ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - 2015 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert 1.1.2 Toán tử chiếu 1.1.3 Tính liên tục hàm lồi 14 1.1.4 Đạo hàm vi phân hàm lồi 16 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Các ví dụ minh họa 1.2.3 Sự tồn nghiệm 18 18 20 26 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh 28 2.1 Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường 29 2.2 Phương pháp chiếu cải biên 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thầy người hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em Hai chặng đường qua, thầy tận tình hướng dẫn bảo nghiêm khắc, thầy cung cấp nhiều tài liệu quan trọng giành nhiều thời gian giải đáp thắc mắc suốt trình làm việc thầy Em xin gửi tới thầy, cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy cô giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thầy, cô hai năm qua Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới thầy dạy chuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng Mặc dù nhóm có tám thành viên thầy lên lớp với nhiệt huyết chuyên đề hay, sâu sắc Cuối em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn, anh, chị lớp cao học Toán khóa 2013 - 2015 giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán Ứng Dụng Là em út nhóm, nên người quan tâm nhiều Thời gian học anh chị cho em kỷ niệm đẹp, học điều hay kiến thức thú vị Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2015 Học viên Ngô Thị Tho LỜI MỞ ĐẦU Năm 1966, Hatman Stampacchia công bố nghiên cứu toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều kiển tối ưu toán biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Năm 1980, Kinderlehrer Stampacchia cho xuất sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu toán biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng Năm 1984, sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" C Baiocci A Capelo áp dụng bất đẳng thức biến phân tựa biến phân để giải toán biên Hiện toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Vì mô hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực toán học thực tế tối ưu hóa, toán bù, lý thuyết trò chơi, cân Nash, cân mạng giao thông, cân di trú Một hướng nghiên cứu quan trọng bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Dựa tính chất kiểu đơn điệu G Cohen nghiên cứu phương pháp nguyên lý toán phụ Ngoài có phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm Những phương pháp hiệu quả, dễ thực máy tính hội tụ chúng đảm bảo sở giả thiết khác tính chất đơn điệu Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, là: phương pháp chiếu bản, phương pháp chiếu đạo hàm, phương pháp chiếu siêu phẳng Mỗi phương pháp giải lớp toán bất đẳng thức biến phân định Do hội tụ thuật toán đảm bảo Luận văn trình bày phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường chiếu cải biên để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Các phương pháp tạo dãy hội tụ điểm lặp dễ dàng tính Chúng hội tụ tới nghiệm toán Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chia làm hai phần: • Phần 1: Nhắc lại số kiến thức Giải tích hàm Giải tích lồi, là: hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục hàm lồi, đạo hàm vi phân hàm lồi • Phần 2: Phát biểu toán, trình bày số khái niệm mô hình minh họa cho toán Sau đó, chứng minh tồn tính nghiệm toán Chương 2: Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Nội dung chương trình bày hai thuật toán chiếu đạo hàm tăng cường thuật toán chiếu cải biên để giải toán V I(K, F) Phát biểu chứng minh định lý hội tụ dãy lặp tạo thuật toán Đưa số ví dụ chứng minh điều kiện định lý tồn nghiệm cần thiết Nếu bỏ điều kiện đó, dãy lặp không hội tụ tới nghiệm toán Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, nhắc lại số kết Giải tích hàm có liên quan tới hội tụ mạnh hội tụ yếu dãy số Nhắc lại số khái niệm định lý Giải tích lồi, là: định nghĩa tính chất toán tử chiếu, tính liên tục, đạo hàm vi phân hàm lồi, Định lý tách, Định lý MoreauRockafellar Phần sau ta giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân (VIP) nhấn mạnh toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Chỉ ví dụ toán bất đẳng thức biến phân thường gặp thực tế mô hình toán học Cuối chương phát biểu chứng minh định lý tồn tính nghiệm toán Nội dung chủ yếu trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6], [10] Trong luận văn này, làm việc không gian Hilbert thực trang bị tô pô yếu, với tích vô hướng , chuẩn tương ứng ||.|| 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H không gian tuyến tính thực, với x ∈ H xác định số gọi chuẩn x ( kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau: Xác định dương: ∀x ∈ H ||x|| ≥ 0; ||x|| = ⇔ x = Thuần dương: ∀x ∈ H; ∀λ ∈ R Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ H ||λ x|| = |λ | ||x|| ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Định nghĩa 1.1.2 Giả sử H không gian tuyến tính thực, cặp (H, , ) với , : H ×H → R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện: Xác định dương: x, x ≥ ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = Đối xứng: x, y = y, x ∀x, y ∈ H Song tuyến tính: αx + β y, z = α x, z + β y, z ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ H gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert, đầy đủ gọi không gian Hilbert, kí hiệu H Ví dụ 1.1.1 H = Rn ; x = (x1 , x2 , · · · , xn ); y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ H tích vô hướng chuẩn Rn xác định n x, y = ∑ xi yi , i=1 n ||x|| = ∑ xi2 i=1 H = C[a,b] không gian hàm liên tục Khi với x, y ∈ H tích vô hướng chuẩn xác định b x, y = x(t)y(t)dt, a b |x(t)|2 dt ||x|| = a Giả sử H không gian Hilbert thực, H ∗ không gian đối ngẫu H f ∈ H ∗ Kí hiệu ϕ f : H → R phiếm hàm tuyến tính ϕ f (x) = f (x) Khi f chạy khắp H ∗ ta có họ ánh xạ (ϕ f ) f ∈H ∗ Định nghĩa 1.1.3 Tô pô yếu H định nghĩa tô pô sinh họ ánh xạ (ϕ f ) f ∈H ∗ Kí hiệu σ (H, H ∗ ) Như tô pô yếu σ (H, H ∗ ) tô pô yếu H đảm bảo cho tất phiếm hàm f ∈ H ∗ liên tục Định nghĩa 1.1.4 1) Ta nói dãy {xk } hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk → x) lim ||xk − x|| = k→∞ 2) Dãy {xk } hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk tức ∀ f ∈ H∗ x) {xk } hội tụ x theo tô pô yếu σ f (xk ) → f (x) Mệnh đề 1.1.1 Giả sử {xk } ⊂ H { fk } ⊂ H ∗ Khi a) xk x ⇔ xk , y → x, y , ∀y ∈ H b) Nếu xk → x xk x c) Nếu xk x {xk } bị chặn ||x|| ≤ limk→∞ ||xk || d) Nếu xk x lim ||xk || ≤ ||x|| xk → x e) Nếu xk x fk → f fk (xk ) → f (x) k→∞ Khi H không gian hữu hạn chiều tô pô yếu tô pô thông thường H trùng Đặc biệt, dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu 1.1.2 Toán tử chiếu Định nghĩa 1.1.5 Cho H không gian Hilbert thực, tập C ⊆ H gọi • tập lồi nếu: ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C, • nón nếu: ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λ x ∈ C, • nón lồi vừa nón vừa tập lồi Hình 1.1: tập lồi, nón, nón lồi Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A, B tập lồi không gian Hilbert thực H, tập sau tập lồi: A ∩ B :={x | x ∈ A, x ∈ B}, αA + β B :={x | x = αa + β b, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, A × B :={x | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B} Định nghĩa 1.1.6 Siêu phẳng không gian Hilbert thực H tập hợp điểm có dạng {x ∈ H | a(x) = α}, a ∈ H ∗ phiếm hàm tuyến tính α ∈ R Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York Fan Ky (1972), A minimax inequalities and applications In: Shisha O (Ed): Inequalities, Academic Press, New York Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Pham Duy Khanh (2012), ”A new extragradient method for strongly pseudomonotone variational inequalities”, Submitted Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong (2014), ”Modified projection method for strongly pseudomonotone variational inequalities”, Journal of Global Optimization,58, no 2, 341 - 350 Phung M Duc, Le D Muu, and Nguyen V Quy (2014), ”Solution - existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems”, Pracific Journal Mathematics, Pacific J Mathematics, To appear 46 [...]...TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2 Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 3 Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh 4 D Kinderlehrer and G Stampacchia