Đang tải... (xem toàn văn)
Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian
Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Bài Khoảng cách I Kiến thức cần nhớ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng a Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng a) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu M (P) (hoặc đường thẳng a) M M a H P H Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ký hiệu d(M; (P)) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a ký hiệu d(M; a) b Chú ý: * Trong khoảng cách từ điểm M đến điểm A thuộc (P) MH khoảng cách ngắn * Trong khoảng cách từ điểm M đến điểm A thuộc đường thẳng a khoảng cách MH ngắn Tức ta có MA MH , A P MA MH , A a * Để tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a ta cần dựng MH vuông góc với a, H thuộc a điều tính MH * Để tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ta cần xác định hình chiếu vuông góc H lên (P) Bạn đọc thử suy nghĩ xem tìm hình chiếu H điểm M lên (P) nào? Khoảng cách hai đường thẳng song song, đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song a Định nghĩa 2: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Ký hiệu khoảng cách từ a đến mặt phẳng (P) song song với a d(a; (P)) M P A a H * Chú ý: Trong khoảng cách từ điểm a đến điểm (P), khoảng cách MH = d(a; (P)) nhỏ Ta có MA MH , M a, A P , H hình chiếu vuông góc M lên (P) [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian b Định nghĩa 3: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ký hiệu khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) d((P), (Q)) Q Q Khi ta có d((P); (Q))=d(P; (P))=d(Q; (P)), với P thuộc (P) Q thuộc (Q) * Chú ý: P P - Trong khoảng cách hai điểm thuộc hai mặt phẳng (P) (Q) song song khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) nhỏ Khoảng cách hai đường thẳng chéo a Đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung * Thuật ngữ: - Cho hai đường thẳng chéo a b, đường thẳng c cắt vuông góc với hai đường thẳng a b gọi đường vuông góc chung a b B b - Nếu đường vuông góc chung c cắt a b A B độ dài đoạn thẳng AB gọi đoạn vuông góc chung hai đường thẳng a b Định nghĩa 4: A Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng c Chú ý: - Trong khoảng cách hai điểm nằm hai đường thẳng chéo a b khoảng cách hai điểm cho đoạn nối hai điểm đoạn vuông góc chung hai đường thẳng a b ngắn nhât - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo theo định nghĩa ta phải dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d Nhận xét: 1) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng lại Q 2) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng * Dựa vào hai nhận xét ta chuyển việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo về: b B A a P - tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với (theo nhận xét (1)) - tính khoảng cách hai mặt phẳng song song theo nhận xét (2) Các bạn thấy khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai đường thẳng chéo thể chuyển tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho nên nói toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng toán quan trọng II Các dạng toán thường gặp [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ta hạ AH vuông góc với d H d(A; d)=AH d * Chú ý: Nếu có (P) qua A vuông góc với a, (P) cắt d H AH =d(A; d) - Để dựng điểm H hình chiếu vuông góc A lên d, ta cần xác định điểm A đường thẳng d nằm mặt phẳng để dựng cho xác Ví dụ 137 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SA = A H P AB = 2a, · ABC 60 ; SA ABCD a Tính khoảng cách từ O đến SC b Tính d(O; SB) d(D; SB) Hướng dẫn: a bạn đọc thây O SC nằm mặt phẳng (SAC) để tính khoảng cách từ O đến SC ta cần dựng hình chiếu vuông góc O lên SC mặt phẳng b Tương tự bạn đọc tính khoảng cách từ O D đến SB Giải a Trong (SAC) dựng OI vuông góc với SC I · 450 , suy tam giác OIC vuông cân I Ta có tam giác SAC vuông cân A nên SCA Do đáy ABCD hình thoi có · ABC 600 nên tam giác ABC suy AB=AC=BC=2a 1 OC AC 2a a Suy OI=IC 2 2 b Trong (SOB) dựng OH vuông góc với SB, H thuộc SB Khi ta có OH=d(O; SB) Dễ dàng chứng minh BD vuông góc với (SAC) Vì SO SAC nên ta có BD SO SOB vuông O Tam giác ABC cạnh 2a nên OB Tam giác SAO vuông A nên SO 2a a SA2 OA2 4a a a Tam giác SOB vuông O có OH đường cao nên ta có 1 1 15a a 30 OH OH 2 2 2 OH SO OB 5a 3a 15a Vậy d O; SB a 30 * Trong (SBD) dựng BK vuông góc với SB K Ta có DK d D; SB [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Ta có OH SB, DK SB OH / / DK Vì O trung điểm BD OH đường trung bình tam giác BDK suy DK 2OH a 30 a 30 a 30 d D, SB 2 Dạng toán Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ta làm sau: * Nếu có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): Chúng ta cần dựng đường thẳng a qua M song song với d, a cắt (P) H MH = d(M; (P)) M Q d M H H P P * Nếu chưa có đường thẳng d vuông góc với (P) ta làm sau: Bước 1: dựng mặt phẳng (Q) qua M vuông góc với (P) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng gọi d Bước 2: Dựng MH vuông góc với d H, MH=d(M; (P)) Chú ý: Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bạn đọc cần lưu ý vài điều sau: Đối với tứ diện vuông hình chiếu đỉnh góc tam diện vuông xuống mặt phẳng đối diện trực tâm tâm mặt đối diện Cho nên khoảng cách từ đỉnh góc tam diện vuông đến mặt đáy độ dài đoạn thẳng nối hai điểm O Như hình vẽ d(O; (ABC))=OH Và dễ dàng tính OH dựa vào đẳng thức: 1 1 với a, b, c độ dài cạnh góc OH a b c A Sử dụng công thức tỉ số khoảng cách: B M Nếu đường thẳng d cắt (P) I, M N thuộc d d M ; P d N ; P MI (1) NI * Nếu I trung điểm MN ta có C H vuông tam diện vuông K H I P d(M; (P))=d(N; (P)) (2) N Chuyển tính khoảng cách từ điểm M khó tính khoảng cách sang điểm khác dễ tính khoảng cách dựa vào kiến thức: Dựng đường thẳng d qua M, d //(P) Lấy điểm d, chọn điểm mà việc tính khoảng cách dễ dàng trường hợp khác * Chú ý: Công thức (1) (2) cho ta chuyển việc tính khoảng cách từ điểm điểm khó tính khoảng cách đến điểm dễ tính khoảng cách Thông thường nhiều toán ta thường chuyển khoảng cách từ điểm cần tìm chân đường cao hình thường gặp Bởi việc dựng đường vuông góc từ chân đường cao đến mặt phẳng dễ dàng dựng từ điểm khác Ví dụ 138 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy cạnh 2a, tâm O, SA=4a [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian M trọng tâm tam giác SAB a Tính d(M; (ABCD)) b Tính d(O; (SAB)) c d(A; (SCD)) Hướng dẫn: a Bạn đọc thấy SO vuông góc với đáy (ABCD) Để tính khoảng cách Từ M đến (ABCD) bạn đọc cần dựng đường thẳng qua M song song với SO cắt mặt đáy điểm H Tính MH suy khoảng cách cần tìm b Để tính khoảng cách từ O đến (SAB) chưa thấy có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB), phải thực theo TH2, cần dựng mặt phẳng qua O vuông góc với (SAB) Cách dựng mặt phẳng thực nhiều lần toán tìm góc hai mặt phẳng Chúng đề nghị bạn đọc tiếp tục thực tìm khoảng cách c Bạn đọc thấy AO cắt (SCD) C sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để suy khoảng cách cần tìm dựa vào khoảng cách từ O đến (SCD) Giải S a Gọi I, J trung điểm AB CD Do M trọng tâm tam giác cân SAB cân S nên M nằm SI Trong mặt phẳng (SOI) dựng MH song song với SO, SO vuông góc với (ABCD) nên MH ABCD , suy MH d M , ABCD C MH IM 1 Xét tam giác SOI có MH//SO nên MH SO SO SI 3 2 SO SA OA 16a a Vậy d M ; ABCD B J O Do tam giác SOA vuông O, nên K M E D H I A a 14 a 14 b Dễ thấy SOI SAB ; SI SOI SAB Dựng OK vuông góc với SI suy OK SAB OK d O; SAB Trong tam giác SOI vuông O có OH đường cao nên 1 1 15 14a 14 OK OK a 2 2 2 OK SO OI 14a a 14a 15 15 Vậy d O; SAB a 14 15 c Vì AO cắt (SCD) C nên ta có d A; SCD d O; SCD AC d A; SCD 2d O; SCD OC Trong mặt phẳng (SOJ) dựng OL vuông góc với OJ OL vuông góc với mặt phẳng (SCD) suy OL = d(O; (SCD)) Dễ dàng chứng minh OL=OK , suy OL a 14 15 [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Vậy d A; SCD 2d O; SCD 2a 14 15 Lời bình: Một toán không khó chứa đựng tất nội dung phương pháp dạng toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đề nghị bạn đọc suy ngẫm thêm * Chú ý: Chúng ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) theo cách sau: Do AB//CD nên AB//(SCD) suy d(A; (SCD))=d(AB; (SCD))=d(I; (SCD)) Ta có (SCD) (SIJ) vuông góc với nhau, giao tuyến hai mặt phẳng SJ Trong (SIJ) dựng IE vuông góc với SJ IE=d(I; (SCD)) Công việc tính IE xin dành cho bạn đọc thực - Từ toán thấy rằng: Chân đường cao hình chóp cách mặt bên hình chóp Ví dụ 139 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD) SA a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD=2a a Tính khoảng cách từ A B đến (SCD) b Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC) c Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) song song với (SAD) cách (SAD) khoảng a Hướng dẫn a Trong ý (a), thấy chưa có đường thẳng vuông góc với (SCD) nên cần thực theo trường hợp Bạn đọc dựng mặt phẳng qua A vuông góc với (SCD) để tính khoảng cách từ A đến (SCD) Tương tự cho việc tính khoảng cách từ B đến (SCD) b Chú ý AD//BC nên d(AD; (SBC))=d(A; (SBC)) Ta có A chân đường vuông góc kẻ từ S hình chóp Bạn đọc suy nghĩ cách tính khoảng cách từ A đến (SBC) c Các bạn cần dựa vào điều kiện toán (P) cách (SAD) khoảng S a để tìm điểm mà (P) qua Từ dựng thiết diện cần tìm Giải Q a Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD=2a, nên ta có AD//BC, AB=BC=CD=a; AC CD AC a F H P I D A CD AC CD SA (doSA ABCD ; CD ABCD ) N M E B C CD SAC Dựng AH vuông góc với SC H, ta có AH vuông góc với CD Vậy AH=d(A; (SCD)) Tam giác SAC vuông A có AH đường cao, đó: [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian 1 1 2 2 AH SA AC a a 2a Suy AH 2a AH a Vậy d A, SCD a Gọi I trung điểm AD ta có BI//CD nên BI//(SCD) Từ suy d B; SCD d I ; SCD Mặt khác AI cắt (SCD) D nên: Suy d I ; SCD Vậy d B; SCD d I ; SCD d A; SCD ID DA a d A; SCD 2 a b Ta có AD//BC suy AD//(SBC) d AD; SBC d A; SBC Dựng AE BC E, ta có: BC AE BC SAE BC SA Dựng AF SE F, đó: AF SE AF SBC AF BC Do BC SAE Vậy AF d A; SBC d AD; SBC Xét hai tam giác vuông AEB SAE ta có a AE AB.sin ·ABE a.sin 600 1 1 2 2 2 AF SA AE 6a a 3 a 6a a Suy AF AF Vậy d AD; SBC a c Ta có [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian AE BC AE AD ; AD / / BC Mà AE vuông góc với SA nên AE SAD Và AE a a , (P)//(SAD), d (P); SAD , (P) cắt hình chóp S.ABCD Do (P) qua trung điểm K AE Dễ dàng xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P) tứ giác MNPQ, MN//AD (M, N trung điểm AB, CD); NP//SD (P trung điểm SC); MQ//SA (Q trung điểm SB) Ta có PQ đường trung bình tam giác SBC nên PQ//BC//AD Vậy ta có MQ / / SA MQ ABCD MQ MN SA ABCD MN / / PQ Vậy thiết diện cần tìm MNPQ hình thang vuông M Q S MNPQ MN PQ MQ MN AD BC 2a a 3a 2 MQ a a SA ; PQ BC 2 2 Vậy S MNPQ 3a a a a 2 2 2 Lời bình: Lại lần gặp toán nửa lục giác nội tiếp đường tròn Bạn đọc cần lưu ý số tính chất nửa lục giác để sử dụng sau Việc tính khoảng cách dựa vào tỉ số khoảng cách thật cho thêm lựa chọn hoàn hảo toán tính khoảng cách mà bạn đọc gặp phải mà làm nên khó chịu cho nhiều bạn học sinh Các bạn thấy bớt khó khăn toán tính khoảng cách chưa? Một lần cần nhớ muốn sử dụng tỉ số khoảng cách chuyển việc tính khoảng cách khoảng cách biết chuyển khoảng cách có liên quan đến chân đường cao hình Đó lý chuyển việc tính khoảng cách điểm B đến (SCD) qua tính khoảng cách từ điểm I đến (SCD) từ chuyển qua tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A Ví dụ 140 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a GỌi M, N, P trung điểm AA’, AD, CC’ Gọi O tâm mặt ABCD Tính d(B; (MNP)) d(O; (MNP)) Hướng dẫn Đây toán tính khoảng cách liên quan đến hình lập phương Các bạn lưu ý việc tính khoảng cách liên quan đến hình lập phương có thuận lợi lớn việc ghép toán vào sử dụng công thức tính khoảng cách góc tam diện vuông [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Chúng đề nghị bạn đọc vẽ hình suy nghĩ hướng giải G Giải Ký hiệu (P) mặt phẳng (MNP) Trước hết ta xác định giao điểm đường thẳng BC, BA, BB’ MN CD Q Khi E, F BC, BA G giao điểm EP với A' Ta có M BE C' E, F, G (P) với cắt DD’ R PR cắt giao điểm NQ với BB’ U P D' B 3a 3a 3a , BF ; BG 2 Ta thấy tứ diện BEFG tứ diện có T B' C O A E Q K N D vuông đỉnh B nên ta F R 3a a 1 1 d B ; P d B; P 2 2 2 d B;(P) BE BF BG BE 3a * Gọi K giao điểm BO NQ Khi ta có BO cắt (P) K Suy d O; P d B; P OK 1 a d O; P d B; P BK 3 Vậy d O; P a Lời bình: Bạn đọc thấy sử dụng kết toán ví dụ 100 tính chất quan trọng tam diện vuông công thức tỉ số khoảng cách để giải toán Chúng ta sử dụng thường xuyên kết toán tính khoảng cách Chúng đề nghị bạn đọc ghi nhớ kết để áp dụng cho toán * Bạn đọc lưu ý sử dụng công thức tỉ số khoảng cách toán này, không chuyển tính tỉ số khoảng cách từ điểm A C đến mặt phẳng (P) mà lại tính từ điểm C Để giải thích điều này, bạn đọc xét xem điểm B điểm có tính chất gắn với (P) * Chú ý: bạn đọc tính khoảng cách từ B đến (P) sau: Ta thấy (BDG) (P) vuông góc với nhau, giao tuyến hai mặt phẳng OG Trong mặt phẳng (P) dựng BH vuông góc với OG H Ta có d B; P BH Bạn đọc tính BH suy kết Ví dụ 141* Cho tứ diện ABCD có AD=BC=a, AC=BD=b, AB=CD=c Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Từ suy tứ diện ABCD có bốn chiều cao (Trích tập nâng cao số chuyên đề hình học lớp 11-Trần Văn Tấn) Hướng dẫn Tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nên tứ diện gần Chúng ta biết tứ diện gần tứ diện trực tâm [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Bạn đọc lưu ý tứ diện gần đều, “lồng” vào tứ diện vuông Chúng ta “lồng” tứ diện gần vào tứ diện vuông sau: Xét đáy BCD, ta dựng tam giác chứa tam giác cho đỉnh tam giác BCD trung điểm ba cạnh tam giác Bạn đọc chứng minh tứ diện gồm đỉnh A ba đỉnh lại dựng lên tứ diện vuông đỉnh A Từ suy khoảng cách từ A đến A (BCD) Giải Xét tam giác B’C’ D’ nhận điểm B, C, D trung điểm cạnh C’D’, B’D’, C’B’ Khi AD=BC= B ' C ' , tam giác AB’C’ vuông A D' Tương tự tam giác AB’D’, AC’D’ vuông A Do tứ diện AB’C’D’ vuông A C Đặt AB’=x, AC’=y, AD’=z C' B D B' Ta có: x y B ' C '2 4a 2 2 y z C ' D ' 4c 2 2 z x B ' D ' 4b Do x a b2 c 2 2 y a c b 2 2 z b c a Mặt khác tứ diện AB’C’D’ vuông A nên 1 1 y z d A; BCD d A; B ' C ' D ' x xyz Do d A; BCD 2 x y y z z x2 8 a2 b2 c2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 4 a2 b2 c2 a2 c2 b2 4 b2 c2 a2 c2 a2 b2 4 c2 a2 b2 a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 a b c a c b a c b b c a b c a a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 Ở công thức trên, số a, b, c xuất bình đẳng, kéo theo d(A; (BCD))=d(B; (ACD))=d(C; (ABD))=d(D; (ABC)) Lời bình: Từ toán này, bạn đọc cần ý cách để “lồng” tứ diện gần vào tứ diện vuông Khi thực điều giúp việc tính toán trở nên đơn giản [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 10 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Vậy C’M vuông góc với A’B B’C Lấy I thuộc BB’, gọi E giao điểm MI A’B, F giao điểm IC’ với B’C Ta cần xác định vị trí điểm I để EF//MC’ Ta có EF//MC’ IE FI BI IB ' Do CC ' MA ' nên ME FC ' MA ' CC ' BI IB ' IB ' BI MA ' CC ' Vậy I điểm thuộc đoạn BB’ cho IB’=2BI Gọi E giao điểm IM với A’B, F giao điểm IC’ với B’C Khi EF đoạn vuông góc chung hai đường thẳng A’B B’C Lời bình: Nếu bạn đọc cách thứ để dựng đoạn vuông chung toán ví dụ 148 khó khăn Bạn đọc lưu ý, cách giải cho tất toán, cần nắm nhiều phương pháp hơn, nhiều cách giải cho bạn cách nhìn nhận toán tốt Có tư tốt giúp thành công học tập sống Dạng Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm theo cách sau: Cách 1: Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng a b Cách 2: Dựng mặt phẳng (Q) chứa b song song với a Lấy điểm M tùy ý nằm a d(a, b)=d(M, (Q)) Chú ý điểm M thường lấy đầu mút đoạn thẳng nằm a trung điểm đoạn thẳng nằm a gắn vào với hình khối để tiện cho việc tính toán Cách 3: Dựng mặt phẳng (P) (Q) song song chứa a b Khi d(a, b)=d((P), (Q)) Tóm lại để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo chuyển việc tính khoảng cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hai cách Ví dụ 149 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng: a SA BC b.SB AC Hướng dẫn: Trước tiên cần khai thác giả thiết để tính chiều cao hình chóp Với ý (a), bạn đọc thấy hai đường thẳng SA BC vuông góc với Bạn đọc hoàn toàn dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng này, để từ tính khoảng cách chúng S Với ý (b), thấy hai đường thẳng AC SB không vuông góc với trước tiên suy nghĩ để dựng đoạn vuông góc chung Hoặc bạn đọc chuyển khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng, cách dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng G Giải A a Gọi E trung điểm BC Do tam giác ABC nên AE BC Lại SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên SA AE C E D F B [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 18 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Vậy AE vuông góc với SA BC nên AE đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SA BC Suy khoảng cách hai đường thẳng SA BC AE * Tính AE: Do tam giác ABC cạnh a, AE đường trung tuyến nên AE Vậy khoảng cách hai đường thẳng SA BC AE a a b.Ta có BC giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Do AE vuông góc với BC, BC vuông góc với SA nên suy BC vuông góc với SE Từ suy góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SEA hay · 600 SEA Xét tam giác SAE vuông A ta có SA a 3a tan 600 SA AE.tan 600 3 AE 2 Trong mặt phẳng (ABC) dựng BD//AC, BD=AC=a, ta có ACBD hình thoi cạnh a Ta có AC//(SBD) d AC , SB d AC ; SBD d A; SBD Gọi F trung điểm BD ta có AF vuông góc với BD, lại BD vuông góc với SA BD vuông góc với (SAF) Suy hai mặt phẳng (SAF) (SBD) vuông góc với Giao tuyến hai mặt phẳng SF Trong (SAF), dựng AG vuông góc với SF AG SBD AG d A; SBD Do AF đường trung tuyến tam giác ABD cạnh a nên AF a Do tam giác SAF vuông A có AG đường cao nên 1 1 4 16 2 2 2 2 AG SA AF 9a 3a 9a 3a a 9a 3a 3a AG AG d AC , SB 16 4 Lời bình: Chúng ta tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB cách dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng sau: S Dựng mặt phẳng (SAF) cách trên, ta có SFA AC Dễ thấy hình chiếu vuông góc SB lên (SAF) SM Từ A dựng AG vuông góc vuông góc với AF G Trong (SBF), dựng GM//BF//AC Dựng MN//AG, N thuộc AC Thế MN đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SB AC Ta có MN=AG, việc tính AG suy MN hay suy độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AC, SB để từ tìm khoảng cách hai đường thẳng M G A N D E D F B Thấy việc dựng độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo để tính khoảng cách chúng có phần phức tạp dài dòng hơn, chí khó Chính mà người ta sử dụng hai cách giải để giảm bớt khó khăn cho việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 19 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Vậy bạn đọc cần nhớ: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo không thiết phải dựa vào việc dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung chúng việc dựng đoạn vuông góc chung phức tạp Ví dụ 150 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ (Trích tập toán 11 hk2-Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến - TP HCM ) Hướng dẫn: Chú ý hai đường thẳng BC’ CD’ nằm hai mặt phẳng song song với (ACD’) (BA’C’) Do khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) Bạn đọc suy nghĩ để tính khoảng cách hai mặt phẳng Giải A Gọi O, O’ tâm hai hình vuông ABCD A’B’C’D’ B O D Dễ dàng chứng minh (ACD’)//(BA’C’) Do ta có C d BC '; CD ' d ACD ' ; A ' C ' B d O; A ' C ' B H A' B' Ta có A ' C ' OBB ' O ' OBB ' O ' BA ' C ' ; O' O ' B OBB ' O ' BA ' C ' D' C' Trong (OBB’O’), dựng OH vuông góc với O’B H OH BA ' C ' d O; BA ' C ' OH Xét tam giác OBO’ có OH đường cao nên 1 1 2 2 2 2 OH OB OO ' a a a a 2 a a2 a a OH OH d CD '; BC ' 3 Lời bình: việc chuyển tính khoảng cách hai đường thẳng chéo CD’ BC’ thành tính khoảng cách giũa hai mặt phẳng song song (ACD’) (A’C’B) cần thiết toán * Chú ý: Chúng ta dựng đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng (ACD’) (A’C’B) Đường thẳng đường thẳng B’D (bạn đọc suy nghĩ cách chứng minh) Gọi giao điểm B’D với hai mặt phẳng (ACD’) (A’C’B) G G’ ta có GD=GG’=G’B’= B ' D Tính B’D suy khoảng cách cần tìm Ví dụ 151 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA=a Tính: S a Khoảng cách từ điểm S đến (A1BD) với A1 trung điểm SA; b Khoảng cách AC SD H (Trích tập toán 11-HK2- Trường THPT Nguyễn Hiền-TP HCM) A1 Hướng dẫn M B A [ G V T h s : N g u y ễ n M n h H ù n g - 4I 6 ] D O Page 20 C Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian a Bạn đọc thấy điểm A chân đường cao hình chóp Do SA cắt (A1BD) A1 trung điểm SA nên ta có d S ; A1 BD d A; A1 BD Bạn đọc tính khoảng cách từ A đến (A1BD) suy khoảng cách cần tìm b Dựng mặt phẳng (P) chứa SD song song với AC, (P) dựng nhủ nào? Khi ta có d SD; AC d AC ; P d A; P Hãy tính khoảng cách suy khoảng cách cần tìm Giải a Ta thấy SA cắt mặt phẳng (A1BD) A1, A1 trung điểm SA d S ; A1 BD d A; A1 BD Ta có BD SAC SAC A1BD , giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (A1BD) A1O Trong mặt phẳng (SAC), dựng AM vuông góc với A1O M Khi AM A1 BD AM d A; A1BD Ta có AM đường cao tam giác vuông A A1AO, nên 1 1 a2 AM AM AA12 OA2 a a a a a Suy AM a a d S ; A1 BD d A; A1BD 6 b Kẻ qua D đường thẳng song song với AC, lấy I đường thẳng cho AODI hình vuông Ta có AC//(SID) nên AC//(SID) suy d AC ; SD d AC ; SID d A; SID Ta có ID SAI SAI SDI SI SAI SDI Trong (SAI) dựng AH vuông góc với SI H AH SAI AH d A; SID Xét tam giác SAI vuông A có AH đường cao nên 1 1 1 a2 AH AH SA2 AI a a a a a Suy AH a a a d A; SID d SD; AC 3 Lời bình: Bạn đọc ý, tính trực tiếp khoảng cách từ S đến (A1BD) cách từ S dựng SK vuông góc với OA1 mà không cần chuyển tính khoảng cách thông qua điểm A - Với ý (b), nhìn lại cách dựng thêm đường thẳng ID Ở việc dựng đường vuông góc chung để xác định đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SD AC gặp khó khăn, nghĩ đến sử dụng khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Điều dễ hiểu cho việc dựng đường thẳng song song với AC mặt đáy, mục đích tạo mặt phẳng (SID)//AC [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 21 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Câu hỏi tiếp tục đặt lại dựng điểm I vậy? Không phải điểm I vị trí khác? Mục đích gì? Mục đích tạo mặt phẳng qua điểm A vuông góc với (SID) Ở có mặt phẳng mặt phẳng chứa SA chứa đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng qua D, song song với AC Vì cho hướng lấy điểm I để tứ giác OAID hình vuông Ví dụ 152 Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD tam giác Đường cao hình chóp kẻ từ đỉnh A qua trung điểm H cạnh CD Cắt hình chóp mặt phẳng (P) song song với AB CD cách đỉnh B khoảng d Tính diện tích thiết diện thu biết cạnh tam giác BCD a AB a Hướng dẫn Trước tiên bạn đọc cần dựng thiết diện cắt mặt phẳng qua điểm A song song với AB CD Nhận dạng xem thiết diện hình Khai thác giả thiết để có d(B; (P)) đoạn thẳng nào? Có tính chất gì? Để từ tính toán tìm diện tích thiết diện cần tìm Giải Vì (P) song song với AB CD nên thiết diện cần tìm hình bình hành PQRS Mặt khác theo giả thiết CD AHB nên CD AB Vậy PQRS hình chữ nhật Kẻ HE vuông góc với AB E HE PQRS Kẻ IK//HE IK PQRS Do AB//(PQRS) d(B; (P)) = d(B; (PQRS)) = d nên IK = d AH HB Ta có HE AB AH HB HE AB Ta có AB BH HB a 15 AB IK BI RS IK CD da 4d RS HE BH CD HE a 15 15 a IK BH d 2 2d BI HE a 15 Mặt khác a 15 2d AB HB IB JI HI HB IB JI AB HB HB HB 15 Vậy S PQRS RS JI d a 15 2d 15 Lời bình: Ở sử dụng kết sau: Nếu AB//(P) d A; P d I ; P , với I AB Để từ tìm khoảng cách từ điểm B đến (P) Ví dụ 153 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB=2a, BC=a Các cạnh bên hình chóp a a Tính khoảng cách từ điểm S đến (ABCD) S b Gọi E F trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đường thẳng AD Chứng minh khoảng cách hai đường thẳng EF SK không phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a A E B I L [ G V T h s : N g u y ễ n M n h H ù n g - 4K7 6 8O9 ] D F Page 22 C Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian (Trích tập hình học 11-nâng cao – Nxb Giáo dục Việt Nam) Hướng dẫn: a Bạn đọc dựng đường cao hình chóp để suy khoảng cách từ S đến (ABCD) Chú ý hình chóp có cạnh bên nên hình chiếu đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy b Ta thấy FE//AD nên EF//(SAD) khoảng cách hai đường thẳng chéo SK EF khoảng cách từ đường thẳng EF đến (SAD) Do khoảng cách khồng đổi không phụ thuộc vào vị trí điểm K Bạn đọc suy nghĩ cách tính khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến (SAD) Giải a Gọi O hình chiếu vuông góc S lên (ABCD), cạnh bên nên dễ dàng OA=OB=OC=OD Suy O tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD hay O giao điểm hai đường chéo AC BD Vậy SO khoảng cách từ S đến (ABCD) Xét tam giác SOA vuông O ta có SO SA2 OA2 2a (ABCD)) = AC AB BC 4a a 2a 2a 4 3a a Vậy d(S; a b Do E, F trung điểm AB CD nên EF//AD//BC.Suy EF//(SAD) Vậy d SK ; FE d FE ; SAD d O; SAD Vì khoảng cách hai đường thẳng chéo EF SK không phụ thuộc vào vị trí điểm K Gọi L trung điểm AD ta có hai mặt phẳng (SOL) (SAD) vuông góc với SL giao tuyến hai mặt phẳng Trong (SOL), dựng OI vuông góc với SL I OI SAD d O; SAD OI Xét tam giác vuông SOL có OI đường cao ta có 1 1 3a 2 OI OI SO OL2 a 2 a 3a a 3a Suy OI a 21 a 21 d SK ; FE 7 Lời bình: Hi vọng qua ví dụ bạn đọc thấy việc tính khoảng cách không khó khăn Chỉ cần nắm vững phương pháp, áp dụng thật sáng tạo phương pháp học, với ciệc chăm luyện tập nhanh chóng cho bạn thấy yêu thích làm hình học không gian Bạn đọc lưu ý vài cách khác để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo trình bày sau Hãy nắm kiến thức học để chuẩn bị cho học sau, cho bạn đọc thêm cách nhìn nhận cách giải toán khoảng cách III Bài tập tự luyện Bài 121 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy Góc đường thẳng SC (ABCD) 450 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 23 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015) Bài 122 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy, · biết BC=2a, SBC 300 , SC=a a Tính khoảng cách từ S đến (ABC) b Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng SH AC với H chân đường cao hình chóp S.ABC (Trích tập chuyên đề hình học không gian- Trung tâm luyện thi Đại học Nam Thái – Thái Nguyên) Bài 123 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi N M trung điểm C’B’ AB Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AN MD (Trích tập rèn luyện giải toán hình học 11-Đặng Phúc Thanh, Nguyễn Trọng Tuấn) Bài 124 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Dựng đoạn vuông góc chung BD CB’ (Trích tập Toán 11-HK2-Trường THPT Gia Định – TP HCM) Bài 125 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác có tâm O, AB=a, SA=2a Tính khoảng cách: a Từ O đến (SAB); b Từ C đến (SOB) (Trích tập toán 11-HK2- Trường THPT Nguyễn Hiền-TP HCM) Bài 126 Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vuông cân B, AC=2a, DAC tam giác (DAC) vuông góc với (ABC) Gọi O trung điểm cạnh AC Tính khoảng cách: a d(D; (ABC)); b d(O; (DBC)) (Trích tập Toán 11-HK2-Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến- TP HCM) Bài 127 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA; M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD; Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC (Trích tập Toán 11-HK2-Trường THPT Gia Định-TP-HCM) Bài 128 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có AB=4 Biết diện tích tam giác A’BC Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ Bài 129 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính chiều cao hình chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng AB SC a Bài 130 Cho lẳng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên 2a hợp với đáy góc 600 Biết hình chiếu A lên (A’B’C’) trọng tâm tam giác A’B’C’ Tính d(A; (A’B’C’)) khoảng cách hai đường thẳng AB’ A’C’ (Trích tập toán 11-HK2-Trường TH thực hành ĐHSP- TP HCM) S Bài 131 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B AB = BC = 2a, (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N; Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính chiều cao hình chóp S.BCNM d(SN, AB) (ĐHCĐ-A-2011) H Bài 132 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); AB = BC= 2a; AD = 4a A D E [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] B O Page 24 C Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy góc 45o Tính chiều cao hình chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB CD IV Hướng dẫn giải đáp án Bài 121 Đây toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tương tự ví dụ 151, đề nghị bạn đọc tự tính toán Đáp số: d AC ; SB a 10 Bài 122 Xét tam giác SBC có SC · SB; SBC 300 nên tam giác SBC vuông S S a Gọi H chân đường cao kẻ từ S hình chóp S.ABC Vì (SBC) vuông góc với (ABC) BC giao tuyến hai mặt phẳng mà SH ABC nên H thuộc BC Hay SH đường cao tam giác SBC A Xét tam giác SBC vuông S ta có C K H a a · SH SC sin SCH a.sin 600 Vậy d(S;(ABC)) = 2 B a 3 a2 a b Ta có HC SC SH a 2 Vì tam giác ABC vuông cân có BC=2a nên AB AC BC 2a a 2 Do SH ABC SH AC Trong (ABC) dựng HK vuông góc với AC K Khi ta có HK SH ; HK AC suy HK đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AC SH, HK d SH ; AC a HK CH AC a Vì HK//AB nên HK Vậy khoảng AC CB 2a 4 cách hai đường thẳng SH AC a Lời bình: Chú ý tam giác có góc 300, cạnh đối diện với nửa cạnh tam giác vuông Bạn đọc chứng minh tính chất không khó khăn Bài 123 B' A' Gọi I trung điểm BC ta có IN vuông góc với (ABCD) · · Ta có ABI DAM BAI ADM · DAK · · · 900 Suy BAI DAK BAI N D' C' E M A Vậy AI MD B K I [ G V T h s : N g u y ễ n M n h H ù n g - 7D8 6 ] Page C25 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Vậy ta có MD ANI Gọi K giao điểm AI MD Trong mặt phẳng (ANI) dựng KE vuông góc với AN E Ta có KE AN ; KE MD suy KE đoạn vuông góc chung AN MD Xét tam giác vuông ABI AMD ta có: a a AI AB BI a ; 2 2 1 1 a AK 2 2 AK AM AD a a a 2 9a 3a a Xét tam giác vuông ANB’ ta có: AN AB ' NB ' 2a 2 2 Ta có hai tam giác ANI AKE đồng dạng với suy KE AK AK NI a 5.a 2a KE Vậy NI AN AN 3a 15 Độ dài đoạn vuông góc chung AN MD KE 2a 15 Bài 124 Cách 1: Ta có AC ' BD; AC ' CB ' , gọi I điểm BC, M giao điểm IA với BD, N giao điểm IC’ với B’C B' A' D' Ta tìm vị trí I để MN đoạn vuông góc chung BD B’C C' Ta thấy MN đoạn vuông góc chung hai đường thẳng BD B’C MN//AC’ khi: N A M NI MI MA NC ' BI BI IC MI BI CI DA B ' C ' MA DA IC IN C ' N B 'C ' B I D C Vậy I trung điểm BC Do đoạn vuông góc chung BD CB’ xác định sau: Gọi I trung điểm BC, nối IA cắt BD M, nối IC’ cắt CB’ N, ta có C MN đoạn vuông góc chung hai đường thẳng BD CB’ D Cách 2: Ta có AC ' BD; AC ' CB ' , gọi MN đoạn vuông góc chung BD CB’ MN//AC’ M A B N H G Ta có (BDA’) chứa BD song song với B’C (vì B’C//D’A) Trên (BAC’), tâm O hình vuông BCC’B’ có hình chiếu (DBA’) điểm H (OH//AC’) đường thẳng qua H song song B’C cắt BD M O C' D' A' [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] B' Page 26 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Hạ MN vuông góc với B’C MN đoạn vuông góc chung BD B’C Bài 125 a Gọi M, N trung điểm AB AC Gọi O trọng tâm tam giác ABC Do hình chóp S.ABC hình chóp nên S SO ABC Ta có SCM SAB ; SM SCM SAB Trong (SCM) dựng OH vuông góc với SM H OH SAB C Suy OH d O; SAB H K B O N Ta có M A 1 a a a 15 a OM CM ; SM SA2 AM 4a 3 2 2 Xét tam giác SOM vuông O, ta có: SO SM OM 15a a 13a 13 a 16 12 24 24 a 13 a OM SO 24 a 26 Ta có SO.OM OH SM OH SM 15 10 a b Ta có CA SOB SCA SOB ; SN SCA SOB Trong mặt phẳng (SAC) dựng CK vuông góc với SN K Ta có CK SOB suy CK d C ; SOB Ta có S SCN 1 1 a 15 a 15 S SCA AC SN AC SM a 2 2 4 16 (do SM=SN) Vì S SCN a 15 2S a SN CK CK SCN SN a 15 Vậy d C ; SOB a Bài 126 D a Vì OA=AC DAC tam giác nên DO vuông góc với AC Mặt khác : DAC ABC DO ABC DAC ABC AC H A O Vậy d D; ABC DO a C I B [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 27 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian b Kẻ OI BC OI đường trung bình tam giác ABC Ta có: DO ABC DI BC OI BC BC DOI DBC DOI Hạ OH vuông góc với DI H Suy OH DBC hay OH d O; DBC Trong tam giác ODI ta có: E S 1 1 a 21 OH Vậy 2 a OH OD OI 3a 3a a 21 d O; DBC M I Bài 127 Gọi K trung điểm AB Khi MK//BE//SC O H Gọi O tâm hình vuông ABCD, S.ABCD hình chóp SO vuông góc với (ABCD) Suy D A K B N C BD SO BD SAC BD SC BD MK Vì NK//AC nên BD NK Vậy BD MNK BD MN * Ta có AC//NK nên d MN ; AC d AC ; MNK d O; MNK Gọi H giao điểm BO với NK Vì BD MNK nên OH MNK OH d O; MNK OH C' A' Ta có H trung điểm BO nên BO a a d MN ; AC OH 4 B' Bài 128 Do hình lăng trụ khoảng cách hai đáy độ dài cạnh bên ta cần tìm cạnh bên AA’ lăng trụ Ta có mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật nên đường chéo Suy A’B=A’C hay tam giác A’BC cân A’ A I B Gọi I trung điểm BC A ' I BC Suy S A ' BC C 1 A ' I BC A ' I A ' I 2 Xét tam giác vuông A’AI ta có A ' A A ' I AI 16 2 Vậy khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 28 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Bài 129 Gọi H trung điểm AB Vì tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH AB SH ABCD S Vậy chiều cao hình chóp SH Ta có AB//CD nên AB//(SCD) d AB; SC d AB; SCD d H ; SCD I Gọi K trung điểm CD CD SHK SCD SHK A D Ta có SK SHK SCD H Trong (SHK), dựng HI SK I ta có HI SCD suy 2a B K C HI d H ; SCD d AB; SC a HI a Xét tam giác vuông SHK có HI đường cao ta có 1 1 1 1 2 2 2 2 HI SH HK SH HI HK a 4a 4a SH 4a 2a SH 3 Vậy chiều cao hình chóp S.ABCD SH 2a Bài 130 A Ta có AH A ' B ' C ' C AH d A; A ' B ' C ' B Vì cạnh bên lăng trụ tạo với đáy góc 600 nên góc AA’H 600 Suy AH A ' A.sin 600 2a 3 a I A' H Dựng hình thoi A’B’NC’ Khi ta có A’C’//B’N suy A’C’//(AB’N) B' C' M K N Vậy d A ' C '; AB ' d A ' C '; AB ' N d A '; AB ' N Ta có A’H cắt (AB’N) N Suy d A; AB ' N d A; AB ' N d H ; AB ' N AN HN d H ; AB ' N [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 29 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian Dựng HK vuông góc với B’N K Ta có B’N vuông góc với (AHK) suy hai mặt phẳng (AHK) (AB’N) vuông góc với Giao tuyến hai mặt phẳng AK Trong (AHK) dựng HI vuông góc với AK I HI AB ' C ' HI d H ; AB ' C ' Xét tam giác vuông AHK có HI đường cao nên 1 (1) 2 HI HK HA2 Ta có AH=a; cần tính HK Dựng ME vuông góc với B’N E, A' C' 1 1 2 2 ME MB ' MN a a 3 2 H M B' K E D' 4 16 2 a 3a 3a ME 3a a ME 16 Ta có ME//HK nên ME MN 4 a a HK ME HK NH 3 1 a2 Thay vào (1), suy HI HI a a a a a Suy HI a a a 3a d H ; AB ' N d AB '; A ' C ' 2 2 S Bài 131 * Do (SAB) (SAC) vuông góc với đáy nên SA ABC suy H chiều cao hình chóp S.BCNM SA · 600 Do (SBC) tạo với (ABC) góc 600 nên ta có SBA K C A Xét tam giác SBA vuông A ta có: · SA AB.tan SBA 2a.tan 600 2a * Tính khoảng cách SN N P M B AB: Gọi P trung điểm BC, ta có AB//(SNP) suy d SN ; AB d AB; SNP d A; SNP Trong mặt phẳng đáy (ABC) dựng AK vuông góc với NP K Khi ta có [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 30 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian KP SAK SKP SAK ; SK SAK SKP Trong (SAK) dựng AH vuông góc với SK thì: AH SKP AH d A; SKP Ta có AK=BP=a Xét tam giác SAK vuông A có AK đường cao nên 12a a 12 1 1 13 AH AH 2 2 2 AH SA AK 12a a 12a 13 13 Vậy khoảng cách hai đường thẳng SN AB AH a 12 13 Lời bình: Bạn đọc thấy câu tính khoảng cách đề tuyển sinh THPT Quốc gia không khó Chỉ cần nắm phương pháp với việc tính toán cẩn thận cho điểm tuyệt đối câu Bài 132 S Ta có SA ABCD SA chiều cao hình chóp S.ABCD Gọi E trung điểm AD ta có Tứ giác ABCE hình vuông nên CE=2a Xét tam giác ACD có CE AD 2a tam giác ACD tam H E A D giác vuông C Vậy ta có CD AC ; CD SA CD SC Vậy góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) góc SCA Theo ta có O B C · 450 SCA vuông cân A SA AC 2a (vì AC đường chéo hình vuông ABCE SCA cạnh 2a) Vậy chiều cao hình chóp SA= 2a * Tính khoảng cách SB CD Ta có tứ giác BEDC hình bình hành BE//CD suy d SB; CD d CD; SBE d C ; SBE Vì AC cắt (SBE) O trung điểm AC d C ; SBE d A; SBE Ta có (SAC) (SBE) vuông góc với (bạn đọc sao?) SO giao tuyến hai mặt phẳng Trong (SAC) dựng AH vuông góc với SO H AH SBE hay AH d A; SBE Xét tam giác SAO vuông A, AH đường cao ta có: 1 1 2 2 AH AO SA 2a 8a 8a [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 31 Rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học không gian AH 8a 2a AH 5 Vậy d A; SBE 2a 2a d SB; CD 5 Đến có đầy đủ kiến thức để bước sang chương – Thể tích khối đa diện Mời bạn tiếp tục nghiên cứu Chúng tin bạn đọc tìm thấy niềm vui cho học đến chương [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 32 [...]... đã học, cùng với ciệc chăm chỉ luyện tập sẽ nhanh chóng cho bạn thấy yêu thích làm hình học không gian Bạn đọc lưu ý rằng chúng ta còn một vài cách khác để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được trình bày ở các bài sau Hãy nắm chắc các kiến thức đã học để chuẩn bị cho các bài học sau, khi đó sẽ cho bạn đọc thêm các cách nhìn nhận cách giải một bài toán khoảng cách III Bài tập tự luyện Bài. .. F Page 22 C Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian (Trích bài tập hình học 11-nâng cao – Nxb Giáo dục Việt Nam) Hướng dẫn: a Bạn đọc hãy dựng đường cao của hình chóp để suy ra khoảng cách từ S đến (ABCD) Chú ý hình chóp này có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy b Ta thấy FE//AD nên EF//(SAD) vì thế khoảng cách giữa hai... 11 Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian 0 Trong tam giác HJK vuông tại J ta tính được HJ HK sin 60 2a 3 a 3 3 2 3 Do đó d C ; DAB 3d H ; DAB = 3.HJ a 3 Lời bình: Một lần nữa bạn đọc lại thấy được thế mạnh của công thức tỉ số khoảng cách Trong bài toán này chúng tôi lại chuyển việc tính khoảng cách của điểm C đến (DAB) thành việc tính khoảng cách. .. Hùng-0947876689] Page 12 Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian Lời bình: Trong nhiều bài toán đề bài chưa cho chúng ta ngay chân đường cao của hình khối, để giải quyết các bài toán dạng này thường là chúng ta cứ dựng chân đường cao của các hình và sau đó dựa vào giả thiết của bài toán để xác định vị trí của chân đường cao đó Chú ý một số trường hợp sau: 1 Chân đường cao của hình chóp đều... và SA=a Tính: S a Khoảng cách từ điểm S đến (A1BD) với A1 là trung điểm của SA; b Khoảng cách giữa AC và SD H (Trích bài tập toán 11-HK2- Trường THPT Nguyễn Hiền-TP HCM) A1 Hướng dẫn M B A [ G V T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4I 7 8 7 6 6 8 9 ] D O Page 20 C Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian a Bạn đọc thấy điểm A chính là chân đường cao của hình chóp này Do SA... cao của hình chóp S.BCNM và d(SN, AB) (ĐHCĐ-A-2011) H Bài 132 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); AB = BC= 2a; AD = 4a A D E [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] B O Page 24 C Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy góc 45o Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa... cách III Bài tập tự luyện Bài 121 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy Góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) là 450 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC [GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 23 Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015) Bài 122 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác... Page 19 Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian Vậy bạn đọc cần nhớ: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không nhất thiết phải dựa vào việc dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của chúng nếu việc dựng đoạn vuông góc chung phức tạp Ví dụ 150 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ (Trích bài tập toán 11 hk2-Trường... AN và MD (Trích bài tập rèn luyện giải toán hình học 11-Đặng Phúc Thanh, Nguyễn Trọng Tuấn) Bài 124 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a Dựng đoạn vuông góc chung của BD và CB’ (Trích bài tập Toán 11-HK2-Trường THPT Gia Định – TP HCM) Bài 125 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác có tâm O, AB=a, SA=2a Tính các khoảng cách: a Từ O đến (SAB); b Từ C đến (SOB) (Trích bài tập toán 11-HK2-... Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689] Page 14 Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian và b Ví dụ 145 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh SA=h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của a SB và CD; b SC và BD; c SC và AB Hướng dẫn: Với ý (a), bạn đọc thấy ngay rằng BC vuông góc với CD, trong các bài tập trước chúng ta đã chứng minh được