Phßng GD & §T Bè tr¹ch M ®Ị: 01· K× thi chän häc sinh giái líp 9 Kho¸ ngµy: 4 /7/2008 M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay Thêi gian 150 phót (kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) C¸c quy ®Þnh vµ l u ý: - §Ị thi gåm 10 bµi, ThÝ sinh lµm bµi vµo tê giÊy thi. - ThÝ sinh ®ỵc sư dơng c¸c lo¹i m¸y tÝnh sau: Casio fx220; fx500A; fx500MS; fx570MS; fx500ES; fx570ES; - NÕu kh«ng cã chØ ®Þnh g× kh¸c th× víi c¸c sè gÇn ®óng ®ỵc quy ®Þnh chÝnh x¸c ®Õn 5 ch÷ sè thËp ph©n. §Ị bµi Bµi 1: (5 ®iĨm) Tính giá trị của biểu thức(chØ ghi kÕt qu¶): A 321930 291945 2171954 3041975= + + + 2 2 2 2 (x 5y)(x 5y) 5x y 5x y B x y x 5xy x 5xy   + − − + = +  ÷ + + −   Với x = 0,987654321; y = 0,123456789 Bµi 2: (5 ®iĨm) T×m UCLN cđa 40096920, 9474372 vµ 51135438 Bµi 3: (5 ®iĨm) (chØ ghi kÕt qu¶): a) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết: 5584 1 a 1 1051 b 1 c 1 d e = + + + + b) Tính giá trị của x từ phương trình sau 3 4 4 1 0,5 1 1,25 1,8 3 7 5 7 2 3 5,2 2,5 3 1 3 4 15,2 3,15 2 4 1,5 0,8 4 2 4 : : : x× × × × ×       − − +  ÷  ÷           = −  ÷     − +  ÷   Bµi 4: (5 ®iĨm) a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng, người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng? b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48 tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay khơng? Bµi 5: (5 ®iĨm) Cho đa thức P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c a) Tìm a , b , c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trò 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trò tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1 c) Tìm giá trò của x khi P(x) có giá trò là 1989 Bµi 6: (5 ®iĨm) Cho dãy số sắp xếp thứ tự U 1 , U 2 , U 3 ,……… ,U n ,U n+1 ,…… biết U 5 = 588 ; U 6 = 1084 ; U n+1 = 3U n - 2 U n-1 . Tính U 1 ; U 2 ; U 25 Bµi 7: (5 ®iÓm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x 2 + 2x – 7 ) 64 . Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị. Bµi 8: (5 ®iÓm) Cho x 1000 + y 1000 = 6,912; x 2000 + y 2000 = 33,76244 Tính A = x 3000 + y 3000 Bµi 9: (5 ®iÓmCho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho ∠ ABD = ∠ CBE = 20 0 . Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN. Bµi 10:(5 ®iÓm) Tính S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 . 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10       + + + + + + + + + + +  ÷ ÷ ÷  ÷       chính xác đến 4 chữ số thập phân. ----------Hết--------- Phßng GD & §T Bè tr¹ch M ®Ị 01· ®¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm K× thi chän häc sinh giái líp 9 Kho¸ ngµy: 4 /7/2008 M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay Bµi 1: (5 ®iĨm; mçi ý cho 2,5 ®iĨm) Tính giá trị của biểu thức(chØ ®iỊn kÕt qu¶): A 567,86590= B = 10,125 Bµi 2: (5 ®iĨm) (Nªu ®ỵc c¬ së lý thut vµ c¸ch gi¶i 2 ®iĨm; KÕt qu¶ 3 ®iĨm) Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) Ta có : b a B A = ( b a tối giản) ƯSCLN(A;B) = A ÷ a Ấn 9474372 f 40096920 = Ta được : 6987 f 29570 ƯSCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c ) Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 ) Ấn 1356 f 51135438 = Ta được : 2 f 75421 Kết luận : ƯSCLN của 9474372 ; 40096920 và 51135438 là : 1356 ÷ 2 = 678 ĐS : 678 Bµi 3: (5 ®iĨm) a) Ta có 5584 1 5 1 1051 3 1 5 1 7 9 = + + + + a=5 b=3 c=5 d=7 e=9 b) x = −903,4765135 Bµi 4: (5 ®iĨm) a) Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trên tháng, số tháng vay là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là A đồng. - Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: N 1 100 m   +  ÷   – A đồng. - Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: [N 1 100 m   +  ÷   – A ] 1 100 m   +  ÷   – A = N 2 1 100 m   +  ÷   – A[ 1 100 m   +  ÷   +1]đồng. - Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: {N 2 1 100 m   +  ÷   – A[ 1 100 m   +  ÷   +1]} 1 100 m   +  ÷   – A = N 3 1 100 m   +  ÷   – A[ 2 1 100 m   +  ÷   + 1 100 m   +  ÷   +1] đồng Tương tự : Số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là : N 1 100 n m   +  ÷   – A[ 1 1 100 n m −   +  ÷   + 2 1 100 n m −   +  ÷   + .+ 1 100 m   +  ÷   +1] đồng. Đặt y = 1 100 m   +  ÷   , thi ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n sẽ là: Ny n – A (y n-1 +y n-2 + .+y+1). Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có : Ny n = A (y n-1 +y n-2 + .+y+1) ⇒ A = n 1 2 Ny . 1 n n y y y − − + + + + = ( 1) 1 n n Ny y y − − Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 tháng, y = 1,0115 ta có : A = 1.361.312,807 đồng. b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngân hàng khác với thời hạn như trên, lãi suất 0,75% trên tháng trên tổng số tiền vay thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 50000000 + 50000000 x 0,75% x 48 = 68 000 000 đồng. Trong khi đó vay ở ngân hàng ban đầu thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 1.361.312,807 x 48 = 65 343 014,74 đồng. Như thế việc vay vốn ở ngân hàng thứ hai thực sự không có lợi cho người vay trong việc thực trả cho ngân hàng. Bµi 5: (5 ®iÓm) 5.a: Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x 3 +ax 2 + c ta được hệ      =++ =++ =++ 21237,369,13 20455,225,6 19932,144,1 cba cba cba Giải hệ phương trình ta được a=10 ; b=3 ; c = 1975 5.b: Số dư của phép chia P(x) =x 3 +10x 2 +3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375 5.c: Giải phương trình P(x) =x 3 +10x 2 +3x+1975= 1989 hay x 3 +10x 2 +3x-14 =0 a) x=1 ; x= -9,531128874 ; x= -1,468871126 Bµi 6: (5 ®iÓm) Ta có 1 1 3 2 n n n U U U + − − = nên U 4 = 340 ; U 3 = 216 ; U 2 = 154 ; U 1 = 123 ; Và từ U 5 = 588 ; U 6 = 1084 ; U n+1 = 3U n - 2 U n-1 ta có U 25 = 520093788 Bµi 7: (5 ®iÓm) Tổng các hệ số của đa thức Q(x) là giá trị của đa thức tại x = 1. Gọi tổng các hệ số của đa thức là A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7) 64 = 2 64 . Để ý rằng : 2 64 = ( ) 2 32 2 = 2 4294967296 . Đặt 42949 = X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.10 5 +Y) 2 = X 2 .10 10 + 2XY.10 5 + Y 2 . Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: X 2 .10 10 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2XY.10 5 = 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0 Y 2 = 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6 A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6 Bài 8: (5 điểm ) ẹaởt a = x 1000 , b = y 1000 .Ta coự : a + b = 6,912 ; a 2 + b 2 = 33,76244 . Khi ủoự : a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) = (a + b) 3 - 3. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b a b + + + ẹaựp soỏ : A = 184,9360067 Bài 9: (5 điểm) K BI AC I l trung im AC. Ta cú: ABD = CBE = 20 0 DBE = 20 0 (1) ADB = CEB (gcg) BD = BE BDE cõn ti B I l trung im DE. m BM = BN v MBN = 20 0 BMN v BDE ng dng. 2 1 4 BMN BED S BM S BE = = ữ S BNE = 2S BMN = 1 2 BDE S = S BIE Vy S BCE + S BNE = S BCE + S BIE = S BIC = 1 3 2 8 ABC S = . Bài 10:(5 điểm) Tớnh S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 . 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 + + + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ chớnh xỏc n 4 ch s thp phõn. S dng mỏy tớnh Casio 570 MS, Gỏn s 1 cho cỏc bin X,B,C. Vit vo mn hỡnh ca mỏy dóy lnh: X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = CB ri thc hin n phớm = liờn tip cho n khi X = 10, lỳc ú ta cú kt qu gn ỳng chớnh xỏc n 4 ch s thp phõn ca S l: 1871,4353 ----------Ht--------- . dÉn chÊm K× thi chän häc sinh giái líp 9 Kho¸ ngµy: 4 /7/2008 M«n thi: Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay Bµi 1: (5 ®iĨm; mçi ý cho 2,5 ®iĨm) Tính giá trị. C¸c quy ®Þnh vµ l u ý: - §Ị thi gåm 10 bµi, ThÝ sinh lµm bµi vµo tê giÊy thi. - ThÝ sinh ®ỵc sư dơng c¸c lo¹i m¸y tÝnh sau: Casio fx220; fx500A; fx500MS;