u(x), v(x) hàm số nhận giá trị thuộc D f (u(x)) = f (v(x)) ⇔ u(x) = v(x) Một số lưu ý sử dụng phương pháp hàm số Vấn đề quan trọng sử dụng phương pháp hàm số phải nhận hàm số đơn điệu "nhẩm tính nghiệm phương trình việc nhờ máy tính" Để phát tính đơn điệu hàm số ta cần nắm vững tính chất Nếu hàm số y = f (x) đồng biến nghịch biến D Khi đó: - Hàm số y = f (x) đồng biến nghịch biến D với f (x) > nghịch biến đồng biến - Hàm số y = f (x) D - Hàm số y = −f (x) nghịch biến đồng biến D - Tổng hàm đồng biến nghịch biến D hàm số đồng biến nghịch biến D - Tích hàm số dương đồng biến nghịch biến D hàm đồng biến nghịch biến D Ví dụ 2.24 Giải phương trình 5x3 − + √ 2x − + x = (2.24) Nhận xét Quan sát vế trái phương trình, từ tính đồng biến nghịch biến hàm bậc tính chất đơn điệu hàm số nêu trên, 40 ta thấy vế trái phương trình hàm đồng biến tập xác định Vế phải phương trình hàm nên ta sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán Giải Điều kiện 5x3 − ≥ ⇔ x ≥ √ 15x Ta có f (x) = √ + ; +∞) + với x ∈ ( √ 5x3 − (2x − 1)2 nên hàm số đồng biến [ √ ; +∞) Mà f (1) = tức x = nghiệm phương trình Ta chứng minh nghiệm phương trình Thật - Nếu x > f (x) > f (1) = suy phương trình vô nghiệm - Nếu √ ≤ x < f (x) < f (1) = suy phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2.25 Giải phương trình √ 6x + = 8x3 − 4x − (2.25) Giải Ta có (2.25) ⇔ 6x + + √ 6x + = (2x)3 + 2x Xét hàm số f (t) = t3 + t số đồng biến R √ Vậy 6x + = 2x suy 8x3 − 6x = Nhận xét |x| > 4x3 − > 1, suy |8x3 − 6x| = 2|x|(4x2 − 3) > nên nghiệm nghiệm phương trình cho phải thuộc [−1; 1] Đặt x = cost, t ∈ [0; π]khi phương trình cho trở thành 4cos3 t − 3cost = 1 π 2π ⇔ cos3t = ⇒ t = ± + k , k ∈ R 2 π 5π 7π Vậy nghiệm phương trình cho x = cos , x = cos , x = cos 9 41 2.5 Một số tập tự luyện Giải phương trình sau: 4− √ 1−x= √ 2−x √ x(x + 5) = x2 − 5x − − √ 5 x + √ = 2x + +4 2x x √ x + √ = 2x + −7 2x x √ √ √ − x − = x + − x + − x2 √ √ √ √ 2x2 + 16x + 18 + √ 2x2 − + 2−x=1− x+ √ √ x2 − = 2x + x2 − 3x − = √ √ 2x2 + 2x + + √ x−1 97 − x = √ 10 x3 + = 2x − 4− 11 √ 4+x=x √ 12 2x2 + 5x − = x3 − 13 14 15 √ √ √ x−1+ 3+x+ √ √ 2x + + x−1−2=0 6−x=3+ √ (3 + x)(6 − x) √ x + = 3x + 2x2 + 5x + − 16 √ √ 16 x 35 − x3 (x + 35 − x3 ) = 30 √ 17 10 x3 + = 3(x2 − x + 6) √ 18 x3 + = 2(x2 + 2) 42 x2 − x + √ 19 2(1 − x) x2 + 2x − = x2 − 6x − 20 x2 + (3 − 21 √ √ x+7− 22 x3 − 3x = √ x2 + 2)x = + x2 + √ x=1 √ x+2 √ 23 2(x2 − 3x + 2) = x3 + 24 25 26 27 √ 3x + + √ √ √ √ 5−x+ √ 2x − − 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − x+2− √ 2x2 + = √ √ √ 4x − = √ 4−x=2 2x2 − √ x+1 3x − = 8x3 − 36x2 + 53x − 25 √ 28 x3 + = 2x − 29 x + 30 31 √ √ √ 34 √ √ x2 2x − = x3 − 2x2 + 2x √ 2x2 − + x 2x − = 2x2 32 4x = 33 − x2 = x2 + 30 + 30 + −x2 + 3x − + x+ √ 1−x+ √ √ 30 + 1√ x + 30 x+3=2 + x = 43 Một số phương pháp để giải phương trình vô tỷ chứa tham số 3.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 3.1.1 Phương trình dạng f (x, m) = g(x, m) Cách giải Ta thường biến đổi phương trình hệ   g(x, m) có nghĩa g(x, m) ≥  f (x, m) = g (x, m) Nhận xét 3.1 Không cần đặt điều kiện f (x, m) ≥ Ví dụ 3.1 Giải biện luận phương trình x2 − − x = m     x ≥ −m x + m ≥ hay Giải Ta có   2mx = −m2 − x2 − = (x + m)2 Ta xét trường hợp Với m = hệ vô nghiệm có phương trinh thứ hai hệ vô nghiệm Với m = hệ có nghiệm phương trình 2mx = −m2 − có nghiệm thỏa mãn x ≥ −m điều xảy m2 + − ≥ −m 2m m2 + ⇔ ≤m 2m m2 − ⇔ ≥0 2m suy m ≥ −1 ≤ m ≤ Vậy m ≥ −1 ≤ m ≤ giá trị cần tìm 44 3.1.2 Phương trình dạng  Cách giải Biến đổi   f (x, m) có nghĩa     g(x, m) có nghĩa      f (x, m) + g(x, m) + f (x, m) + g(x, m) = h(x, m) phương trình tương đương với hệ f (x, m) ≥ g(x, m) ≥ f (x, m)g(x, m) = h(x, m) Ví dụ 3.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm −x2 + 3x − = Giải Ta có   −x2 + 3x − ≥ hay 2m + x − x2   1 ≤ x ≤  x = m +  x = m + Do điều kiện để phương trình có nghiệm ≤ m + ≤ hay ≤ m ≤ 3.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Cách đặt ẩn phụ trường hợp toán phương trình vô tỷ chứa tham số giống cách đặt ẩn phụ trường hợp phương trình vô tỷ không chứa tham số trình bày chương trước Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 3.3 Với giá trị m phương trình sau có nghiệm? 2(x2 − 2x) + x2 − 2x − − m = Giải Điều kiện x2 − 2x − ≥ √ Đặt x2 − 2x − = t với t ≥ Khi phương trình cho có dạng 2(x2 − 2x − 3) + x2 − 2x − − m + = hay f (t) = 2t2 + t − m + = 45 Phương trình cho có nghiệm f (t) = có nghiệm không âm Điều  tương đương với  a.f (0) ≤ 6−m≤0       ∆ ≥ 8m − 47 ≥          hay    a.f (0) ≥  6−m≥0         S    ≥0 − ≥ 2 Vậy phương trình có nghiệm m ≥ 3.2.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng Ví dụ 3.4 Với giá trị a phương trình sau có nghiệm √ Giải Đặt  √  31−x=u  √ 1+x=v 1−x+ √ + x = a suy u3 + v = Khi  phương trìnhđã cho chuyển hệ   (u + v)(u2 + v − uv) = u3 + v = hay   u + v = a u + v = a - suy   a(u2 + v − uv) =  u + v = a Nếu a = hệ vô nghiệm - Nếu a = hệ  biến đổi sau   u2 + v − uv = (u + v)2 − 3uv = a hay a   u + v = a u + v = a suy Phương trình cho có nghiệm a − (a2 − ) ≥ hay a − a3 ≥0 3a Suy < a ≤ Vậy phương trình có nghiệm < a ≤ 46   u + v = a  uv = (a2 − ) a 3.3 Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ hiểu cho dạng toán tìm điều kiện tham số Dạng 1: Phương trình có nghiệm Dạng 2: Phương trình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Phương trình nghiệm với x ∈ D Khi ta cần thực bước: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức phương trình có nghĩa Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa việc đánh giá tính đối xứng hệ Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ bước cần có số kỹ Ví dụ 3.5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm − x2 + − x2 = m Giải Điều kiện cần Nhận xét phương trình có nghiệm x0 nhận −x0 làm nghiệm Do phương trình có nghiệm điều kiện đủ x0 = −x0 thay vào phương trình ta có m = Điều kiện đủ √ √ Vớim = phương trình có dạng − x2 + − x2 = √   − x2 ≤ √ √ Vì √ suy − x2 + − x2 ≤   − x2 ≤  √   − x2 = Do phương trình có nghiệm √   − x2 = 47 Hay x = Vậy phương trình có nghiệm m = Ví dụ 3.6 Tìm m để phương trình sau nghiệm với x ≥ x2 + 2x − m2 + 2m + = x + m − Giải Điều kiện cần Giả sử phương trình cho có nghiệm với x ≥ x = nghiệm phương trình thay x = vào phương trình ta −m2 + 2m + = m − hay   m − ≥  −m2 + 2m + = (m − 2)2 Suy m = Điều kiện đủ Với m = phương trình cho có dạng x2 + 2x + = x + phương trình với x ≥ Vậy m = giá trị cần tìm 3.4 Sử dụng phương pháp hàm số Kiến thức cần nhớ Cho hàm số y = f (x) liên tục D Phương trình f (x) = g(m) với m tham số có nghiệm x ∈ D f (x) ≤ g(m) ≤ max f (x) D D Bất phương trình f (x) ≤ g(m) có nghiệm x ∈ D f (x) ≤ g(m) D Bất phương trình f (x) ≤ g(m) nghiệm với x ∈ D 48 max f (x) ≤ g(m) D Bất phương trình f (x) ≥ g(m) có nghiệm x ∈ D max f (x) ≥ g(m) D Bất phương trình f (x) ≥ g(m) có nghiệm với x ∈ D f (x) ≥ g(m) D Nhận xét 3.2 Trong trường hợp không tồn f (x), max f (x) ta D D lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) D Sau vào bảng biến thiên để kết luận cho toán Dạng toán thường gặp toán tìm giá trị tham số m cho phương trình chứa tham số m có nghiệm ta làm sau Biến đổi phương trình dạng f (x) = g(m) Tìm max f (x); f (x) (nếu có) Nếu f (x) không đạt giá trị max f (x) D D D f (x) ta phải tính giới hạn lập bảng biến thiên hàm số D y = f (x) D Từ bảng biến thiên suy giá trị mcần tìm Ví dụ 3.7 Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( + x2 − − x2 + 2) = − x4 + + x2 − Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ √ √ Đặt + x2 − − x2 = t với x ∈ [−1; 1] x x Ta có t = √ +√ = x( √ +√ ) − x2 − x2 + x2 + x2 t = suy x = với x ∈ [−1; 1] ta có bảng biến thiên x −1 − + t t √ √ 49 − x2 Như ≤ t ≤ √ Phương trình cho tương đương với phương trình sau √ m(t + 2) = − t2 + t, t ∈ 0; −t2 + t + t+2 Đặt m = g(t) = −t + − Hay m = √ , t ∈ 0; Khi đó: t+2 g (t) = −1 + (t + 2)2 g (t) = suy t = ta có bảng biến thiên x √ g (t) − g(t) √ 2−1 Như phương trình có nghiệm m ∈ √ − 1; Ví dụ 3.8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực √ √ x − + m x + = x2 − Giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với 3( x−1 x−1 ) +m=24 x+1 x+1 x−1 với x ≥ x+1 x−1 Ta có ≤ =1− < suy ≤ t < x+1 x−1 Xét phương trình theo ẩn t với t ∈ [0; 1) có dạng Đặt t = 3t2 + m = 2t hay m = −3t2 + 2t, t ∈ [0; 1) 50 Xét hàm số f (t) = −3t2 + 2t, t ∈ [0; 1) Bảng biến thiên t f (t) 3 −1 Như phương trình cho có nghiệm với m ∈ 3.5 Một số tập tự luyện Tìm m để phương trình sau có nghiệm? √ √ √ √ 1+x+ 3+x+ 1+x+ 2+x+ √ √ √ √ 8−x− (1 + x)(8 − x) = m 6−x− (3 + x)(6 − x) = m 3−x− (1 + x)(3 − x) = m 2−x− (2 + x)(2 − x) = m √ √ √ √ x x + x + 12 = m( − x + − x) √ x2 + x + m x + = 36 √ √ √ x2 − x − − m x − + = x + x(x − 1) − x(x + 2) = m x(x + 3) √ x3 + = m 2x − √ 10 x3 + = m 3x − √ 11 x3 − 3 3x + = m 12 √ x−m+ √ x+m=m 51 −1; 13 (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) 14 15 √ x+ √ √ 2−x+ x2 + x + − √ √ x+ √ x+1 =m x−3 2−x=m x2 − x − = m 52 KẾT LUẬN CHUNG Với nhiệm vụ đặt ra, tổng hợp kiến thức phương trình vô tỷ số cách giải phương trình vô tỷ bao gồm: định nghĩa, phép biến đổi tương đương phương trình; phương trình vô tỷ, định lí số, bước giải phương trình vô tỷ (dạng chung); đưa dạng phương trình vô tỉ cách giải đồng thời cung cấp thêm phương pháp giải phương trình vô tỷ khác như: Phương pháp hữu tỷ hóa, phương pháp đưa hệ đối xứng, phương pháp so sánh, phương pháp ứng dụng tính chất hàm số Lấy số ví dụ minh họa tập tự luyện Các phương pháp trình bày cách logic, chặt chẽ khoa học Một số ví dụ tập lấy từ kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh trình bày cách đầy đủ, xác Do thời gian có hạn kiến thức chuyên môn tích lũy chưa sâu, rộng nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót Tôi mong nhận góp ý thầy, cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Mong khóa luận tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên ngành sư phạm Toán Trường Đại học Tây Bắc 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Hoàng (2013), Chuyên đề ôn thi đại học [2] Hoàng Huy Sơn (2009), Đại số sơ cấp, Trường Đại học An Giang [3] Hoàng Kỳ (2000), Đại số sơ cấp, NXB GD [4] Lê Văn Đoàn (2014), Cẩm nang Ôn luyện thi đại học Phương Trình, Bất phương trình, Hệ phương trình đại số - vô tỷ, NXB ĐHQG HN [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình, NXB GD [6] Trịnh Hồng Uyên (2011), Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ, Luận văn thạc sỹ Toán học [7] http://tailieu.vn/doc/phuong-phap-giai-phuong-trinh-vo-ty1051972 html 54 [...]... 2 Phương pháp giải phương trình vô tỷ Không phải bất cứ một phương trình vô tỷ nào cũng có thể đưa về được một trong 5 dạng trên nên sau đây tôi sẽ cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình vô tỉ 2.1 Phương pháp hữu tỷ hóa Nhìn chung để giải phương trình vô tỷ ta thường quy về phương trình hữu tỷ để giải Ta thường dùng các phương pháp sau đây để đưa các phương trình vô tỷ về phương trình hữu tỷ. .. là số tự nhiên khác không) 2.3 Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung) Để giải phương trình vô tỷ ta tìm cách khử dấu căn Cụ thể: Bước 1: Tìm điều kiện (tập xác định) của phương trình Bước 3: Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được Bước 4: So sánh kết quả với điều kiện (tập xác định) và kết luận 11 Chương 2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG... SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải 1.1 Dạng f (x) = g(x) Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: f (x) = g(x) ⇔   g(x) ≥ 0 (1)  f (x) = [g(x)]2 (2) Giải phương trình (2) đối chiếu với điều kiện (1) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ 1.1 Giải phương trình √ x+1=x−1 Giải (1.1) ⇔ (1.1)   x... 0 và khi đó việc giải phương trình f (x) = 0 quy về phương trình f1 (x) = 0 Ví dụ 2.3 Giải phương trình √ √ 3(2 + x − 2) = 2x + x + 6   x − 2 ≥ 0 Giải Điều kiện ⇔ x ≥ 2  x + 6 ≥ 0 (2.3) Ta thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình đã cho Nhận xét rằng khi x = 3 thì x − 2 và x + 6 là những số chính phương Do đó ta tìm cách đưa phương trình đã cho về dạng (x − 3)f1 (x) = 0 √ √ Biến đổi phương trình. .. đã cho Bước 2 Chuyển phương trình ban đầu về phương trình theo ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình này Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì những phương trình thu được là những phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Bước 3 Giải phương trình với ẩn phụ đã biết để xác định nghiệm của phương trình đã cho Nhận xét rằng, có rất nhiều cách để đặt ẩn phụ Ta sẽ mô tả một số cách đặt ẩn phụ qua ví... được phương trình tương đương Ví dụ 1.5 Phương trình x − 3 = 2 có nghiệm là x = 5; Phương trình (x − 3)2 = x2 có nghiệm là x = 5 và x = 1 Suy ra, hai phương trình không có chung tập nghiệm nên không tương đương với nhau 2 2.1 Phương trình vô tỷ Định nghĩa Định lý cơ bản về căn số Định nghĩa 2.1 Ta gọi mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức là các phương trình vô tỷ 9 Hay nói khác đi, đó là một phương. .. một phương trình dạng f (x) = 0 trong đó: • f (x) là hàm số đại số vô tỷ (thực sự có chứa căn thức của biến số) ; • x có thể là một biến (khi đó phương trình có một ẩn); • x có thể xem là n biến với x = (x1 , , xn ) ∈ C (khi đó phương trình có n ẩn) Trong lý thuyết căn số có định lý cơ bản sau đây: Định lý 2.1 Căn số bậc n của một số phức (a ∈ C, a = 0) có n giá trị phức phân biệt • Mọi số thực âm (a... trình tương đương trên R vì h(x) = x2 + x + 1 có nghĩa và khác 0 với mọi x ∈ R Hai phương trình này có cùng một tập nghiệm là x = 1 và x = 7 8 Định lý 1.3 Nếu nâng hai vế của một phương trình lên một lũy thừa bậc lẻ thì ta được một phương trình tương đương với phương trình đã cho (trên trường số thực) Chứng minh Thật vậy, nếu a là nghiệm của phương trình f (x) = g(x), tức là f (a) = g(a) là đúng thì ta...   u = ar + d Với các hệ số thỏa mãn  v = br + e √ Cách giải Đặt n ax  + b = uy + v  (uy + v)n = 1 (ux + v) − d x − e r r r Sau đó đưa về hệ 1 d  (ux + v)n = (uy + v) − x − e r r r đây là hệ đối xứng loại II được giải bằng cách trừ vế với vế của hai phương 2.2.2 trình trong hề để được một phương trình tích Ví dụ 2.14 (Tạp chí toán học tuổi trẻ số 303) Giải phương trình √ 2x + 15 = 32x2 + 32x... x= 4 ⇔  2 16x − 28x + 1 = 0 Giải hệ hai phương trình trên, ta được √ √ 1 7−3 5 7+3 5 x = ,x = ,x = 4 8 8 2.1.3 là nghiệm cần tìm Đặt ẩn phụ Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức chứa căn thức bằng một biểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình đã cho về phương trình với ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm