Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ♦ ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Các tính chất thừa nhận hình học không gian Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất 2: Có mp qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tính chất 3: Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Tính chất 4: Nếu hai mp phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mp Tính chất 5: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mp điểm đường thẳng thuộc mp Tính chất 6: Trong mp, kết biết hình học phẳng Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng xác định biết ba điều kiện sau: + Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C Kí hiệu mp(ABC) + Mặt phẳng qua đường thẳng a điểm A không thuộc đường thẳng a K/h: mp(A,a) + Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt a b Kí hiệu: mp(a,b) .B A C mp(ABC) Hình chóp hình tứ diện S A a a mp(A,a) b mp(a,b) S (đỉnh) Cạnh bên S Mặt bên A5 A A1 D A3 B A1 A2  A4 Cạnh đáy A2 C A3 Mặt đáy Phương pháp giải toán Vấn đề 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng () (), Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng () Tìm thiết diện mặt phẳng cắt hình chóp ♦ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng () (),  I  d d  () ⟹ I  () , I ∊ d/ d/  (β) ⟹ I ∊ (⍺) Suy ra: I điểm chung thứ hai mp(⍺) (β) a  b  J  ( P )  J  ( )   a  ( ); b  (  )  J  (  )     Suy : J điểm chung thứ hai mp(⍺) (β) Vậy: ()  () = I J P ♦ Tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P)  Xác định mp(Q) chứa a  Tìm giao tuyến b = ( P)  (Q)  Trong (Q) kẽ đường thẳng a cắt b A J I Q A a b  Mà b  (P) , Suy A = a  (P) ♦ Tìm thiết diện mặt phẳng cắt mặt bên hình chóp Tìm đoạn giao tuyến nối tiếp mặt cắt với hình chóp khép kín thành đa giác phẳng Đa giác thiết diện cần tìm Mỗi đoạn giao tuyến cạch thiết diện Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P ba điểm nằm ba cạch AB, CD, AD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng: a, (ABN) (CDM) b, (ABN) (BCP) Bài 2: Trong mặt phẳng (  ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S  ( ) a, Xác định giao tuyến (SAC ) (SBD) b, Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O Gọi điểm E trung điểm SC a, Tìm giao tuyến (BED) (SAC) b, Tìm giao tuyến (ABE) (SBD) c, Tìm giao điểm SD (AEB) Bài 4: Cho tứ diện ABCD Trên cạch AB lấy điểm I lấy điểm J, K điểm thuộc miền tam giác BCD ACD Gọi L giao điểm JK với mp(ABC) a, Hãy xác định điểm L b, Tìm giao tuyến mặt phẳng (IJK) với mặt tứ diện ABCD Bài 5: Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB a, Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b, Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () Bài 6: Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M, Trên đoạn SC lấy điểm N ( M, N không trùng với đầu mút ) a, Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b, Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm lấy AD DC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N , I ba điểm lấy AD, CD, SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI)  Bài tập tương tự 1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy tứ giác lồi ABCD có cạch đối không song song với Gọi M điểm cạch SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng a, (SAC) (SBD) b, (SAB) (SCD) c, (SBC) (SAD) d, (BCM) (SAD) 2) Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền tam giác ACD Gọi I J tương ứng hai điểm cạch BC BD cho IJ không song song với CD a, Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) (ACD) b, Lấy N điểm thuộc miền tam giác ABD cho JN cắt đoạn AB L Tìm giao tuyến hai mp(MNJ) (ABC) 3) Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K điểm SA, AB, BC ( K không trung điểm BC) Tìm giao điểm : a, IK (SBD) b, SD (IJK ) c, SC (IJK ) 4) Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a, Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b, Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 5) Cho hình chóp S.ABCD, AB không song song với CD Gọi M điểm thuộc miền ∆SCD a, Tìm giao điểm CD với mặt phẳng (MAB) b, Tìm giao tuyến mặt phẳng (SCD) với mặt phẳng (MAB) c, Tìm giao điểm AM với mặt phẳng (SBD) d, Tìm giao điểm BM với mặt phẳng (SAC) 6) Cho hình chóp S.ABCD Gọi M điểm tam giác SCD a, Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) b, Tìm giao điểm đường thẳng BM mp(SAC) c, Xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(ABM) 7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với đáy lớn AD Gọi M điểm cạch SB Tìm thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(AMD) 8) Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trung điểm cạnh AB, BC Trên đoạn thẳng CD lấy điểm Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mp(HKM ) Vấn đề 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ba đường thẳng a, b, c đồng qui  Chứng minh A; B; C thẳng hàng :   Chỉ A ; B ; C   Chỉ A ; B ; C   C A B  Kết luận : A; B; C thuộc giao tuyến hai mp ,      Suy ba điểm A; B; C thẳng hàng  a  Chứng minh a ; b ; c đồng quy : b P  Đặt a  b = P  Trên đường thẳng c lấy hai điểm M, N  M  Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng   Kết luận : c ; a ; b đồng quy P c N Bài 1: Cho tứ diện SABC Gọi I, J K điểm nằm cạch SB, SC AB, cho IJ không song song với SA a, Tìm giao điểm D (IJK) BC b, Gọi E giao điểm DK AC Chứng minh ba đường thẳng SA, KI, EJ đồng quy Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, AC BD cắt O Một mp cắt cạch SA, SB, SC, SD tại A/, B/, C/, D/ Giả sử AD cắt BC E; A/D/ cắt B/C/ E/ Chứng minh: a, S, E, E/ thẳng hàng b, A/C/, B/D/, SO đồng quy Bài 3: Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD), M N trung điểm đoạn AB SC a, Xác định giao điểm I = AN  (SBD) b, Xác định giao điểm J = MN  (SBD) c, Chứng minh I , J , B thẳng hàng  Bài tập tương tự 1) Cho hình chóp S.ABCD, E điểm cạch BC, F điểm cạch SD a, Tìm giao điểm K BF mp(SAC) b, Tìm giao điểm J EF mp(SAC) c, Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng d, Xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(BCF) 2) Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm ba cạch AB, AC, BD, cho EF cắt BC I, EG cắt AD H ( I  C, H  D) a, Tìm giao tuyến (EFG) (BCD); (EFG) (ACD) b, Chứng minh CD, IG, HF đồng quy 3) Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng có hai cạch AB CD không song song với Gọi S điểm nằm mặt phẳng (ABCD) M trung điểm đoạn SC a, Tìm giao điểm đường thẳng SD mp(MAB) Gọi giao điểm N b, Với O giao điểm AC BD, chứng minh ba đường thẳng SO, AM BN đồng quy ⊷⊶⊶⊷⋇⋇⋇⊷⊷⊷⊷ ♦ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt + Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng + Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng + Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung a P I b a b a b P b a P a,b chéo a // b a cắt b ab Hai đường thẳng song song + Trong không gian, qua điểm nằm đường thẳng, có đường thẳng Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn song song với đường thẳng + Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với + Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song a b a b c c + Nếu hai mp cắt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) Phương pháp giải toán  Chứng minh hai đường thẳng song song Sử dụng cách sau : + Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba + Chứng minh a b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet … ) + Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng + Dùng định lý giao tuyến ba mặt phẳng  Chứng minh hai đường thẳng chéo Ta thường dùng phương pháp phản chứng sau: Giả sử hai đường thẳng cho nằm mặt phẳng rút điều mâu thuẫn Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’, B’, C’, D’ trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD a, Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b, Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB  CD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SB a, Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b, Tìm P = SC  (ADN) c, Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI hình ? Bài 4: Cho d1 d2 hai đường thẳng chéo Trên d1, lấy hai điểm phân biệt A B; d2 lấy hai điểm phân biệt C D Chứng minh AC BD chéo Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O I điểm đoạn SO a, Chứng minh hai đường thẳng SA CD chéo b, Tìm giao điểm E F mp(ICD) với đường SA SB Chứng minh EF // AB c, Gọi K giao điểm DE CF Chứng minh SK // BC  Bài tập tương tự 1) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Q điểm nằm cạch AD P giao điểm CD với mp(MNQ) Chứng minh a, PQ song song MN b, PQ song song AC 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với đáy AD BC Gọi I J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SD M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD P, Q a, Chứng minh MN song song với PQ b, Giả sử AM cắt BP E; CQ cắt DN F Chứng minh EF song song với MN PQ 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm SC N trọng tâm tam giác ABC a, Tìm giao điểm I SD mp(AMN) b, Chứng minh NI // SB Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn c, Chứng minh AC SB chéo d, Tìm giao tuyến mp(AMN) với mp(SAD) ⊷⊶⊶⊷⋇⋇⋇⊷⊷⊷⊷ ♦ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng + Cho đường thẳng a mp(P) có ba trường hợp xảy sau: a A P P P a a a, a  (P) b, a  ( P)  A c, a // (P) + Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung a // (P)  a  (P)   Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng a Q b P a P b b P Q b a b ’ a P + Nếu đường thẳng a không nằm mp(P) song song với đường thẳng nằm (P) a song song với (P) + Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với a + Nếu đường thẳng song song với mp song song với đường thẳng mặt phẳng + Nếu hai mp phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng + Nếu a b hai đường thẳng chéo qua a có mp song song với b Phương pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng d song song mặt phẳng (P) : d  ( P )   d // ( P) Phương pháp : Chứng minh d // b b  ( P)  ► Chú ý: Khi tìm đường thẳng b // d ta xác định mp(Q) b d chứng minh d // b Bài 1: Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tam giác ABD M điểm cạch BC cho MB = 2MC Chứng minh MG song song (ACD) Bài 2: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mp Gọi O O/ tâm hai hình bình hành ABCD ABEF a, Chứng minh OO/ song song với hai mp(ADF) (BCE) b, Gọi G G’ trọng tâm tam giác ABD ABF Chứng minh GG/ song song (DCEF) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD a, Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b, Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c, Gọi G ,G trọng tâm ABC SBC Chứng minh G1G // (SAB) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD, đáy lớn AD AD = 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a, Chứng minh OG song song (SBC) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b, Cho M trung điểm SD Chứng minh CM song song (SAB) c, Giả sử điểm I nằm đoạn SC cho SC = SI Chứng minh SA song song (BID) Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mp Thiết diện qua điểm song song với đường thẳng • Tìm giao tuyến hai mp(P) (Q) ta thực bước sau: Cách 1: + Tìm I ∊ (P) I ∊ (Q) ⟹ I điểm chung thứ a // ( P) + Nếu  ⟹ ( P)  (Q)  d với d qua điểm I d // a a  (Q) Cách 2: + Tìm I ∊ (P) I ∊ (Q) ⟹ I điểm chung thứ a  ( P )  + Nếu b  (Q )  ( P )  (Q )  d với d qua điểm I d // a // b a // b  • Tìm thiết diện tìm đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến nêu trên, giao tuyến khép kín ta thiết diện Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD, M điểm đoạn IJ Gọi (P) mặt phẳng qua M, song song với AB CD a, Tìm giao tuyến mặt phẳng (P) mp(ICD) b, Xác định thiết diện tứ diện với mp(P) Thiết diện hình ? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA a, Tìm giao tuyến () với (SAB) (SAC) b, Xác định thiết diện hình chóp với () Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b Gọi I, J trung điểm AB CD Giả sử AB  CD , mặt phẳng () qua M nằm đoạn IJ song song với AB CD a, Tìm giao tuyến () với ( ICD ) (JAB) b, Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng () Chứng minh thiết diện hình chữ nhật Bài 4: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB S điểm mặt phẳng hình thang Gọi M điểm CD ; () mặt phẳng qua M song song với SA BC a, Hãy tìm thiết diện mặt phẳng (  ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình ? b, Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD)  Bài tập tương tự 1) Cho tứ diện ABCD Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh G1G2 song song với mp(ABC) (ABD) 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm AB Lấy điểm M đoạn AD cho AD = 3AM a, Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b, Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG song song (SCD) c, Chứng minh MG song song (SCD) 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD, AD = 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a, Chứng minh OG song song mp(SBC) b, Tìm giao tuyến mp(ACG) với mp(SBC) 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O Gọi K J trọng tâm tam giác ABC SBC a, Chứng minh KJ song song mp(SAB) b, Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(P) chứa KJ song song với AD 5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(P) qua O, song song với AB SD Thiết diện hình ? Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mặt phẳng qua trung điểm M cạch AB song song với BD SA ⊷⊶⊶⊷⋇⋇⋇⊷⊷⊷⊷ ♦ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt P P c Q Q (P) cắt (Q)  ( P)  (Q)  c ( P) //(Q)  ( P)  (Q)   + Hai mặt phẳng gọi song song với chúng điểm chung Điều kiện để hai mặt phẳng song song a, Định lý: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mp(Q) (P) song song với (Q) b, Tính chất: b P P A a P a Q a/ Q b/ Q R h.1 h.2 h.3 h.4 + Qua điểm nằm mặt phẳng, có mp song song với mp (h.1) + Nếu đường thẳng a song song với mp(Q) có (P) chứa a song song (Q) (h.2) + Hai mp phân biệt song song với mp thứ ba song song với (h.3) + Cho hai mp(P) (Q) song song Nếu mp(R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song với (h.4) a a/ Định lí ta – lét không gian A A/ + Ba mp đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B B/ + Giả sử hai đường thẳng chéo a a’ lấy điểm AB BC CA A, B, C A/, B/, C/ cho ' '  ' '  ' ' C C/ AB BC C A Khi ba đường thẳng AA/, BB/, CC/ nằm ba mp song song, tức chúng song song với mp Hình lăng trụ hình hộp A C A D D C B A/ B/ Lăng trụ tam giác B C/ C A A/ B D/ B/ C/ Lăng trụ tứ giác Phương pháp giải toán D/ A/ C/ B/ Hinh hộp Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Vấn đề 1: Chứng minh hai mp song song a  b  ( P )   ( P) // (Q ) , Ta chứng minh: a // (Q ) b // (Q )  Áp dụng a  (Q)    a //( P) ( P) //(Q) Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD, AD // BC, AD = 2BC Gọi E, F, I trung điểm cạch SA, AD, SD a, Chứng minh (EFB) // (SCD) Từ chứng minh CI // (EFB) b, Tìm giao tuyến (SBC) (SAD) Tìm giao điểm K FI với giao tuyến Chứng minh (SBF) // (KCD) Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a, Chứng minh : (OMN) // (SBC) b, Gọi P, Q , R trung điểm AB, ON, SB Chứng minh: PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có cạch AA/, BB/, CC/, DD/ song song với a, Chứng minh hai mp(BDA/) (B/D/C) song song với b, Chứng minh đường chéo AC/ qua trọng tâm G G/ hai tam giác BDA/ B/D/C c, Chứng minh G G/ chia đoạn AC/ thành ba phần Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M, N cho MC = 2AM, NF = 2BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M , N CM: a MN // DE b M N //( DEF ) c ( MNM N ) //( DEF ) Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng tìm thiết diện qua điểm song song với mặt phẳng ( P ) //(Q )   Áp dụng tính chất ( )  ( P )  a   a // b ( )  (Q )  b  Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M trung điểm AD Gọi (P) (Q) mặt phẳng qua điểm M song song với mp(SBD) (SAC) a, Xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(P) b, Xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(Q) c, Gọi H, K giao điểm (P) (Q) với AC BD CM tứ giác OHMK hình bình hành Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi () mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB, SC, CD N, P, Q Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp Thiết diện hình ? Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ Gọi M N trung điểm BC CC/ a, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(A/MN) b, Gọi P điểm đối xứng C qua A Hãy xác định thiết diện lăng trụ với mp(MNP) Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ Trên cạch AB, DD/, C/B/ lấy điểm M, N, P không trùng với AM D ' N B ' P   đỉnh cho : AB D ' D B 'C ' a, CMR: (MNP) // (AB/D/) b, Xác định thiết diện hình hộp cắt bỡi mp(MNP)  Bài tập tương tự 1) Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ gọi O O/ tâm hai đáy ABCD A/B/C/D/ CMR a, (BDA/) // (B/D/C) b, (O/AB) // (OC/D/) 2) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng I, J, K trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) / / / 3) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C Gọi H trung điểm cạch A/B/ a, CMR: đường thẳng CB/ song song với mp(AHC/) b, Tìm giao tuyến d mp(AB/C/) (A/BC) CMR: d // (BB/C/C) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn c, Xác định thiết diện lăng trụ ABC.A/B/C/ cắt bỡi mp(H, d) 4) Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ O/ tâm hình bình hành A/B/C/D/, K trung điểm CD, E trung điểm BO/ CMR: E nằm mp(ACB/) Xác định thiết diện hình hộp cắt bỡi mp(P) qua K song song với mp(EAC) ⊷⊶⊶⊷⋇⋇⋇⊷⊷⊷⊷